浙江省寧波市九校2023-2024學年高一下學期期末聯(lián)考 數(shù)學試題【含答案】

寧波市2023學年第二學期期末九校聯(lián)考高一數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．四棱錐至多有幾個面是直角三角形？（

）A．2 B．3 C．4 D．52．已知點，，若直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或C．或 D．3．若平面向量兩兩的夾角相等，且，，，則（

）A．1 B．4 C．1或4 D．1或24．已知m，n為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，且，則是的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．逢山開路，遇水架橋，我國摘取了一系列高速公路“世界之最”，一輛汽車在一條水平的高速公路上直線行駛，在三處測得道路一側山頂?shù)难鼋欠謩e為，其中，則此山的高度為（）

A． B．C． D．6．已知復數(shù)是關于x的方程的一個根，若復數(shù)z滿足，復數(shù)z在復平面內對應的點Z的集合為圖形M，則M圍成的面積為（

）A． B． C． D．7．慢走是一種簡單又優(yōu)良的鍛煉方式，它不僅可以幫助減肥，還可以增強心肺功能、血管彈性、肌肉力量等，小溫從小到大記錄了近6周的慢走里程（單位：公里）：11，12，m，n，20，27，其中這6周的慢走里程的中位數(shù)為16，若要使這6周的周慢走里程的標準差最小，則（

）A．14 B．15 C．16 D．178．在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．下列描述正確的是（

）A．若事件，相互獨立，，，則B．若三個事件，，兩兩獨立，則滿足C．若，，則事件，相互獨立與，互斥一定不能同時成立D．必然事件和不可能事件與任意事件相互獨立10．已知復數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的虛部為 B．C．復平面內對應的點位于第二象限 D．11．如圖，已知四面體的各條棱長均等于2，E，F(xiàn)分別是棱，的中點.G為平面上的一動點，則下列說法中正確的有（

）A．三棱錐體積為B．線段的最小值為C．當G落在直線上時，異面直線與所成角的余弦值最大為D．垂直于的一個面，截該四面體截得的截面面積最大為1第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分，12．已知直線與平行，則實數(shù).13．已知圓O的直徑AB把圓分成上下兩個半圓，點C，D分別在上、下半圓上（都不與A，B點重合）若，，則.14．已知三棱錐的四個面是全等的等腰三角形，且，，點為三棱錐的外接球球面上一動點，時，動點的軌跡長度為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟15．如圖，在等腰梯形中，，，分別為，的中點，與交于點.(1)用，表示；(2)求線段的長.16．已知直線.(1)求證：直線過定點；(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)的取值范圍；(3)若直線與兩坐標軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.17．“數(shù)學好玩”是國際著名數(shù)學家陳省身贈送給少年數(shù)學愛好者們的一句話某校為了更好地培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力，激發(fā)學生鉆研數(shù)學的興趣和熱情，特舉辦數(shù)學節(jié)活動.在活動中，共有20道數(shù)學問題，滿分100分在所有的答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績分成六段：，，……，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計該校全體學生這次數(shù)學成績的中位數(shù)；(2)活動中，甲、乙、丙三位同學獨立參加競賽，已知甲同學答對了12道，乙同學答對了8道，丙同學答對了n道，假設每道數(shù)學問題難度相當，被答對的可能性都相同.（i）任選一道數(shù)學問題，求甲、乙兩位同學恰有一人答對的概率；（ii）任選一道數(shù)學問題，若甲、乙、丙三個人中至少有一個人答對的概率為，求n的值.18．如圖1，有一個邊長為4的正六邊形ABCDEF，將四邊形ADEF沿著AD翻折到四邊形ADGH的位置，連接BH，CG，形成的多面體ABCDGH如圖2所示.

