2019年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末測試題庫200題（含標(biāo)準(zhǔn)答案）

2019年概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)期末測試復(fù)習(xí)題200題［含

答案］

一、選擇題

i.某切割機(jī)在正常工作時(shí)，切割得每段金屬棒長服從正態(tài)分布，且其平均長度為

10.5cm,標(biāo)準(zhǔn)差為0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取16段進(jìn)行測量，計(jì)算平均長度為

亍=10.48cm。假設(shè)方差不變，問在&=。（）5顯著性水平下，該切割機(jī)工作是否正常？

（已知：6）5（16）=2.12,Z005（15）=2.131,"=1.960）

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)為“。：〃=105選擇統(tǒng)計(jì)量當(dāng)"。成立時(shí)，U?

N((),l)P{|U|>”0025}=0.05取拒絕域w={IU〉L96。}

10.48-10.5Q

2=0.533

15

由已知M<L96°接受“。，即認(rèn)為切割機(jī)工作正

2.連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f（x）必滿足條件（C

A.0</(x)<1B.在定義域內(nèi)單調(diào)不減

C.「'"(X)公=1D.lim/(X)=1

3.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

vfl,事件A發(fā)生.?.

0,否則且P（A）=pX］,X29,

Y=±Xi

立。令源，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)2>）近似于（B）。

中（『一叩）①（-^~）

A.①（y）B.叩Q-P）C.①⑶一即）D.〃P（1—P）

4.某人外出可以乘坐飛機(jī).火車.輪船.汽車四種交通工具，其概率分別為

5%.15%.30%.50%,乘坐這幾種交通工具能如期到達(dá)的概率依次為

100%.70%.60%.90%。求該人如期到達(dá)的概率。

解：設(shè)4,4,4,4分別表示乘坐飛機(jī).火車.輪船.汽車四種交通工具，B表示如期到

達(dá)。

4

P(B)=EP(4)P(B|A,)

則M=().05X1+0.15X0.7+0.3X0.6+0.5x0.9=0.785

答：如期到達(dá)的概率為0.785。

四(1)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為

"“)=[[Ax(,),0<其x它<l

求(1)A；(2)X的分布函數(shù)F(x)；(3)P(0.5<X<2)?

(1)jXf(x)dx=￡Axdx=x2|Q=-^=1

解：A=2

(2)當(dāng)x〈(時(shí)，F(xiàn)(x)=['=0

J-OC-

當(dāng)0?X<1時(shí)，F(xiàn)(x)=J：=[htdt=X2

當(dāng)x>1時(shí),F(x)=j=￡2tdt=1

0,x<0

故F(x)=<x2,0<x<l

1,x>1

(3)P(1/2<X<2)=F(2)—F(l/2)=3/4

5.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

依九+1,0<x<2

J[0,其它

求(1)k；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(1.5<X<2.5)

(1)J/(x)tZr=￡(Ax+lXr：=(#+必；=2左+2=1

解：k=-1/2

(2)當(dāng)x<00寸，F(xiàn)(x)=「f(t)dt=0

J-00

2

當(dāng)0Vx<2時(shí)，/(x)=「/?勸=「'(-0.5/+l)d/=-L+x

JTOJO4

當(dāng)x>2lfj*,F(x)=ff(t)dt=1

J-<x>

0,x<0

Y2

故F(x)=<-----+x,0<x<2

4

1,x>2

⑶P(1.5<X<2.5)=F(2.5)—F(1.5)=l/16

6.袋裝食鹽，每袋凈重為隨機(jī)變量，規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為500克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，一箱

內(nèi)裝100袋，求一箱食鹽凈重超過50250克的概率。(課本117頁41題)

7.已知連續(xù)型隨即變量X的概率密度為

其它

求(1)c；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-0.5<X<0.5)o

(1)=carcsinx[)]=CTI-1

解：C=l/7T

(2)當(dāng)x<—1時(shí)，F(xiàn)(x)=「=0

J-00

當(dāng)一1Wx<1時(shí)，F(xiàn)(x)=[=「——r—dt=—arcsin”匕

J—00J周12萬

1.乃、

=—(zarcsinx+—)

