微積分學(xué)p.p.t標(biāo)準(zhǔn)00第0講微積分的歷史公開課獲獎(jiǎng)?wù)n件

高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——一元微積分學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)（一）緒論——微積分歷史簡介腳本編寫、教案制作：劉楚中彭亞新鄧愛珍劉開宇孟益民第1頁聊聊天微積分產(chǎn)生——17、18、19世紀(jì)微積分.很久很久此前,在很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)一塊古老土地上,有一群智者……開普勒、笛卡爾、卡瓦列里、費(fèi)馬、帕斯卡、格雷戈里、羅伯瓦爾、惠更斯、巴羅、瓦里斯、牛頓、萊布尼茨、…….第2頁任何研究工作開端，幾乎都是極不完美嘗試，且通常并不成功。每一條通向某個(gè)目標(biāo)地路都有許多未知真理，唯有一一嘗試，方能覓得捷徑。也只有甘愿冒險(xiǎn)，才能將正確路徑示以他人?！軌蜻@么說，為了尋找真理，我們是注定要經(jīng)歷挫折和失敗。——狄德羅十七世紀(jì)微積分第3頁任何重要思想來源都可以追溯到幾十年或幾百年此前，函數(shù)概念也是如此。直到17世紀(jì)，人們對函數(shù)才有了明確理解。函數(shù)概念提出，與伽利略和格雷戈里有關(guān)。格雷戈里將函數(shù)定義為這樣一種量：它是其他量通過一系列代數(shù)運(yùn)算而得到，或者通過任何其他可以想象到運(yùn)算而得到。第4頁由于這個(gè)定義太窄，因此很快就被遺忘了，并被陸續(xù)出現(xiàn)其他有關(guān)函數(shù)定義替代。但雖然是最簡樸函數(shù)也會(huì)包括到實(shí)數(shù)。而無理數(shù)在17世紀(jì)時(shí)并不被人們充足理解，于是，人們在處理數(shù)值時(shí)就跳過邏輯，對函數(shù)也是如此。在1650年此前，無理數(shù)就一直被人們隨心所欲地使用著。第5頁緊接著函數(shù)概念采用，產(chǎn)生了微積分，它是繼歐幾里德幾何之后，所有數(shù)學(xué)中一種最偉大發(fā)明。雖然在某種程度上，它是已被古希臘人處理過那些問題解答，不過，微積分創(chuàng)立，首先還是為了處理十七世紀(jì)重要科學(xué)問題。第6頁哪些重要科學(xué)問題呢?有四種重要類型問題.Archimedes第7頁第一類問題已知物體移動(dòng)距離表為時(shí)間函數(shù)公式，求物體在任意時(shí)刻速度和加速度；反過來，已知物體加速度表為時(shí)間函數(shù)公式，求速度和距離。第8頁困難在于：十七世紀(jì)所包括速度和加速度每時(shí)每刻都在變化。例如，計(jì)算瞬時(shí)速度，就不能象計(jì)算平均速度那樣，用運(yùn)動(dòng)時(shí)間清除移動(dòng)距離，由于在給定瞬刻，移動(dòng)距離和所用時(shí)間都是0，而0/0是無意義。但根據(jù)物理學(xué)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)物體在它運(yùn)動(dòng)每一時(shí)刻必有速度，是不容懷疑。第一類問題第9頁求曲線切線。這個(gè)問題重要性來源于好幾種方面：純幾何問題、光學(xué)中研究光線通過透鏡通道問題、運(yùn)動(dòng)物體在它軌跡上任意一點(diǎn)處運(yùn)動(dòng)方向問題等。第二類問題第10頁第二類問題困難在于：曲線“切線”定義自身就是一種沒有處理問題。古希臘人把圓錐曲線切線定義為“與曲線只接觸于一點(diǎn)并且位于曲線一邊直線”。這個(gè)定義對于十七世紀(jì)所用較復(fù)雜曲線已經(jīng)不適應(yīng)了。