中職高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(全國適用)專題三十八拋物線(原卷版+解析)

專題三十八拋物線思維導(dǎo)圖知識要點(diǎn)知識要點(diǎn)1．拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：|MF|＝d(其中d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離)．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程

=2px

(p>0)

=-2px

(p>0)

=2py

(p

>0)=-2py

(p

>0)p的幾何意義:

焦點(diǎn)F

到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0，0)

對稱軸y＝0

x＝0焦點(diǎn)F(,0)F(,0)F(0,)F(,0)離心率e＝1

準(zhǔn)線方程x＝

x＝y(tǒng)＝

y＝范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑|PF|＝x0＋|PF|＝－x0|PF|＝y(tǒng)0＋|PF|＝－y0＋

典例解析典例解析【例1】若拋物線＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．＝4x B．＝6x C．＝8x D．＝10x【變式訓(xùn)練1】拋物線＝4y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A.B．1C．2D．4【例2】點(diǎn)M(5，3)到拋物線y＝a的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是()A．y＝12B．y＝12或y＝－36C．y＝－36D．y＝或y＝－【變式訓(xùn)練2】準(zhǔn)線方程為x＝2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．【例3】拋物線＝y(tǒng)的準(zhǔn)線方程是()A．x＝－1B．y＝－1C．x＝D．y＝【變式訓(xùn)練3】拋物線＝6x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．1B．2C．3D．4【例4】已知拋物線的頂點(diǎn)是雙曲線16－9＝144的中心，而焦點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，求拋物線的方程．【變式訓(xùn)練4】拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的焦點(diǎn)與橢圓(a>b>0)的一個焦點(diǎn)重合，若拋物線與橢圓的一個交點(diǎn)是M，求拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【例5】拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，并且它的準(zhǔn)線過等軸雙曲線的一個焦點(diǎn)，已知拋物線過點(diǎn)，求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【變式訓(xùn)練5】已知雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線＝2px的準(zhǔn)線上，求p的值．【例6】已知過定點(diǎn)M(4，0)作直線l，交拋物線＝4x于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，求△AFB面積的最小值．【變式訓(xùn)練6】O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為()A．2B．2C．2D．4高考鏈接高考鏈接1．(四川省2015年)拋物線＝4x的準(zhǔn)線為()A．x＝2B．x＝－2C．x＝1D．x＝－12．(四川省2017年)拋物線＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)()A．(1，0)B．(2，0)C．(0，1)D．(0，2)3．(四川省2018年)拋物線＝－4x的準(zhǔn)線方程為________．同步精練同步精練選擇題1．以點(diǎn)(1，－1)為中點(diǎn)的拋物線＝8x的弦所在的直線方程為()A．x－4y－3＝0B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝02．一拋物線型拱橋，當(dāng)水面寬2m時，水面離拱頂3m，當(dāng)水面寬4m時，水面()A．上升1mB．下降1mC．上升2mD．上升3m3．過拋物線＝4x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|等于()A．10B．8C．6D．44．已知點(diǎn)A(6，y)在拋物線＝mx上，點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為8，則焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為()A．2B．4C．6D．8填空題5．以拋物線＝4x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為中心，離心率為2的雙曲線方程是_______．6．以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為________．7．已知拋物線＝4x上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離為4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是_______解答題8．已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是＝6x.(1)求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)直線l過已知拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°，且與拋物線的交點(diǎn)為A，B，求AB的長度．9.設(shè)斜率為2的直線l過拋物線＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A.若△OFA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．10．根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離為6；(2)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是y軸，并經(jīng)過P(－6，－3)．11.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn)，過M(－1，1)引拋物線的弦，使M為弦的中點(diǎn)．求：(1)弦所在的直線方程；(2)弦長．12．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸是x軸，拋物線上的點(diǎn)M(－3，m)到焦點(diǎn)的距離為5，求拋物線的方程和m的值．專題三十八拋物線思維導(dǎo)圖知識要點(diǎn)知識要點(diǎn)1．拋物線的定義(1)平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．(2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：|MF|＝d(其中d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離)．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程

=2px

(p>0)

=-2px

(p>0)

=2py

(p

>0)=-2py

(p

>0)p的幾何意義:

焦點(diǎn)F

到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0，0)

