【數(shù)學(xué)】陜西省寶雞市渭濱區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末試題（解析版）

成就未來，新教育伴你成長(zhǎng)聯(lián)系電話：400-186-9786陜西省寶雞市渭濱區(qū)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.某高中共有學(xué)生1800人，其中高一、高二、高三的學(xué)生人數(shù)比為16：15：14，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為90的樣本，則高一年級(jí)應(yīng)該抽取的人數(shù)為（）A.28 B.30 C.32 D.36【答案】C【解析】由題意得，高一年級(jí)學(xué)生人數(shù)所占比例為，所以從該校所有學(xué)生中抽取一個(gè)容量為90的樣本，則高一年級(jí)應(yīng)該抽取的人數(shù)為.故選：C.2.的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的等邊，則在原圖中，的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在直觀圖中，因?yàn)檫呴L(zhǎng)為的等邊，所以上的高，∴，∴在原圖中，上的高，所以的面積為.故選：B.3.在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，連接和，在正方體中，可得，所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，在中，可得，所以，即異面直線與所成的角為.故選：C.4.從1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)中隨機(jī)選出2個(gè)數(shù)，則這2個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率為（）A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.1【答案】D【解析】這5個(gè)數(shù)中2，4為偶數(shù)，從這5個(gè)數(shù)中隨機(jī)選出2個(gè)數(shù)共有種情況，其中都是偶數(shù)的有種情況，則所求的概率.故選：D.5.在矩形中，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則（）A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】如下圖所示，.故選：B.6.已知空間中兩個(gè)角，的兩邊分別對(duì)應(yīng)垂直，且，則角的大小為（）A. B. C.或 D.不確定【答案】D【解析】如圖所示，設(shè)是一個(gè)確定的角，且在平面內(nèi)，其中的邊平面，所以，作，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，?duì)于給定的，當(dāng)變化時(shí)，的取值范圍為，所以如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，則這兩個(gè)角的大小關(guān)系不確定.故選：D.7.已知直線平面，則“直線”是“”的（）A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)橹本€平面，若直線，則，又因?yàn)橹本€平面，若直線，則或，所以“直線”是“”的充分但不必要條件.故選：A.8.盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長(zhǎng)為的正四面體魔方設(shè)計(jì)一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則包裝盒的棱長(zhǎng)最短為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖所示，根據(jù)題意可得，設(shè)的中點(diǎn)為，底面的重心為，為外接球的球心，則有底面，，，且，其中為外接球的半徑，在直角中，可得，在直角中，，且，所以，解得，所以正方體的最短棱長(zhǎng)為.故選：A.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.）9.下列關(guān)于平面向量的命題錯(cuò)誤的是（）A.若，，則B.若，則是銳角三角形C.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個(gè)數(shù)據(jù)D.若實(shí)數(shù)，互為相反數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二或第四象限【答案】ABD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：若，則對(duì)任意的，均有，，此時(shí)不一定平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，可得為銳角，但不確定是否為銳角，故無法判斷的形狀，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：例如1，1，1，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)均為1，所以一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)有可能是同一個(gè)數(shù)據(jù)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：例如，滿足實(shí)數(shù)，互為相反數(shù)，但在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于為坐標(biāo)原點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.故選：ABD.10.已知復(fù)數(shù)范圍內(nèi)關(guān)于的方程的兩根為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.與互為共軛復(fù)數(shù) D.【答案】CD【解析】因?yàn)?，即，解得，不妨令，?duì)于選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：與互共軛復(fù)數(shù)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故D正確.故選：CD.11.某校在開展“體育節(jié)”活動(dòng)中，為了解學(xué)生對(duì)“體育節(jié)”的滿意程度，組織學(xué)生給活動(dòng)打分（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100分），發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)均在內(nèi)，從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為300的樣本，并將這些數(shù)據(jù)分成6組并作出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形（如圖所示），則下列說法中正確的是（）A.