高二數(shù)學新教材同步教學講義(人教A版選擇性必修第一冊)3.3.2拋物線的簡單幾何性質(原卷版+解析)

3．3．2拋物線的簡單幾何性質【題型歸納目錄】題型一：拋物線的幾何性質題型二：直線與拋物線的位置關系題型三：中點弦問題題型四：焦半徑問題題型五：弦長問題題型六：定點定值問題題型七：最值問題【知識點梳理】知識點一、拋物線的簡單幾何性質：拋物線標準方程的幾何性質范圍：，，拋物線（）在y軸的右側，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標的橫坐標滿足不等式；當x的值增大時，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．對稱性：關于x軸對稱拋物線（）關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸．頂點：坐標原點拋物線（）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．拋物線的頂點坐標是．離心率：．拋物線（）上的點M到焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e表示，．拋物線的通徑通過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑．因為通過拋物線（）的焦點而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標分別為，，所以拋物線的通徑長為．這就是拋物線標準方程中的一種幾何意義．另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，刻畫了拋物線開口的大小，值越大，開口越寬；值越小，開口越窄．知識點二、拋物線標準方程幾何性質的對比圖形標準方程頂點范圍，，，，對稱軸x軸y軸焦點離心率準線方程焦半徑知識點詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準線；（2）標準方程中的參數(shù)的幾何意義是指焦點到準線的距離；恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數(shù)的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應找到相當于的值，才易于確定焦點坐標和準線方程．知識點三、焦半徑公式設拋物線上一點的坐標為，焦點為．1、拋物線，．2、拋物線，．3、拋物線，．4、拋物線，．【注意】知識點四、直線與拋物線的位置關系1、直線與拋物線的位置關系有三種情況：相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）．2、以拋物線與直線的位置關系為例：（1）直線的斜率不存在，設直線方程為，若，直線與拋物線有兩個交點；若，直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；若，直線與拋物線沒有交點．（2）直線的斜率存在．設直線，拋物線，直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，即二次方程（或）解的個數(shù)．①若，則當時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；當時，直線與拋物線相切，有個公共點；當時，直線與拋物線相離，無公共點．②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點．知識點五、直線與拋物線相交弦長問題1、弦長設為拋物線的弦，，，弦AB的中點為．（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）．（2），（3）直線的方程為．【方法技巧與總結】1、點與拋物線的關系（1）在拋物線內（含焦點）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點到準線的距離，即焦準距，越大，拋物線開口越大．4、焦點弦若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結論：（1）．（2）．（3）焦點弦長公式1：，，當時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法（法）（1）焦點為，準線為（2）焦點為，準線為如，即，焦點為，準線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點弦方程拋物線的切線方程為，為切點切點弦方程為，點在拋物線外與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結果．9、拋物線的通徑過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關系：11、焦點弦的?？夹再|已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設，為垂足，則、、三點在一條直線上【典型例題】題型一：拋物線的幾何性質例1．(2023·全國·高二課時練習）拋物線的焦點為，其準線與雙曲線相交于，兩點，若為等邊三角形，則（

）A．2 B． C．6 D．例2．(2023·四川涼山·高二期末（理））已知拋物線的焦點為F，點A是拋物線C的準線與坐標軸的交點，點P在拋物線C上，若，則（

）．A． B． C． D．例3．（多選題）(2023·全國·高二課時練習）過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，為線段的中點，則（

）A．以線段為直徑的圓與直線相切B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當時，D．的最小值為6變式1．(2023·四川資陽·高二期末（文））拋物線上一點P和焦點F的距離等于6，則點P的橫坐標（

）A．2 B．4 C．5 D．6變式2．(2023·福建廈門·高二期末）拋物線的焦點為F，點M在C上，，則M到y(tǒng)軸的距離是（

）A．4 B．8 C．10 D．12變式3．(2023·江蘇·高二專題練習）對拋物線，下列描述正確的是

()A．開口向上，焦點為(0，2) B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為(2，0) D．開口向上，焦點為變式4．（多選題）(2023·全國·高二課時練習）（多選）已知平面內到定點比它到定直線：的距離小1的動點的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（

）A．曲線的方程為 B．曲線關于軸對稱C．當點在曲線上時， D．當點在曲線上時，點到直線的距離變式5．（多選題）(2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）下列四個方程所表示的曲線中既關于軸對稱，又關于軸對稱的是（

）A． B． C． D．變式6．(2023·全國·高二課時練習）在同一平面直角坐標系中畫出下列拋物線.（1）；（2）；（3）．通過觀察這些圖形，說明拋物線開口的大小與方程中x的系數(shù)有怎樣的關系．題型二：直線與拋物線的位置關系例4．(2023·全國·高二專題練習）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關系為（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能例5．(2023·浙江溫州·高二期末）已知拋物線，過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有（

）條．A．0 B．1 C．2 D．3例6．(2023·全國·高二課時練習）若過點的直線與拋物線有且只有一個交點，則這樣的直線共有（

）條數(shù)．A．0 B．1 C．2 D．3變式7．(2023·全國·高二課時練習）直線與拋物線有且只有一個公共點，則，滿足的條件是（

）A． B．，C．， D．或變式8．(2023·全國·高二課時練習）已知直線y＝kx＋t與圓x2＋(y＋1)2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3，0)D．(－2，0)變式9．(2023·全國·高二）已知拋物線：，直線過點，且與拋物線有且只有一個公共點，則滿足條件的直線的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5題型三：中點弦問題例7．(2023·湖北·高二階段練習）已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則該拋物線的準線方程為（

）A． B． C． D．例8．(2023·全國·高二課時練習）已知拋物線y2＝4x，直線l與拋物線交于A、B兩點，若線段AB中點的縱坐標為2，則直線AB的斜率為（）A．2 B． C． D．1例9．(2023·浙江·嘉興市第五高級中學高二期中）過點的直線交拋物線于兩點，當點恰好為的中點時，直線的方程為（

）A． B． C． D．變式10．(2023·全國·高二專題練習）直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F，且與C相交于A，B兩點，且AB的中點M的坐標為(3，2)，則拋物線C的方程為（

）A．y2＝2x或y2＝4x B．y2＝4x或y2＝8xC．y2＝6x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝8x變式11．(2023·全國·高二單元測試）點?點為拋物線上不同的兩動點，線段的垂直平分線與軸的交點坐標為，則線段的中點的縱坐標是（