對稱軸y＝0

x＝0焦點(diǎn)F(,0)F(,0)F(0,)F(,0)離心率e＝1

準(zhǔn)線方程x＝

x＝y(tǒng)＝

y＝范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下焦半徑|PF|＝x0＋|PF|＝－x0|PF|＝y(tǒng)0＋|PF|＝－y0＋

典例解析典例解析【例1】若拋物線＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(C)A．＝4x B．＝6x C．＝8x D．＝10x【思路點(diǎn)撥】∵拋物線＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(2，y0)到其準(zhǔn)線的距離為4，∴＋2＝4，解得p＝4，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝8x.【變式訓(xùn)練1】拋物線＝4y的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(C)A.B．1C．2D．4【提示】拋物線＝4y中2p＝4，∴＝1，焦點(diǎn)為(0，1)，準(zhǔn)線為y＝－1，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2.【例2】點(diǎn)M(5，3)到拋物線y＝a的準(zhǔn)線的距離為6，那么拋物線的方程是(D)y＝12B．y＝12或y＝－36x2C．y＝－36D．y＝或y＝－【思路點(diǎn)撥】將拋物線方程化為＝y(tǒng)，∴準(zhǔn)線方程為y＝－，點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離即為＝6，解得a＝或－，可得y＝或y＝－.【變式訓(xùn)練2】準(zhǔn)線方程為x＝2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為__y2＝－8x______．【提示】由條件可設(shè)拋物線的方程為＝－2px，∵準(zhǔn)線方程為x＝2，∴＝2，∴p＝4，∴＝－8x.【例3】拋物線＝y(tǒng)的準(zhǔn)線方程是(D)A．x＝－1B．y＝－1C．x＝D．y＝【思路點(diǎn)撥】拋物線＝y(tǒng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F∴其準(zhǔn)線方程是y＝－【變式訓(xùn)練3】拋物線＝6x的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(C)A．1B．2C．3D．4【提示】由題意得，根據(jù)拋物線的方程可知p＝3，∴拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝3.【例4】已知拋物線的頂點(diǎn)是雙曲線16－9＝144的中心，而焦點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，求拋物線的方程．答案：解：雙曲線16－9＝144，化為標(biāo)準(zhǔn)方程∴雙曲線的頂點(diǎn)為(±3，0)．∵拋物線的頂點(diǎn)是雙曲線16－9＝144的中心，焦點(diǎn)是雙曲線的頂點(diǎn)，∴拋物線的頂點(diǎn)為(0，0)，焦點(diǎn)為(±3，0)．當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為(－3，0)時，則p＝6，∴拋物線的方程為＝－12x；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為(3，0)時，則p＝6，∴拋物線的方程為＝12x.【變式訓(xùn)練4】拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的焦點(diǎn)與橢圓(a>b>0)的一個焦點(diǎn)重合，若拋物線與橢圓的一個交點(diǎn)是M，求拋物線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：由題意可設(shè)拋物線方程為＝2px(p>0)，∵點(diǎn)M在拋物線上，∴＝2p×，∴p＝2，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2∴拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，從而橢圓的一個焦點(diǎn)為F(1，0)，∴c＝1，∴橢圓方程為∵點(diǎn)M在橢圓上，∴解得a2＝4或a2＝∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【例5】拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，并且它的準(zhǔn)線過等軸雙曲線的一個焦點(diǎn)，已知拋物線過點(diǎn)，求拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．答案：解：由題可知，拋物線以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，∴p＝2c.設(shè)拋物線方程為＝4c·x，∵拋物線過點(diǎn)，∴6＝4c·，∴c＝1，故拋物線方程為＝4x.又雙曲線－＝λ的一個焦點(diǎn)為(1，0)，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【思路點(diǎn)撥】由題意知，拋物線以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點(diǎn)，可得p＝2c.設(shè)拋物線方程為＝4c·x，利用拋物線過點(diǎn)，求出c，即可求出拋物線和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【變式訓(xùn)練5】已知雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線＝2px的準(zhǔn)線上，求p的值．解：雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝，∴，∴p2＝16，又p＞0，∴p＝4.【例6】已知過定點(diǎn)M(4，0)作直線l，交拋物線＝4x于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，求△AFB面積的最小值．答案：解：設(shè)直線l的方程為x－4＝my，代入＝4x，得＝4my＋16，即－4my－16＝0，∴y1+y∴△AFB的面積S＝×(4－1)·|y1－y2|＝即當(dāng)m＝0時，面積最小，最小值為12.