小升初銜接數(shù)學講義(共13講)

小升初銜接專題講義數(shù)學能力就是在練習中成長的——湯姆.杰瑞第一講數(shù)系擴張--有理數(shù)（一）一、【問題引入與歸納】1、正負數(shù)，數(shù)軸，相反數(shù)，有理數(shù)等概念。2、有理數(shù)的兩種分類：3、有理數(shù)的本質(zhì)定義，能表成（互質(zhì)）。4、性質(zhì)：①順序性（可比較大?。?；②四則運算的封閉性（0不作除數(shù)）；③稠密性：任意兩個有理數(shù)間都存在無數(shù)個有理數(shù)。5、絕對值的意義與性質(zhì)：①②非負性③非負數(shù)的性質(zhì)：i）非負數(shù)的和仍為非負數(shù)。ii）幾個非負數(shù)的和為0，則他們都為0。二、【典型例題解析】：若的值等于多少？如果是大于1的有理數(shù)，那么一定小于它的（D）A.相反數(shù)B.倒數(shù)C.絕對值D.平方已知兩數(shù)、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值是2，求的值。如果在數(shù)軸上表示、兩上實數(shù)點的位置，如下圖所示，那么化簡的結(jié)果等于（）A.B.C.0D.已知，求的值是（）A.2B.3C.9D.6有3個有理數(shù)a,b,c，兩兩不等，那么中有幾個負數(shù)？設三個互不相等的有理數(shù)，既可表示為1，的形式式，又可表示為0，，的形式，求。三個有理數(shù)的積為負數(shù)，和為正數(shù)，且則的值是多少？若為整數(shù)，且，試求的值。三、課堂備用練習題。1、計算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+20062、計算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)3、計算：4、已知為非負整數(shù)，且滿足，求的所有可能值。5、若三個有理數(shù)滿足，求的值。第二講數(shù)系擴張--有理數(shù)（二）一、【能力訓練點】：1、絕對值的幾何意義①表示數(shù)對應的點到原點的距離。②表示數(shù)、對應的兩點間的距離。2、利用絕對值的代數(shù)、幾何意義化簡絕對值。二、【典型例題解析】：（1）若，化簡（2）若，化簡解答：設，且，試化簡解答：、是有理數(shù)，下列各式對嗎？若不對，應附加什么條件？（1）（2）（3）（4）若則（5）若，則（6）若，則解答：若，求的取值范圍。解答：不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上的對應點分別為A、B、C，如果，那么B點在A、C的什么位置？解答：設，求的最小值。解答：是一個五位數(shù)，，求的最大值。解答：設都是有理數(shù)，令,,試比較M、N的大小。解答：三、【課堂備用練習題】：1、已知求的最小值。2、若與互為相反數(shù)，求的值。3、如果，求的值。4、是什么樣的有理數(shù)時，下列等式成立？（1）（2）5、化簡下式：第三講數(shù)系擴張--有理數(shù)（三）一、【能力訓練點】：1、運算的分級與運算順序；2、有理數(shù)的加、減、乘、除及乘方運算的法則。解答：若互異，且，求的值。解答：已知，求的值。解答：已知，求的值。解答：已知均為正整數(shù)，且，求的值。解答：求證等于兩個連續(xù)自然數(shù)的積。解答：已知，求的值。解答：一堆蘋果，若干個人分，每人分4個，剩下9個，若每人分6個，最后一個人分到的少于3個，問多少人分蘋果？解答：三、【備用練習題】：1、已知，比較M、N的大小。，。2、已知，求的值。3、已知，求K的值。4、，比較的大小。5、已知，求的值。第七講發(fā)現(xiàn)規(guī)律一、【問題引入與歸納】我國著名數(shù)學家華羅庚先生曾經(jīng)說過：“先從少數(shù)的事例中摸索出規(guī)律來，再從理論上來證明這一規(guī)律的一般性，這是人們認識客觀法則的方法之一”。這種以退為進，尋找規(guī)律的方法，對我們解某些數(shù)學問題有重要指導作用，下面舉例說明。能力訓練點：觀察、分析、猜想、歸納、抽象、驗證的思維能力。二、【典型例題解析】觀察算式：按規(guī)律填空：1+3+5+…+99=？，1+3+5+7+…+？