第11頁第三類問題求函數(shù)最大最小值問題。十七世紀(jì)早期，伽利略斷定，在真空中以角發(fā)射炮彈時(shí)，射程最大。研究行星運(yùn)動(dòng)也包括最大最小值問題。第12頁困難在于：原有初等計(jì)算措施已不適于處理研究中出現(xiàn)問題。但新措施尚無眉目。第三類問題第13頁第四類問題求曲線長度、曲線所圍成面積、曲面所圍成體積、物體重心、一種體積相稱大物體作用于另一種物體上引力。第14頁困難在于：古希臘人用窮竭法求出了某些面積和體積，盡管他們只是對于比較簡樸面積和體積應(yīng)用了這個(gè)措施，但也必須添加許多技巧，由于這個(gè)措施缺乏一般性，并且常常得不到數(shù)值解答。窮竭法先是被逐漸修改，后來由微積分創(chuàng)立而被主線修改了。第四類問題第15頁歐多克斯窮竭法是一種有限且相稱復(fù)雜幾何措施。它思想雖然古老，但很重要，阿基米德用得相稱純熟，我們就用他一種例子來闡明一下這種措施。看一下阿基米德在證實(shí)兩個(gè)圓面積比等于其直徑平方比所作工作。Archimedes第16頁阿基米德證明重要精神是證明圓可以被圓內(nèi)接多邊形窮竭。在圓里面內(nèi)接一種正方形，其面積不小于圓面積1/2（由于它不小于圓外切正方形面積1/2，而外切正方形面積不小于圓面積。）第17頁設(shè)AB是內(nèi)接正方形一邊，平分弧AB于點(diǎn)C處并連接AC與CB。作C處切線，并作AD及BE垂直于切線。（二分之一三角形ABC面積不小于弓形ACB面積二分之一。對正方形每邊都這樣做，得到一種正八邊形。從而，ABED是一種矩形，其面積不小于弓形ACB面積。因此，等于矩形面積第18頁8邊形所得到八邊形不僅包括正方形且包括圓與正方形面積之差二分之一以上。第19頁在八邊形每邊上也可按照在AB上作三角形ABC那樣地作一種三角形，從而得到一種正十六邊形。16邊形第20頁32邊形64邊形

16邊形這個(gè)正十六邊形不僅包括八邊形且包括圓與八邊形面積之差二分之一以上。這種做法你想做多少次就可以做多少次?？梢员厝唬瑘A與某一邊數(shù)足夠多正多邊形面積之差可以弄得比任何預(yù)先給定量還要小。第21頁希臘數(shù)學(xué)重大成就之一，是將許多數(shù)學(xué)命題和定理按邏輯上連貫方式歸為為數(shù)不多非常簡樸公設(shè)或公理。即熟知幾何公理和算術(shù)法則，它們支配著如整數(shù)、幾何點(diǎn)這樣某些基本對象之間關(guān)系。這些基本對象是作為客觀現(xiàn)實(shí)抽象或理想化而產(chǎn)生。第22頁各項(xiàng)公理，或因從哲學(xué)觀點(diǎn)看可以認(rèn)為是“顯然”，或僅僅因其非常有說服力，而被不加證明地予以接受。這可靠嗎？第23頁已定型數(shù)學(xué)構(gòu)造就建立在這些公理基礎(chǔ)之上。在后來許多世紀(jì)中，公理化歐幾里德數(shù)學(xué)曾被認(rèn)為是數(shù)學(xué)體系典范，甚至為其他學(xué)科所努力效仿。（例如，像笛卡爾、斯賓諾沙等哲學(xué)家，就曾試圖把他們學(xué)說用公理方式，或者如他們所說，“愈加幾何化”地提出來，以便使之更有說服力。）第24頁通過中世紀(jì)停滯時(shí)期后，數(shù)學(xué)同自然科學(xué)一起，在新出現(xiàn)微積分基礎(chǔ)上開始了突飛猛進(jìn)發(fā)展，這時(shí)公理化措施才被人們遺棄了。第25頁曾經(jīng)極其廣泛地開拓了數(shù)學(xué)領(lǐng)域有發(fā)明才能先驅(qū)們，并不由于要使這些新發(fā)現(xiàn)受制于協(xié)調(diào)邏輯分析而束縛住自己，因此，在十七世紀(jì)，逐漸廣泛地采用直觀證據(jù)來替代演繹證明。