712

當(dāng)x時(shí)，F(xiàn)(x)=[Xf(t)dt=l

J-00

0,x<-\

1jr

故F(x)=<—(arcsinx+—),—1<x<1

兀2

1,x>l

⑶P(-0.5<X<0.5)=F(0.5)—F(-0.5)=l/3

8.設(shè)隨機(jī)事件A.B互不相容，P(A)=p,P(B)=q,則P(AB)=(c)o

A.(i-p)qB.pqc.qD.P

9.已知隨機(jī)變量X?N(0.1),求隨機(jī)變量Y=X2的密度函數(shù)。

解：當(dāng)yWO時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=0；

P(-4y<X<^)

當(dāng)y>0時(shí)，F(xiàn)Y(y)=P(YWy)=P(X2Wy)=

口卷產(chǎn)—『看”l2dx

e-y,2

y>0,

-^-FY(y)=U27ry'

dy

因此，fY(y)=10'y<0.

10.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是

f(x;6)=-fl=e2。-8Vx<+00

\J2TTS

玉,々,當(dāng)，’X“是一組樣本值，求參數(shù)b的最大似然估計(jì)?

11.從某同類零件中抽取9件，測得其長度為(單位：mm)：

12.隨機(jī)抽取某種炮彈9發(fā)做實(shí)驗(yàn)，測得炮口速度的樣本標(biāo)準(zhǔn)差S=3(m/s),設(shè)炮口速度服

從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的方差0的置信度為0.95的置信區(qū)間。

OO2O222

(已知:Z.25(8)=17.535,Z.975(8)=2.18;ZO.O25(9)=19.02,Zo975(9)=2.7)

因?yàn)榕诳谒俣确恼龖B(tài)分布，所以

22

W〃*51)P{/0,025(8)<IV<Z().975(8))=0.95

(7?-l)S2(n-l)S2

、為0.025(〃一1)為0.975(〃-1),

0?的置信區(qū)間為:

（8x98x9

〃的置信度0.95的置信區(qū)間為U7.53512.180即(4.106,33.028)

13.一批螺絲釘中，隨機(jī)抽取9個(gè)，測得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算如下：元=16.1（km,s=2.10ca。設(shè)螺

2

絲釘?shù)拈L度服從正態(tài)分布，試求該批螺絲釘長度方差b-的置信度為0.95的置信區(qū)間。

（已知:2（）2（8）=2.18；檢（⑼2（））

Zo.o258=17.535,ZO9751=19.02,/0.9759=2.7

解：因?yàn)槁萁z釘?shù)拈L度服從正態(tài)分布，所以

卬=吐里“（〃_1）

22

CT^ZO,O25(8)^W<ZO>975(8)}=O.95

(〃-1爐5-1)52

、力0.025(〃一1)Zo,975(0—

的置信區(qū)間為:

’8x2.1028x2.102、

"的置信度0.95的置信區(qū)間為117.5352.180)即(2.012,16.183)

14.已知隨機(jī)變量X和V相互獨(dú)立，且它們分別在區(qū)間［—1,3］和［2,4］上服從均勻分

布，則"（XK）=（人）。

A.3B.6C.10D.12

15.715.114.815.015.314.915.214.615.1

已知方差不變。問在a=°05顯著性水平下，新機(jī)器包裝的平均重量是否仍為15?

（已知：之5（15）=2.131,r005（14）=2.145,U。02s=1.960）

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是"。：〃=15選擇統(tǒng)計(jì)量a/sin在"。成立時(shí)

U~N（0,l）

P{IUl>%>.O25}=0?05取拒絕域w={??L960}

一?三“必，\II\又一〃14.967-15

經(jīng)計(jì)算『小M=.=F7^=°33|t/|<1.960

接受“。，即可以認(rèn)為袋裝的平均重量仍為15克。

16.已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為

2x,xG(0,A)

f(x)=<

0,其它

求(1)A；(2)分布函數(shù)F(x)；(3)P(-0.5<X<l)o)

(1)jf(.x)dx=￡Ixdx=A?=]

解：A=1

(2)當(dāng)x<0時(shí)，/(x)力=0

當(dāng)0Kx<1時(shí)，F(xiàn)(x)=「f(t)dt=f2tdt=x2

J73Jo

當(dāng)X2時(shí),F(x)=['f(t)dt=

J—30

0,x<()