如圖是某同學在沙灘上用石子擺成的小房子。觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第個小房子用了多少塊石子？用黑、白兩種顏色的正六邊形地面磚（如圖所示）的規(guī)律，拼成若干個圖案：（1）第3個圖案中有白色地面磚多少塊？（2）第個圖案中有白色地面磚多少塊？觀察下列一組圖形，如圖，根據(jù)其變化規(guī)律，可得第10個圖形中三角形的個數(shù)為多少？第個圖形中三角形的個數(shù)為多少？觀察右圖，回答下列問題：（1）圖中的點被線段隔開分成四層，則第一層有1個點，第二層有3個點，第三層有多少個點，第四層有多少個點？（2）如果要你繼續(xù)畫下去，那第五層應該畫多少個點，第n層有多少個點？（3）某一層上有77個點，這是第幾層？（4）第一層與第二層的和是多少？前三層的和呢？前4層的和呢？你有沒有發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？根據(jù)你的推測，前12層的和是多少？讀一讀：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和，由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了簡便起見，我們可將“1+2+3+4+5+…+100”表示為，這里“”是求和符號，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為又如“”可表示為，同學們，通過以上材料的閱讀，請解答下列問題：（1）2+4+6+8+10+…+100（即從2開始的100以內(nèi)的連續(xù)偶數(shù)的和）用求和符號可表示為；（2）計算：=（填寫最后的計算結(jié)果）。觀察下列各式，你會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？3×5=15，而15=42-15×7=35，而35=62-1……11×13=143，而143=122-1……將你猜想的規(guī)律用只含一個字母的式子表示出來。請你從右表歸納出計算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。三、【跟蹤訓練題】1所在學校姓名聯(lián)系電話1、有一列數(shù)其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…則第個數(shù)=，當=2001時，=。2、將正偶數(shù)按下表排成5列第1列第2列第3列第4列第5列第一行2468第二行16141210第三行18202224…………2826根據(jù)上面的規(guī)律，則2006應在行列。3、已知一個數(shù)列2，5，9，14，20，，35…則的值應為：（）4、在以下兩個數(shù)串中：1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同時出現(xiàn)在這兩個數(shù)串中的數(shù)的個數(shù)共有（）個。A.333B.334C.335D.3365、學校閱覽室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2張方桌拼成一行能坐6人（如右圖所示）按照這種規(guī)定填寫下表的空格：拼成一行的桌子數(shù)123…n人數(shù)46…6、給出下列算式：觀察上面的算式，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，用代數(shù)式表示這個規(guī)律：7、通過計算探索規(guī)律：152=225可寫成100×1×（1+1）+25252=625可寫成100×2×（2+1）+25352=1225可寫成100×3×（3+1）+25452=2025可寫成100×4×（4+1）+25…………752=5625可寫成歸納、猜想得：（10n+5）2=根據(jù)猜想計算：19952=8、已知，計算：112+122+132+…+192=；9、從古到今，所有數(shù)學家總希望找到一個能表示所有質(zhì)數(shù)的公式，有位學者提出：當n是自然數(shù)時，代數(shù)式n2+n+41所表示的是質(zhì)數(shù)。