江蘇省鹽城市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末 數(shù)學(xué)試題【含答案】

2023-2024學(xué)年度第二學(xué)期高一年級期終考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1.本試卷考試時間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若向量，為單位向量，且，則（

）A． B． C． D．13．已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若，，則用，表示（

）A． B． C． D．5．若直線與平面不垂直，那么在平面內(nèi)與直線垂直的直線（

）A．只有一條 B．無數(shù)條C．是平面內(nèi)的所有直線 D．不存在6．若，則（

）A． B． C．1 D．37．《九章算術(shù)》中將“底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱”稱為塹堵；將“底面為矩形且一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐”稱為陽馬.如圖，在塹堵中，，，，陽馬的外接球表面積為（

）A． B． C． D．8．設(shè)函數(shù)，若恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．1二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.）9．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．的虛部為C． D．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第二象限10．若函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的一個周期為 B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．函數(shù)的最大值為2，最小值為011．如圖，在直棱柱中，底面是邊長為2的菱形，，，點為的中點，動點在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若點在線段上，則四面體的體積為定值C．若，則點軌跡的長度為D．若點在直線上，則的最小值為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12．若，，，的方差為2，則，，，的方差為.13．若，，，則的最小值為.14．已知梯形中，，，，，，若，，，則的取值范圍為.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15．2024年5月15日是第15個全國公安機(jī)關(guān)打擊和防范經(jīng)濟(jì)犯罪宣傳日，某市組織了多個小分隊走進(jìn)社區(qū)，走進(jìn)群眾，開展主題為“與民同心，為您守護(hù)”的宣傳活動，為了讓宣傳更加全面有效，某個分隊隨機(jī)選擇了200位市民進(jìn)行宣傳，這些市民年齡的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖：

(1)請估計這200位市民的平均年齡（同組數(shù)據(jù)用組中值代替）；(2)現(xiàn)用分層抽樣的方法從年齡在區(qū)間和兩組市民中一共抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪，求“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.16．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位后，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時，求函數(shù)的值域.17．在中，角，，的對邊分別為，，，且滿足.(1)求的大小；(2)若的面積為，且，當(dāng)線段的長最短時，求的長.18．如圖，在四棱錐中，，，，為的中點，平面.(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)若二面角的大小為，求點到平面的距離.19．若對于實數(shù)，，關(guān)于的方程在函數(shù)的定義域上有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“可消點”.又若存在實數(shù)，，對任意實數(shù)，都為函數(shù)的“可消點”，則稱函數(shù)為“可消函數(shù)”，此時，有序數(shù)對稱為函數(shù)的“可消數(shù)對”.(1)若是“可消函數(shù)”，求函數(shù)的“可消數(shù)對”；(2)若為函數(shù)的“可消數(shù)對”，求的值；(3)若函數(shù)的定義域為，存在實數(shù)，使得同時為該函數(shù)的“可消點”與“可消點”，求的取值范圍.1．C【分析】借助數(shù)軸，利用集合交集運(yùn)算規(guī)則求交集即可.【詳解】由圖可知，，故選：C.2．A【分析】通過向量模的平方等于向量的平方即可求解.【詳解】因為向量，為單位向量，所以，因為，所以，所以.故選：A.3．A【分析】根據(jù)向量平行得出x，再結(jié)合充分不必要條件判斷即可.【詳解】因為，可得,則是的充分不必要條件.故選：A.4．D【分析】結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【詳解】由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得，故選：D.5．B【解析】直線與平面不垂直，可以和平面內(nèi)一條直線垂直，即可得答案.【詳解】直線與平面不垂直,一定存在，使得成立，因此在平面內(nèi)，與平行的所有直線都與直線垂直，因此有無數(shù)條直線在平面內(nèi)與直線垂直.故選：B6．B【分析】首先用齊次分式求正切值，然后利用兩角差正切公式求值即可.【詳解】因為，所以，即，所以，故選：B.7．C【分析】由面面垂直的性質(zhì)得到平面，設(shè)的外接球的半徑為，則，求出，即可求出外接球的表面積.【詳解】因為，，，所以，又為直棱柱，平面，平面，所以平面平面，又平面平面，平面，所以平面，又矩形外接球的直徑為，設(shè)的外接球的半徑為，又，，所以，所以，所以陽馬的外接球的表面積.故選：C8．C【分析】分與兩類討論，根據(jù)恒成立，得出的結(jié)論，從而得解.【詳解】若當(dāng)時，，因為恒成立，所以恒成立，則，即，當(dāng)時，，因為恒成立，所以恒成立，則，即，綜上，，同理時，又，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號故選：C.9．AC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模判斷A，根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷B，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)判斷C，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】因為，所以，故A正確；的虛部為，故B錯誤；，所以，故C正確；在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限，故D錯誤.故選：AC10．ABC【分析】A選項，根據(jù)作出判斷；B選項，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義作出判斷；C選項，當(dāng)時，，化簡得到，由復(fù)合函數(shù)同增異減得到函數(shù)的單調(diào)性；D選項，先求出時，，得到最值，結(jié)合函數(shù)的周期性和奇偶性得到答案.【詳解】A選項，，故的一個周期為，A正確；B選項，定義域為R，，故函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，B正確；C選項，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，故，由于在上單調(diào)遞減，由同增異減，可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；D選項，當(dāng)時，，，當(dāng)時，取得最大值，最大值為，當(dāng)時，取得最小值，最小值為0，又的圖象關(guān)于軸對稱，的一個周期為，故在R上的最大值為，最小值為0，D錯誤.故選：ABC11．ABD【分析】利用直棱柱及所在棱長都為，很快可計算各邊長，再利用菱形的對角線垂直，再結(jié)合直棱柱易證A成立。再結(jié)合空間關(guān)系可證明平面，即B選項正確，而對于C選項，易證明點在平面上的軌跡是圓弧，接下來就是計算，可判斷錯誤，最后就是利用兩個平面的展開圖，為一個平面四邊形，再計算對角線長即可作出判斷.【詳解】連接，由菱形可得，再由直棱柱，可得底面，又因為底面，所以，而，所以平面，又因為平面，所以，故A正確；取的中點為，連接，又由點為的中點，可得，而，所以，即四點共面，由平面，平面，所以平面，因為動點，所以動點到平面的距離不變，又因為三點固定，則四面體的體積為定值，故B正確；