某些第一流數(shù)學(xué)家在確實(shí)感到結(jié)論無誤地狀況下，運(yùn)用了某些新概念，有時(shí)甚至運(yùn)用某些神秘聯(lián)想。由于對微積分新措施全面威力信念，促使研究者們走得很遠(yuǎn)（假如束縛于嚴(yán)格限制框架上，這將是不也許）。不過只有具有卓越才能數(shù)學(xué)大師們才有也許能防止發(fā)生大錯(cuò)。第26頁微積分不僅使用了函數(shù)概念，還引入了兩個(gè)全新且更為復(fù)雜概念：微分和積分。這樣，除了用來處理數(shù)值所需要基礎(chǔ)外，還需要邏輯方面基礎(chǔ)。第27頁微分與積分是分析中兩種基本極限過程。這兩種過程某些特殊狀況，甚至在古代就已經(jīng)有人考慮過（在阿基米德工作中抵達(dá)高峰），而在十六世紀(jì)和十七世紀(jì)，更是越來越受到人們重視。然而，微積分系統(tǒng)發(fā)展是在十七世紀(jì)才開始，一般認(rèn)為是牛頓和萊布尼茨兩位偉大科學(xué)先驅(qū)發(fā)明。這一系統(tǒng)發(fā)展關(guān)鍵在于認(rèn)識(shí)到：過去一直分別研究微分和積分這兩個(gè)過程，實(shí)際上是彼此互逆聯(lián)絡(luò)著。第28頁公正歷史評(píng)價(jià)，是不能把創(chuàng)立微積分歸功于一兩個(gè)人偶爾或不可思議靈感。許多人，例如，費(fèi)馬、伽利略、開普勒、巴羅等都曾為科學(xué)中這些具有革命性新思想所鼓舞，對微積分奠基作出過奉獻(xiàn)。實(shí)際上，牛頓老師巴羅，就曾經(jīng)幾乎充足認(rèn)識(shí)到微分與積分之間互逆關(guān)系。牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立系統(tǒng)微積分就是基于這一基本思想。第29頁假如我們考慮用小球下落中時(shí)間間隔來替代時(shí)刻，用它在這一段時(shí)間間隔內(nèi)下降距離除以所用時(shí)間，就得到這一間隔中小球平均速度。我們可以計(jì)算從第四秒起，間隔為1/2秒，1/4秒，1/8秒，……內(nèi)平均速度。顯然，時(shí)間間隔越短，計(jì)算出來平均速度就越靠近第四秒時(shí)速度。這就是說，我們有了一種方案：首先計(jì)算不一樣樣時(shí)間間隔內(nèi)平均速度，然后研究當(dāng)時(shí)間間隔越來越小時(shí)，它們會(huì)趨近于哪一種數(shù)。這個(gè)數(shù)就是規(guī)定小球在第四秒時(shí)第瞬時(shí)速度。費(fèi)馬研究一種問題假設(shè)一種小球正向地面落去，我們想懂得下落后第4秒時(shí)小球速度（瞬時(shí)速度）。第30頁小球下落運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可用下面公式描述：費(fèi)馬所在時(shí)代用是英制單位設(shè)任意一種時(shí)間增量是h，在第（4+h）秒時(shí)，小球會(huì)下降256英尺加上距離增量k:即第31頁在h秒內(nèi)（時(shí)間間隔）平均速度為幸好費(fèi)馬作了這個(gè)目前看來并不合理除法運(yùn)算，……令h=0，得到小球在第四秒時(shí)下落速度?第32頁費(fèi)馬推導(dǎo)問題所在這樣就不能令h=0而得出結(jié)論。此外,對于這樣簡樸函數(shù),可以進(jìn)行上述化簡工作,而對于更為復(fù)雜函數(shù),就不一定可以進(jìn)行這樣化簡工作了,一般只能導(dǎo)出如下關(guān)系式：,這樣，當(dāng)h=0時(shí)，k/h就是0/0了，這是沒故意義。第33頁費(fèi)馬一直沒能證明他所做這些，也沒有把這項(xiàng)工作非常深入地進(jìn)行下去，但他堅(jiān)信最終可以得到一種合理幾何證明。盡管如此，實(shí)際上我們必須承認(rèn)他是微積分學(xué)創(chuàng)始人之一。費(fèi)馬推導(dǎo)問題所在第34頁