故F(x)=-x2,0<x<l

1,x>\

(3)P(-0.5<X<l)=F(1)—F(-0.5)=l

17.某廠由甲.乙.丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為3：2：1,各車間產(chǎn)品的

不合格率依次為8%,9%,12%。現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件，求：(1)取到不合格產(chǎn)

品的概率；(2)若取到的是不合格品，求它是由甲車間生產(chǎn)的概率。(同步45頁三.1)

解：設(shè)Al,A2,A3分別表示產(chǎn)品由甲.乙.丙車間生產(chǎn)，B表示產(chǎn)品不合格，則Al,A2,

A3為一個(gè)完備事件組。P(Al)=l/2,P(A2)=l/3,P(A3)=l/6,

P(B|Al)=0.08,P(B|A2)=0.09,P(B|A3)=0.12?

由全概率公式P(B)=P(A1)P(B|Al)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.09

由貝葉斯公式：P(Al|B)=P(AlB)/P(B)=4/9

'2x0<X<l

/(x)=<

18.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為I0°小〃

求：(1)X的分布函數(shù)F(x)；(2)P{0.3<X<2}(同步45頁三.3)

19.設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=l)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5,寫出其分布函數(shù)

F(x)。

[答案:當(dāng)x<l時(shí)，F(xiàn)(x)=0;當(dāng)1WXV2時(shí),F(x)=0.2;

當(dāng)2Wx<3時(shí)，F(xiàn)(x)=0.5;當(dāng)3Wx時(shí)，F(xiàn)(x)=l

20.設(shè)x與y相互獨(dú)立，且x服從a=3的指數(shù)分布，y服從4=4的指數(shù)分布，試求:

（1）"丫）聯(lián)合概率密度與聯(lián)合分布函數(shù)：⑵p（x<i,y<i）；

（3）（X,D在D=｛（無，加>0,y>0,3x+4y<3｝取值的概率。

解：（1）依題知

(3e-3xx>0屋』,y>0

fxM\八4(y)=,

其他Io,其他

所以（x，y）聯(lián)合概率密度為

I2e-3x-4y,x>0,y>0

f(x,y)=<

0,其他

當(dāng)x>0,y>0時(shí)，有

F(x,y)=1力「12*”-4sds=(l-e-3v)(l-e.,)

所以（x，y）聯(lián)合分布函數(shù)

(1-e%)(l一二，),x>0,y>0;

/（“）=<

0,其他

(2)P(X<1,y<1)=F(l,l)=(l-e-3)(i_I)；

⑶p((x，y)e0=J>,

'1-P

21.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為I)

求隨機(jī)向量(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=1+4-2*(-1)=7

D(X+Y尸DX+DY+2Cov(X,Y)=l+4+2*(-1)=3

Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=1-4=-3

_Cou(x-y,x+y)__3_-3

Px-Yx+Y~jD(X-Y)gX+Y)~-V21

，7-3、

所以，(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為I*和

fl西

、而1>

求隨機(jī)向量(X+Y,X-Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=5+4+2*2=13

D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=5+4-2*2=5

Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=5-4=1

_c—(x+y,x-y)_]__j_

--

—』D(X+Y)m(X-Y)V13*V5V65

22.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是

axa~l0<x<l

f(x-,a)=<

0,其它

其中a>°為未知參數(shù)。%，馬，'X，，是一組樣本值，求參數(shù)。的最大似然估計(jì)。

L=flax：'=a"flx產(chǎn)InL=〃Ina+(a-1)￡In苦

解：似然函數(shù),=|，1=1,=|

d\nLn-A

B=￡+y”,二。Zin%,

/=1

23.設(shè)總體的概率密度函數(shù)是

3Ax2exp{-Ax3},x>0

/(x)=<

0,其它

其中4>0是未知參數(shù)，西，了2，芻，‘X"是一組樣本值，求參數(shù)彳的最大似然估計(jì)。

2,,,

L=n(32x(exp{-2x,.))=(32'fix,.exp{-A^x(.})

解：似然函數(shù)

2

\nL=nln(3/l)+^lnx;-2^x/

;=1

2=」一

n

dinLn白鼻八

--------=——Z\=0

da2臺(tái)