請驗證一下，當n=40時，n2+n+41的值是什么？這位學者結(jié)論正確嗎？10、計算2008層第八講綜合練習（一）1、若，求的值。2、已知與互為相反數(shù)，求。3、已知，求的范圍。4、判斷代數(shù)式的正負。5、若，求的值。6、若，求7、已知，化簡8、已知互為相反數(shù)，互為倒數(shù)，的絕對值等于2，P是數(shù)軸上的表示原點的數(shù)，求的值。9、問□中應填入什么數(shù)時，才能使10、在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡：11、若，求使成立的的取值范圍。12、計算：13、已知，，，求。14、已知，求、的大小關(guān)系。15、有理數(shù)均不為0，且。設，求代數(shù)式的值。變形名稱具體做法變形依據(jù)重點提示去分母方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)。等式的同乘性去括號先小再中后大去括號法則，分配律移項把含未知數(shù)的項移到方程一邊，其他項移到另一邊等式的同加性合并同類項把方程化成合并同類項變形名稱具體做法變形依據(jù)重點提示去分母方程兩邊同乘以分母的最小公倍數(shù)。等式的同乘性去括號先小再中后大去括號法則，分配律移項把含未知數(shù)的項移到方程一邊，其他項移到另一邊等式的同加性合并同類項把方程化成合并同類項的法則系數(shù)化為1方程兩邊同除以a得到等式的同除性一、知識點歸納：1、等式的性質(zhì)。2、一元一次方程的定義及求解步驟。3、一元一次方程的解的理解與應用。4、一元一次方程解的情況討論。二、典型例題解析：解下列方程：（1）（2）；（3）能否從；得到，為什么？解答：反之，能否從得到，為什么？解答：若關(guān)于的方程，無論K為何值時，它的解總是，求、的值。解答：若。求的值。解答：已知是方程的解，求代數(shù)式的值。解答：關(guān)于的方程的解是正整數(shù)，求整數(shù)K的值。解答：若方程與方程同解，求的值。解答：關(guān)于的一元一次方程求代數(shù)式的值。解答：解方程解答：已知方程的解為，求方程的解。解答：當滿足什么條件時，關(guān)于的方程，①有一解；②有無數(shù)解；③無解。解答：第十講一元一次方程（2）一、能力訓練點：1、列方程應用題的一般步驟。2、利用一元一次方程解決社會關(guān)注的熱點問題（如經(jīng)濟問題、利潤問題、增長率問題）二、典型例題解析。要配制濃度為20%的硫酸溶液100千克，今有98%的濃硫酸和10%的硫酸，問這兩種硫酸分別應各取多少千克？解答：一項工程由師傅來做需8天完成，由徒弟做需16天完成，現(xiàn)由師徒同時做了4天，后因師傅有事離開，余下的全由徒弟來做，問徒弟做這項工程共花了幾天？解答：某市場雞蛋買賣按個數(shù)計價，一商販以每個0.24元購進一批雞蛋，但在販運途中不慎碰壞了12個，剩下的蛋以每個0.28元售出，結(jié)果仍獲利11.2元，問該商販當初買進多少個雞蛋？解答：某商店將彩電按原價提高40%，然后在廣告上寫“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果每臺彩電仍可獲利270元，那么每臺彩電原價是多少？解答：一個三位數(shù)，十位上的數(shù)比個位上的數(shù)大4，個位上的數(shù)比百位上的數(shù)小2，若將此三位數(shù)的個位與百位對調(diào)，所得的新數(shù)與原數(shù)之比為7:4，求原來的三位數(shù)？解答：初一年級三個班，完成甲、乙兩項任務，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，現(xiàn)因任務的需要，需將（三）班人數(shù)分配至（一）、（二）兩個班，且使得分配后（二）班的總?cè)藬?shù)是（一）班的總?cè)藬?shù)的2倍少36人，問：應將（三）班各分配多少名學生到（一）、（二）兩班？一個容器內(nèi)盛滿酒精溶液，第一次倒出它的后，用水加滿，第二次倒出它的后用水加滿，這時容器中的酒精濃度為25%，求原來酒精溶液的濃度。某中學組織初一同學春游，如果租用45座的客車，則有15個人沒有座位；如果租用同數(shù)量的60座的客車，則除多出一輛外，其余車恰好坐滿，已知租用45座的客車日租金為每輛車250元，60座的客車日租金為每輛300元，問租用哪種客車更合算？