這里問題是，當(dāng)把非均勻改變問題看成均勻改變時(shí)，能表示為兩個(gè)量商形式，則此時(shí)處理非均勻改變問題，能夠采取……？？？用什么措施？我們后來再慢慢講。它是微分學(xué)問題。第35頁古希臘人研究過面積問題第36頁第37頁第38頁直觀地看，小矩形越多，其面積和就越靠近于所求曲線下面積。怎樣求此面積精確值？第39頁17世紀(jì)數(shù)學(xué)家們處理這個(gè)問題措施是讓n變成無窮大。然而，無窮大含義自身就不清晰。它是一種數(shù)嗎？假如是，怎么對它進(jìn)行計(jì)算呢？假如它不是一種數(shù)，那它又是什么呢？第40頁費(fèi)馬在推導(dǎo)求面積公式時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n為無窮大時(shí)，包括1/n和1/n2項(xiàng)可以忽視不計(jì)?？ㄍ吡欣飳⑸厦嬗懻撁娣e當(dāng)作無限多種他稱之為不可分量（牛頓稱之為終止不可分量）總和。這個(gè)終止不可分量究竟是什么？當(dāng)時(shí)沒有人能將它說清晰。牛頓后來甚至重申他已經(jīng)放棄了終止不可分量，而卡瓦列里只是說，把一塊面積分割為越來越小小矩形時(shí)，最終就會(huì)得到終止不可分量，面積就是由這些終止不可分量構(gòu)成。終止不可分量后來發(fā)展為無窮小量。第41頁用什么措施？我們后來再慢慢講。它是積分學(xué)問題。這里問題是，當(dāng)把非均勻改變問題看成均勻改變時(shí)，能表示為兩個(gè)量積形式，則此時(shí)處理非均勻改變問題，能夠采取……？？？第42頁牛頓與萊布尼茨實(shí)際上在牛頓與萊布尼茨作出他們沖刺之前，微積分大量知識(shí)已經(jīng)積累起來了。甚至在巴羅一本書里就能看到求切線措施、兩個(gè)函數(shù)積和商微分定理、x冪微分、求曲線長度、定積分中變量代換、隱函數(shù)微分定理等等。第43頁牛頓與萊布尼茨于是人們驚問，在重要新成果方面，尚有什么有待于發(fā)現(xiàn)呢？問題回答是，措施較大普遍性以及從特殊問題里已建立起來東西中認(rèn)識(shí)其普遍性。第44頁牛頓與萊布尼茨數(shù)學(xué)真正劃分不是分為幾何和算術(shù)，而是提成普遍和特殊。這普遍東西是由兩個(gè)包羅萬象思想家，牛頓和萊布尼茨提供。第45頁1.牛頓（Newton）數(shù)學(xué)和科學(xué)中巨大進(jìn)展，幾乎總是建立在幾百年中作出一點(diǎn)一滴奉獻(xiàn)許多人工作之上。需要有一種人來走那最高和最終一步，這個(gè)人要能足夠敏銳地從紛亂猜測和闡明中清理出前人有價(jià)值想法，有足夠想象力地把這些碎片重新組織起來，并且能足夠大膽地制定一種宏偉計(jì)劃。在微積分中，這個(gè)人就是牛頓。第46頁牛頓（1642~1727年），英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、自然哲學(xué)家。生于英格蘭林肯郡伍爾索普一種小村莊里。他母親在那里管理著丈夫遺留下來農(nóng)莊，他父親是在他出生前兩個(gè)月去世。第47頁少年時(shí)期，牛頓在一種低原則地方學(xué)校接受教育，并且是一種除了對機(jī)械有愛好以外，沒有特殊才華青年人。

