2023-2024學年四川省成都市邛崍區(qū)高埂中學八年級（上）第一次統(tǒng)考數(shù)學試卷（含解析）

2023-2024學年四川省成都市邛崍區(qū)高埂中學八年級（上）第一次統(tǒng)考數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1．（4分）下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A．3.1415926 B．﹣0.202002000 C． D．2．（4分）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得出正方形A的面積是（）A．12 B．24 C．30 D．103．（4分）下列說法正確的是（）A．的算術(shù)平方根是2 B．9的立方根是3 C．的平方根是 D．是的一個平方根4．（4分）已知，則的值是（）A．0.1a B．a(chǎn) C．1.1a D．10.1a5．（4分）若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則（x+）y的值是（）A． B．3 C． D．﹣36．（4分）下列命題中，假命題是（）A．實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的 B．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5是一組勾股數(shù) C．有公共頂點且相等的兩個角是對頂角 D．函數(shù)中自變量x的取值范圍是x≥27．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACD和△BCE均為等腰直角三角形，且面積之和為，則AB＝（）A． B．25 C． D．108．（4分）在△ABC中，三邊長分別為a、b、c，且a+c＝2b，c﹣a＝b，則△ABC是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形二．填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9．（4分）的平方根；的立方根．10．（4分）有一個水池，水面是一個邊長為14尺的正方形，在水池的正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，則這根蘆葦長尺．11．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝14cm，c＝10cm，則Rt△ABC的面積等于．12．（4分）比較大?。?3，．13．（4分）如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為m（容器厚度忽略不計）．三．解答題（本大題共5個小題，共48分，其中14題12分，15-16題每題8分，17-18題每題10分）14．（12分）計算下列各題：（1）+﹣；（2）+﹣|1﹣|；（3）（﹣1）2﹣（﹣）（+）；（4）．15．（8分）聊城市在創(chuàng)建“全國文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費用為150元，試計算綠化這片空地共需花費多少元？16．（8分）已知a+1的平方根是±5，b的立方根是﹣2，c是的整數(shù)部分；（1）直接寫出a、b、c的值；（2）若x是的小數(shù)部分，求的算術(shù)平方根．17．（10分）對于整數(shù)n，定義[]為不大于的最大整數(shù)，例如：[]＝1，[]＝2，[]＝2．（1）直接寫出[]的值；（2）顯然，當[]＝1時，n＝1，2或3．①當[]＝2時，直接寫出滿足條件的n的值；②當[]＝10時，求滿足條件的n的個數(shù)；（3）對72進行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，即對72進行3次操作后變?yōu)?，類似地：①對25進行次操作后變?yōu)?；②對整數(shù)m進行3次操作后變?yōu)?，直接寫出m的最大值．18．（10分）閱讀材料，解決問題：我們可以在網(wǎng)格紙中通過構(gòu)造三角形的方法來比較無理數(shù)的大小，例如在圖1中，正方形網(wǎng)格紙中，每個小正方形的邊長都是1，線段AB的長度為，線段BC的長度為，顯然，＜．（1）試比較+1與的大小，并說明理由；（2）請在圖2中嘗試用構(gòu)造圖形的方法比較+2與的大小，在圖3中嘗試用構(gòu)造圖形的方法比較+2+與的大??；（3）請運用以上的構(gòu)圖思想，在圖4中構(gòu)圖，并求出+的最小值．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19．（4分）據(jù)說，我國著名數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數(shù)是59319，希望求它的立方根．華羅庚脫口而出：39．鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧秘．華羅庚給出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，確定是兩位數(shù)；（2）由59319個位上的數(shù)是9，確定個位上的數(shù)是9；（3）劃去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此確定十位上的數(shù)是3．請你類比上述過程，確定21952的立方根是．20．（4分）已知a、b為非零實數(shù)，且|4﹣2a|+（b+2）2++4＝2a，則＝．21．（4分）如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D在邊AB上，以CD為折痕將△CBD折疊得到△CFD，CF與邊AB交于點E，當DF⊥AB時，BD的長是．22．（4分）如圖，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE為四個全等的直角三角形，BD與CH、EG、AF分別交于點M、O、N，且滿足DN＝DC，則兩個陰影部分的面積和與四邊形ABCD面積的比值為．23．（4分）如圖，點P是矩形ABCD內(nèi)任意一點，連接PA，PB，PC，PD，記∠PAB＝θ1，∠PBC＝θ2，∠PCD＝θ3，∠PDA＝θ4，則下列各結(jié)論一定成立的有（填序號）．①S△PAD+S△PBC＝S△PAB+S△PCD；②若∠APB＝80°，∠DPC＝50°，則θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝50°；③PA2+PC2＝PB2+PD2；④S△ABP＝S△ADP，則P在對角線AC上．二、解答題（本小題共3個小題，共30分，其中24題8分，25題10分，26題12分）24．（8分）臺風是一種自然災(zāi)害，它以臺風中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形氣旋風暴，有極強的破壞力，此時某臺風中心在海域B處，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心風力為12級，每遠離臺風中心25千米，臺風就會減弱一級，如圖所示，該臺風中心正以20千米/時的速度沿北偏東30°方向向C移動，且臺風中心的風力不變，若城市所受風力超過4級，則稱受臺風影響．試問：（1）A城市是否會受到臺風影響？請說明理由．（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續(xù)時間有多長？（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？25．（10分）先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學在研究化簡中發(fā)現(xiàn)：首先把化為，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，所以，問題：（1）填空：＝，＝；（2）進一步研究發(fā)現(xiàn)：形如的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a，b（a＞b），使a+b＝m，ab＝n，即＝m，，那么便有：＝．（3）化簡：（請寫出化簡過程）．26．（12分）如圖1，在△ABC和△ADB中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）如圖2，在△ABC和△ADE中，∠DAE＝∠BAC，AD＝AE，AB＝AC，∠ADB＝90°，點E在△ABC內(nèi)，延長DE交BC于點F，求證：點F是BC中點；（3）△ABC為等腰三角形，∠BAC＝120°，AB＝AC，點P為△ABC所在平面內(nèi)一點，∠APB＝120°，AP＝2，BP＝4，請直接寫出CP的長．

2023-2024學年四川省成都市邛崍區(qū)高埂中學八年級（上）第一次統(tǒng)考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1．（4分）下列實數(shù)中，無理數(shù)是（）A．3.1415926 B．﹣0.202002000 C． D．【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)．理解無理數(shù)的概念，一定要同時理解有理數(shù)的概念，有理數(shù)是整數(shù)與分數(shù)的統(tǒng)稱．即有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，而無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)．由此即可判定選擇項．【解答】解：A.3.1415926是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；B﹣0.202002000是有限小數(shù)，屬于有理數(shù)；C.，是整數(shù)，屬于有理數(shù)；D.是無理數(shù)．故選：D．【點評】此題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學習的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．2．