動點在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），過作，垂足為，由直棱柱，易證明平面，而側(cè)面，即有，由菱形邊長為2，，可得，再由勾股定理得：，則點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓弧，則由側(cè)面正方形，可知，，可得，所以點的軌跡的圓弧長為，故C錯誤；利用直棱柱的所有棱長為，可計算得：再把這三角形與三角形展開成一個平面圖，如下圖：先解三角形，由余弦定理得：，利用平方關(guān)系得：，所以，再由余弦定理得：，即，故的最小值為，故D正確；故選：ABD．12．18【分析】法一：利用方差公式求解即可，法二：利用方差的定義直接求解.【詳解】方法一：因為，，，的方差為2所以，，，的方差為；方法二：設(shè)，，，的平均數(shù)為，則，顯然，，，的平均數(shù)為：，所以它們的方差為,故答案為：18.13．【分析】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】因為，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為.故答案為：14．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，用帶的坐標(biāo)分別表示向量，求得數(shù)量積關(guān)于的式子，然后用函數(shù)的思想求范圍.【詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，則,,所以,所以令，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，所以，故答案為：15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)計算規(guī)則計算可得；（2）首先求出年齡在區(qū)間和中抽取的人數(shù)，再列出所有可能結(jié)果，最后由古典概型的概率公式計算可得.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得這200位市民的平均年齡為：；（2）樣本中年齡在區(qū)間的頻率為，年齡在區(qū)間的頻率為，則年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、、、，年齡在區(qū)間抽取人，分別記作、，從這6人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行電話回訪可能結(jié)果有、、、、、、、、、、、、、、共個，其中滿足抽取的2人的年齡差大于10歲的有、、、、、、、共個，所以“抽取的2人的年齡差大于10歲”的概率.16．(1)(2)【分析】（1）利用倍角公式和輔助角公式化簡，再用周期公式即可求最小正周期；（2）通過圖像平移求得解析式，在用整體代換法求得在時的值域.【詳解】（1）因為，所以最小正周期為：；（2）由（1）知，所以函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位，得到函數(shù)的解析式為，因為，所以，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以的值域為：.17．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦公式求出，即可得解；（2）由面積公式求出，在中利用余弦定理及基本不等式求出的最小值，求出此時、的值，再由余弦定理計算可得.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，所以，又，所以，所以，即，又，所以；（2）因為的面積為，即，即，則，，因為，所以，在中，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以，即的最小值為，此時，，則，所以，即.18．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）依題意可得四邊形為平行四邊形，即可得到，從而得證；（2）連接，即可說明四邊形為菱形，得到，從而得到，再由線面垂直得到，從而證明平面，即可得證；（3）首先證明平面，即可得到為二面角的平面角，從而求出，再由，利用等體積法求出點到平面的距離.【詳解】（1）因為，，為的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）連接，因為，，為的中點，則，所以四邊形為菱形，所以，又，所以，又平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面；（3）因為平面，平面，所以，，，又，又，平面，所以平面，又平面，所以，所以為二面角的平面角，即，所以為等腰直角三角形，所以，又，，，所以，又平面，平面，所以，所以，設(shè)點到平面的距離為，則，即，即，解得，即點到平面的距離為.19．(1)(2)(3)【分析】（1）結(jié)合題目給的新的定義，求出的“可消數(shù)對”即可.（2）利用題目給的定義，根據(jù)為函數(shù)的“可消數(shù)對”，得到,