）A．1 B． C．2 D．變式12．(2023·黑龍江實驗中學高二階段練習（文））在拋物線中，以為中點的弦所在直線的方程是（

）A． B．C． D．變式13．(2023·全國·高二課時練習）已知拋物線與圓在x軸上方的兩個交點分別記為A、B，若線段AB的中點在直線y＝x上，則p的值為______．變式14．(2023·全國·高二課時練習）過點作拋物線的弦，若弦恰好被點平分，則弦所在直線的方程為______．變式15．(2023·廣東·普寧市華僑中學高二階段練習）已知拋物線C：的焦點為F，直線l：與拋物線C交于A，B兩點.(1)若，求的面積；(2)若拋物線C上存在兩個不同的點M，N關于直線l對稱，求a的取值范圍.變式16．(2023·浙江邵外高二階段練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p＞0).（1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；（2）已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.求證：線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)；題型四：焦半徑問題例10．(2023·全國·高二單元測試）已知F是拋物線C：的焦點，直線與拋物線C交于A，B兩點，且，則（

）A． B．C． D．例11．(2023·河南開封·高二期末（理））阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大，還宲有“數(shù)學之神”的稱號．拋物線上任意兩點，處的切線交于占，稱為“阿基米德三角形”，當線段經(jīng)過拋物線焦點時，具有以下特征：（1）點必在拋物線的準線上；（2）為直角二角形，且；（3）．已知過拋物線焦點的直線與拋物線交于，頁點，過點，處的切線交于點，若點的橫坐標為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．例12．(2023·四川·攀枝花市第三高級中學校高二階段練習（文））如圖所示，已知拋物線過點，圓.過圓心的直線與拋物線和圓分別交于，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式17．(2023·全國·高二課時練習）若拋物線過焦點的弦被焦點分成長為m和n兩部分，則m與n的關系式為（

）A． B．C． D．變式18．(2023·四川·閬中中學高二階段練習（文））過拋物線：焦點且斜率為的直線與交于，兩點，設滿足，則為（

）A． B．C． D．變式19．(2023·江西省臨川第二中學高二階段練習）已知拋物線的焦點為F，直線l的斜率為且經(jīng)過點F，直線l與拋物線C交于A，B兩點（點A在第一象限），與拋物線的準線交于點D，若，則以下結論錯誤的是（

）A． B．C． D．變式20．(2023·湖北·高二階段練習）在平面直角坐標系中，已知拋物線C：，點是的準線上的動點，過點作的兩條切線，切點分別為A，B，則面積的最小值為（

）A． B． C．1 D．變式21．(2023·吉林遼源·高二期末）已知拋物線的焦點為F，準線為，過點F的直線與拋物線交于兩點A，B（點B在第一象限），與準線l交于點P.若，，則（

）A．3 B． C． D．變式22．(2023·四川省敘永第一中學校高二期中（文））設拋物線：的焦點為，過點作斜率為的直線與拋物線交于，兩點，若，則（）A． B． C． D．變式23．(2023·湖北·武漢市第十九中學高二期末）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過C上的點A反射后，再經(jīng)C上另一點B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點N．下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則平分C．若，則 D．若，延長AO交直線于點D，則D，B，N三點共線變式24．(2023·重慶·西南大學附中高二階段練習）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A，B處的兩條切線所圍成的三角形（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，具有以下性質：①P點必在拋物線的準線上；②；③．已知直線與拋物線交于A，B點，若，則拋物線的“阿基米德三角形”頂點的縱坐標為（

）A． B． C． D．變式25．(2023·河南·林州一中高二開學考試（文））如圖所示，過拋物線的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（

）A． B． C． D．變式26．(2023·安徽省亳州市第一中學高二開學考試）如圖，已知拋物線，圓，過C點的直線l與拋物線和圓依次交于P，M，N，Q，則等于（

）A．1 B．2 C．4 D．8題型五：弦長問題例13．(2023·廣東東莞·高二期末）過拋物線的焦點F的直線l與拋物線交于PQ兩點，若以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則（

）A．8 B．7 C．6 D．5例14．(2023·云南玉溪·高二期末）直線與拋物線交于，兩點，則（

）A． B． C． D．例15．(2023·四川省內江市第六中學高二階段練習（文））已知拋物線，點，是曲線W上兩點，若，則的最大值為（

）A．10 B．14 C．12 D．16變式27．(2023·江蘇·高二）己知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點，直線與C交于D、E兩點，則的最小值為（

）A．24 B．22 C．20 D．16變式28．(2023·遼寧·高二期末）過拋物線C：y2=4x的焦點F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，若|k1·k2|=2，則|AB|+|DE|的最小值為（

）A．10 B．12 C．14 D．16變式29．(2023·甘肅省臨洮中學高二階段練習（理））拋物線有如下的光學性質：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，已知拋物線C：的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點（1，－2）射入，經(jīng)拋物線上的點P反射后，再經(jīng)拋物線上另一點Q反射后射出，則（

）A． B．13 C． D．14變式30．(2023·江蘇·南京市秦淮中學高二期末）若拋物線與直線：相交于兩點，則弦的長為（

）A．6 B．8 C． D．變式31．(2023·內蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，與C交于A，B兩點，P為C的準線上一點，若的面積為36，則等于（

）A．36 B．24 C．12 D．6變式32．(2023·吉林·長春外國語學校高二期末）過拋物線的焦點作直線l，交拋物線與A、B兩點，若線段中點的縱坐標為3，則等于（

）A．10 B．8 C．6 D．4變式33．(2023·安徽省亳州市第一中學高二階段練習）已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，若直線l過F，且與拋物線C交于A，B，過點A作直線y=-1的垂線，垂足為點M，點N在y軸上，AF，MN互相垂直平分，則|AB|=（

）A． B． C．4 D．8變式34．(2023·四川·閬中中學高二階段練習（理））已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點，過線段的中點且垂直于的直線與的準線交于點，若，則的斜率為（

）A． B． C． D．題型六：定點定值問題例16．(2023·四川·棠湖中學高二階段練習（理））已知曲線C：x2=2y，點D為直線上的動點，過點D作C的兩條切線，切點分別為A，B.(1)若點D的坐標為，求這兩條切線的方程；(2)證明：直線AB過定點.例17．(2023·江西南昌·高二期末（理））已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為6.(1)求拋物線的方程；(2)若不過原點的直線與拋物線交于A、B兩點，且，求證：直線過定點并求出定點坐標.例18．(2023·河南·夏邑第一高級中學高二期末（文））已知拋物線的焦點為，過點且垂直于軸的直線交于，兩點，為坐標原點，.(1)求的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，求證：為定值.變式35．(2023·廣東·深圳市羅湖外語學校高二階段練習）已知拋物線，直線交C于A，B兩點．(1)若弦AB的中點是，求直線l的方程；(2)設，，若，求證：直線過定點．變式36．(2023·福建泉州·高二期中）已知拋物線經(jīng)過點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點，且，證明：直線過定點．變式37．(2023·全國·高二課時練習）已知為拋物線：的焦點，直線：與拋物線交于，兩點且．（1）求拋物線的方程；（2）若直線：與拋物線交于，兩點，且與相交于點，且向量，，證明：為定值．題型七：最值問題例19．(2023·全國·高二專題練習）已知過拋物線的焦點且斜率為1的直線交拋物線于、兩點，點是含拋物線頂點的弧上一點，求的最大面積.例20．(2023·上?！ひ荒＃┮阎獟佄锞€，是軸上一點，是拋物線上任意一點.（1）若，求的最小值；（2）已知為坐標原點，若的最小值為，求實數(shù)的取值范圍.例21．(2023·四川成都·高二期中（理））已知為拋物線上一點，點到直線的距離為.（1）求的最小值，并求此時點的坐標；（2）若點到拋物線的準線的距離為，求的最小值.變式38．(2023·廣東·鹽田高中高二期中）已知拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點，當A，B兩點的縱坐標相同時，．(1)求拋物線C的方程；(2)若P，Q為拋物線C上兩個動點，，E為PQ的中點，求點E縱坐標的最小值．變式39．(2023·福建廈門·高二期末（文））已知拋物線C：的焦點為F，直線l過點，交拋物線于A、B兩點.（1）若P為中點，求l的方程；（2）求的最小值.【同步練習】一、單選題1．(2023·全國·高二課時練習）拋物線的焦點到直線的距離是（