第48頁1661年他進(jìn)入了劍橋大學(xué)三一學(xué)院，安靜而沒有阻力地學(xué)習(xí)著自然哲學(xué)。1665年牛頓剛結(jié)束他大學(xué)課程，學(xué)校就由于倫敦地區(qū)鼠疫流行而關(guān)閉。他離開劍橋，回到家鄉(xiāng)，在那里開始了他在機(jī)械、數(shù)學(xué)和光學(xué)上偉大工作，于1665-1666年間做出流數(shù)術(shù)、萬有引力和光分析三大發(fā)明，年僅23歲。第49頁1667年牛頓回到劍橋，獲得碩士學(xué)位，成為三一學(xué)院研究員。1669年牛頓接替他數(shù)學(xué)老師巴羅職位，擔(dān)任盧卡斯數(shù)學(xué)專家。他不是一種成功教師，聽他課學(xué)生很少。第50頁他提出發(fā)明性材料也沒有受到同事們注意，只有巴羅及天文學(xué)家哈雷認(rèn)識(shí)到他偉大，并給他以鼓勵(lì)。牛頓涉獵學(xué)科諸多，知識(shí)面很廣。他從事過光學(xué)、天體力學(xué)、數(shù)學(xué)、化學(xué)、流體靜力學(xué)、流體動(dòng)力學(xué)、物理學(xué)方面研究工作，還自己動(dòng)手制作試驗(yàn)裝置，甚至自己制作了兩臺(tái)反射望遠(yuǎn)鏡（制作出做架子用合金、澆鑄框架、做底座、磨光鏡頭等。）第51頁他在數(shù)學(xué)上以創(chuàng)立微積分而著稱，其流數(shù)法（即物質(zhì)變化率）始于1665年，系統(tǒng)論述于《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》（1671年完畢，1736年出版），首先刊登在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》（1687）中。其中借助運(yùn)動(dòng)學(xué)中描述持續(xù)量及其變化率論述他流數(shù)理論，并創(chuàng)用字母上加一點(diǎn)符號(hào)表達(dá)流動(dòng)變化率（即導(dǎo)數(shù)符號(hào)）。第52頁討論基本問題是：已知流量間關(guān)系，求它們流數(shù)關(guān)系以及逆運(yùn)算，確立了微分與積分這兩類運(yùn)算互逆關(guān)系，即微積分基本定理。他用級(jí)數(shù)處理微分和積分，已對級(jí)數(shù)收斂和發(fā)散有所認(rèn)識(shí)。他也研究微分方程、隱函數(shù)微分、曲線切線、曲線曲率、曲線拐點(diǎn)和曲線長度等。第53頁此外他還論述了有理指數(shù)二項(xiàng)定理（1664年）以及數(shù)論、解析幾何、曲線分類、變分法等中有關(guān)問題。第54頁他在物理學(xué)上發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律（1666-1684年），并據(jù)此指出行星運(yùn)行成橢圓軌道原因。1666年用三棱鏡試驗(yàn)光色散現(xiàn)象，1668年發(fā)明并親手制作了第一架反射望遠(yuǎn)鏡。

第55頁他在哲學(xué)上深信物質(zhì)、運(yùn)動(dòng)、空間和時(shí)間客觀存在性，堅(jiān)持用觀測和試驗(yàn)措施發(fā)現(xiàn)自然界規(guī)律，力爭用數(shù)學(xué)定量措施表述定律闡明自然現(xiàn)象，其科學(xué)研究措施支配后世近3物理學(xué)研究。

第56頁晚年牛頓變得消沉，精神幾乎瓦解。他放棄研究工作，于1695年接受任命，擔(dān)任大英造幣廠監(jiān)察。17，封為爵士，享年85歲。牛頓對于他畢生成就，一直是十分謙虛。第57頁2.萊布尼茨（Leibniz）萊布尼茨（1646~17）是在建立微積分中唯一可以與牛頓并列科學(xué)家。他研究法律，在答辯了有關(guān)邏輯論文后，得到哲學(xué)學(xué)士學(xué)位。1666年以論文《論組合藝術(shù)》獲得阿爾特道夫大學(xué)哲學(xué)博士學(xué)位，同步獲得該校專家席位。第58頁1671年，他制造了他計(jì)算機(jī)。1672年3月作為梅因茲選帝侯大使，政治出差導(dǎo)巴黎。