高中數(shù)學(xué)選擇性必修二課件：4 2 2 第1課時(shí) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用 (1)(人教A版)

第四章

4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第1課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及

簡單應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)XUEXIMUBIAO1.了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程.2.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式.3.熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由其中

三個(gè)求另外兩個(gè).內(nèi)容索引知識(shí)梳理題型探究隨堂演練課時(shí)對(duì)點(diǎn)練1知識(shí)梳理PARTONE已知量首項(xiàng)，末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)，公差與項(xiàng)數(shù)求和公式Sn＝__________Sn＝_______________知識(shí)點(diǎn)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加.(

)2.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝kn(k∈R)，則{an}為常數(shù)列.(

)3.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，等于其首項(xiàng)、第n項(xiàng)的等差中項(xiàng)的n倍.(

)思考辨析判斷正誤SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU√√√√2題型探究PARTTWO一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算例1

在等差數(shù)列{an}中：(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；解得a1＝－5，d＝3.∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.∴a8＝39，d＝5.反思感悟等差數(shù)列中的基本計(jì)算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量a1，d，n，an和Sn，這五個(gè)量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題.解題時(shí)注意整體代換的思想.(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則跟蹤訓(xùn)練1

在等差數(shù)列{an}中：(1)a1＝1，a4＝7，求S9；解設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，所以d＝2.(2)a3＋a15＝40，求S17；二、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的比值問題解方法一設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，方法二設(shè){an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為An，Bn，由于a1＋a9＝2a5.方法三設(shè){an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為An，Bn，根據(jù)已知，可令A(yù)n＝(7n＋2)kn，Bn＝(n＋3)kn(k≠0).所以a5＝A5－A4＝(7×5＋2)k×5－(7×4＋2)k×4＝65k，b5＝B5－B4＝(5＋3)k×5－(4＋3)k×4＝12k.反思感悟設(shè){an}，{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，Tn，則an∶bn＝S2n－1∶T2n－1.√3隨堂演練PARTTHREE解析∵an＝2－3n，∴a1＝2－3＝－1，1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－3n，n∈N*，則{an}的前n項(xiàng)和Sn等于12345√123452.在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a8＝8，則該數(shù)列的前9項(xiàng)和S9等于A.18 B.27 C.36 D.45√3.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S3＝6，a3＝4，則公差d為12345√123454.在等差數(shù)列{an}中，已知a10＝10，則S19＝

.1901234512

－4整理得n2－7n－60＝0，解得n＝12或n＝－5(舍去)，1.知識(shí)清單：(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和及其計(jì)算公式.(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程.(3)由an與Sn的關(guān)系求an.(4)等差數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用.2.方法歸納：函數(shù)與方程思想、倒序相加法、整體思想.3.常見誤區(qū)：由Sn求通項(xiàng)公式時(shí)忽略對(duì)n＝1的討論.課堂小結(jié)KETANGXIAOJIE4課時(shí)對(duì)點(diǎn)練PARTFOUR1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若2a6＝a8＋6，則S7等于A.49 B.42 C.35 D.28基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√2.在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，則n等于A.10 B.15 C.20 D.3012345678910111213141516√所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29(舍).解析由S10＝S11，得a11＝S11－S10＝0，所以a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.3.設(shè){an}為等差數(shù)列，公差d＝－2，Sn為其前n項(xiàng)和.若S10＝S11，則a1等于A.18 B.20 C.22 D.2412345678910111213141516√4.(多選)在等差數(shù)列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，則a1等于A.－1 B.3 C.5 D.7√12345678910111213141516√解析由題意知a1＋(n－1)×2＝11，

①由①②解得a1＝3或－1.5.在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，則使得an>0的最小正整數(shù)n為A.7 B.8

C.9 D.10√12345678910111213141516得a13＝12，則a1＋12d＝12，得d＝2，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝－12＋(n－1)×2＝2n－14，由2n－14>0，得n>7，即使得an>0的最小正整數(shù)n為8.6.已知{an}是等差數(shù)列，a4＋a6＝6，其前5項(xiàng)和S5＝10，則其首項(xiàng)a1＝

，公差d＝

.123456789101112131415161解析a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，

①123456789101112131415167.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，則k＝

.5解析因?yàn)镾k＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5.解析設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，所以10a1＋45d＝20a1＋40d，12345678910111213141516123456789101112131415169.在等差數(shù)列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d.∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.(2)若Sn＝242，求n.12345678910111213141516解得n＝11或n＝－22(舍去).故n＝11.12345678910111213141516∵S7＝7，S15＝75，1234567891011121314151611.在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為A.765 B.665 C.763 D.663綜合運(yùn)用√解析∵a1＝2，d＝7,2＋(n－1)×7<100，∴n<15，1234567891011121314151612.設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝Sn·Sn＋1，則Sn＝

.因?yàn)閍n＋1＝Sn＋1－Sn＝SnSn＋1，1234567891011121314151612345678910111213141516解析∵{an}，{bn}均為等差數(shù)列，1234567891011121314151614.現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼管的根數(shù)為

.10解析鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個(gè)等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為1，逐層增加1個(gè).當(dāng)n＝19時(shí)，S19＝190.當(dāng)n＝20時(shí)，S20＝210>200.∴當(dāng)n＝19時(shí)，剩余鋼管根數(shù)最少，為10根.拓廣探究1234567891011121314151615.如圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n>1，n∈N*)個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an，則a2＋a3＋a4＋…＋an等于√解析由圖案的點(diǎn)數(shù)可知a2＝3，a3＝6，a4＝9，a5＝12，所以an＝3n－3，n≥2，123456789101112131415161234567891011121314151616.已知等差數(shù)列{an}的公差d>0，前n項(xiàng)和為Sn，且a2a3＝45，S4＝28.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；12345678910111213141516解∵S4＝28，∴a2＋a3＝14，又a2a3＝45，公差d>0，∴a2<a3，∴a2＝5，a3＝9，∴an＝4n－3，n∈N*.解由(1)，知Sn＝2n2－n，又{bn}也是等差數(shù)列，∴b1＋