租幾輛車？1994年底，張先生的年齡是其祖母的一半，他們出生的年之和是3838，問到2006年底張先生多大？有一滿池水，池底有泉總能均勻地向外涌流，已知用24部A型抽水機，6天可抽干池水，若用21部A型抽水機13天也可抽干池水，設每部抽水機單位時間的抽水量相同，要使這一池水永抽不干，則至多只能用多少部A型抽水機抽水？狗跑5步的時間，馬能跑6步，馬跑4步的距離，狗要跑7步，現(xiàn)在狗已跑出55米，馬開始追它，問狗再跑多遠馬可以追到它？一名落水小孩抱著木頭在河中漂流，在A處遇到逆水而上的快艇和輪船，因霧大而未被發(fā)現(xiàn)，1小時快艇和輪船獲悉此事，隨即掉頭追救，求快艇和輪船從獲悉到追及小孩各需多少時間？依法納稅是每個公民的義務，《中華人民共和國個人所得稅》規(guī)定，公民每月薪金不超過800元不納稅，超過800元的按超過部分的多少分段交稅，詳細稅率如下表：納稅級別全月應納稅金額稅率1不超過500元部分2超過500元未超過2000元部分10%3超過2000元未超過5000元部分15%………（1）如果某人月收入1250元，每月納稅22.5元，則值為多少？（2）王老師每月納稅額為45元，則王老師的月收入是多少元？第十一講概率初步一能力訓練點必然事件，不可能事件，不確定事件三個概念的理解與判斷；簡單的概率計算；二典型例題解析【例1】下列事件；中秋節(jié)的晚上一定會看見月亮；秋天的樹葉一定是黃的；若a是有理數(shù)，則；今天將有大雨；隨意從撲克牌里抽出一張是黑桃A；3個蘋果放進2個抽屜里有一個抽屜不少于2個；擲一枚硬幣，正面朝上。其中，必然事件有，不可能事件有，不確定事件有【例2】下列說法正確嗎？請你作處判斷，并舉例說明。如果一件事發(fā)生的機會只有十萬分之一，那么它就不會發(fā)生；如果一件事發(fā)生的幾率達999%，那么它就必然發(fā)生；【例3】下面第一排表示各布袋中黑棋、白棋的情況，請用第二排的語言來描述摸到白棋的可能性大小，用線連起來。 【例4】判斷下列事件出現(xiàn)可能性的大小，并說明理由。向上拋一枚均勻的硬幣，正面朝上和反面朝上的可能性。任意從一副牌中抽出紅A和抽出黑A的可能性。有兩人抽簽決定參加比賽，先抽簽和后抽簽的參加比賽的可能性。從街對面開過來一輛車，車牌號是奇數(shù)和數(shù)的可能性?，F(xiàn)有標著1，2，3，4，，100的卡片，從中任意抽一張，號碼是2的倍數(shù)與號碼是5的倍數(shù)的可能性。【例5】轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤，判斷下列事件發(fā)生的可能性的大小。指針指到的數(shù)字是一個偶數(shù)；指針指到的數(shù)字不是3；指針指到的數(shù)字小于6；甲乙兩個同學玩擲硬幣游戲，任意擲一枚硬幣兩次，如果兩次朝上的面相同，那么甲獲勝；如果兩次朝上的面不同，那么乙獲勝；這個游戲公平嗎？為什么？兩枚硬幣，在第一枚正反兩面上分別寫上1和2，在第二枚正反兩面上分別寫上3和4，拋擲這兩枚硬幣，出現(xiàn)數(shù)字之和為5的機會是多少？抽屜里有尺碼相同的4雙黑襪子和1雙白襪子混在一起，隨意取出2只。估計恰好是一雙的可能性有多大？若用小球模擬實驗，有一次摸出2個黑球，但忘記放回，影響結(jié)果嗎？為什么？【例9】（1）設有12只形狀相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，則從中任取1只，是二等品的可能性等于（）（A）；（B）； （C）；（D）（2）在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其余都相同的3個小球，其中一個紅球，兩個黃球如果第一次先從袋中摸出一個球后不再放回，第二次再從袋中木摸出一個，那么兩次都摸到黃秋的可能性是多少？ 【例10】桌子上放著6張撲克牌全部正面朝下，你已被告知其中有兩張老K在那個位置，你隨便取了兩張并把他們翻開并把他們翻開，下面哪一種情況更有可能？兩張牌中至少有一張是老K？（2）兩張牌中沒有一張是老K？第九講幾何初步(一)一、知識點歸納：1、掌握直線、射線、線段的性質(zhì)及表示。2、會用“兩點之間線段最短”解決有關(guān)最短路徑問題。3、掌握角的表示、度量及計算、計數(shù)問題。