這次訪問使他同數(shù)學(xué)家和科學(xué)家有了接觸，激起了他對數(shù)學(xué)愛好?？梢哉f，在此之前（1672年前）萊布尼茨基本上不懂?dāng)?shù)學(xué)。第59頁1673年他到倫敦，碰到另某些數(shù)學(xué)家和科學(xué)家，促使他愈加深入地鉆研數(shù)學(xué)。雖然萊布尼茨靠做外交官生活，卷入多種政治活動(dòng)，但他科學(xué)研究工作領(lǐng)域是廣泛，他業(yè)余生活活動(dòng)范圍是龐大。第60頁除了是外交官外，萊布尼茨還是哲學(xué)家、法學(xué)家、歷史學(xué)家、語言學(xué)家和先驅(qū)地質(zhì)學(xué)家，他在邏輯學(xué)、力學(xué)、數(shù)學(xué)、流體靜力學(xué)、氣體學(xué)、航海學(xué)和計(jì)算機(jī)方面做了重要工作。雖然他專家席位是法學(xué)，但他在數(shù)學(xué)和哲學(xué)方面著作被列于世界上曾產(chǎn)生過最優(yōu)秀著作中。他用通信保持和人們接觸，最遠(yuǎn)到錫蘭（Ceylon）和中國。第61頁他于1669年提議建立德國科學(xué)院，從事對人類有益力學(xué)中發(fā)明和化學(xué)、生理學(xué)方面發(fā)現(xiàn)（17柏林科學(xué)院成立）。第62頁萊布尼茨從1684年開始刊登論文，但他許多成果以及他思想發(fā)展，實(shí)際上都包括在他從1673年起寫，但從未刊登過成百筆記本中。從這些筆記本中人們可以看到，他從一種課題跳到另一種課題，并伴隨他思想發(fā)展而變化他所用記號(hào)。有些是它在研究格雷戈里、費(fèi)馬、帕斯卡、巴羅書和文章時(shí)，或是試圖將他們思想納入自己處理微積分方式時(shí)所出現(xiàn)簡樸思想。第63頁17萊布尼茨寫了《微分學(xué)歷史和來源》，在這本書中，他給出了某些有關(guān)自己思想發(fā)展記載，由于他出書目旳是為了澄清當(dāng)時(shí)加于他抄襲罪名，因此他也許不自覺地歪曲了有關(guān)他思想來源記載。不管他筆記本多么混亂，都揭示了一種最偉大才智，怎樣為了抵達(dá)理解和發(fā)明而奮斗。第64頁尤其值得一提是：萊布尼茨很早就意識(shí)到，微分與積分（看作是和）必然是相反過程；1676年6月23日手稿中，他意識(shí)到求切線最佳措施是求dy/dx，其中dy，dx是變量差，dy/dx是差商。萊布尼茨工作，雖然富于啟發(fā)性并且意義深遠(yuǎn)，但它是十分零亂不全，以致幾乎不能理解。幸好貝努利兄弟將他文章大大加工，并做了大量發(fā)展工作。17，他無聲無息地死去。第65頁微積分是能應(yīng)用于許多類函數(shù)一個(gè)新普遍方法，這一發(fā)覺必須歸功于牛頓和萊布尼茨倆人。經(jīng)過他們工作，微積分不再是古希臘幾何附庸和延展，而是一門獨(dú)立科學(xué)，用來處理較以前更為廣泛問題。第66頁任何一件新事物出現(xiàn)時(shí)，普通不可能是十分完美。假如牛頓和萊布尼茨想到過連續(xù)函數(shù)不一定有導(dǎo)數(shù)——而這卻是普通情形——那么微分學(xué)就決不會(huì)被創(chuàng)造出來。——畢卡第67頁創(chuàng)立微積分優(yōu)先權(quán)爭論牛頓從1665年到1687年把成果告知了他朋友，尤其是把他短文《分析學(xué)》送給了巴羅，但他于1687年此前，并沒有正式公開刊登過微積分方面任何工作。第68頁創(chuàng)立微積分優(yōu)先權(quán)爭論雖然萊布尼茨于1672年訪問巴黎，1673年訪問倫敦時(shí)，和某些懂得牛頓工作人通信。然而，他直到1684年才正式公開刊登微積分著作。于是就發(fā)生了萊布尼茨與否懂得牛頓工作詳情問題。萊布尼茨被指責(zé)為抄襲者。