2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末綜合提升（教師用書）教案 新人教A版選修2-2

2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末綜合提升（教師用書）教案新人教A版選修2-2課題：科目：班級(jí)：課時(shí)：計(jì)劃1課時(shí)教師：?jiǎn)挝唬阂?、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容為《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入章末綜合提升》，系屬2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章，新人教A版選修2-2。內(nèi)容包括復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的關(guān)系以及復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系中的表示。這些內(nèi)容與學(xué)生在之前學(xué)習(xí)的實(shí)數(shù)運(yùn)算、方程求解以及函數(shù)圖像等知識(shí)緊密聯(lián)系。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系在于，學(xué)生在初中階段已經(jīng)掌握了實(shí)數(shù)的概念及其運(yùn)算規(guī)則，本章節(jié)將在此基礎(chǔ)上引入復(fù)數(shù)，解釋其實(shí)質(zhì)并拓展數(shù)系。同時(shí)，通過(guò)復(fù)數(shù)的引入，將學(xué)生的實(shí)數(shù)知識(shí)體系進(jìn)行擴(kuò)充，使其理解數(shù)學(xué)中的數(shù)系是不斷發(fā)展和完善的。此外，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算規(guī)則與實(shí)數(shù)運(yùn)算規(guī)則有相似之處，便于學(xué)生構(gòu)建知識(shí)框架，深化對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本章節(jié)的核心素養(yǎng)目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生以下能力：首先，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力，使其能理解復(fù)數(shù)概念的抽象性，并掌握復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系；其次，強(qiáng)化學(xué)生的邏輯推理能力，通過(guò)復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，學(xué)會(huì)運(yùn)用邏輯推理解決問(wèn)題；再次，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，學(xué)會(huì)在坐標(biāo)系中表示復(fù)數(shù)，理解復(fù)數(shù)的幾何意義；最后，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，熟練進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算，并解決相關(guān)實(shí)際問(wèn)題。通過(guò)本章節(jié)的學(xué)習(xí)，使學(xué)生能夠全面提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。三、學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了實(shí)數(shù)的概念、性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)則，能夠解決實(shí)數(shù)相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。此外，他們熟悉坐標(biāo)系的使用，理解函數(shù)圖像與實(shí)數(shù)之間的關(guān)系，為學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系中的表示打下基礎(chǔ)。

2.學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科方面，具有一定的學(xué)習(xí)興趣，特別是對(duì)數(shù)學(xué)邏輯推理和解決問(wèn)題充滿熱情。他們的邏輯思維能力較強(qiáng)，能夠通過(guò)已知信息推導(dǎo)出未知結(jié)論。在學(xué)習(xí)風(fēng)格上，學(xué)生更傾向于通過(guò)實(shí)例和練習(xí)來(lái)掌握知識(shí)點(diǎn)，喜歡探究和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。

3.在學(xué)習(xí)本章節(jié)過(guò)程中，學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)有：首先，理解復(fù)數(shù)的抽象概念可能存在困難，需要時(shí)間來(lái)消化和吸收；其次，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算與實(shí)數(shù)運(yùn)算有所不同，學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)混淆；最后，將復(fù)數(shù)與坐標(biāo)系結(jié)合起來(lái)的幾何解釋，對(duì)學(xué)生空間想象能力要求較高，部分學(xué)生可能會(huì)感到挑戰(zhàn)。

針對(duì)這些可能遇到的困難和挑戰(zhàn)，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生逐步理解復(fù)數(shù)的概念，通過(guò)具體實(shí)例和練習(xí)，幫助學(xué)生熟練掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，并借助幾何圖形，提高學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí)。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法：

1.講授法：針對(duì)復(fù)數(shù)的概念和性質(zhì)，以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算規(guī)則，采用講授法進(jìn)行系統(tǒng)講解，為學(xué)生提供清晰的知識(shí)框架。通過(guò)生動(dòng)形象的語(yǔ)言和具體實(shí)例，幫助學(xué)生理解抽象的復(fù)數(shù)概念。

2.討論法：針對(duì)復(fù)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，鼓勵(lì)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，培養(yǎng)他們的合作意識(shí)和創(chuàng)新思維。同時(shí)，通過(guò)討論，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算和應(yīng)用。