（4分）如圖，以直角三角形的三邊為邊向外作正方形，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得出正方形A的面積是（）A．12 B．24 C．30 D．10【分析】利用勾股定理，進行計算即可解答．【解答】解：由勾股定理可得：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，∴正方形A的邊長的平方＝18+6＝24，∴正方形A的面積＝24，故選：B．【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．（4分）下列說法正確的是（）A．的算術(shù)平方根是2 B．9的立方根是3 C．的平方根是 D．是的一個平方根【分析】分別根據(jù)平方根，立方根和算術(shù)平方根的概念對各選項進行分析即可．【解答】解：A、∵＝2，2的算術(shù)平方根是，∴的算術(shù)平方根是，不符合題意；B、27的立方根是3，不符合題意；C、的算術(shù)平方根是，不符合題意；D、﹣是的一個平方根，符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是平方根，立方根和算術(shù)平方根的概念，熟知以上知識是解題的關(guān)鍵．4．（4分）已知，則的值是（）A．0.1a B．a(chǎn) C．1.1a D．10.1a【分析】根據(jù)被開方數(shù)的變化與立方根的值的變化之間的變化規(guī)律即可得到答案．【解答】解：∵，∴．故選：D．【點評】本題考查了被開方數(shù)的變化與立方根的值的變化之間的變化規(guī)律，掌握當被開方數(shù)的小數(shù)點每向右（或向左）移動3位，它的立方根的小數(shù)點就相應(yīng)的向右（或向左）移動1位是關(guān)鍵．5．（4分）若的整數(shù)部分為x，小數(shù)部分為y，則（x+）y的值是（）A． B．3 C． D．﹣3【分析】先估算出的范圍，再求出x、y的值，最后代入求出即可．【解答】解：∵2＜＜3，∴x＝2，y＝﹣2，∴（x+）y＝（2+）×（﹣2）＝7﹣4＝3，故選：B．【點評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出的范圍是解此題的關(guān)鍵．6．（4分）下列命題中，假命題是（）A．實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的 B．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5是一組勾股數(shù) C．有公共頂點且相等的兩個角是對頂角 D．函數(shù)中自變量x的取值范圍是x≥2【分析】根據(jù)實數(shù)與數(shù)軸、勾股數(shù)的概念、對頂角的概念、函數(shù)自變量的取值范圍判斷即可．【解答】解：A、實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，是真命題，不符合題意；B、a＝3，b＝4，c＝5是一組勾股數(shù)，是真命題，不符合題意；C、有公共頂點且相等的兩個角是對頂角，是假命題，符合題意；D、函數(shù)y＝中自變量x的取值范圍是x≥2，是真命題，不符合題意；故選：C．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．7．（4分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，△ACD和△BCE均為等腰直角三角形，且面積之和為，則AB＝（）A． B．25 C． D．10【分析】作DF⊥AC于點F，EL⊥BC于點L，由△ACD和△BCE均為等腰直角三角形，得DF＝AC，EL＝BC，由S△ACD+S△BCE＝，得AC×AC+BC×BC＝，則AC2+BC2＝50，由勾股定理得AB＝＝5，于是得到問題的答案．【解答】解：作DF⊥AC于點F，EL⊥BC于點L，∵△ACD和△BCE均為等腰直角三角形，∴DF＝CF＝AF＝AC，EL＝BL＝CL＝BC，∵S△ACD+S△BCE＝，∴AC×AC+BC×BC＝，∴AC2+BC2＝50，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝5，故選：A．【點評】此題重點考查等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（4分）在△ABC中，三邊長分別為a、b、c，且a+c＝2b，c﹣a＝b，則△ABC是（）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形進行判斷即可．【解答】解：∵a+c＝2b，c﹣a＝b，∴c2﹣a2＝b2，∴△ABC是直角三角形．故選：A．【點評】此題主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．二．填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9．（4分）的平方根±3；的立方根．【分析】第一個空，先用算術(shù)平方根求的結(jié)果，再用開平方求的最后結(jié)果；第二個空，直接開立方得結(jié)果．【解答】解：∵＝9，∴的平方根是：±3．∵＝﹣，∴的立方根是：﹣．故答案為：±3，﹣．