）A． B． C． D．2．(2023·全國·高二課時練習）設點為拋物線上一點，點，且，則點的橫坐標為（

）A． B． C．或 D．或3．(2023·四川省資陽中學高二開學考試（理））拋物線的焦點坐標是（

）A． B． C． D．4．(2023·陜西·西北農林科技大學附中高二期末（文））設斜率為2的直線l過拋物線（）的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（

）A． B．C． D．5．(2023·浙江舟山·高二期末）已知拋物線C：，焦點為F，點到在拋物線上，則（

）A．3 B．2 C． D．6．(2023·內蒙古包頭·高二期末（文））已知拋物線的焦點為F，P為拋物線上一點，過點P向拋物線的準線作垂線，垂足為N.若，則的面積為（

）A． B． C． D．7．(2023·北京西城·高二期末）設拋物線的頂點為原點，焦點在軸上，過的直線交拋物線于點，則以為直徑的圓（

）A．必過原點 B．必與軸相切C．必與軸相切 D．必與拋物線的準線相切8．(2023·四川南充·高二期末（文））拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，點為平面上任意一點，為坐標原點，則（

）A．－5 B．－3 C．3 D．5二、多選題9．(2023·全國·高二專題練習）(多選)經(jīng)過拋物線(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列說法中正確的是（）A．當AB與x軸垂直時，|AB|最小 B．＋＝C．以弦AB為直徑的圓與直線相離 D．y1y2＝－p210．(2023·全國·高二課前預習）已知拋物線C：x2＝2py，若直線y＝2x被拋物線所截弦長為4，則拋物線C的方程為（

）A．x2＝4y B．x2＝－4yC．x2＝2y D．x2＝－2y11．(2023·全國·高二課時練習）（多選）平面內到定點和到定直線的距離相等的動點的軌跡為曲線．則（

）A．曲線的方程為B．曲線關于軸對稱C．當點在曲線上時，D．當點在曲線上時，點到直線的距離12．(2023·江蘇省寶楠國際學校高二階段練習）已知拋物線的焦點為，準線為，為上一點，垂直于點，，分別為，的中點，與軸相交于點，若，則（

）A． B． C． D．三、填空題13．(2023·江蘇·金陵中學高二階段練習）過拋物線）的焦點F的直線交拋物線于點A，B，交其準線于點C（點B在點F，C之間），且則直線AB的斜截式方程為__________14．(2023·湖南省岳陽縣第一中學高二階段練習）若拋物線上一點到該拋物線的焦點的距離為8，則該拋物線的方程為________．15．(2023·安徽·六安一中東校區(qū)高二開學考試）已知直線過拋物線：的焦點，則______．16．(2023·廣西·賓陽中學高二期中）以下四個關于圓錐曲線的命題中：①設、為兩個定點，為非零常數(shù)，，則動點的軌跡為雙曲線；②以定點為焦點，定直線為準線的橢圓（不在上）有無數(shù)多個；③方程的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；④過原點任做一直線，若與拋物線，分別交于、兩點，則為定值．其中真命題的序號為________（寫出所有真命題的序號）四、解答題17．(2023·全國·高二單元測試）已知拋物線E：的焦點為F，直線與E相交所得線段的長為．(1)求E的方程；(2)若不過點F的直線l與E相交于A，B兩點，請從①AB中點的縱坐標為3，②的重心在直線上，③這三個條件中任選兩個作為已知條件，求直線l的方程（若因條件選擇不當而無法求出，需分析具體原因）．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．18．(2023·全國·高二專題練習）有一座拋物線型拱橋，其水面寬AB為18米，拱頂O離水面AB的距離OM為8米，貨船在水面上的部分的橫斷面是矩形CDEF，如圖建立平面直角坐標系．(1)求此拋物線的解析式；(2)如果限定矩形的長CD為9米，那么矩形的高DE不能超過多少米，才能使船通過拱橋．(3)若設EF＝a，請將矩形CDEF的面積S用含a的代數(shù)式表示，并指出a的取值范圍．19．(2023·全國·高二課時練習）設直線，拋物線，當為何值時，與相切？相交？相離？20．(2023·全國·高二課時練習）如圖，為拋物線上的一點，拋物線的焦點為，垂直于直線，垂足為，直線垂直于，分別交軸、軸于點A，．(1)求使為等邊三角形的點的坐標．(2)是否存在點，使平分線段？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．21．(2023·全國·高二專題練習）已知定點在拋物線上，動點且，求證：弦必過一定點．3．3．2拋物線的簡單幾何性質【題型歸納目錄】題型一：拋物線的幾何性質題型二：直線與拋物線的位置關系題型三：中點弦問題題型四：焦半徑問題題型五：弦長問題題型六：定點定值問題題型七：最值問題【知識點梳理】知識點一、拋物線的簡單幾何性質：拋物線標準方程的幾何性質范圍：，，拋物線（）在y軸的右側，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標的橫坐標滿足不等式；當x的值增大時，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．對稱性：關于x軸對稱拋物線（）關于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸．頂點：坐標原點拋物線（）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點．拋物線的頂點坐標是．離心率：．拋物線（）上的點M到焦點的距離和它到準線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e表示，．拋物線的通徑通過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑．因為通過拋物線（）的焦點而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標分別為，，所以拋物線的通徑長為．這就是拋物線標準方程中的一種幾何意義．另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，刻畫了拋物線開口的大小，值越大，開口越寬；值越小，開口越窄．知識點二、拋物線標準方程幾何性質的對比圖形標準方程頂點范圍，，，，對稱軸x軸y軸焦點離心率準線方程焦半徑知識點詮釋：（1）與橢圓、雙曲線不同，拋物線只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸，一條準線；（2）標準方程中的參數(shù)的幾何意義是指焦點到準線的距離；恰恰說明定義中的焦點F不在準線上這一隱含條件；參數(shù)的幾何意義在解題時常常用到，特別是具體的標準方程中應找到相當于的值，才易于確定焦點坐標和準線方程．知識點三、焦半徑公式設拋物線上一點的坐標為，焦點為．1、拋物線，．2、拋物線，．3、拋物線，．4、拋物線，．【注意】知識點四、直線與拋物線的位置關系1、直線與拋物線的位置關系有三種情況：相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）．2、以拋物線與直線的位置關系為例：（1）直線的斜率不存在，設直線方程為，若，直線與拋物線有兩個交點；若，直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；若，直線與拋物線沒有交點．（2）直線的斜率存在．設直線，拋物線，直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，即二次方程（或）解的個數(shù)．①若，則當時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；當時，直線與拋物線相切，有個公共點；當時，直線與拋物線相離，無公共點．②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點．知識點五、直線與拋物線相交弦長問題1、弦長設為拋物線的弦，，，弦AB的中點為．（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）．（2），（3）直線的方程為．【方法技巧與總結】1、點與拋物線的關系（1）在拋物線內（含焦點）．（2）在拋物線上．（3）在拋物線外．2、焦半徑拋物線上的點與焦點的距離稱為焦半徑，若，則焦半徑，．3、的幾何意義為焦點到準線的距離，即焦準距，越大，拋物線開口越大．4、焦點弦若為拋物線的焦點弦，，，則有以下結論：（1）．（2）．（3）焦點弦長公式1：，，當時，焦點弦取最小值，即所有焦點弦中通徑最短，其長度為．焦點弦長公式2：（為直線與對稱軸的夾角）．（4）的面積公式：（為直線與對稱軸的夾角）．5、拋物線的弦若AB為拋物線的任意一條弦，，弦的中點為，則（1）弦長公式：（2）（3）直線AB的方程為（4）線段AB的垂直平分線方程為6、求拋物線標準方程的焦點和準線的快速方法（法）（1）焦點為，準線為（2）焦點為，準線為如，即，焦點為，準線方程為7、參數(shù)方程的參數(shù)方程為（參數(shù)）8、切線方程和切點弦方程拋物線的切線方程為，為切點切點弦方程為，點在拋物線外與中點弦平行的直線為，此直線與拋物線相離，點（含焦點）是弦AB的中點，中點弦AB的斜率與這條直線的斜率相等，用點差法也可以得到同樣的結果．9、拋物線的通徑過焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑．對于拋物線，由，，可得，故拋物線的通徑長為．10、弦的中點坐標與弦所在直線的斜率的關系：11、焦點弦的?？夹再|已知、是過拋物線焦點的弦，是的中點，是拋物線的準線，，為垂足．（1）以為直徑的圓必與準線相切，以AF（或BF）為直徑的圓與y軸相切；（2），（3）；（4）設，為垂足，則、、三點在一條直線上【典型例題】題型一：拋物線的幾何性質例1．(2023·全國·高二課時練習）拋物線的焦點為，其準線與雙曲線相交于，兩點，若為等邊三角形，則（

