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第4講冪函數(shù)、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.[命題點(diǎn)1]某同學(xué)探討了一個(gè)函數(shù),他給出這個(gè)函數(shù)的三特性質(zhì):①偶函數(shù);②值域是{y|y∈R,且y≠0};③在(-∞,0)上是增函數(shù).假如他給出的三特性質(zhì)中,有兩個(gè)正確,一個(gè)錯(cuò)誤,則他探討的函數(shù)是 (B)A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2C.f(x)=x3 D.f(x)=x解析f(x)=x-1只滿意性質(zhì)②,f(x)=x3只滿意性質(zhì)③,f(x)=x13只滿意性質(zhì)f(x)=x-2是偶函數(shù),在(-∞,0)上是增函數(shù),其值域是{y|y>0}.故選B.2.[命題點(diǎn)1]若(a+1)-13<(3-2a)-13,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(解析由冪函數(shù)y=x-13的圖象(圖略)可知,不等式(a+1)-13<(3-2a)-13等價(jià)于a+1>3-2a>0或3-2a<a+1<0或a+1<0<3.[命題點(diǎn)2](a23b12)·(-3a12b13)解析(a23b12)·(-3a12b13)÷(13a4.[命題點(diǎn)3]若函數(shù)f(x)=(4mx-n)2的大致圖象如圖所示,則(B)A.m>0,0<n<1B.m>0,n>1C.m<0,0<n<1D.m<0,n>1解析令f(x)=0,即4mx=n,則mx=log4n,即x=1mlog4n由圖可知,1mlog4n>0故當(dāng)m>0時(shí),n>1,當(dāng)m<0時(shí),0<n<1,解除A,D;當(dāng)m<0時(shí),易知y=4mx是減函數(shù),且當(dāng)x→+∞時(shí),y→0,則f(x)→n2,易知C不符合題意.故選B.5.[命題點(diǎn)4角度2]若2x2+1≤(14)x-2,則函數(shù)y=2x的值域是(A.[18,2) B.[18,C.(-∞,18) D.[2,+∞解析因?yàn)?x2+1≤(14)x-2=24所以x2+1≤4-2x,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,所以函數(shù)y=2x的值域是[2-3,2],即[18,2]故選B.6.[命題點(diǎn)4角度3/2024云南省昆明市其次十四中學(xué)模擬]已知奇函數(shù)f(x)=aex-1aex在R上為增函數(shù),則a=(A.1 B.-1 C.2 D.-2解析因?yàn)閒(x)在R上為奇函數(shù),則f(0)=0,即a-1a=0,解得a=1或a=-1.當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-1ex,定義域?yàn)镽,因?yàn)楹瘮?shù)y=ex和y=-1為增函數(shù),所以f(x)在R上為增函數(shù),且f(-x)=e-x-1e-x=1ex-ex=-f(x),故a=1符合題意;當(dāng)a=-1時(shí),f(x)=-ex+1ex,在7.[命題點(diǎn)4/2024遼寧期中]已知函數(shù)f(x)=ex-1ex+1,若對(duì)隨意的正數(shù)a,b,f(2b-2)=0,則2a+1b的最小值為4解析因?yàn)閷?duì)隨意的x∈R,ex+1>0,所以函數(shù)f(x)=ex-因?yàn)閒(-x)=e-x-1e-x+1所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù).因?yàn)閒(x)=ex+1-2ex+1=1-2ex+1,且函數(shù)y=ex+1在R上為增函數(shù),所以函數(shù)若對(duì)隨意的正數(shù)a,b,滿意f(a)+f(2b-2)=0,則f(a)=-f(2b-2)=f(2-2
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