第69頁在這兩個(gè)人死了很久后來，調(diào)查證明：雖然牛頓大部分工作是在萊布尼茨之前做，不過萊布尼茨是微積分思想獨(dú)立發(fā)明者。兩個(gè)人都受到巴羅諸多啟發(fā)。創(chuàng)立微積分優(yōu)先權(quán)爭論第70頁這件事成果是，英國和大陸數(shù)學(xué)家停止了思想互換。由于牛頓在微積分方面重要工作是以幾何為工具，因此在他死后近一百年中，英國人繼續(xù)以幾何為重要工具研究微積分。而大陸數(shù)學(xué)家繼續(xù)使用萊布尼茨分析措施，使它發(fā)展并不停進(jìn)行改善。這件事影響非常巨大，它不僅使英國數(shù)學(xué)家落在背面，并且使數(shù)學(xué)學(xué)科損失了一批最有才能人所應(yīng)作出奉獻(xiàn)。創(chuàng)立微積分優(yōu)先權(quán)爭論第71頁十八世紀(jì)微積分

所以，看來當(dāng)代數(shù)學(xué)家們象從事科學(xué)人們那樣，在應(yīng)用他們原理方面費(fèi)心血比在了解這些原理方面多得多?！惪巳R主教第72頁十七世紀(jì)最偉大成就就是微積分。由此來源產(chǎn)生了數(shù)學(xué)某些重要新分支，如微分方程，無窮級(jí)數(shù)，微分幾何，變分法，復(fù)變函數(shù)等等。其中某些工作萌芽確實(shí)在牛頓和萊布尼茨工作中就已經(jīng)出現(xiàn)了。十八世紀(jì)，人們大量地致力于這些分析分支發(fā)展。不過在這一發(fā)展完畢之前，首先必須擴(kuò)展微積分自身。十八世紀(jì)微積分第73頁牛頓和萊布尼茨發(fā)明了基本措施，但也留下了許多要做事情：必須清晰地認(rèn)識(shí)或造出許多新一元函數(shù)和多元函數(shù)；微分和積分技巧必須推廣到某些已經(jīng)存在或別有待引入函數(shù)；此外還缺乏微積分邏輯基礎(chǔ)。當(dāng)然，第一目旳是擴(kuò)展微積分重要內(nèi)容。十八世紀(jì)微積分第74頁十八世紀(jì)，人們確實(shí)擴(kuò)展了微積分，并創(chuàng)立了某些新分析分支。數(shù)學(xué)家們對微積分以及隨即產(chǎn)生分析分支做了純形式處理。在這個(gè)經(jīng)受了挫折、錯(cuò)誤、不完全和混亂處理過程中，雖然他們技巧是很高超，但卻不是由明確數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)，而是由直觀和物理見解指導(dǎo)。這些形式努力經(jīng)受了后來批判性檢查考驗(yàn)，并產(chǎn)生了偉大思想線索。人們深深感受到，數(shù)學(xué)新領(lǐng)域征服有時(shí)超過軍事上征服。它大膽地闖入敵人領(lǐng)土，攻占要塞，然后，就必須由更廣闊，更徹底，更謹(jǐn)慎行動(dòng)來擴(kuò)大和支持這些入侵，以保衛(wèi)那些僅僅臨時(shí)地、不牢固地控制了東西。十八世紀(jì)試圖在微積分中注入嚴(yán)密性第75頁十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家和思想家們，沒故意識(shí)到需要極限概念。又由于他們沒有看出使用無窮級(jí)數(shù)而產(chǎn)生問題，因此他們天真地認(rèn)為微積分只是代數(shù)推廣。對于雖然稍微復(fù)雜一點(diǎn)代數(shù)函數(shù)，基本積分法還是把函數(shù)表到達(dá)級(jí)數(shù)形式（沿用牛頓措施），再逐項(xiàng)積分。數(shù)學(xué)家們只是將積分技巧從一種有限形式發(fā)展到另一種有限形式，僅把積分當(dāng)作導(dǎo)數(shù)或微分逆運(yùn)算。他們歷來就不問一種積分存在性。