【點評】本題主要考查了平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念的運用，掌握幾個概念的熟練應(yīng)用是解題關(guān)鍵．10．（4分）有一個水池，水面是一個邊長為14尺的正方形，在水池的正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，則這根蘆葦長25尺．【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學幾何圖形，如圖所示，根據(jù)題意，可知EB'的長為14尺，則B'C＝7尺，設(shè)出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根據(jù)勾股定理建立方程即可．【解答】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長AB＝AB′＝x尺，則水深AC＝（x﹣1）尺，因為B'E＝14尺，所以B'C＝7尺在Rt△AB'C中，∵CB′2+AC2＝AB′2∴72+（x﹣1）2＝x2，解得x＝25，∴這根蘆葦長25尺，故答案為25．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)等知識，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵．11．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝14cm，c＝10cm，則Rt△ABC的面積等于24cm2．【分析】利用勾股定理列出關(guān)系式，再利用完全平方公式變形，將a+b與c的值代入求出ab的值，即可確定出直角三角形的面積．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，a+b＝14cm，c＝10cm，∴由勾股定理得：a2+b2＝c2，即（a+b）2﹣2ab＝c2＝100，∴196﹣2ab＝100，即ab＝48，則Rt△ABC的面積為ab＝24（cm2）．故答案為：24cm2．【點評】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．12．（4分）比較大小：2＜3，＞．【分析】①將算術(shù)平方根外的數(shù)字移到平方根內(nèi)，再進行比較；②先比較＞3利用不等式性質(zhì)兩邊都減1，再都除以3即可．【解答】解：①2＝，3＝，∵12＜18，∴＜，∴2＜3；②∵＞3，∴﹣1＞2，∴＞．故答案為：①＜；②＞．【點評】本題考查實數(shù)的大小比較問題，掌握實數(shù)比較大小的方法和不等式的性質(zhì)，還會用不等式的性質(zhì)解題是關(guān)鍵．13．（4分）如圖，圓柱形容器中，高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，則壁虎捕捉蚊子的最短距離為1.3m（容器厚度忽略不計）．【分析】將容器側(cè)面的一半展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A′，根據(jù)兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求．【解答】解：∵高為1.2m，底面周長為1m，在容器內(nèi)壁離容器底部0.3m的點B處有一蚊子，此時一只壁虎正好在容器外壁，離容器上沿0.3m與蚊子相對的點A處，∴A′D＝0.5m，BD＝1.2﹣0.3+AE＝1.2m，如圖：將容器側(cè)面的一半展開，作A關(guān)于EF的對稱點A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝＝＝1.3（m）．故答案為：1.3．【點評】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力．三．解答題（本大題共5個小題，共48分，其中14題12分，15-16題每題8分，17-18題每題10分）14．（12分）計算下列各題：（1）+﹣；（2）+﹣|1﹣|；（3）（﹣1）2﹣（﹣）（+）；（4）．【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后合并同類二次根式即可；（2）先根據(jù)平方根、立方根的定義、絕對值的性質(zhì)化簡，然后計算加減；（3）利用完全平方根式和平方差公式先化簡，然后計算加減；（4）先根據(jù)運算法則計算除法，然后計算加減．【解答】解：（1）+﹣＝5+4﹣＝8；（2）+﹣|1﹣|＝3+（﹣2）﹣（﹣1）＝1﹣+1＝2﹣；（3）（﹣1）2﹣（﹣）（+）＝5﹣2+1﹣（6﹣5）＝6﹣2﹣1＝5﹣2；（4）＝（2+3）+﹣＝5+﹣＝5+2﹣＝5+．【點評】本題考查了實數(shù)是運算，解題的關(guān)鍵是掌握運算順序，先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運算中要從左到右依次運算，無論何種運算，都要注意先定符號后運算．15．（8分）聊城市在創(chuàng)建“全國文明城市”期間，某小區(qū)在臨街的拐角清理出了一塊可以綠化的空地．