）A．2 B． C．6 D．答案：C【解析】設拋物線的準線與y軸交于點D，如圖，在等邊三角形ABF中，，，所以點B的坐標為，又點B在雙曲線上，故，解得．故選：C．例2．(2023·四川涼山·高二期末（理））已知拋物線的焦點為F，點A是拋物線C的準線與坐標軸的交點，點P在拋物線C上，若，則（

）．A． B． C． D．答案：D【解析】過作準線的垂線，垂足為，由，可得，由題意如圖所示：在中，可得，，由拋物線的性質可得，所以，在中，由正弦定理可得：，所以，故選：D．例3．（多選題）(2023·全國·高二課時練習）過拋物線的焦點的直線交拋物線于，兩點，為線段的中點，則（

）A．以線段為直徑的圓與直線相切B．以線段為直徑的圓與軸相切C．當時，D．的最小值為6答案：ACD【解析】由拋物線方程知，準線方程為，由題意可知，直線的斜率存在，可設：，設，．對于選項A，易知，∵為的中點，∴點到準線的距離，∴以線段為直徑的圓與直線相切，A正確；對于B，由，得，，，，∴，∴，設的中點為，則，，∵不恒成立，∴以線段為直徑的圓與軸未必相切，B錯誤；對于C，若，則，不妨設，，∵，∴，，則，，∴，C正確；對于D，∵，∴當時，，D正確．故選:ACD．變式1．(2023·四川資陽·高二期末（文））拋物線上一點P和焦點F的距離等于6，則點P的橫坐標（

）A．2 B．4 C．5 D．6答案：B【解析】拋物線的準線方程為，設點的橫坐標為，到焦點的距離等于，故.故選：B.變式2．(2023·福建廈門·高二期末）拋物線的焦點為F，點M在C上，，則M到y(tǒng)軸的距離是（

）A．4 B．8 C．10 D．12答案：B【解析】拋物線的準線方程為：設，由拋物線的定義知：，即，即，所以M到y(tǒng)軸的距離是.故選：B.變式3．(2023·江蘇·高二專題練習）對拋物線，下列描述正確的是

()A．開口向上，焦點為(0，2) B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為(2，0) D．開口向上，焦點為答案：A【解析】拋物線方程，化成標準方程形式，可得其開口向上，焦點坐標為.故選A項.變式4．（多選題）(2023·全國·高二課時練習）（多選）已知平面內到定點比它到定直線：的距離小1的動點的軌跡為曲線，則下列說法正確的是（

）A．曲線的方程為 B．曲線關于軸對稱C．當點在曲線上時， D．當點在曲線上時，點到直線的距離答案：AB【解析】由題意可知：動點到定點與它到定直線：的距離相等，由拋物線定義，知曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，其方程為，所以A，B正確；由知，點到直線的距離，所以C，D錯誤．故選：AB．變式5．（多選題）(2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）下列四個方程所表示的曲線中既關于軸對稱，又關于軸對稱的是（

