高中數(shù)學(xué)選擇性必修2課件：5 3 2 第一課時 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(人教A版)

第五章5.3.2函數(shù)的極值與最大(小)值

第一課時函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)1.借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件.2.能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值、極小值.課標(biāo)要求素養(yǎng)要求通過理解函數(shù)的極值及其應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的求解過程，發(fā)展學(xué)生的直觀想象與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).課前預(yù)習(xí)課堂互動分層訓(xùn)練內(nèi)容索引課前預(yù)習(xí)知識探究11.極值點與極值的概念(1)極小值點與極小值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側(cè)_______，右側(cè)_________，則把a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.f′(x)＜0f′(x)＞0(2)極大值點與極大值如圖，函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b的左側(cè)________________，右側(cè)_____________，則把b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.__________、__________統(tǒng)稱為極值點，________和________統(tǒng)稱為極值.f′(x)＞0f′(x)＜0極大值點極小值點極大值極小值點睛極值點是函數(shù)單調(diào)性的轉(zhuǎn)折點，因此若f(x)在(a，b)內(nèi)有極值，則f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù).

2.求函數(shù)y＝f(x)的極值的方法解方程f′(x)＝0，當(dāng)f′(x0)＝0時：(1)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是________；(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是________.極大值極小值1.思考辨析，判斷正誤×(1)導(dǎo)數(shù)為0的點一定是極值點.(

)提示

反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點.(2)函數(shù)的極大值一定大于極小值.(

)提示

反例：如圖所示：×極大值f(x1)小于極小值f(x2).(3)函數(shù)y＝f(x)一定有極大值和極小值.(

)提示

反例：f(x)＝x3既沒有極大值，也沒有極小值.(4)單調(diào)函數(shù)不存在極值.(

)×√1.思考辨析，判斷正誤×(1)導(dǎo)數(shù)為0的點一定是極值點.(

)提示

反例：f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的極值點.(2)函數(shù)的極大值一定大于極小值.(

)提示

反例：如圖所示：×極大值f(x1)小于極小值f(x2).(3)函數(shù)y＝f(x)一定有極大值和極小值.(

)提示

反例：f(x)＝x3既沒有極大值，也沒有極小值.(4)單調(diào)函數(shù)不存在極值.(

)×√2.函數(shù)f(x)的定義域為R，它的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下面結(jié)論錯誤的是(

)DA.在(1，2)上函數(shù)f(x)為增函數(shù)B.在(3，4)上函數(shù)f(x)為減函數(shù)C.在(1，3)上函數(shù)f(x)有極大值D.x＝3是函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，5]上的極小值點解析

根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象知，x∈(1，2)時，f′(x)>0，x∈(2，4)時，f′(x)<0，x∈(4，5)時，f′(x)>0.∴f(x)在(1，2)，(4，5)上為增函數(shù)，在(2，4)上為減函數(shù)，x＝2是f(x)在[1，5]上的極大值點，x＝4是極小值點.故選D.3.已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為(

) A.(－1，2) B.(－3，6) C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，－3)∪(6，＋∞)D解析f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，因為f(x)既有極大值又有極小值，∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有兩個不相等的實數(shù)根，那么Δ＝(2a)2－4×3·(a＋6)>0，解得a>6或a<－3.4.函數(shù)f(x)＝x3－6x＋a的極大值為________，極小值為________.解析

f′(x)＝3x2－6，課堂互動題型剖析2題型一不含參數(shù)的函數(shù)求極值【例1】

求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)＝(x3－1)2＋1；解

∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0－0＋f(x)

2

1

∴當(dāng)x＝1時，f(x)有極小值，為f(1)＝1，f(x)無極大值.題型一不含參數(shù)的函數(shù)求極值【例1】

求下列函數(shù)的極值：(1)f(x)＝(x3－1)2＋1；解

∵f(x)＝(x3－1)2＋1＝x6－2x3＋2，∴f′(x)＝6x5－6x2＝6x2(x3－1).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0－0＋f(x)

2

1

∴當(dāng)x＝1時，f(x)有極小值，為f(1)＝1，f(x)無極大值.令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)