1=1

24.設(shè)總體X的概率分布為P{X=x}=p'(l-p)':龍=0,1。設(shè)玉，工2，毛，，%為總體X

的一組簡單隨機(jī)樣本，試用最大似然估計(jì)法求p的估計(jì)值。

L="p*(l-p)flnL=Inp+l

解:

25.設(shè)隨機(jī)事件A與8互不相容，且P(A)>P(B)>0,則(口)。

AP(A)=1-P(3)B.P(AB)=P(A)P(8)cP(AuB)=lD

P(AB)=1

26.設(shè)①(%)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

X/，票件:發(fā)生；』，乙…，I。。，yyy

[(),否則。且P(A)=0.1,X],X],…,X[o<)相互獨(dú)

100

Y=YX1

立。令,則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/(y)近似于(B)。

中(口)

A.①()')B.3c①(3y+l°)D.①(9y+l°)

27.設(shè)總體X的數(shù)學(xué)期望EX=U,方差DX=o2,XI,X2,X3,X4是來自總體X的簡

單隨機(jī)樣本，則下列口的估計(jì)量中最有效的是(D)

A.-X.+-J-X,+1X,B.-X.+-X

6'6233333132373

3411

D.-X.+-X+-X+-X

c小+產(chǎn)一產(chǎn)-產(chǎn)41422433444

28.若E(XY)=E(X)E(Y)則(D)。

A.x和y相互獨(dú)立B.x與y不相關(guān)c.O(XK)=°(x)D(y)D.

D(X+Y)=D(X)+D(Y)

29.若隨機(jī)向量(x，y)服從二維正態(tài)分布，則①x，y一定相互獨(dú)立；②若

夕xy=0,則X，y一定相互獨(dú)立；③X和y都服從一維正態(tài)分布；④若X，y相互獨(dú)

立,則

Cov(X,Y)=0?幾種說法中正確的是(B)。

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④

30.已知某煉鐵廠在生產(chǎn)正常的情況下，鐵水含碳量X服從正態(tài)分布N(4?55,0."2)?，F(xiàn)

抽測了9爐鐵水，算得鐵水含碳量的平均值5=4.445,若總體方差沒有顯著差異，即

。2=0」/，問在。=0.05顯著性水平下，總體均值有無顯著差異？

（已知：機(jī)5（9）=2262,Ms（8）=2306,t/0025=1.960）

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是"。：〃=4.5選擇統(tǒng)計(jì)量在“。成立時(shí)

U~N（0,l）

P{|Ui>劭必}=0Q5取拒絕域w={山l>L96°}

[U|=^^=4.產(chǎn)45）=2￡64,,

由樣本數(shù)據(jù)知\o-/4n\0.11/3⑼>1.960拒絕”。，即

認(rèn)為總體均值有顯著差異。

31.若隨機(jī)向量(x，y)服從二維正態(tài)分布，則①x，y一定相互獨(dú)立；②若

夕xy=0,則X，y一定相互獨(dú)立；③X和y都服從一維正態(tài)分布；④若X，y相互獨(dú)

立，貝IJ

Cov（X,Y）=0?幾種說法中正確的是（B）。

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①②④

32設(shè)總體X的概率密度為

（。+1）巴0<%<1

/（%）=>

0,其他

其中未知參數(shù)夕>—1,x”X2,…X"是取自總體的簡單隨機(jī)樣本，用極大似然估計(jì)法求

e的估計(jì)量

L（e）=n（e+Dx;i=i,2,）

解：設(shè)似然函數(shù)/=1

對此式取對數(shù)即

d]nL=——-+才

InL(。)=Mln(e+l)+e，lnXihix.

e+i占,

i=\且d6

n

e=-\

d\nL八

-----=0,》nx,

令d0可得i=\此即e的極大似然估計(jì)量。

33.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為/(X)=ce',則。=

￡]_

(A)一2(B)0(C)2(D)1

34.設(shè)A,B為隨機(jī)事件，P(B)>0,P(A\B)=1則必有(A)o

AP(AuB)=P(A)B.An8c,尸⑷=P⑻DP(AB)=P(A)

35.設(shè)①（%）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),

],事件A發(fā)生；

Xi=0,否則?！?1'2,…'10°'且p(A)=0.1,X2,…，XM

相互獨(dú)

r=￡10%0,.