樣本中分?jǐn)?shù)落在的頻數(shù)為45人 B.樣本的眾數(shù)為75分C.樣本的平均數(shù)為75分 D.樣本的80百分位數(shù)為85分【答案】AB【解析】設(shè)分?jǐn)?shù)落在的頻率為，由題意得，各組頻率依次為，，，，，，所以，解得，對(duì)于A，樣本中分?jǐn)?shù)落在的頻數(shù)為人，故A正確；對(duì)于B，由題意知，樣本中的頻率最高，所以眾數(shù)為75分，故B正確；對(duì)于C，樣本的平均數(shù)為分，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，分?jǐn)?shù)小于80的頻率為，分?jǐn)?shù)小于90的頻率為，所以樣本的80百分位數(shù)位于，設(shè)為，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：AB.12.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，且，分別為，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.平面 B.C.直線與平面所成角為 D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ABC【解析】在正方體中，取棱中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，則，因此四邊形為平行四邊形，則平面，平面，所以平面，故A正確；因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，故B正確；顯然平面，則是與平面所成的角，又，有，由于，所以直線與平面所成的角為，故C正確；等邊三角形的面積為，設(shè)到平面的距離為，由得，解得，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）13.已知點(diǎn)，，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為_________.【答案】【解析】由點(diǎn)，可得，又由，可得，可得向量在向量上的投影的數(shù)量為，所以向量在向量上的投影的向量為.故答案為：.14.球被平面所截得的截面圓的面積為，且球心到平面的距離為，則球的表面面積為_________.【答案】【解析】設(shè)截面圓的半徑為，球的半徑為，則，∴，∴，即，∴球的表面面積為.故答案為：.15.已知圓錐的母線長(zhǎng)為10，側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為_________.【答案】【解析】如下圖所示，因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為10，側(cè)面展開圖的圓心角為，所以圓錐側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)為，即圓錐底面圓的周長(zhǎng)為，則，得，所以底面圓面積，在中，，即圓錐的高，所以該圓錐的體積為.故答案為：.16.已知樣本容量為5的樣本的平均數(shù)為3，方差為，在此基礎(chǔ)上新增數(shù)據(jù)3，得到樣本容量為6的新樣本，則該新樣本的方差為_________.【答案】3【解析】樣本的平均數(shù)為3在此基礎(chǔ)上新增數(shù)據(jù)3，平均數(shù)仍為3，原樣本方差，所以，所以新樣本樣本容量為6，方差為.故答案：3.四、解答題（本大題共5小題，每小題14分，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.）17.已知復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為.（1）若為純虛數(shù)，求的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求的取值范圍.解：（1）由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量為，可得，又由復(fù)數(shù)，則，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，可得，解得.（2）由，因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第三象限，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知向量，的夾角為，且，.（1）若，求的值；（2）若，求的值.解：（1）由題意，解得，因?yàn)椋瑒t存在非零實(shí)數(shù)使得，即，可得，解得.（2）由（1）知，，，且，可得，所以，所以.19.為了增強(qiáng)學(xué)生愛黨愛國(guó)主義情懷，某中學(xué)舉行二十大黨知識(shí)比賽活動(dòng)，甲、乙、丙三名同學(xué)同時(shí)回答一道有關(guān)黨的知識(shí)問題.已知甲同學(xué)回答正確這道題的概率是，甲、丙兩名同學(xué)都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩名同學(xué)都回答正確的概率是.若各同學(xué)回答是否正確互不影響.（1）求乙、丙兩名同學(xué)各自回答正確這道題的概率；（2）求甲、乙、丙三名同學(xué)中不少于2名同學(xué)回答正確這道題的概率.解：（1）記“甲同學(xué)回答正確這道題”，“乙同學(xué)回答正確這道題”，“丙同學(xué)回答正確這道題”分別為事件A，B，C，則，，，即，所以，，所以乙、丙兩名同學(xué)各自回答正確這道題的概率為和.（2）有0名同學(xué)回答正確的概率，有1名同學(xué)回答正確的概率，所以不少于2名同學(xué)回答正確這道題的概率.20.已知如圖：四點(diǎn)共圓，，，，.（1）求的長(zhǎng)度；（2）若，求區(qū)域面積的最大值.解：（1）因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，且，可得，又因?yàn)?，可得，在中，由正弦定理可得，因?yàn)椋傻茫裕谥校捎嘞叶ɡ碇?，即，解得或（舍去），所?（2）在中，，，在中，由余弦定理得，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，所以，即區(qū)域面積的最大值為.21.陽馬，中國(guó)古代算數(shù)中的一種幾何形體，是底面為長(zhǎng)方形，兩個(gè)三角面與底面垂直的四棱錐體.如圖，四棱錐就是陽馬結(jié)構(gòu)，平面，且，連接，，分別是，的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成二面角的正切值.解：（1）如圖，取CD中點(diǎn)為H，連接HE，HF，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PC，BD的中點(diǎn)，H為CD的中點(diǎn)，所以，，又因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫鍼AD，平面PAD，所以平面PAD，同理可得，平面PAD，因?yàn)槠矫鍱FH，平面EFH，，所以平面平面PAD，因?yàn)槠矫鍱FH，所以平面PAD.（2）在中，PD＝DC＝2，，E為PC的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)榈酌鏋殚L(zhǎng)方形，所以，又因?yàn)?/p>