(1)求證：AD⊥CG；(2)若AH⊥CD，試求直線CH與平面ABCD所成角的正弦值；(3)若二面角的大小為，M是線段CG上的一個動點（M與C，G不重合），試問四棱錐與四棱錐的體積之和是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，請說明理由19．矩形中，P，Q為邊的兩個三等分點，滿足，R點從點A出發(fā).沿著折線段向點B運動（不包含A，B兩點），記，.(1)當是等腰三角形時，求；(2)當R在線段（不包含A，D兩點）上運動時，證明：；(3)當R在線段（包含C，D兩點）上運動時，求的最大值.1．C【分析】在正方體中考慮一個三棱錐，即可得到四個面均為直角三角形.【詳解】在正方體中，取三棱錐，其四個面均為直角三角形.故選：C.2．D【分析】根據(jù)兩點間斜率公式計算即可.【詳解】直線的斜率為，直線的斜率為，結合圖象可得直線的斜率的取值范圍是.故選：D3．C【分析】根據(jù)題意得到或，然后利用數(shù)量積的運算律求模即可.【詳解】設的夾角為，則或，，，，，當時，，當時，.故選：C.4．C【分析】利用兩者之間的推出關系可得正確的選項.【詳解】若，因為，故，而，故.若，則或相交，故是的必要不充分條件，故選：C.5．D【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)可得，進而根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】解：如圖，設點在地面上的正投影為點，

