經(jīng)濟(jì)學(xué)剛體的平面運(yùn)動(dòng)

第九章剛體的平面運(yùn)動(dòng)本章重難點(diǎn)：剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義:平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的確定（基點(diǎn)法、瞬心法、投影法）平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度的確定運(yùn)動(dòng)學(xué)綜合問(wèn)題§9–1剛體平面運(yùn)動(dòng)的概述和運(yùn)動(dòng)分解剛體平面運(yùn)動(dòng)的定義:

在運(yùn)動(dòng)中,剛體上的任意一點(diǎn)與某一固定的平面始終保持距離相等.這樣的剛體運(yùn)動(dòng)稱為平面運(yùn)動(dòng).

剛體平面運(yùn)動(dòng)可簡(jiǎn)化為平面圖形在其自身所在的平面內(nèi)的任意運(yùn)動(dòng).O′M

Oxy或:上面的式子稱為剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程剛體的平面運(yùn)動(dòng)方程:平面圖形在平面參考系的位置,可由圖形上的一線段O′M來(lái)描述,而此線段的位置,可由點(diǎn)O′的位置矢量

,及線段O′M與水平的夾角來(lái)確定.O′M

Oxy如果剛體作平動(dòng).O′的運(yùn)動(dòng)描述了整個(gè)剛體的運(yùn)動(dòng).如果剛體的運(yùn)動(dòng)方程退化為:剛體繞O′軸作定軸轉(zhuǎn)動(dòng).轉(zhuǎn)動(dòng)方程為

由此可見(jiàn),剛體的平面運(yùn)動(dòng)可以看成是由剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)疊加而成的運(yùn)動(dòng).

如圖上的剛體作平面運(yùn)動(dòng),可以看作以O(shè)′描述的剛體的平動(dòng)和剛體繞O′點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng).我們?cè)谶@里稱O′點(diǎn)為‘基點(diǎn)’.或:

輪子作平面運(yùn)動(dòng),選輪心O′為基點(diǎn),建立一平動(dòng)坐標(biāo)系.平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)是剛體的運(yùn)動(dòng).如圖示,平動(dòng)坐標(biāo)系的運(yùn)動(dòng)與車(chē)廂的運(yùn)動(dòng)并無(wú)二致.

★平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意點(diǎn)運(yùn)動(dòng),都是隨以基點(diǎn)為原點(diǎn)的平動(dòng)坐標(biāo)系的平動(dòng)和繞基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng).簡(jiǎn)言之,就是‘隨基點(diǎn)的平動(dòng),繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng).’▲平動(dòng)坐標(biāo)系:

若有一平面運(yùn)動(dòng)的剛體,其上點(diǎn)的速度和加速度分布我們暫且不知,但是根據(jù)前面的分析,我們可以選剛體上的某一個(gè)點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)我們稱之為‘基點(diǎn)’.以此點(diǎn)建立一個(gè)坐標(biāo)平面,此平面上的所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都與‘基點(diǎn)’相同.顯然,這個(gè)坐標(biāo)平面作的是平動(dòng).在此平面上建立的坐標(biāo)系我們稱為‘平動(dòng)坐標(biāo)系’.而坐標(biāo)系的原點(diǎn)就是‘基點(diǎn).’

圖示輪子上任意一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)(除了輪心以外)都是以輪心為原點(diǎn)的坐標(biāo)系的直線平動(dòng)和繞輪心的圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).O′x′y′x′y′O′O′

§9–2求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)速度的基點(diǎn)法

在上一節(jié)里,我們已經(jīng)可以了解到,平面運(yùn)動(dòng)的剛體上,如果選擇了一個(gè)點(diǎn)為基點(diǎn),則剛體上其余的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都是:隨基點(diǎn)的平動(dòng)與繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成.所謂‘基點(diǎn)法’就是合成法.它是用點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)的理論分析剛體平面運(yùn)動(dòng).如果已知平面運(yùn)動(dòng)的剛體上某一點(diǎn)O′的速度VO′和剛體的角速度

,則可用基點(diǎn)法求其上任意一點(diǎn)M的速度.于是,M點(diǎn)的速度便是O′的速度(牽連速 度)

與M點(diǎn)繞O′點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度(相對(duì)速度)的矢量和.:取O′點(diǎn)為基點(diǎn),(這時(shí),可想象平面 上建立了一個(gè)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)可用O′ 點(diǎn)來(lái)描述的平動(dòng)坐標(biāo)系.M

O′M又,將上式沿O′M的方向投影上式稱作‘速度投影定理’.在這里,它表明:作平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意兩點(diǎn)的速度在此兩點(diǎn)連線上的投影相等.