如圖，經(jīng)技術(shù)人員的測量，已知AB＝9m，BC＝12m，CD＝17m，AD＝8m，∠ABC＝90°．若平均每平方米空地的綠化費用為150元，試計算綠化這片空地共需花費多少元？【分析】直接利用勾股定理得出AC，進而利用勾股定理逆定理得出∠DAC＝90°，再利用直角三角形面積求法得出答案．【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝9m，BC＝12m，∴AC＝＝15（m），∵CD＝17m，AD＝8m，∴AD2+AC2＝DC2，∴∠DAC＝90°，∴S△DAC＝×AD?AC＝×8×15＝60（m2），S△ACB＝AB?AC＝×9×12＝54（m2），∴S四邊形ABCD＝60+54＝114（m2），∴150×114＝17100（元），答：綠化這片空地共需花費17100元．【點評】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理以及勾股定理逆定理是解題關(guān)鍵．16．（8分）已知a+1的平方根是±5，b的立方根是﹣2，c是的整數(shù)部分；（1）直接寫出a、b、c的值；（2）若x是的小數(shù)部分，求的算術(shù)平方根．【分析】（1）根據(jù)平方根、算術(shù)平方根、立方根的定義進行計算即可；（2）根據(jù)算術(shù)平方根的定義估算無理數(shù)的大小，確定x的值，再代入計算即可．【解答】（1）解：∵a+1的平方根是±5，∴a+1＝25，解得a＝24，又∵b的立方根是﹣2，∴b＝﹣8；又∵c是的整數(shù)部分，而，∴c＝3；∴a＝24，b＝﹣8，c＝3；（2）∵3＜＜4，x是的小數(shù)部分，∴，∴，∴的算術(shù)平方根為．【點評】本題考查估算無理數(shù)的大小，算術(shù)平方根、平方根、立方根，理解平方根、算術(shù)平方根以及立方根的定義是正確解答的前提．17．（10分）對于整數(shù)n，定義[]為不大于的最大整數(shù)，例如：[]＝1，[]＝2，[]＝2．（1）直接寫出[]的值；（2）顯然，當[]＝1時，n＝1，2或3．①當[]＝2時，直接寫出滿足條件的n的值；②當[]＝10時，求滿足條件的n的個數(shù)；（3）對72進行如下操作：72[]＝8[]＝2[]＝1，即對72進行3次操作后變?yōu)?，類似地：①對25進行2次操作后變?yōu)?；②對整數(shù)m進行3次操作后變?yōu)?，直接寫出m的最大值．【分析】（1）由[]的定義為不大于的最大整數(shù)即可寫出[]的值；（2）由[]的定義為不大于的最大整數(shù)即可寫出滿足條件的n的值；（3）由[]的定義為不大于的最大整數(shù)即可得到25進行2次操作后變?yōu)?以及m的最大值．【解答】解：（1）∵＜＜，即，∴[]＝3；（2）①當[]＝2時，∵，∴n＝4，5，6，7，8；②當[]＝10時，∵，∴n＝100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120；∴n＝21；（3）①25[]＝5[]＝2；②∵[]＝80，[]＝8，[]＝2，∴對6560只需進行3次操作后變?yōu)?，∵[]＝81，[]＝9，[]＝3，∴只需進行3次操作后變?yōu)?的所有正整數(shù)中，最大的是6560，∴m的最大值為6560．故答案為：6560．【點評】本題本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用、[]的定義，估算出無理數(shù)在哪兩個整數(shù)之間是解決此題的關(guān)鍵．18．（10分）閱讀材料，解決問題：我們可以在網(wǎng)格紙中通過構(gòu)造三角形的方法來比較無理數(shù)的大小，例如在圖1中，正方形網(wǎng)格紙中，每個小正方形的邊長都是1，線段AB的長度為，線段BC的長度為，顯然，＜．（1）試比較+1與的大小，并說明理由；（2）請在圖2中嘗試用構(gòu)造圖形的方法比較+2與的大小，在圖3中嘗試用構(gòu)造圖形的方法比較+2+與的大?。唬?）請運用以上的構(gòu)圖思想，在圖4中構(gòu)圖，并求出+的最小值．【分析】（1）由勾股定理求出BC和AB的長，由三角形三邊關(guān)系可得答案；（2）方法同（1），畫出圖形即可得出答案；（3）由題意知AB＝2，DE＝4，BD＝10．設(shè)BC＝x，則AC＝，CE＝，則問題轉(zhuǎn)化成求AC+CE的最小值，由勾股定理可得出答案．【解答】解：（1）如圖1，+1．理由：由圖可知，BC＝＝，AC＝1，AB＝＝，△ABC中，BC+AC＞AB，∴+1；（2）如圖2可知，+2＞，如圖3，同理可得＞；（3）如圖4，取線段BD＝10，分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB＝2，DE＝4，連接AE，則AE為+（x≥0）的最小值，過點A作AF⊥ED交ED的延長線于F．則四邊形ABDF是矩形，∴AF＝BD＝10，AB＝DF＝2，∵DE＝4，∴EF＝6，∴AE＝＝＝2．【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了勾股定理，最值問題等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，會用轉(zhuǎn)化的思想解決問題，屬于中考壓軸題．