）A． B． C． D．答案：AC【解析】對于A選項，對于曲線上的任意點，其關于軸對稱的點滿足方程，關于軸對稱的點也滿足方程，故滿足條件；對于B選項，即為，表示焦點在軸正半軸的拋物線，關于軸對稱，但不關于軸對稱，故不滿足；對于C選項，即為，表示焦點在軸上的橢圓，滿足既關于軸對稱，又關于軸對稱，故滿足條件；對于D選項，即為，表示圓心為，半徑為的圓，其關于軸對稱，不關于軸對稱，故不滿足條件.故選：AC變式6．(2023·全國·高二課時練習）在同一平面直角坐標系中畫出下列拋物線.（1）；（2）；（3）．通過觀察這些圖形，說明拋物線開口的大小與方程中x的系數(shù)有怎樣的關系．【解析】在同一平面直角坐標系內做出拋物線，如圖，通過圖象可以看出來，當x的系數(shù)為正數(shù)且越大時，拋物線的開口向右且開口越大.題型二：直線與拋物線的位置關系例4．(2023·全國·高二專題練習）已知拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3過圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心，將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3，則直線l：x+16y﹣1＝0與拋物線C3的位置關系為（）A．相交 B．相切C．相離 D．以上都有可能答案：A【解析】圓C2：x2+y2+4x﹣2y＝0的圓心坐標為（﹣2，1），代入拋物線C1：y＝a（x+1）2﹣3，可得1＝a﹣3，∴a＝4，∴拋物線C1：y＝4（x+1）2﹣3．將拋物線C1先向右平移1個單位，再向上平移3個單位，得到拋物線C3：y＝4x2，聯(lián)立，消整理得，，所以直線l與拋物線C3相交，故選：A．例5．(2023·浙江溫州·高二期末）已知拋物線，過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有（

）條．A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】拋物線的對稱軸為y軸，直線過點P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個公共點，設過點與拋物線C只有一個公共點且斜率存在的直線方程為：，由消去y并整理得：，則，解得或，因此，過點與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個公共點的直線有一條，所以過點與拋物線C有且只有一個交點的直線有3條.故選：D例6．(2023·全國·高二課時練習）若過點的直線與拋物線有且只有一個交點，則這樣的直線共有（

）條數(shù)．A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【解析】當直線的斜率不存在時，直線的方程為，與拋物線只有一個交點，滿足題意；當直線的斜率存在時，當時，可得過點的直線與拋物線的對稱軸平行，與拋物線有且只有一個交點，滿足條件；當時，過點的直線與拋物線相切，此時有且只有一個交點，綜上可得滿足條件的直線有三條故選：D．變式7．(2023·全國·高二課時練習）直線與拋物線有且只有一個公共點，則，滿足的條件是（

）A． B．，C．， D．或答案：D【解析】當時，直線與拋物線有且只有一個公共點，符合題意；當時，由可得：，若直線與拋物線有且只有一個公共點，則，整理可得：，所以，綜上所述：或，故選：D.變式8．(2023·全國·高二課時練習）已知直線y＝kx＋t與圓x2＋(y＋1)2＝1相切且與拋物線C：x2＝4y交于不同的兩點M，N，則實數(shù)t的取值范圍是（

）A．(－∞，－3)∪(0，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)C．(－3，0)D．(－2，0)答案：A【解析】因為直線與圓相切，所以＝1，即k2＝t2＋2t.將直線方程代入拋物線方程并整理得x2－4kx－4t＝0，于是＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t＞0，解得t＞0或t＜－3.故選：A變式9．(2023·全國·高二）已知拋物線：，直線過點，且與拋物線有且只有一個公共點，則滿足條件的直線的條數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5答案：B【解析】由題意可知，直線的斜率一定存在，設直線的方程為，由得，，當時，,此時直線方程為：，與拋物線有且只有一個公共點,符合題意；當時，由于直線與拋物線有且只有一個公共點，所以對于方程，，，，此時直線方程為：或.綜上所述：直線的方程為或或,故滿足條件的直線共3條.故答案為：B題型三：中點弦問題例7．(2023·湖北·高二階段練習）已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則該拋物線的準線方程為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)題意，設，所以①，②，所以，①②得：，即，因為直線AB的斜率為1，線段AB的中點的橫坐標為3，所以，即，所以拋物線，準線方程為.故選：B例8．(2023·全國·高二課時練習）已知拋物線y2＝4x，直線l與拋物線交于A、B兩點，若線段AB中點的縱坐標為2，則直線AB的斜率為（）A．2 B． C． D．1答案：D【解析】設直線l的方程為x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線l與拋物線方程，化簡可得，y2﹣4my﹣4n＝0，由韋達定理可得，y1+y2＝4m，∵，∴4m＝4，即m＝1，∴直線l的方程為y＝x﹣n，∴k＝1．故選：D例9．(2023·浙江·嘉興市第五高級中學高二期中）過點的直線交拋物線于兩點，當點恰好為的中點時，直線的方程為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】設，所以，兩式相減得，，因為點為的中點，所以，所以，故直線的斜率為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立，所以，，故斜率為符合題意，因此直線的方程為，故選：D.變式10．(2023·全國·高二專題練習）直線l過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F，且與C相交于A，B兩點，且AB的中點M的坐標為(3，2)，則拋物線C的方程為（

）A．y2＝2x或y2＝4x B．y2＝4x或y2＝8xC．y2＝6x或y2＝8x D．y2＝2x或y2＝8x答案：B【解析】由題可得直線l的方程為，與拋物線方程C：y2＝2px(p>0)聯(lián)立，得k2x2－k2px－2px＋＝0．∵AB的中點為M(3，2)，∴，解得k＝1或k＝2，∴p＝2或p＝4，∴拋物線C的方程為y2＝4x或y2＝8x．故選：B．變式11．(2023·全國·高二單元測試）點?點為拋物線上不同的兩動點，線段的垂直平分線與軸的交點坐標為，則線段的中點的縱坐標是（

）A．1 B． C．2 D．答案：B【解析】設點，點，的中點，設的垂直平分線與軸的交點為，則，所以，所以，因此.故選：B.變式12．(2023·黑龍江實驗中學高二階段練習（文））在拋物線中，以為中點的弦所在直線的方程是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】設以為中點的弦的兩端點的坐標分別為，，由題意可得，，兩式作差可得，，所以因此所求直線的方程為，整理得.故選：C.變式13．(2023·全國·高二課時練習）已知拋物線與圓在x軸上方的兩個交點分別記為A、B，若線段AB的中點在直線y＝x上，則p的值為______．答案：【解析】設，聯(lián)立與可得，由韋達定理得，的中點，由條件可知，即，故，將代入化簡得，又，故，從而故答案為：變式14．(2023·全國·高二課時練習）過點作拋物線的弦，若弦恰好被點平分，則弦所在直線的方程為______．答案：【解析】顯然不垂直于軸，故，設，，則，兩式相減得．∵點是弦的中點，∴，于是，即直線的斜率，故弦所在直線的方程為，即．故答案為：變式15．(2023·廣東·普寧市華僑中學高二階段練習）已知拋物線C：的焦點為F，直線l：與拋物線C交于A，B兩點.(1)若，求的面積；(2)若拋物線C上存在兩個不同的點M，N關于直線l對稱，求a的取值范圍.【解析】（1）拋物線的焦點為，時，直線，聯(lián)立，可得，設，，，，則，．，點到直線的距離距離，的面積．（2）∵點，關于直線對稱，∴直線的斜率為，∴可設直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，由，可得，設，，，，則，故的中點為，∵點，關于直線對稱，∴的中點，在直線上，∴，得，∵，∴．綜上，的取值范圍為．變式16．(2023·浙江邵外高二階段練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：x－y－2＝0，拋物線C：y2＝2px(p＞0).（1）若直線l過拋物線C的焦點，求拋物線C的方程；（2）已知拋物線C上存在關于直線l對稱的相異兩點P和Q.求證：線段PQ的中點坐標為(2－p，－p)；【解析】（1）若直線l過拋物線C的焦點,直線方程為：x－y－2＝0故焦點坐標為：，故故拋物線方程為：（2）設，線段PQ的中點由點P和Q關于直線l對稱，則直線l的垂直平分線段PQ，則直線PQ的斜率為-1設方程為：，與拋物線聯(lián)立因P，Q為拋物線上不同的兩點，故從而，代入直線可得：故線段PQ的中點坐標為：題型四：焦半徑問題例10．(2023·全國·高二單元測試）已知F是拋物線C：的焦點，直線與拋物線C交于A，B兩點，且，則（