3

從表中可以看出，當(dāng)x＝1時，函數(shù)f(x)有極小值，為f(1)＝3，f(x)無極大值.1.求極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)求f′(x)＝0在函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(3)用方程f′(x)＝0的根將定義域分成若干小區(qū)間，列表；(4)由f′(x)在各個小區(qū)間內(nèi)的符號，判斷f′(x)＝0的根處的極值情況.2.表格給出了當(dāng)x變化時，y′，y的變化情況，表格直觀清楚，容易看出具體的變化情況，并且能判斷出是極大值還是極小值，最后得出函數(shù)的極大值、極小值.思維升華【訓(xùn)練1】

求函數(shù)f(x)＝x2e－x的極值.解

函數(shù)f(x)的定義域為R，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)

0

4e－2

因此當(dāng)x＝0時，f(x)取得極小值，且極小值為f(0)＝0；題型二含參數(shù)的函數(shù)求極值解

f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.令f′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，分以下兩種情況討論：當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－2a)－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2a，a－2)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)

極大值

極小值

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函數(shù)，在(a－2，－2a)上是減函數(shù)，函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.求解析式中含有參數(shù)的函數(shù)極值時，有時需要分類才能解決問題.討論的依據(jù)有兩種：一是看參數(shù)是否對f′(x)的零點有影響，若有影響，則需要分類討論；二是看f′(x)在其零點附近的符號的確定是否與參數(shù)有關(guān)，若有關(guān)，則需要分類討論.思維升華解f(x)定義域為(0，＋∞)，令f′(x)>0得x>1，令f′(x)<0得0<x<1.所以f(x)的增區(qū)間為(1，＋∞)，減區(qū)間為(0，1).(2)若函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值，求實數(shù)m的取值范圍.①m≥0時，ex＋m>0，f(x)在(0，1)遞減，在(1，＋∞)遞增，函數(shù)f(x)在x＝1處取得極小值，不合題意；②當(dāng)－e≤m<0時，若x∈(1，＋∞)，則ex＋m≥ex－e>0.此時f′(x)>0，函數(shù)f(x)在x＝1處不可能取得極大值.③當(dāng)m<－e時，ln(－m)>1.x(0，1)1(1，ln(－m))f′(x)＋0－f(x)

極大值

函數(shù)f(x)在x＝1處取得極大值.綜上可知，m的取值范圍是(－∞，－e).【例3】

(1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，則a＝(

) A.4或－3 B.4或－11 C.4 D.－3題型三由極值求參數(shù)的值或取值范圍C解析∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.故函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，無極值，不符合題意.∴a＝4.故選C.令f′(x)>0，得x>1，f(x)在x＝1處取極小值.f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值.②若a≠－1，此正數(shù)解為x≠1，f′(x)＝0必有2個不同的正數(shù)解，f(x)存在2個極值.綜上，a＝－1.故選A.A1.已知可導(dǎo)函數(shù)的極值求參數(shù)問題的解題步驟：(1)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；(2)由極值點的導(dǎo)數(shù)值為0，列出方程(組)，求解參數(shù).注意：求出參數(shù)后，一定要驗證是否滿足題目的條件.2.對于函數(shù)無極值的問題，往往轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區(qū)間內(nèi)恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立.思維升華【訓(xùn)練3】

若x＝2是函數(shù)f(x)＝x(x－m)2的極大值點，求函數(shù)f(x)的極大值.解∵f′(x)＝(x－m)(3x－m)，且f′(2)＝0，∴(m－2)(m－6)＝0，即m＝2或m＝6.(1)當(dāng)m＝2時，f′(x)＝(x－2)(3x－2)，∴x＝2是f(x)的極小值點，不合題意，故m＝2舍去.(2)當(dāng)m＝6時，f′(x)＝(x－6)(3x－6)，由f′(x)>0得x<2或x>6；由f′(x)<0得2<x<6.∴x＝2是f(x)的極大值，∴f(2)＝2×(2－6)2＝32.即函數(shù)f(x)的極大值為32.1.若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值.2.已知函數(shù)的極值情況，逆向應(yīng)用確定函數(shù)的解析式，研究函數(shù)性質(zhì)時，需注意兩點：(1)常根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)因為函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證極值點的合理性.