立。令t,則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)”>）近似于（B）。

y-10

A.①⑴B）c①（3y+i°）D中/+⑼

36.設(shè)（X|，X2,…,X“）為總體N（l,2?）的一個(gè)樣本，又為樣本均值，則下列結(jié)論中正

確的是（D）。

X-1）2~/（〃，1）~^=~%~N（O,1）

A.2際；B.4占；C,五/品；D.

江（X,-l）2~/（〃）

4片

1,事件A發(fā)生

X,="z=l,2,…，100,

37.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，0,否則

100

y=￡x,.

P（A）=0.3,x「X2,…，Xi的相互獨(dú)立。令日，則由中心極限定理知y的分布

函數(shù)日，）近似于（B）。

①鏟）①（普

A.①⑺B,V2Tc.21）D①（股30）

38.若A與B對立事件，則下列錯(cuò)誤的為(A)。

AP(AB)=P(A)P(B)RP(A+8)=1,P(A+B)^P(A)+P(B)

P(AB)=0

39.己知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

F（x）=A+Barctanx

求（1）A,B；（2）密度函數(shù)f（x）；（3）P（1<X<2）,

TT

(1)limF(x)=A+-B=l

XT+OO2

limF(x)=A」TTB=O

XfF2

解：A=1/2,B=l/兀

(2)

/W=F，(X)=^5

1c

—arctanz

(3)P(0<X<2)=F(2)—F(0)=〃

40.設(shè)①（%）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

n,事件A發(fā)生

T=。‘否則''…''日P（A）=0.4X1,X,

，Xioo相

、JzL,

r=￡100x,.

互獨(dú)立。令，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù),（>）近似于（B)O

①（與竺）①（匕竺）

A.①（y）B,后C.①⑶-40）D.24'

41.設(shè)①（X）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

fl,事件A發(fā)生

[o,否貝Li且P（A）=0.7,XpXioo相

1（X）

r=

互獨(dú)立。令<='，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)E（>）近似于（B）。

中百當(dāng)中（匕當(dāng)

A.①（y）B,4C①（尸70）D.21）

42.設(shè)隨機(jī)事件A.B互不相容，RA）=P，P?=q,則P（M>=（c）o

A.（1一〃）4B.pqC.qD.P

43.設(shè)①（“）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，

fl,事件A發(fā)生

=j,二?乂7=1,2,…，100,

[0,否則旦P（A）=0.5,X|,X2,…,Xioo相互

r=￡100x,.

獨(dú)立。令I(lǐng),則由中心極限定理知y的分布函數(shù)F（y）近似于（B）.

小〃一50、?y-50

)

A.中⑶）B.5c.①(—0)D.25

44.設(shè)~^^一?是一組樣本觀測值，則其標(biāo)準(zhǔn)差是（B）。

1方(XT11n

AA.〃一1i=lB.V〃一11=1D.

45.設(shè)隨機(jī)變量X?N(u,81),Y?N(u16),記

Pl=P{X<4-9},〃2={丫之〃+4},則(B)o

A.pl<p2B.pl=p2C.pl>p2D.pl與p2的關(guān)系無法確定

46.已知隨機(jī)變量X的概率密度為人（幻，令y=-2X+3,則Y的概率密度4"）為

(A)o

A.4A(_>—3

2

47.設(shè)X”X2是任意兩個(gè)互相獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為力（X）和

人（回，分布函數(shù)分別為大（%）和尸2（%）,則（B）。

工（幻+力（）必為密度函數(shù)耳（幻?工（幻必為分布函數(shù)

XB.

耳（x）+%（x）必為分布函數(shù)（尤＞）、2（處必為密度函數(shù)

C.D

48.連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f（x）必滿足條件（C）。

A.0</(x)<lB.在定義域內(nèi)單調(diào)不減

C.「73公=1D.lim/(x)=1

J-oo

49.設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f（x）,則Y=7—5X的密度函數(shù)為（B）

1cy-71「y-7

A.—/C-2—)B.-/(-2L-)

5555

c.-1/(-2D.-/J皿

))

5555

50.設(shè)①（“）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),

1,事件A發(fā)生

X,=，。。，且⑷…，

O,否貝！J1,2,…1p=07,X,,*2,XI00ffl

100

r=

互獨(dú)立。令7，則由中心極限定理知丫的分布函數(shù)/（舊近似于（B）。

①告乃①（書

A.①（y）B,5c①（y一70）D.21）

51.其平均壽命為1070小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差5=109小時(shí)。問在a=0-05顯著性水平下，檢