速度投影定理是剛體的一個(gè)重要屬性.xyO

AB例一.橢圓規(guī)尺的A端以速度VA

沿x軸的負(fù)向運(yùn)動(dòng),AB=l.試求AB桿與水平 的夾角為時(shí),B端的速度以及桿AB的角速度.

解:AB桿平面運(yùn)動(dòng)以A為基點(diǎn),B點(diǎn)的速度分析如圖示

又,將(1)式沿AB方向投影也可求的B點(diǎn)的速度:90o-

ABO

例二.曲柄連桿機(jī)構(gòu),已知曲柄OA=r,以勻角速度繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng).

連桿AB=r,求:當(dāng)曲柄運(yùn)動(dòng)到水平位置和鉛垂位置時(shí),AB桿的角速度和B點(diǎn)的速度.ABO

解:(1)AB桿平面運(yùn)動(dòng),A,B點(diǎn) 的速度方向如圖示.由速度投影定理(沿AB)可得VB=0.VA=r以B為基點(diǎn),A點(diǎn)的速度合成為:即,(方向如圖)

AB(2)AB桿平面運(yùn)動(dòng),A,B的速度方向如圖.由可知:

AB桿此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)稱為‘瞬時(shí)平動(dòng)’.

由速度投影定理可得:§9–3求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的速度的‘瞬心’法前面的例二中,我們得知作平面運(yùn)動(dòng)的AB桿在運(yùn)動(dòng)到水平位置這一瞬時(shí),B點(diǎn)的速度為零.在第六章《點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)》中，我們?cè)命c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算出作純滾動(dòng)的圓輪在輪緣處的點(diǎn)在與地面接觸的瞬時(shí)其速度為零.M點(diǎn)的速度:OMO1

xyOrMC這種現(xiàn)象決非偶然,實(shí)際上,作平面運(yùn)動(dòng)的剛體在任意瞬時(shí)都有,且僅有一個(gè)速度為零的點(diǎn),其中包括一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).這一點(diǎn),我們稱之為‘瞬時(shí)速度中心’,簡(jiǎn)稱為‘速度瞬心’.A

M存在性:在平面圖形上,在與VA

垂直方向上的點(diǎn)的速度合成必是代數(shù)疊加.C點(diǎn)為速度瞬心C唯一性:設(shè)以瞬心C為基點(diǎn),則M點(diǎn)的速度為:又設(shè)另一點(diǎn)瞬心C′為基點(diǎn),則M點(diǎn)速度為:顯然,C點(diǎn)和C′點(diǎn)重合.其中必有一點(diǎn)C如果以速度瞬心作為基點(diǎn),則速度的合成只剩下‘繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)’了.

利用速度瞬心對(duì)平面圖形進(jìn)行速度分析非常方便,因而得到廣泛的應(yīng)用. ABAB▲(1)任意瞬時(shí),平面運(yùn)動(dòng)剛體上必有一速度為零的點(diǎn),此點(diǎn)稱為剛體的 速度瞬心.此時(shí),剛體上其它的點(diǎn)都繞此點(diǎn)作‘瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)’.(2)任一瞬時(shí)只有一個(gè)速度瞬心,其中包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).(3)速度瞬心可以在剛體內(nèi)部,也可以在剛體的延拓部分.(4)速度瞬心的速度為零,但其加速度一般不為零.★速度瞬心的求法O′(a)O′(b)BA(c)O′AB(d)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)瞬時(shí)平動(dòng)O′(e)在固定面上純滾動(dòng)的剛體與固定面的接觸點(diǎn).例一.(書(shū)上例9–2)圖示四連桿機(jī)構(gòu).已知AB=BD=DE=l=300mm, BD∥AE,=5rad/s,C為BD桿的中點(diǎn).求:VC,

DE.解:BD桿作平面運(yùn)動(dòng),O′為其速度瞬心.O′60o60o

AEDBC方向如圖示OA

0BCr1r2例二.(書(shū)上例9–4)圖示行星輪機(jī)構(gòu).齒輪固定,半徑為r1;行星齒輪在齒輪上只滾不滑,其半徑為r2.已知系桿OA的角速度為0.

求:行星齒輪的角速度和圖示瞬時(shí)其上B,C兩點(diǎn)的速度.D解:齒輪在固定的圓弧上作純滾動(dòng).

二輪的接觸點(diǎn)D為齒輪的速度瞬心.方向如圖示DFEBO1AOn例三.(習(xí)9–12)圖示小型精壓機(jī)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu),OA=O1B=r=o.1m,EB=BD=AD=l=0.4m.在圖示瞬時(shí),OAAD,O1BED,O1D連線為水平.OD及EF連線為鉛直.已知曲柄OA的轉(zhuǎn)速為n=120r/min,

求:此時(shí)壓頭F的速度.解:ED,AD桿平面運(yùn)動(dòng).