課堂小結(jié)分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升3

一、選擇題1.(多選題)定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，以下結(jié)論正確的是(

)ACDA.－3是f(x)的一個極小值點B.－2和－1都是f(x)的極大值點C.f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－3，＋∞)D.f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，－3)解析

當(dāng)x<－3時，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)時f′(x)≥0，∴－3是極小值點，無極大值點，增區(qū)間是(－3，＋∞)，減區(qū)間是(－∞，－3).故選ACD.2.函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間(0，e)上的極大值為(

) A.－e B.1－e C.－1 D.0C令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x∈(0，1)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(1，e)時，f′(x)<0，故f(x)在x＝1處取得極大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.3.若函數(shù)f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)內(nèi)有極值，則實數(shù)b的取值范圍是(

) A.(0，4) B.[0，4) C.[1，4) D.(1，4)

解析

f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1，2)內(nèi)有極值，∴f′(x)在(－1，2)內(nèi)有變號零點，∴0≤b<4.當(dāng)b＝0時，f(x)＝x3＋3在R上單調(diào)遞增，沒有極值，故選A.A4.(多選題)已知函數(shù)f(x)的定義域為R且導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，如圖是函數(shù)y＝xf′(x)的圖象，則下列說法正確的是(

)BDA.函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(－2，0)，(2，＋∞)B.函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(－∞，－2)，(2，＋∞)C.x＝－2是函數(shù)的極小值點D.x＝2是函數(shù)的極小值點解析

由題意，當(dāng)0<x<2時，f′(x)<0；當(dāng)x>2，f′(x)>0；當(dāng)－2<x<0時，f′(x)<0；當(dāng)x<－2時，f′(x)>0；即函數(shù)f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－2，2)上單調(diào)遞減，因此函數(shù)f(x)在x＝2時取得極小值，在x＝－2時取得極大值；故A錯，B正確；C錯，D正確.故選：BD.5.若函數(shù)f(x)＝ex－ax－b在R上有小于0的極值點，則實數(shù)a的取值范圍是(

) A.(－1，0) B.(0，1) C.(－∞，－1) D.(1，＋∞)B解析

由題意知f′(x)＝ex－a.當(dāng)a≤0時，f′(x)>0恒成立，則f(x)在R上單調(diào)遞增，不符合題意.當(dāng)a>0時，令f′(x)＝0，解得x＝lna，∴當(dāng)x∈(－∞，lna)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(lna，＋∞)時，f′(x)>0.可知x＝lna為f(x)的極值點，∴l(xiāng)na<0，∴a∈(0，1).故選B.二、填空題6.函數(shù)f(x)＝ax3＋bx在x＝1處有極值－2，則a，b的值分別為a＝________，b＝________.1－3解析

∵f′(x)＝3ax2＋b，又當(dāng)x＝1時有極值－2，∵f′(1)＝3a＋b＝0，①a＋b＝－2，②7.函數(shù)f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有極大值又有極小值，則實數(shù)a的取值范圍是_______________________.(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′(x)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函數(shù)f(x)有極大值和極小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有兩個不相等的實數(shù)根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.8.函數(shù)f(x)＝ax－1－lnx(a≤0)在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)為________.0所以當(dāng)a≤0時，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，＋∞)上沒有極值點.解

函數(shù)的定義域為R.令f′(x)＝0，得x＝－1，或x＝1.當(dāng)x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)

－3

－1

由上表可以看出：當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極小值，且極小值為f(－1)＝－3；當(dāng)x＝1時，函數(shù)有極大值，且極大值為f(1)＝－1.10.設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點. (1)試確定常數(shù)a和b的值； (2)判斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點還是極小值點，并說明理由.解

(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，由極值點的必要條件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，當(dāng)x∈(0，1)∪(2，＋∞)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，2)時，f′(x)>0；所以，x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點.AD12.函數(shù)f(x)＝ex(x－aex)恰有兩個極值點x1，x2(x1<x2)，則實數(shù)a的取值范圍是________.解析

∵函數(shù)f(x)＝ex(x－aex)，∴f′(x)＝(x＋1－2aex)ex.∵函數(shù)f(x)恰有兩個極值點x1，x2，∴x1，x2是方程f′(x)＝0的兩個不相等的實數(shù)根.令x＋1－2aex＝0，可知a≠0，解

易知函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去).當(dāng)x∈(0，1)時，f′(x)<0，因此函數(shù)f(x)在(0，1)上是減函數(shù)；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，因此函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù).當(dāng)x>1時，