3.實(shí)驗(yàn)法：結(jié)合復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系中的表示，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra等）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，觀察復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)，使學(xué)生更直觀地理解復(fù)數(shù)的幾何意義。

教學(xué)手段：

1.多媒體設(shè)備：利用多媒體設(shè)備展示復(fù)數(shù)相關(guān)的概念、性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)則以及幾何意義等內(nèi)容，以圖文并茂、動(dòng)畫演示等形式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和注意力。

2.教學(xué)軟件：運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra、Mathematica等）進(jìn)行課堂演示和實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生直觀地觀察復(fù)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算過(guò)程，提高教學(xué)效果。

3.網(wǎng)絡(luò)資源：利用網(wǎng)絡(luò)資源，為學(xué)生提供豐富的學(xué)習(xí)材料，如復(fù)數(shù)相關(guān)的視頻講解、習(xí)題庫(kù)等，方便學(xué)生課后復(fù)習(xí)和鞏固。

結(jié)合以上教學(xué)方法和手段，針對(duì)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，進(jìn)行以下教學(xué)安排：

1.導(dǎo)入新課：通過(guò)多媒體設(shè)備展示復(fù)數(shù)的概念，激發(fā)學(xué)生興趣。

2.講解知識(shí)點(diǎn)：采用講授法，結(jié)合實(shí)例講解復(fù)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)則等。

3.課堂討論：組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，探討復(fù)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

4.實(shí)踐操作：利用數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行復(fù)數(shù)實(shí)驗(yàn)，觀察復(fù)數(shù)的幾何性質(zhì)。

5.課后鞏固：布置與復(fù)數(shù)相關(guān)的習(xí)題和任務(wù)，并提供網(wǎng)絡(luò)資源供學(xué)生自學(xué)和復(fù)習(xí)。五、教學(xué)實(shí)施過(guò)程1.課前自主探索

教師活動(dòng)：

-發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過(guò)學(xué)校在線學(xué)習(xí)平臺(tái)，發(fā)布關(guān)于復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)（定義、基本性質(zhì)等）的預(yù)習(xí)資料，明確要求學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的概念。

-設(shè)計(jì)預(yù)習(xí)問(wèn)題：圍繞復(fù)數(shù)的引入，設(shè)計(jì)問(wèn)題如“復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的區(qū)別是什么？”、“復(fù)數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中有何應(yīng)用？”等，啟發(fā)學(xué)生思考。

-監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過(guò)學(xué)習(xí)平臺(tái)的數(shù)據(jù)分析功能，跟蹤學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，確保每位學(xué)生都能為課堂學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。

學(xué)生活動(dòng)：

-自主閱讀預(yù)習(xí)資料：按照預(yù)習(xí)要求，閱讀資料并嘗試?yán)斫鈴?fù)數(shù)的概念。

-思考預(yù)習(xí)問(wèn)題：對(duì)提出的問(wèn)題進(jìn)行獨(dú)立思考，記錄下自己的理解。

-提交預(yù)習(xí)成果：將自己的筆記、疑問(wèn)等提交到學(xué)習(xí)平臺(tái)或直接反饋給老師。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生自主探索，培養(yǎng)獨(dú)立學(xué)習(xí)能力。

-信息技術(shù)手段：利用學(xué)習(xí)平臺(tái)和微信群，共享預(yù)習(xí)資料，實(shí)現(xiàn)信息的快速反饋。

作用與目的：

-幫助學(xué)生提前接觸復(fù)數(shù)概念，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

-培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和思考能力。

2.課中強(qiáng)化技能

教師活動(dòng)：

-導(dǎo)入新課：通過(guò)一個(gè)關(guān)于電路設(shè)計(jì)的實(shí)際案例，引出復(fù)數(shù)的概念。

-講解知識(shí)點(diǎn)：詳細(xì)講解復(fù)數(shù)的定義、性質(zhì)，以及復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算規(guī)則。

-組織課堂活動(dòng)：設(shè)計(jì)小組討論，讓學(xué)生探討復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系中的表示方法。