）A． B．C． D．答案：A【解析】設，，由，得，則．又，即．故選：A．例11．(2023·河南開封·高二期末（理））阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學家、數(shù)學家、天文學家，不僅在物理學方面貢獻巨大，還宲有“數(shù)學之神”的稱號．拋物線上任意兩點，處的切線交于占，稱為“阿基米德三角形”，當線段經(jīng)過拋物線焦點時，具有以下特征：（1）點必在拋物線的準線上；（2）為直角二角形，且；（3）．已知過拋物線焦點的直線與拋物線交于，頁點，過點，處的切線交于點，若點的橫坐標為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】拋物線的焦點的坐標為，準線方程為，由題意知，為“阿基米德三角形”，可得點必在拋物線的準線上，所以點，直線的斜率為，又因為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即,故選：C．例12．(2023·四川·攀枝花市第三高級中學校高二階段練習（文））如圖所示，已知拋物線過點，圓.過圓心的直線與拋物線和圓分別交于，則的最小值為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由題設，16＝2p×2，則2p＝8，故拋物線的標準方程：，則焦點F(2,0)，由直線PQ過拋物線的焦點，則，圓C2：圓心為(2,0)，半徑1，，當且僅當時等號成立，故的最小值為13.故選：D變式17．(2023·全國·高二課時練習）若拋物線過焦點的弦被焦點分成長為m和n兩部分，則m與n的關系式為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】令過焦點的弦為，與拋物線交點分別為A、B，聯(lián)立拋物線整理得：，則，，故，，若，，所以，，故.故選：C變式18．(2023·四川·閬中中學高二階段練習（文））過拋物線：焦點且斜率為的直線與交于，兩點，設滿足，則為（

）A． B．C． D．答案：C【解析】拋物線焦點為，直線方程為，設，由得，，，，，，則，，，所以，解得．故選：C．變式19．(2023·江西省臨川第二中學高二階段練習）已知拋物線的焦點為F，直線l的斜率為且經(jīng)過點F，直線l與拋物線C交于A，B兩點（點A在第一象限），與拋物線的準線交于點D，若，則以下結論錯誤的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】如下圖所示：分別過點、作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點、.拋物線的準線交軸于點，則，由于直線的斜率為，其傾斜角為，由軸，，由拋物線的定義可知，，則為等邊三角形，，則，，得，A選項正確；，又，為的中點，則，B選項正確；，，（拋物線定義），C選項正確；，，D選項錯誤.故選：D.變式20．(2023·湖北·高二階段練習）在平面直角坐標系中，已知拋物線C：，點是的準線上的動點，過點作的兩條切線，切點分別為A，B，則面積的最小值為（

）A． B． C．1 D．答案：A【解析】如圖所示，,準線的方程為，設，，，由得，∴切線的方程為，而，即，又切線過點，∴，即，同理切線的方程為，∴直線的方程為,則直線過定點，當AB平行于x軸時,此時|AB|為拋物線的通徑，此時，∴，當且僅當直線軸時取等號,故選：A．變式21．(2023·吉林遼源·高二期末）已知拋物線的焦點為F，準線為，過點F的直線與拋物線交于兩點A，B（點B在第一象限），與準線l交于點P.若，，則（

）A．3 B． C． D．答案：B【解析】過點A作，垂足為D，過點B作，垂足為C，由拋物線的定義可知，，不妨設，因為，所以，因為，所以，即，所以，所以，因為與反向，所以.故選：B.變式22．(2023·四川省敘永第一中學校高二期中（文））設拋物線：的焦點為，過點作斜率為的直線與拋物線交于，兩點，若，則（）A． B． C． D．答案：A【解析】設方程為，由，消去得，則有①，由得，即②，由①②解得，故選：A變式23．(2023·湖北·武漢市第十九中學高二期末）拋物線有如下光學性質：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線，O為坐標原點，一條平行于x軸的光線從點射入，經(jīng)過C上的點A反射后，再經(jīng)C上另一點B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點N．下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則平分C．若，則 D．若，延長AO交直線于點D，則D，B，N三點共線答案：D【解析】如圖，若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項A錯誤；時，因為，所以．又，，所以不平分，選項B不正確；若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，所以，所以，選項C錯誤；若，則，C的焦點為，因為，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長交直線于點D，所以則，所以D，B，N三點共線，選項D正確；故選：D.變式24．(2023·重慶·西南大學附中高二階段練習）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點A，B處的兩條切線所圍成的三角形（P為兩切線的交點）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當線段AB經(jīng)過拋物線的焦點F時，具有以下性質：①P點必在拋物線的準線上；②；③．已知直線與拋物線交于A，B點，若，則拋物線的“阿基米德三角形”頂點的縱坐標為（

）A． B． C． D．答案：B【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，直線經(jīng)過拋物線的焦點，由題意，設，，聯(lián)立，得，所以，，，解得，∴，當時，，所以直線PF方程為：，因為為“阿基米德三角形”，所以點P必在拋物線的準線上，所以點，由拋物線對稱性可知，當時，，故選：B．變式25．(2023·河南·林州一中高二開學考試（文））如圖所示，過拋物線的焦點F的直線依次交拋物線及準線于點A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】如圖分別過點作準線的垂線，分別交準線于點，,設與交于點.設，,，由拋物線定義得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以拋物線的方程為.故選：A變式26．(2023·安徽省亳州市第一中學高二開學考試）如圖，已知拋物線，圓，過C點的直線l與拋物線和圓依次交于P，M，N，Q，則等于（