由結(jié)構(gòu)及E,B點(diǎn)可能的運(yùn)動(dòng)方向

ED桿的速度瞬心為C點(diǎn)(如圖示)C根據(jù)A,D二點(diǎn)的速度投影關(guān)系,可判斷出ED桿的轉(zhuǎn)向及E,B,D處的速度方向.由速度投影定理:

CE=CD,EF桿平動(dòng),

BA§9–4用基點(diǎn)法求平面圖形內(nèi)各點(diǎn)的加速度如果已知平面運(yùn)動(dòng)的剛體上某一點(diǎn)A的加速度aA和剛體的角速度

,角加速度

.

則可用基點(diǎn)法求其上任意一點(diǎn)B的加速度.

:取A點(diǎn)為基點(diǎn),(這時(shí),可想象平面上建立了一個(gè)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)可用A點(diǎn)來(lái)描述的平動(dòng)坐標(biāo)系.)

于是,B點(diǎn)的加速度便是A的加速度(牽連加速度)與B點(diǎn)繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度(相對(duì)加速度)的矢量和.考慮到A,B兩點(diǎn)加速度的分解,上式可寫(xiě)成:需要注意的是:

這里的加速度合成公式里沒(méi)有科氏加速度分量,原因在于以基點(diǎn)為原點(diǎn)的動(dòng)系是平動(dòng)坐標(biāo)系.OBO160o30o

0

0A例一.(習(xí)9–18)圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu).曲柄OA繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng),其角速度為

0,角加 速度為0.在某瞬時(shí),曲柄與水平線交角為60o,而連桿AB與曲柄OA垂 直,滑塊B在圓弧槽內(nèi)滑動(dòng),此時(shí)弧槽半徑O1B與連桿交角成30o.如果

OA=r,O1B=2r,AB=.求在該瞬時(shí)滑塊B的切向加速度和法 向加速度.解:速度分析CVA=

0rC點(diǎn)為AB桿的速度瞬心OBO160o30o

0

0AC以A為基點(diǎn),B點(diǎn)的加速度分析如圖.60o30o沿BA方向投影:將例二.(書(shū)上例9–10)橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)中,曲柄OD以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng).OD=AD=BD=l.求:當(dāng)

=60o時(shí),桿AB的角加速度和A點(diǎn)的加速度.xyOBA

D

C30o30o30o速度分析:C點(diǎn)為AB桿的速度瞬心.加速度分析:以D為基點(diǎn),A點(diǎn)的加速度分析如圖示.30o30o30oA點(diǎn)的加速度的方向如圖示.xyOBA

DC30o

例三.(續(xù)書(shū)上例9–2)圖示四連桿機(jī)構(gòu).已知AB=BD=DE=l=300mm,BD∥AE,AB桿勻角速轉(zhuǎn)動(dòng),=5rad/s,C為BD桿的中點(diǎn).求:VC,

DE,

DE.解:BD桿作平面運(yùn)動(dòng),O′為其速度瞬心.O′60o60o

AEDBCO′60o60o

AEDBC以B為基點(diǎn),D點(diǎn)的加速度分析如圖示將沿BD方向投影:DE桿的角速度和角加速度分別為方向如圖示.30o60o60o例四.圖示機(jī)構(gòu)在某時(shí)刻AB桿鉛垂.VC=10cm/s,ac=0.BC桿與水平成30o

已知AB=5cm,BC=10cm.

求:

AB,BC,

AB,BC.30oABC解:此瞬時(shí),BC桿瞬時(shí)平動(dòng).VB=VC=10cm/s以C為基點(diǎn),B點(diǎn)的加速度分析如圖.將(1)式沿BA方向投影ABC60o將(1)式沿水平方向投影例三.(書(shū)上例9–11)車(chē)輪直線作純滾動(dòng).已知車(chē)輪半徑為R,輪子中心O的速度為V0,加速度為a0

.求:輪子的速度瞬心C的加速度.CO解:首先需求輪子的角速度和角加速度由瞬心法可求得輪子的角速度注意,上式中如果V0是時(shí)間的函數(shù),則亦然.

這里有,以O(shè)為基點(diǎn),C點(diǎn)的加速度分析如圖CO

上式沿x軸投影,有:上式沿y軸投影,有:CO

CO

xy可見(jiàn),速度瞬心的瞬時(shí)速度為零,但其加速度一般不為零!以O(shè)為基點(diǎn),C點(diǎn)的加速度分析如圖xy習(xí)9–22ABC)45o45o解:以A為基點(diǎn),B點(diǎn)的加速度合成如圖將(I)沿x軸投影:將