二、典型例題解析：已知：如圖，線段AB=CD，且彼此重合各自的，M、N分別是AB和CD的中點，且MN=14cm，求AD的長。【思維延伸】：如圖，已知B、C是線段AD上的兩點，M是AB的中點，N是CD的中點，若MN=，BC=，求線段AD。解答：如圖，兩條平行直線m、n上各有4個點和5個點，任選9個點中的兩個連一條直線，則一共可以連多少條直線？思維延伸：平面上有條直線，每兩條都恰好相交，且設有三條直線交于一點，處于這種位置的條直線交點最多，記為，且分一個平面所成的區(qū)域最多，記為，試研究與之間的關(guān)系，與之間的關(guān)系。解答：如圖，設A、B、C、D為4個居民小區(qū)，現(xiàn)要在四邊形A、B、C、D內(nèi)建一個購物中心，試問應把購物中心建在何處，才能使4個居民小區(qū)到購物中心的距離之和最??？說明理由。解答：如圖，AO⊥OC，DO⊥OB，∠AOB:∠BOC=32:13，試求∠COD的度數(shù)。【思維延伸】：如圖，已知A、O、E三點在一條直線上，OB平分∠AOC，∠AOB+∠DOE=90°,試問:∠COD與∠DOE之間有怎樣的關(guān)系？說明理由。解答：7點到8點之間，（1）何時時針與分針垂直？（2）何時時針與分針重合？（3）何時時分針成一條直線？解答：一副三角板由一個等腰三角形和一個含30°角的直角三角形組成，利用這副三角板構(gòu)成15°解的方法很多，請你給出三種方法（寫出算式即可）。解答：、都是銳角，甲、乙、丙、丁計算的結(jié)果依次為50°,26°，72°，90°，其中正確的結(jié)果是多少？【思維延伸】：若與互補，與互余，且與的和是個平角，則是的多少倍？解答：現(xiàn)有一個19°的模板，請你設計一種辦法，只用這個模板和鉛筆在紙上畫出1°的角來。解答：第十講幾何初步（二）一、能力訓練點1、平行與垂直的定義及有關(guān)性質(zhì)。2、運用平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)進行計算作圖。二、典型例題解析：已知，且每條直線互不重合，那么圖中有多少組平行線？解答：如圖，在10×10的長方形格紙上有一等腰梯形ABCD，請在圖中畫出三條線段，將等腰梯形分成四個面積相等、形狀相同的圖形。解答：如圖所示，表示點到直線線段的距離的線段共有（）A、1條B、2條C、4條D、5條解答：如圖，直線AB、CD交于O，OE平分∠AOD，OF⊥OE于O，若∠BOC=80°，則∠DOF等于（）A、100°B、120°C、130°D、115°解答：如圖，直線AB、MN分別與直線PQ相交于O，S，射線OC⊥PQ且OC將∠BOQ分成1:5兩部分，∠PSN比∠POB的2倍小60°，求∠PSN的度數(shù)。解答：如圖（1），用一塊邊長為4的正方形ABCD厚紙板，按下面做法，做了一套七巧板，作對角線AC，分別取AB、BC中點E、F，連結(jié)DG⊥EF于G交AC于H，過G作GL//BC，交AC于L，再由E作EK//DG，交AC于K，將正方形ABCD沿畫出的線剪開，現(xiàn)用它拼出一座橋（如圖2），這座橋的陰影部分的面積是（）A、8B、6C、5D、4解答：右圖案中的三個圓的半徑都是5cm，三個圓兩兩相交于圓心，（1）用圓規(guī)和直尺按1:1畫出右國科；（2）求陰影部分的面積。解答：在一副19×19的圍棋盤上共有361個橫線和豎線的交點，現(xiàn)有兩人在每一個交點處輪流依次放上黑白棋子，誰先放下一枚棋子而使對方無處可放，誰就取勝，問題：先放者還是后放者更有希望獲勝？解答：用圓規(guī)和直尺作出右圖所示的圖，其中A、B、C、D、E、F正好把圓分成相等的6份。（1）圖中有互相平行或垂直的線段嗎？如果有，請用符中與表示出來；（2）圖中兩個陰影部分面積相等嗎？它們的和與長方形ABDE面積有何關(guān)系？你能猜測出來嗎？請試一試。解答：過點O任意作7條直線，求證：以O為頂點的角中，必有一個小于26°解答：名次國家金牌銀牌銅牌1中國15084742韓國9680843日本4473734哈薩克斯坦202630第十三講生活中的數(shù)據(jù)一．能力訓練點1．科學記數(shù)法；2．統(tǒng)記圖表及有關(guān)計算；二．典型例題解析．【例1】2003年6月1日9時，舉世矚目的三峽工程正式下閘蓄水，首批機組率先發(fā)電，預計年內(nèi)可發(fā)電5