【思路點(diǎn)撥】設(shè)直線l的方程為x－4＝my，代入＝4x，得－4my－16＝0，則△AFB的面積S＝×(4－1)·|y1－y2|，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得答案．【變式訓(xùn)練6】O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線C：＝4x的焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，若|PF|＝4，則△POF的面積為(C)A．2B．2C．2D．4【提示】先利用拋物線的焦半徑公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再結(jié)合三角形面積公式求解．設(shè)P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋＝4，∴x0＝3，∴＝4x0＝4×3＝24，∴|y0|＝2.∵F(，0)，∴S△POF＝|OF|·|y0|＝××2＝2.高考鏈接高考鏈接1．(四川省2015年)拋物線＝4x的準(zhǔn)線為(D)A．x＝2B．x＝－2C．x＝1D．x＝－1【提示】由拋物線＝2px的準(zhǔn)線方程是x＝可得．2．(四川省2017年)拋物線＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)(A)A．(1，0)B．(2，0)C．(0，1)D．(0，2)【提示】由拋物線＝2px的焦點(diǎn)為可得．3．(四川省2018年)拋物線＝－4x的準(zhǔn)線方程為_x=1_______．【提示】拋物線＝－4x的焦點(diǎn)是(－1，0)，準(zhǔn)線方程是x＝1.同步精練同步精練選擇題1．以點(diǎn)(1，－1)為中點(diǎn)的拋物線＝8x的弦所在的直線方程為(C)A．x－4y－3＝0B．x＋4y＋3＝0C．4x＋y－3＝0D．4x＋y＋3＝0【提示】此弦不垂直于x軸，故設(shè)以點(diǎn)(1，－1)為中點(diǎn)的拋物線y2＝8x的弦的兩端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，得到＝8x1，＝8x2，兩式相減得到(y1+y2)(2．一拋物線型拱橋，當(dāng)水面寬2m時，水面離拱頂3m，當(dāng)水面寬4m時，水面(A)A．上升1mB．下降1mC．上升2mD．上升3m【提示】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則拋物線方程可設(shè)為＝－2py(p＞0)，∵當(dāng)拱頂離水面3m，水面寬2m，∴(，－3)代入拋物線方程可得6＝6p，∴2p＝2，∴拋物線方程為＝－2y.如果水面寬4m，則令x＝2，∴y＝－2，∴水面上升1m.3．過拋物線＝4x的焦點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則|AB|等于(B)A．10B．8C．6D．4【提示】由題意知，線段AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，設(shè)A，B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離分別為d1，d2，由拋物線的定義知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝d14．已知點(diǎn)A(6，y)在拋物線＝mx上，點(diǎn)A到焦點(diǎn)的距離為8，則焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為(B)A．2B．4C．6D．8【提示】拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，所以準(zhǔn)線為y＝－2，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4.填空題5．以拋物線＝4x的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為中心，離心率為2的雙曲線方程是_______．【提示】由題可設(shè)雙曲線的方程為∵拋物線＝4x中2p＝4，∴其焦點(diǎn)為F(1，0)．又雙曲線的一個頂點(diǎn)與拋物線＝4x的焦點(diǎn)重合，∴a＝1.又e＝＝2，∴c＝2，b2＝4－1＝3，∴雙曲線的方程為6．以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為_＝12x_______．【提示】∵雙曲線的右焦點(diǎn)為(3，0)，∴拋物線的焦點(diǎn)為(3，0)，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝12x.7．已知拋物線＝4x上的點(diǎn)M到其焦點(diǎn)F的距離為4，則點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是___3____【提示】根據(jù)拋物線方程可知其準(zhǔn)線方程為x＝－1，則根據(jù)拋物線定義可知M到其焦點(diǎn)F的距離為M到x＝－1的距離，即xM＋1＝4，∴x解答題8．已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是＝6x.(1)求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；(2)直線l過已知拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°，且與拋物線的交點(diǎn)為A，B，求AB的長度．解：(1)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是＝6x，焦點(diǎn)在x軸上，開口向右，2p＝6，∴∴焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線方程為x＝(2)∵直線l過已知拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°，∴直線l的方程為y＝x代入拋物線＝6x化簡得－9x＋＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝9，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝9＋3＝12.9.設(shè)斜率為2的直線l過拋物線＝ax(a≠0)的焦點(diǎn)F，且和y軸交于點(diǎn)A.若△OFA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為4，求拋物線