-解答疑問(wèn)：針對(duì)學(xué)生的問(wèn)題，及時(shí)解答，澄清疑惑。

學(xué)生活動(dòng)：

-聽(tīng)講并思考：認(rèn)真聽(tīng)講，對(duì)老師提出的問(wèn)題進(jìn)行積極思考。

-參與課堂活動(dòng)：在小組討論中，積極發(fā)表自己的見(jiàn)解，與他人交流。

-提問(wèn)與討論：對(duì)不理解的地方提出問(wèn)題，參與班級(jí)討論。

教學(xué)方法/手段/資源：

-講授法：通過(guò)案例和詳細(xì)講解，幫助學(xué)生深入理解復(fù)數(shù)。

-實(shí)踐活動(dòng)法：通過(guò)小組討論，讓學(xué)生在實(shí)踐中應(yīng)用復(fù)數(shù)知識(shí)。

-合作學(xué)習(xí)法：通過(guò)團(tuán)隊(duì)合作，培養(yǎng)學(xué)生的溝通和協(xié)作能力。

作用與目的：

-加深學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)概念和性質(zhì)的理解，掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則。

-通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，提高學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力。

-培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神和解決問(wèn)題的能力。

3.課后拓展應(yīng)用

教師活動(dòng)：

-布置作業(yè)：根據(jù)課堂內(nèi)容，布置相關(guān)的習(xí)題，要求學(xué)生完成。

-提供拓展資源：推薦相關(guān)的學(xué)習(xí)網(wǎng)站、視頻教程等，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)。

-反饋?zhàn)鳂I(yè)情況：及時(shí)批改作業(yè)，給予學(xué)生個(gè)性化反饋。

學(xué)生活動(dòng)：

-完成作業(yè)：認(rèn)真完成作業(yè)，鞏固課堂所學(xué)。

-拓展學(xué)習(xí)：利用拓展資源，深化對(duì)復(fù)數(shù)的理解和應(yīng)用。

-反思總結(jié)：對(duì)自己的學(xué)習(xí)過(guò)程進(jìn)行反思，找出不足，提出改進(jìn)措施。

教學(xué)方法/手段/資源：

-自主學(xué)習(xí)法：鼓勵(lì)學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

-反思總結(jié)法：指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)反思，促進(jìn)自我提升。

作用與目的：

-鞏固復(fù)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)和運(yùn)算技能。

-通過(guò)拓展學(xué)習(xí)，拓寬知識(shí)視野，提高創(chuàng)新能力。

-通過(guò)反思總結(jié)，幫助學(xué)生建立自我評(píng)價(jià)和自我完善的習(xí)慣。六、知識(shí)點(diǎn)梳理1.復(fù)數(shù)的定義及基本性質(zhì)

-復(fù)數(shù)的定義：復(fù)數(shù)是由實(shí)數(shù)和虛數(shù)構(gòu)成的數(shù)，通常表示為a+bi，其中a和b為實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，滿足i2=-1。

-復(fù)數(shù)的分類：實(shí)數(shù)、純虛數(shù)、復(fù)數(shù)。

-復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)：交換律、結(jié)合律、分配律等。

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式運(yùn)算

-加法運(yùn)算：復(fù)數(shù)加法遵循實(shí)部相加、虛部相加的原則。

-減法運(yùn)算：復(fù)數(shù)減法遵循實(shí)部相減、虛部相減的原則。

-乘法運(yùn)算：復(fù)數(shù)乘法遵循分配律和i的性質(zhì)，即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

-除法運(yùn)算：復(fù)數(shù)除法遵循分子分母同時(shí)乘以共軛復(fù)數(shù)，即(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c2+d2)+(bc-ad)i/(c2+d2)。

3.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的關(guān)系

-實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的一個(gè)特例，即虛部為0的復(fù)數(shù)。

-復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別表示復(fù)數(shù)的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分。

4.復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系中的表示

-復(fù)數(shù)在復(fù)平面（坐標(biāo)系）中的表示：實(shí)部表示橫坐標(biāo)，虛部表示縱坐標(biāo)。

-復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上的位置。

5.復(fù)數(shù)的模和輻角

-復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)a+bi的模表示為|a+bi|，是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，計(jì)算公式為|a+bi|=√(a2+b2)。

-復(fù)數(shù)的輻角：復(fù)數(shù)a+bi的輻角表示為arg(a+bi)，是從正實(shí)軸到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的射線與正實(shí)軸的夾角。

6.復(fù)數(shù)的應(yīng)用

-在電路分析中的應(yīng)用：復(fù)數(shù)用于表示交流電路中的阻抗、電流和電壓等。

-在工程和科學(xué)計(jì)算中的應(yīng)用：復(fù)數(shù)簡(jiǎn)化了某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的計(jì)算過(guò)程。