測燈泡的平均壽命有無顯著變化？

（已知：魚5（9）=2.262,（8）=2.306,〃必=1.960）

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)為"。：〃=U2°

口

選擇統(tǒng)計(jì)量/S品/當(dāng)"。成立時(shí)，T?t（8）0{"乜.05（8）}=005

取拒絕域亞={171>2-306}由已知

IIx-A1070-1120

/=----=----——:--=1.3/0

團(tuán)<2306接受”。，即認(rèn)為檢測燈泡的平均壽命無顯著變

化。

52.已知某煉鐵廠在生產(chǎn)正常的情況下，鐵水含碳量X服從正態(tài)分布，其方差為0.03o在

某段時(shí)間抽測了10爐鐵水，測得鐵水含碳量的樣本方差為0.0375。試問在顯著水平

￡=0.05下，這段時(shí)間生產(chǎn)的鐵水含碳量方差與正常情況下的方差有無顯著差異？

（已知：2222

ZO.O25（1O）=20.48,ZO.975（1O）=3.25,z0,025（9）=19.02,Zo.975（9）=2.7）

（〃一1一

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)是"。：b=0?0選擇統(tǒng)計(jì)量〃在"。成立時(shí)

卬~/⑼

P{/°g（9）>W>/ow（9）}=（）95

取拒絕域亞=產(chǎn)>1983〃<2.700}

卬上吐=9x0.0375=]125

由樣本數(shù)據(jù)知b?0.03

19.023>11.25>2.700

接受“。，即可相信這批鐵水的含碳量與正常情況下的方差無顯著差異。

53.某巖石密度的測量誤差X服從正態(tài)分布"(〃，。?),取樣本觀測值16個(gè)，得樣本方差

S?=0.04,試求/的置信度為95%的置信區(qū)間。

222

(已知：力00252a6)=28.845,Z0975(16)=6.908；Zoo25(15)=27.488,Zo975(15)=6.262)

解：由于x~所以

W一(〃—DY2/八

22

二一~/()P(Z0,025(15)<W<ZO,975(15)}=0.95

22

((n-l)S(n-l)S)

CT的置信區(qū)間為：/025("-1)延975(〃-1)

<15x0,0415x0,04>

的置信度0.95的置信區(qū)間為：〔27.488'6.262J即(0022,().096)

54.已知某批銅絲的抗拉強(qiáng)度X服從正態(tài)分布'(〃，)?)。從中隨機(jī)抽取9根，經(jīng)計(jì)算得

其標(biāo)準(zhǔn)差為8.069。求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間。

(已知:二出(9)=19.023,%嬴(9)=2.7,就必⑻=17.535,^(8)=2.180)

解：由于抗拉強(qiáng)度服從正態(tài)分布所以，

W(〃—1)S2/

W=----o----X("Dn

a~—⑻WWW%/(8)}=。-95

(MDS25-1)52

b?的置信區(qū)間為:忘025(〃—1)%0.975(〃—1)

(8x8.06928x8.0692、

人的置信度為0.95的置信區(qū)間為I05352,180)即(29.705,238.931)

55.614.715.114.914.815.015.115.214.7

已知零件口徑X的標(biāo)準(zhǔn)差b=015,求〃的置信度為0.95的置信區(qū)間。

(已知:Zo05(9)=2.262,(os(8)=2.306,仁陽=1.960)

U=三一".~N(0,1)

解：由于零件的口徑服從正態(tài)分布，所以o/品'口|"|<〃0必}=095

9

(亍_“0.025~j=，亍+“0.025與)亍=/￡玉=]4.9

所以〃的置信區(qū)間為：7n7〃經(jīng)計(jì)算

(14.9—1.96x嶗,14.9+L96x竽)

4的置信度為0.95的置信區(qū)間為即

(14,802,14.998)

56.設(shè)兩箱內(nèi)裝有同種零件，第一箱裝50件，有10件一等品，第二箱裝30件，有18件

一等品，先從兩箱中任挑一箱，再從此箱中前后不放回地任取2個(gè)零件，求：（同步29頁

三.5）

（I）取出的零件是一等品的概率；

（2）在先取的是一等品的條件下，后取的仍是一等品的條件概率。

解：設(shè)事件A，=｛從第i箱取的零件｝,=｛第i次取的零件是一等品）

_1__1_0_1_―1――18,2

（1）p（與尸p（A況?A［）+p（A2）p（811A2尸2502305

工生+16=0194P（B也）

⑵p（B］%=2eg。2Go，則p（B2|5］）=P（g）MO.