）A．1 B．2 C．4 D．8答案：A【解析】圓，點C與拋物線的焦點重合，設，，所以，，∴．①當直線l的斜率不存在時，，∴；②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為(),與拋物線方程聯(lián)立消y，得，∴．綜上，.故選：A．題型五：弦長問題例13．(2023·廣東東莞·高二期末）過拋物線的焦點F的直線l與拋物線交于PQ兩點，若以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則（

）A．8 B．7 C．6 D．5答案：C【解析】拋物線的焦點F，準線取PQ中點H，分別過P、Q、H作拋物線準線的垂線，垂足分別為N、M、E則四邊形為直角梯形，為梯形中位線，由拋物線定義可知，,，則故，即點H到拋物線準線的距離為的一半，則以線段PQ為直徑的圓與拋物線的準線相切.又以線段PQ為直徑的圓與直線相切，則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線與直線間的距離.即故選：C例14．(2023·云南玉溪·高二期末）直線與拋物線交于，兩點，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】拋物線的焦點為在直線上，故是拋物線的焦點弦，則由得：，所以，，所以，故選：D.例15．(2023·四川省內江市第六中學高二階段練習（文））已知拋物線，點，是曲線W上兩點，若，則的最大值為（

）A．10 B．14 C．12 D．16答案：C【解析】設拋物線的焦點為F，則,焦準距,準線方程為，根據(jù)拋物線的定義得，．又，所以．因為，當且僅當A，F(xiàn)，B三點共線時等號成立，即，所以的最大值為12，故選：C變式27．(2023·江蘇·高二）己知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點，直線與C交于D、E兩點，則的最小值為（

）A．24 B．22 C．20 D．16答案：A【解析】設直線，的斜率分別為，由拋物線的性質可得，，所以，又因為，所以，所以，故選：A.變式28．(2023·遼寧·高二期末）過拋物線C：y2=4x的焦點F分別作斜率為k1、k2的直線l1、l2，直線l1與C交于A、B兩點，直線l2與C交于D、E兩點，若|k1·k2|=2，則|AB|+|DE|的最小值為（

）A．10 B．12 C．14 D．16答案：B【解析】拋物線C：y2=4x的焦點F為，直線l1的方程為，則聯(lián)立后得到，設，，，則，同理設可得：，因為|k1·k2|=2，所以，當且僅當，即或時，等號成立，故選：B變式29．(2023·甘肅省臨洮中學高二階段練習（理））拋物線有如下的光學性質：由其焦點射出的光線經(jīng)過拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，已知拋物線C：的焦點為F，一束平行于x軸的光線從點（1，－2）射入，經(jīng)拋物線上的點P反射后，再經(jīng)拋物線上另一點Q反射后射出，則（

）A． B．13 C． D．14答案：A【解析】拋物線的焦點為，由，直線的方程為，由解得或，所以，所以.故選：A變式30．(2023·江蘇·南京市秦淮中學高二期末）若拋物線與直線：相交于兩點，則弦的長為（

）A．6 B．8 C． D．答案：B【解析】由題得.由題得拋物線的焦點坐標為剛好在直線上，設，聯(lián)立直線和拋物線方程得,所以.所以.故選：B變式31．(2023·內蒙古·赤峰二中高二期末（理））已知直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，與C交于A，B兩點，P為C的準線上一點，若的面積為36，則等于（

）A．36 B．24 C．12 D．6答案：C【解析】設拋物線方程為：，因為直線過拋物線C的焦點，且與C的對稱軸垂直，所以，又P為C的準線上一點，所以點P到直線AB的距離為p，所以，解得，所以，故選：C變式32．(2023·吉林·長春外國語學校高二期末）過拋物線的焦點作直線l，交拋物線與A、B兩點，若線段中點的縱坐標為3，則等于（

）A．10 B．8 C．6 D．4答案：B【解析】拋物線的焦點為，準線方程為，設，則，所以，故選：B變式33．(2023·安徽省亳州市第一中學高二階段練習）已知拋物線C：x2=4y的焦點為F，若直線l過F，且與拋物線C交于A，B，過點A作直線y=-1的垂線，垂足為點M，點N在y軸上，AF，MN互相垂直平分，則|AB|=（

）A． B． C．4 D．8答案：B【解析】如圖所示，因為AF，MN互相垂直平分，所以四邊形AMFN為菱形.又由拋物線定義可知，，故△AMF為正三角形，從而∠FMC=30°，所以在Rt△FMC中，，又=2，所以.設，所以，由題得直線的傾斜角為，所以直線的方程為，聯(lián)立直線和拋物線方程得，所以，所以.所以，所以所以.故選：B變式34．(2023·四川·閬中中學高二階段練習（理））已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點，過線段的中點且垂直于的直線與的準線交于點，若，則的斜率為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】拋物線的焦點為，設直線的方程為，其中，設點、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，，因為，則，因為，解得，因此，直線的斜率為.故選：C.題型六：定點定值問題例16．(2023·四川·棠湖中學高二階段練習（理））已知曲線C：x2=2y，點D為直線上的動點，過點D作C的兩條切線，切點分別為A，B.(1)若點D的坐標為，求這兩條切線的方程；(2)證明：直線AB過定點.【解析】(1)設切點為，∵，∴曲線在點處的切線的斜率∴切線的方程為：又切線過點，∴，解得或，故切線的方程為：或.(2)設，則.由于，所以切線的斜率為，故.整理得設，同理可得.故直線的方程為.所以直線過定點.例17．(2023·江西南昌·高二期末（理））已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為6.(1)求拋物線的方程；(2)若不過原點的直線與拋物線交于A、B兩點，且，求證：直線過定點并求出定點坐標.【解析】(1)拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點，設拋物線的方程為，到焦點的距離為6，即有點到準線的距離為6，即解得，即拋物線的標準方程為；(2)證明:由題意知直線不能與軸平行，故直線方程可設為,與拋物線聯(lián)立得