好在十八世紀(jì)出現(xiàn)大部分應(yīng)用問題中，積分都能被明確地求出來，因而也就不會(huì)發(fā)生積分存在與否問題。第76頁在十八世紀(jì)初期，就已經(jīng)出現(xiàn)了兩個(gè)和三個(gè)變量函數(shù)微積分（多元函數(shù)微積分）。一般導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)辨別在一開始并未被人們明確地認(rèn)識(shí)，因而對兩者使用相似記號(hào)。而物理意義又規(guī)定人們在多種自變量函數(shù)中，考慮只有一種自變量變化導(dǎo)數(shù)。兩個(gè)或多種變量函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)研究重要?jiǎng)恿碜云⒎址匠谭矫婀ぷ鳌Ｆ珜?dǎo)數(shù)演算是由歐拉研究流體力學(xué)問題一系列文章提供。達(dá)朗貝爾在1744年前后，推廣了偏導(dǎo)數(shù)演算。第77頁在十八世紀(jì)，雖然數(shù)學(xué)家們致力于在微積分中注入嚴(yán)密性，但由于時(shí)代局限性，這項(xiàng)工作顯得十分混亂。其中比較有代表性思想是達(dá)朗貝爾工作。他在一篇論文中說道：“極限，極限論是微積分真正抽象……，它決不是微分學(xué)中無窮小量一種問題：它獨(dú)特地是有限量極限問題。這樣，無窮大量和無窮小量互相間較大，較小空談，對微分學(xué)來說是全然無用。”無窮小量僅僅是一種說法，用以防止冗長極限術(shù)語描述。實(shí)際上，達(dá)朗貝爾給出了極限對旳定義一種極好近似：一種變量趨近一種固定量，趨近程度不不小于任何給定量。可惜他沒有能結(jié)合并運(yùn)用他基本準(zhǔn)對旳思想作出微積分形式論述。第78頁告誡學(xué)習(xí)微積分學(xué)生們：堅(jiān)持,你就會(huì)有信心.達(dá)朗貝爾第79頁評(píng)語盡管幾乎十八世紀(jì)每位數(shù)學(xué)家都在微積分邏輯上做了努力，或至少表達(dá)了他們見解，其中也有一、兩個(gè)走對了路，但他們所有努力都是沒有多大用處。任何棘手問題都被故意避開或是漠然視之，人們很難辨別很大數(shù)與無窮數(shù)，數(shù)學(xué)家們在有限與無限之間隨意通行。微積分被稱為“計(jì)算與度量一種其存在性是不可思議事物藝術(shù)”。尤其是歐拉、拉格朗日這樣大師對微積分微積分嚴(yán)格化努力最終止果，是誤導(dǎo)了他們同代人以及后來者，并且搞亂了他們思想。總來說，他們那么明目張膽地出錯(cuò)誤，以致于人們對數(shù)學(xué)家能否能清晰他們包括到邏輯感到絕望。第80頁十八世紀(jì)思想家們所采取論據(jù)一個(gè)奇怪地特點(diǎn)是他們求援于“形而上學(xué)”，用它來暗示數(shù)學(xué)領(lǐng)域之外還存在一個(gè)真理體系，即使這個(gè)真理體系終究是什么還不清楚，但假如需要話，能夠用它來檢驗(yàn)人們所做工作。萊布尼茨、歐拉等數(shù)學(xué)家都曾借助于形而上學(xué)得出過失誤結(jié)論。比如，萊布尼茨曾證實(shí)過級(jí)數(shù)和為1/2,實(shí)際上，該級(jí)數(shù)無和。第81頁一般說來，當(dāng)十七、十八世紀(jì)數(shù)學(xué)家們不能為一種觀點(diǎn)提供更好證明時(shí)，他們就慣于說這其中理由是形而上學(xué)。因此，在十八世紀(jì)結(jié)束之際，微積分和建立在微積分基礎(chǔ)上分析其他分支邏輯處在一種完全混亂狀態(tài)之中?？梢哉f，18微積分基礎(chǔ)方面狀況比17更差。數(shù)學(xué)巨匠，尤其是歐拉和拉格朗日給出了不對旳邏輯基礎(chǔ)。由于他們是權(quán)威，他們許多同事接受了并不加批判