57.615.114.914.815.215.114.815.014.7

若已知該天產(chǎn)品直徑的方差不變，試找出平均直徑〃的置信度為0.95的置信區(qū)間。

￡,05%,05

（已知：（9）=2.262,（8）=2.306,UOO25=1.960）

U二三一%~N（0

解：由于滾珠的直徑X服從正態(tài)分布，所以

P｛|U|<%O25｝=0-95

_a一9

（X-40025，X+W0.025x=±Yr.=14.911

所以〃的置信區(qū)間為：經(jīng)計(jì)算I

M的置信度為0.95的置信區(qū)間為

（14.911-1.96x邛/4.911+1.96x零）

即(14.765,15.057)

58.設(shè)總體X的概率密度函數(shù)是

1」（%一〃）2

/（%;//）=-5=e2,-co<x<+oo

12冗

%，々，‘X”是一組樣本值，求參數(shù)〃的最大似然估計(jì)?

解：似然函數(shù)

771n

In乙=一耳In（2%）一,斗七-

dlnL二、八

-=S(Xj—/z)=0￡/=—SX-=x

dp.i=lni=i

59.己知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

1-----x>2

尸(x)={X25

0,x<2

求(1)A；(2)密度函數(shù)f(x)；(3)P(0WXW4)。

(2)

’8

x>2

(1)limF(.r)=l-A/4=0y(x)=F\x)=-7,

.解：A=4I。x<2

⑶P(0<X<4)=3/4

'4—5、

60.已知隨機(jī)向量(X,Y)的協(xié)方差矩陣V為'—59)

求隨機(jī)向量(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣。

解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=4+9-2*(-5)=23

D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=4+9+2*(-5)=3

Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=4-9=-5

_CMX-RX+Y)__5_-5

Px~Y'x+Y~J°(X_y)jD(X+y)-V23*V3-769

'23-5、

-513

所以，(X—Y,X+Y)的協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣分別為IJ和

(,-5]

1祠

之1

IV69)

61.設(shè)?。ɑ脼闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),

1,事彳牛人發(fā)生._

xi=i

O,否則1，~，‘1。。，艮尸（4）=0.4,X],X2,…，X]0G相

100

丫=￡X,

互獨(dú)立。令，則由中心極限定理知y的分布函數(shù),（＞）近似于（B）。

A.①(y)B.%京c①(fD①(膏)

62.設(shè)（X”X2,…,X“）為總體N（l,2?）的一個(gè)樣本，又為樣本均值，則下列結(jié)論中正

確的是(D)。

A.2/G；B.4￡c.；

;D.

i〃

:豆(Xj-1)2~/(")

4,=1；

1.已知A.B.C為三個(gè)隨機(jī)事件，則A.B.C不都發(fā)生的事件為(A)。

A.ABCB.ABCC.A+B+CD.ABC

2.下列各函數(shù)中是隨機(jī)變量分布函數(shù)的為（B）。

fox<0

?、1r(X)=vX

r（x）=-----,-oo<x<ooB.[l+xx>0

A.1+廠

F(x)^-+—arctgx,-oo<x<oo

CF(x)=e~x,-co<x<ooD.4In

63.6577706469726271

設(shè)患者的脈搏次數(shù)X服從正態(tài)分布，經(jīng)計(jì)算得其標(biāo)準(zhǔn)差為4.583。試在顯著水平。=0.05

下，檢測患者的脈搏與正常人的脈搏有無顯著差異？

（已知:柩5（8）=2.306"。05（9）=2.262,02s=1.960）

解：待檢驗(yàn)的假設(shè)為"。：”=72

~S/~

選擇統(tǒng)計(jì)量7a當(dāng)"。成立時(shí)，T~'（8）

尸{1n>人(8)}=。05

19

X--2

9-=68.667

算