，消去得,設，則,則，,由，可得，所以，即，亦即，又，解得，所以直線方程為，易得直線過定點.例18．(2023·河南·夏邑第一高級中學高二期末（文））已知拋物線的焦點為，過點且垂直于軸的直線交于，兩點，為坐標原點，.(1)求的方程；(2)過點作兩條互相垂直的直線，，直線與交于，兩點，直線與交于，兩點，求證：為定值.【解析】(1)拋物線的焦點坐標為，將代入，得，所以點和點的坐標為，.所以，所以，所以（舍去）.所以的方程為.(2)證明：由（1）知，，由于直線，均與交于兩點，所以直線，斜率存在且不為0.設直線的方程為，，，聯(lián)立得，恒成立.所以，所以.因為，所以將換成，得，所以，所以為定值.變式35．(2023·廣東·深圳市羅湖外語學校高二階段練習）已知拋物線，直線交C于A，B兩點．(1)若弦AB的中點是，求直線l的方程；(2)設，，若，求證：直線過定點．【解析】(1)由于在拋物線開口之內，且不在軸上，直線的斜率存在，設為，且設，可得，兩式相減可得，即，則直線的方程為，即，檢驗直線存在，且方程為；(2)證明：若直線的斜率不存在，可得（其中），將代入拋物線方程，可得，則，即，直線過；若直線的斜率存在，設為，當時，設的方程為，將代入拋物線的方程消去可得，所以，即有，所以，所以直線的方程為，則直線恒過定點．當時，直線的方程為，又，即，此時不存在直線滿足題意；綜上，直線恒過定點．變式36．(2023·福建泉州·高二期中）已知拋物線經(jīng)過點．(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于兩點，且，證明：直線過定點．【解析】(1)∵拋物線過點，．．∴動點的軌跡的方程為．(2)設，，由得，，．，．，或．，舍去．，滿足．∴直線的方程為．∴直線必經(jīng)過定點．變式37．(2023·全國·高二課時練習）已知為拋物線：的焦點，直線：與拋物線交于，兩點且．（1）求拋物線的方程；（2）若直線：與拋物線交于，兩點，且與相交于點，且向量，，證明：為定值．【解析】（1）設，，聯(lián)立方程，得，則，從而，解得，故的方程為．（2）證明：設，，且點，聯(lián)立方程，得，則，同理得，因為向量，，所以，兩式相加得，即，由于，所以．所以為定值．題型七：最值問題例19．(2023·全國·高二專題練習）已知過拋物線的焦點且斜率為1的直線交拋物線于、兩點，點是含拋物線頂點的弧上一點，求的最大面積.【解析】設，，，，所在的直線方程為，將其代入拋物線，得，，，當過的直線平行于且與拋物線相切時的面積有最大值.設直線方程為，代入拋物線方程得，由，得，這時，它到的距離為，的最大面積為.例20．(2023·上?！ひ荒＃┮阎獟佄锞€，是軸上一點，是拋物線上任意一點.（1）若，求的最小值；（2）已知為坐標原點，若的最小值為，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）當時，A（1，0）為拋物線的焦點，此時=到準線的距離，∴當為拋物線的頂點時，到準線的距離最小為1，即的最小值為1.（2）的最小值為，即當時取得最小值，所以，即.例21．(2023·四川成都·高二期中（理））已知為拋物線上一點，點到直線的距離為.（1）求的最小值，并求此時點的坐標；（2）若點到拋物線的準線的距離為，求的最小值.【解析】（1）設，則，當時，，此時，∴當時，.（2）設拋物線的焦點為，則，且，∴，它的最小值為點到直線的距離.∴.變式38．(2023·廣東·鹽田高中高二期中）已知拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線C交于A，B兩點，當A，B兩點的縱坐標相同時，．(1)求拋物線C的方程；(2)若P，Q為拋物線C上兩個動點，，E為PQ的中點，求點E縱坐標的最小值．【解析】（1）由題設，且，則，所以拋物線C的方程.（2）設直線為，聯(lián)立拋物線可得，所以，即，，，則，故，又，可得，所以且，則，由對勾函數(shù)的性質：當，時，在上遞增，則最?。划?，時，在上遞減，在上遞增，則最小；綜上，時最小；時最小.變式39．(2023·福建廈門·高二期末（文））已知拋物線C：的焦點為F，直線l過點，交拋物線于A、B兩點.（1）若P為中點，求l的方程；（2）求的最小值.【解析】（1）方法一：設，，，則，，，化簡得，因為的中點為，，，∴l(xiāng)的方程為，即.經(jīng)檢驗，符合題意.方法二：設，，當斜率不存在時，顯然不成立.當斜率存在時，設直線l：，顯然，由得易知，，因為的中點為，，即，解得，∴l(xiāng)的方程為（2）方法一：由拋物線的定義可知當斜率不存在時，直線l：，當斜率存在時，設直線l：，顯然，由得，易知，，時，的最小值為綜上，的最小值為方法二：由拋物線的定義可知顯然直線l不平行于x軸，設直線l：，由得，易知，，，時，的最小值為【同步練習】一、單選題1．(2023·全國·高二課時練習）拋物線的焦點到直線的距離是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由拋物線方程知：為拋物線焦點，所求距離.故選：D.2．(2023·全國·高二課時練習）設點為拋物線上一點，點，且，則點的橫坐標為（

）A． B． C．或 D．或答案：B【解析】由拋物線方程知：為拋物線的焦點，，解得：.故選：B.3．(2023·四川省資陽中學高二開學考試（理））拋物線的焦點坐標是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由題得，所以拋物線的焦點坐標為.故選：C4．(2023·陜西·西北農林科技大學附中高二期末（文））設斜率為2的直線l過拋物線（）的焦點F，且和y軸交于點A，若（O為坐標原點）的面積為4，則拋物線方程為（

）A． B．C． D．答案：B【解析】拋物線的焦點的坐標為，所以直線的方程為：，令，解得，因此點的坐標為：，因為的面積為4，所以有，即，，因此拋物線的方程為.故選：B.5．(2023·浙江舟山·高二期末）已知拋物線C：，焦點為F，點到在拋物線上，則（

）A．3 B．2 C． D．答案：D【解析】因為點在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D6．(2023·內蒙古包頭·高二期末（文））已知拋物線的焦點為F，P為拋物線上一點，過點P向拋物線的準線作垂線，垂足為N.若，則的面積為（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如圖，根據(jù)拋物線定義，可知PF=PN，OF=AO=2，又因為，所以三角形PNF為等邊三角形，點F作FM⊥PN于點M，則M為PN的中點，且MN=AF=2，所以PN=4，由勾股定理得：，所以的面積為.故選：C7．(2023·北京西城·高二期末）設拋物線的頂點為原點，焦點在軸上，過的直線交拋物線于點，則以為直徑的圓（

）A．必過原點 B．必與軸相切C．必與軸相切 D．必與拋物線的準線相切答案：C【解析】如圖，取中點，以為圓心，為直徑作圓，與相切于點，連接，證明如下：因為為，中點，所以，又，所以，由拋物線定義可知，，所以為圓的半徑，即以為直徑的圓與軸相切.故選：C8．(2023·四川南充·高二期末（文））拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，點為平面上任意一點，為坐標原點，則（

）A．－5 B．－3 C．3 D．5答案：B【解析】設，，由題意，直線的斜率存在，因為拋物線的焦點為，所以不妨設直線的方程為，由，可得，所以，，，所以，故選：B.二、多選題9．(2023·全國·高二專題練習）(多選)經(jīng)過拋物線(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列說法中正確的是（）A．當AB與x軸垂直時，|AB|最小 B．＋＝C．以弦AB為直徑的圓與直線相離 D．y1y2＝－p2答案：AD【解析】設過拋物線焦點的直線方程為：，代入得，，則，，