7.復(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律

-實(shí)數(shù)運(yùn)算規(guī)律在復(fù)數(shù)中同樣適用。

-復(fù)數(shù)乘法和除法的運(yùn)算規(guī)律與實(shí)數(shù)乘除法類似，但要考慮虛數(shù)單位i的性質(zhì)。

8.復(fù)數(shù)與方程的關(guān)系

-復(fù)數(shù)可以用來(lái)解二次方程ax2+bx+c=0，當(dāng)判別式b2-4ac<0時(shí)，方程的解為復(fù)數(shù)。

-復(fù)數(shù)解有助于理解方程的幾何意義和實(shí)數(shù)解的分布。七、重點(diǎn)題型整理題目：已知復(fù)數(shù)z=3+4i，求|z|和arg(z)。

解答：首先，|z|的計(jì)算公式為|z|=√(a2+b2)，代入a=3，b=4得到|z|=√(32+42)=√(9+16)=√25=5。接著，計(jì)算arg(z)，因?yàn)閍=3>0，b=4>0，所以arg(z)在第一象限，可以通過(guò)tan(arg(z))=b/a得到arg(z)的近似值為tan?1(4/3)≈0.927，因此arg(z)≈0.927弧度。

2.復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算

題目：計(jì)算(2+3i)(4-2i)。

解答：使用復(fù)數(shù)乘法的分配律，(2+3i)(4-2i)=(2×4)+(2×(-2i))+(3i×4)+(3i×(-2i))=8-4i+12i-6i2。由于i2=-1，所以6i2=-6，因此最終結(jié)果為8+8i。

3.解二次方程的復(fù)數(shù)根

題目：求解方程x2+4x+4=0。

解答：這是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二次方程，其判別式Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×4=16-16=0。因?yàn)棣?0，所以方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，根據(jù)求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，得到x=(-4±√0)/(2×1)=-4/2=-2。因此，方程的解是x=-2。

4.復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

題目：計(jì)算(3+4i)/(1+i)。

解答：首先將分母實(shí)數(shù)化，即乘以共軛復(fù)數(shù)，得到(3+4i)(1-i)/(1+i)(1-i)。分子展開(kāi)得到3-3i+4i-4i2，分母展開(kāi)得到1-i2。由于i2=-1，所以分子變?yōu)?+i，分母變?yōu)?。因此，原式變?yōu)?7+i)/2。最終結(jié)果為3.5+i/2。

5.復(fù)數(shù)的加法和減法運(yùn)算

題目：計(jì)算(5+3i)+(2-2i)-(1+4i)。

解答：直接將實(shí)部和虛部分別相加和相減，得到(5+2-1)+(3-2-4)i=6-i。因此，最終結(jié)果為6-i。八、課堂-通過(guò)課堂提問(wèn)：在課堂教學(xué)中，教師可以通過(guò)提問(wèn)的方式了解學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)概念、性質(zhì)、運(yùn)算規(guī)則的理解程度。例如，提問(wèn)學(xué)生復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的關(guān)系、復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系中的表示等問(wèn)題，根據(jù)學(xué)生的回答情況，判斷他們對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。

-觀察學(xué)生的課堂表現(xiàn)：在課堂教學(xué)中，教師可以觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，了解他們對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣和積極性。通過(guò)觀察學(xué)生的參與程度、討論情況、實(shí)驗(yàn)操作等，評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的學(xué)習(xí)效果。

-測(cè)試學(xué)生的學(xué)習(xí)成果：在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，教師可以設(shè)計(jì)一些測(cè)試題目，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果進(jìn)行評(píng)價(jià)。例如，設(shè)計(jì)一些關(guān)于復(fù)數(shù)運(yùn)算、復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)關(guān)系、復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系中表示等方面的選擇題、填空題、解答題等，測(cè)試學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的掌握程度。

作業(yè)評(píng)價(jià)：

-對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改：教師應(yīng)對(duì)學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生在復(fù)數(shù)知識(shí)學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤和不足。對(duì)于學(xué)生的錯(cuò)誤，教師應(yīng)及時(shí)指出，并給予詳細(xì)的解答和指導(dǎo)，幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，提高