則，,設山高，則，在中，，由余弦定理可得：，整理得，∴．故選：D．6．C【分析】先由是方程的根求出，，然后由復數(shù)減法的幾何意義求解即可.【詳解】∵是關于的方程（，）的一個根，∴（，），化簡得，∴，解得，∴，如圖所示復平面內，復數(shù)和表示的點為和，表示的向量為和，則由復數(shù)減法的幾何意義，復數(shù)表示的向量為，若，則，∴點的集合圖形是以為圓心，半徑為的圓，∴圍成的面積為.故選：C.7．C【分析】根據(jù)題意得到，進而求得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，結合方差的公式，要使這6個月的月慢走里程的標準差最小，需要最小，結合二次函數(shù)的性質，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，可得，所以，所以這6個月的月慢走里程的平均數(shù)為，要使這6個月的月慢走里程的標準差最小，需要最小，又由，故當標準差最小時，.故選：C8．B【分析】根據(jù)題意，結合條件由余弦定理可得，再由，結合正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式代入計算可得，即可得到結果.【詳解】因為，且，則，由余弦定理可得，所以，即，由正弦定理可得，其中，則，所以，又，化簡可得，且為銳角三角形，則，所以，即，解得或（舍），所以，當且僅當時，等號成立，則的最大值為.故選：B【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了余弦定理，正切函數(shù)的和差角公式以及基本不等式求最值問題，難度較大，解答本題的關鍵在于由余弦定理得到，然后結合基本不等式代入計算，即可求解.9．ACD【分析】根據(jù)獨立事件的概念及乘法公式直接可判斷.【詳解】A選項：由，，則，，又事件，相互獨立，則，A選項正確；B選項：若三個事件，，兩兩獨立，由獨立事件的乘法公式，，，無法確定，B選項錯誤；C選項：，，若事件，相互獨立則，若事件，互斥，則，C選項正確；D選項：設任意事件發(fā)生的概率為，必然事件事件發(fā)生的概率為，不可能事件發(fā)生的概率為，則，，D選項正確；故選：ACD.10．BD【分析】根據(jù)復數(shù)的定義，幾何意義及復數(shù)的運算分別判斷各選項.【詳解】A選項：由，可得的虛部為，A選項錯誤；B選項：由，可得，則，B選項正確；C選項：由，則，對應的點為，在坐標軸上，C選項錯誤；D選項：，，所以，D選項正確；故選：BD.11．BCD【分析】對A，求出正四面體的高，點到平面的距離為，求出體積判斷；對B，作點關于平面的對稱點，由對稱性得，求解判斷；對C，由最小角定理可知，與所成的最小角即與平面所成角，運算得解判斷；對D，根據(jù)題意，可判斷平面截正四面體的截面為矩形，利用基本不等式求解.【詳解】對于A，如圖，作平面，垂足為，因為四面體為正四面體，則為三角形的中心，則，所以，即正四面體的高為，點到平面的距離為點平面的距離的一半，即，所以，故A錯誤；對于B，如圖，作點關于平面的對稱點，連接交平面于點，過點作平面的垂線交平面于點，作，因為平面，所以點，則，，，所以，故B正確；對于C，當落在直線上時，由最小角定理可知，與所成的最小角即與平面所成角，即，所以，所以，即異面直線與所成角余弦最大為，故C正確；對于D，如圖，連接，因為是的中點，所以，同理，設平面交正四面體的棱于點，棱于點，棱于點，棱于點，所以，，，，所以，，又，，是平面內的相交直線，則平面，所以，則，即四邊形為矩形，即平面截正四面體的截面為矩形.設，即，，即，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以平面截該四面體截得的截面面積最大為1，故D正確.故選：BCD.【點睛】關鍵點睛：本題B選項，解題的關鍵是作點關于平面的對稱點，由對稱性求解；D選項，關鍵是判斷出平面截該四面體截得的截面為矩形.12．.【詳解】分析：利用平行線的充要條件列出方程求解即可.詳解：直線與平行，可得，解得或，當時，兩條直線重合，不滿足題意，故答案為.點睛：本題考查平行線充要條件的應用，意在考查基本性質的掌握情況以及計算能力.13．3【分析】利用向量數(shù)量積的運算法則與定義即可得解.【詳解】依題意，連接，如圖，因為是直徑，所以，所以，，所以.故答案為：3.14．【分析】由三棱錐的結構特征，可擴成長方體，利用長方體的外接球半徑得三棱錐的外接球半徑，由動點的軌跡形狀，求軌跡長度.【詳解】由題意可知，三棱錐的四個面是全等的等腰三角形，且，如圖①所示，則有，把三棱錐擴成長方體，則有，解得，則長方體外接球半徑，所以三棱錐的外接球半徑；點為三棱錐的外接球球面上一動點，當時，如圖③所示，所以為等腰三角形，所以故動點的軌跡是半徑為的圓，軌跡長度為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查求三棱錐的外接球，解題關鍵是三組對棱分別相等的四面體（三棱錐），采用補形為長方體（四面體的棱分別是長方體各面的對角線），長方體的外接球半徑即為三棱錐的外接球半徑.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算直接可得解；（2）根據(jù)轉化法可得向量的模.【詳解】（1）由已知，且為的中點，則四邊形為平行四邊形，為等邊三角形，即，又為的中點，則，即；（2）由已知，，三點共線，則，又因為，，三點共線，則有，解得，故有，所以.16．(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）由方程變形可得，列方程組，解方程即可；（2）數(shù)形結合，結合直線圖像可得解；（3）求得直線與坐標軸的交點，可得面積，進而利用二次函數(shù)的性質可得最值.【詳解】（1）由，即，則，解得，所以直線過定點；（2）如圖所示，結合圖像可知，當時，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過第二象限，成立；當時，直線斜率存在，方程為，又直線不經(jīng)過第二象限，則，解得；綜上所述；（3）已知直線，且由題意知，令，得，得，令，得，得，則，所以當時，取最大值，此時直線的方程為，即.17．(1)，75(2)（i）；（ii）【分析】（1）根據(jù)頻率之和為即可求出，根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)的求法求中位數(shù)即可；（2）（i）根據(jù)古典概型結合相互獨立事件的乘法公式求解即可；（ii）根據(jù)相互獨立事件的乘法公式及對立事件的概率公式求解即可.【詳解】（1）由頻率分布直方圖有，得，因為，，所以中位數(shù)在區(qū)間上，設為x，則有，得，所以估計該校全體學生這次數(shù)學成績的中位數(shù)為75；（2）設“任選一道題，甲答對”，“任選一道題，乙答對”，“任選一道題，丙答對”，則由古典概型概率計算公式得：，，，所以有，，，（i）記“甲、乙兩位同學恰有一人答對”，則有，且有與互斥，因為每位同學獨立作答，所以A，B互相獨立，則A與，與B，與均相互獨立，所以，所以任選一道數(shù)學問題，求甲、乙兩位同學恰有一人答對的概率；（ii）記“甲、乙、丙三個人中至少有一個人答對”，則，所以，解得：.18．(1)證明見解析(2)(3)是定值，【分析】（1）作出輔助線，得到AD⊥NG，AD⊥NC，進而得到線面垂直，得到AD⊥CG；（2）計算出，由勾股定理逆定理得到AC⊥CD，結合AH⊥CD，故CD⊥平面AHC，所以AH⊥CH，求出，根據(jù)求出點到平面的距離，求出CH與平面ABCD所成角的正弦值；（3）由二面角定義得到，作出輔助線，證明出線面垂直，并求出，從而得到.【詳解】（1）如圖，連接EC交AD于N，則N為CE的中點，由正六邊形的性質，⊥，可知AD⊥NG，AD⊥NC，因為，NG，平面GNC.故AD⊥平面GNC.而平面GNC，所以AD⊥CG.

（2）如圖，連接AC，在正六邊形中，，故，又，，

則有，即AC⊥CD，又因為AH⊥CD，故CD