新課改背景下初中數(shù)學三角函數(shù)的解題技巧研究

摘

要：隨著新課改的推進，教師面臨著如何更好地教授初中數(shù)學，特別是三角函數(shù)這一核心課題的挑戰(zhàn)。三角函數(shù)是初中數(shù)學教學的重要部分，也是許多高級數(shù)學概念的基礎。然而，學生在理解和應用三角函數(shù)方面，往往存在困難。因此教師需要研究更有效的教學方法，幫助學生掌握三角函數(shù)的解題技巧。文章分析了三角函數(shù)的各種解題技巧，包括加強對公式的記憶、利用正弦定理和余弦定理、利用三角函數(shù)的圖像和性質求解不等式的解集等，從而提高學生的解題正確率、解題速度和靈活性，以供廣大教師參考。關鍵詞：初中數(shù)學；三角函數(shù)；解題技巧一、新課改背景對初中數(shù)學教學提出的要求（一）強調“活動化”的教學方法新的教育改革強調了“活動化”的教學方法。活動化教學是通過一系列的學習活動，讓學生自主探究、合作學習，以增強他們的實踐能力和創(chuàng)新思維。在數(shù)學教學中，教師可以設計各種活動，如讓學生自己通過實際操作和觀察，發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)學的概念和規(guī)律，而不僅僅是被動地接受知識。（二）強調數(shù)學應用的重要性在當前的教育改革中，我國教育部門強調數(shù)學應用的重要性，這對初中數(shù)學教學提出了新的要求。教師不僅要讓學生掌握數(shù)學的基本知識和技能，還要教會學生如何將這些知識和技能應用到實際生活中，培養(yǎng)學生解決問題的能力。在初中數(shù)學教學中，教師可以通過多種方式實現(xiàn)上述目標：一方面，教師可以在教授數(shù)學理論和概念時，結合生活實例進行講解。例如，在教授比例和比例關系時，教師可以引入菜市場購物、家庭經濟預算等真實生活場景，讓學生親身感受到數(shù)學知識的實際應用；另一方面，教師可以設計一些基于現(xiàn)實生活問題的數(shù)學活動或項目。這種方式，不僅可以讓學生感受到數(shù)學在現(xiàn)實生活中的應用，還可以培養(yǎng)學生數(shù)據(jù)處理和解決問題的能力。（三）突出個體化教學在教育改革中，個體化教學的重要性得到了強調，這對初中數(shù)學教學有著深遠的影響。教師需要認識到，每一個學生都是獨特的個體，學生在知識掌握、認知方式和興趣愛好等方面，都有其各自的特點和需求。因此教師需要根據(jù)每個學生的實際情況，針對性地指導學生的學習，這是新的教育改革理念所倡導的。在初中數(shù)學教學中，實現(xiàn)個體化教學的方式有多種。在此過程中，教師可以通過課堂教學中的個別指導、小組活動等方式，關注每個學生的學習進程和存在的問題，并提供針對性的幫助和指導。二、新課改背景下初中數(shù)學三角函數(shù)的常見題型（一）三角函數(shù)的概念及同角關系式在新課改的背景下，作為初中數(shù)學教師，對三角函數(shù)的教學需求和策略，應有所改變。教師應深入理解三角函數(shù)的概念，尤其是同角關系式，然后設計具有挑戰(zhàn)性的題目，以檢驗和提升學生的理解能力。其中一個常見的題型是考查三角函數(shù)誘導公式及三角函數(shù)的符號規(guī)律。題目：設α為第二象限的一個角，并且已知cosα=

-，求sin2α和cos2α的值。在解答這類題目時，教師需要引導學生運用三角函數(shù)的誘導公式，例如sin2α=2sinαcosα和cos2α=cos2α-sin2α。同時，學生也需要注意三角函數(shù)的符號規(guī)律，例如在第二象限中，正弦函數(shù)值為正、余弦函數(shù)值為負。在講解這類題目時，教師需要詳細解析三角函數(shù)的誘導公式，展示如何從已知的cosα推導出sin2α和cos2α；同時也需要指出分類討論的重要性，例如需要知道α在第二象限，從而確定出sinα的符號是正，cosα的符號是負。這一步是解題的關鍵，也是許多學生容易忽視的地方。教師還需要強調，學生在解答這類題目時，正確選取三角函數(shù)值符號的重要性。在這個題目中，由于α在第二象限，因此sinα應該選取正數(shù)，cosα應該選取負數(shù)。這是根據(jù)三角函數(shù)的基本性質和象限的知識得出的結論。（二）化簡求值新的教育改革要求，初中數(shù)學教師在三角函數(shù)的教學中，應更多地考慮學生的主動性和創(chuàng)新性，而化簡求值題型則是一種很好的實踐方式。這類題目主要考查三角函數(shù)的變換，尤其是和、差、倍角公式和誘導公式的靈活運用。以下是一個具體的題目示例：題目：已知sinα=（α在第一象限），求sin2α+cos2α的值。這是一個典型的化簡求值題型，需要學生運用誘導公式進行化簡求值。在解答這類題目時，教師需要引導學生正用和逆用各種三角函數(shù)公式，靈活地進行變形和計算：1.教師需要引導學生理解這個問題的基本結構，然后找到合適的公式進行變換。在這個問題中，學生需要知道sin2α+cos2α=1，這是一個基本的三角函數(shù)公式，因此題目的答案應該是1。2.教師需要引導學生注意到，盡管在這個問題中，并沒有直接使用到sinα和cosα的值，但這兩個值在解決其他類似的問題時，可能會有用。例如，如果問題是求sin2α或cos2α的值，學生就需要使用到sinα和cosα的值，并運用倍角公式進行計算。題目：假設已知sinα=（α在第一象限），要求計算sinα++cos（2α）的值。解決這個問題，需要學生熟練運用三角函數(shù)的和差角公式以及倍角公式。為了引導學生正確地解答這類問題，教師需要注意以下幾點：1.對sinα+這部分，需要學生知道sinα+=cosα，這就是和差角公式的一個應用。由于α在第一象限，根據(jù)勾股定理，可以計算得到：cosα=。2.對cos（2α）這部分，需要學生知道cos（2α）=1-2sin2α，這是倍角公式的一個應用。已知sinα=，可以得到：cos（2α）=1-2x=-。3.學生需要將sinα+和cos（2α）的值相加，得到最后的結果：-=。在這個過程中，教師需要強調公式的運用以及對不同公式應用在不同場景中的理解；需要著重引導學生掌握如何在三角函數(shù)的加減變換中，尋找到合適的三角函數(shù)公式進行化簡。三、新課改背景下初中數(shù)學三角函數(shù)的解題技巧（一）加強對公式的記憶在新課改的背景下，作為初中數(shù)學教師，需要注重培養(yǎng)學生的解題技巧，提升他們解題的正確率、速度和靈活性。在三角函數(shù)的學習中，公式的記憶和理解尤其重要，這包括定義式、函數(shù)公式、誘導公式以及基本公式，教學過程如下；首先，教師應以具體的題目為例，展示公式在解題中的應用。題目：設角α在第一象限，已知sinα=，求cos（2α）的值。在這個題目中，教師可以引導學生運用倍角公式cos（2α）=1-2sin2α來解答。通過這個實例，教師不僅可以教導學生如何應用公式，還加強了學生對倍角公式的記憶。其次，教師需要讓學生理解公式背后的數(shù)學意義，這樣學生才能在不同的問題中進行靈活運用。在以上題目中，教師可以解釋cos（2α）=1-2sin2α這個公式是如何由三角函數(shù)的定義和性質推導出來的。學生只有深入地理解了公式的由來，才能在面對不同的題目時，自如地選擇和運用公式。再次，教師還可以設計一些訓練題目，讓學生熟練運用各種公式。如奇變偶不變、符號看象限的實際問題：題目：已知α在第一象限，tanα=，求tan（270°+α）和tan（360°+α）的值。在這個問題中，教師可以先引導學生分析270°、360°與90°的倍數(shù)關系，270°是3個90°，是奇數(shù)倍，因此tan變?yōu)閏ot；360°是4個90°，是偶數(shù)倍，因此tan不變。然后，教師可以引導學生運用“符號看象限”的規(guī)則，即因為270°+α在第四象限，tan在此象限為負，所以tan（270°+α）的值為-；360°+α回到第一象限，tan在此象限為正，所以tan（360°+α）的值為。在這個過程中，教師可以重點解釋“奇變偶不變，符號看象限”的規(guī)則，讓學生明白這個規(guī)則的由來和意義，然后通過實例讓學生熟練應用這個規(guī)則。同時教師可以設計更多類似的題目，讓學生進行練習，以進一步加強他們對公式的記憶。（二）利用正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理在初中數(shù)學教學中，是非常重要的知識點，可以解決許多涉及三角形的問題，如下：題目：已知直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC=10，求AC的長度。解答這個問題需要利用正弦定理。正弦定理為：在任意三角形中，任意一邊的長度與其對應角的正弦值之比是恒定的，即==。為了解答這個問題，教師需要先引導學生應用正弦定理，將問題轉化為=的形式；然后引導學生將已知的角度和邊長代入公式，得到=。通過計算，可以得到AC的值為5。在此過程中，教師需要引導學生理解正弦定理的意義，并教會他們如何正確地將正弦定理應用到實際問題中；需要著重強調正弦值的計算和三角函數(shù)在解決實際問題中的應用。此外，教師還可以設計一些類似的問題，讓學生多加練習，以提高他們運用正弦定理解決問題的能力。（三）利用三角函數(shù)的圖象和性質求解不等式的解集利用三角函數(shù)的圖象和性質求解不等式的解集，是初中數(shù)學課程中的一項重要技能。想要解決該問題，學生不僅要熟悉三角函數(shù)的基本性質，還要理解和運用其圖象特性。題目：求解不等式2sinx-1≥0的解集，其中x∈［0，2π］。為了解答這個問題，教師可以引導學生先將不等式轉化為sinx≥，然后考慮sinx函數(shù)在［0，2π］區(qū)間的圖像。眾所周知，sinx在，區(qū)間內的值大于或等于。因此解集就是x∈，。這個問題涉及了三角函數(shù)的基本性質（正弦函數(shù)在第一、第二象限為正）和圖象特性（正弦函數(shù)在一個周期內單調遞增，然后單調遞減），教師需要幫助學生理解并熟練掌握這些內容。在教學過程中，教師可以設計更多類似的問題，