一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19．（4分）據(jù)說，我國著名數(shù)學家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數(shù)是59319，希望求它的立方根．華羅庚脫口而出：39．鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧秘．華羅庚給出了如下方法：（1）由103＝1000，1003＝1000000，確定是兩位數(shù)；（2）由59319個位上的數(shù)是9，確定個位上的數(shù)是9；（3）劃去59319后面的三位319得到59，而33＝27，43＝64，由此確定十位上的數(shù)是3．請你類比上述過程，確定21952的立方根是28．【分析】根據(jù)題目提供的方法，類推確定21952的立方根．【解答】解：（1）由103＝1000，1003＝1000000，確定是兩位數(shù)；（2）由21952個位上的數(shù)是2，確定個位上的數(shù)是8；（3）劃去21952后面的三位952得到21，而23＝8，33＝27，由此確定十位上的數(shù)是2，所以＝28，故答案為：28．【點評】本題考查立方根，數(shù)學常識，理解題目所提供的方法是解決問題的關(guān)鍵．20．（4分）已知a、b為非零實數(shù)，且|4﹣2a|+（b+2）2++4＝2a，則＝2．【分析】利用二次根式的性質(zhì)可得：（a﹣4）?b2≥0，得到a＞4，由此可知：4﹣2a＜0，將所給等式化簡，利用非負數(shù)是性質(zhì)可求a，b的值，將a，b的值代入后化簡即可得出結(jié)論．【解答】解：∵a，b為非零實數(shù)，且，∴（a﹣4）?b2≥0，解得：a≥4．∴4﹣2a＜0，∴，∴，∵（b+2）2≥0，，∴b+2＝0，（a﹣4）?b2＝0，∴a＝4，b＝﹣2，∴．故答案為：2．【點評】本題主要考查了實數(shù)的運算，二次根式的性質(zhì)，非負數(shù)的應(yīng)用，利用非負數(shù)的性質(zhì)求得a，b的值是解題的關(guān)鍵．21．（4分）如圖，在直角三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D在邊AB上，以CD為折痕將△CBD折疊得到△CFD，CF與邊AB交于點E，當DF⊥AB時，BD的長是．【分析】作CH⊥AB于H．只要證明CH＝DH，即可解決問題．【解答】解：如圖，作CH⊥AB于H．在Rt△ACB中，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴CH＝＝＝，∵∠ACB＝∠AHC＝90°，∴∠ACH+∠BCH＝90°，∠BCH+∠B＝90°，∴∠ACH＝∠B＝∠F，∵CH∥DF，∴∠F＝∠HCE，∴∠ACH＝∠HCE，∠DCE＝∠DCB，∴∠HCD＝45°，∴HC＝HD＝，∵AH＝＝＝，∴BD＝AB﹣AH﹣DH＝5﹣﹣＝．故答案為：．【點評】本題考查翻折變換、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是掌握其性質(zhì)定理．22．（4分）如圖，△ABF、△BCG、△CDH、△DAE為四個全等的直角三角形，BD與CH、EG、AF分別交于點M、O、N，且滿足DN＝DC，則兩個陰影部分的面積和與四邊形ABCD面積的比值為．【分析】利用全等三角形的性質(zhì)，得到四邊形ABCD和四邊形EFGH為正方形，利用等腰三角形的性質(zhì)可得AE＝EN，MG＝GC，設(shè)BF＝CG＝MG＝DH＝AE＝EN＝a，EF＝FG＝GH＝HE＝b，則DE＝DH+EH＝a+b，NF＝EF﹣EN＝b﹣a，利用平行線分線段成比例定理得到b＝a，再利用三角形的面積公式和正方形的面積公式分別計算兩個陰影部分的面積和與四邊形ABCD面積，則結(jié)論可得．【解答】解：∵△ABF、△BCG、△CDH、△DAE為四個全等的直角三角形，∴BF＝CG＝DH＝AE，BG＝CH＝DE＝AF，∴FG＝GH＝HE＝EF，∴四邊形EFGH為正方形．∵△ABF、△BCG、△CDH、△DAE為四個全等的直角三角形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAF＝∠CBG，∵∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF+∠CBG＝90°，即∠ABC＝90°，∴四邊形ABCD為正方形．∵DN＝DC，∴DN＝AD，∵ED⊥AF，∴AE＝EN，同理：MG＝CG，∴BF＝CG＝MG＝DH＝AE＝EN，設(shè)BF＝CG＝MG＝DH＝AE＝EN＝a，EF＝FG＝GH＝HE＝b，則DE＝DH+EH＝a+b，NF＝EF﹣EN＝b﹣a，∵DE⊥AF，BF⊥AF，∴DE∥BF，∴，∴，∴b2＝2a2，∵a＞0，b＞0，∴b＝a，∴DE＝（+1）a，∴AD2＝AE2+DE2＝＝（4+2）a2，∴＝（4+2）a2．∵S陰影＝S△ABN+S△DMC＝2a?a+2a?a＝2a2，∴兩個陰影部分的面積和與四邊形ABCD面積的比值為：＝，故答案為：．【點評】本題主要考查了勾股定理的證明和列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是求得圖中直角三角形的直角邊的長度和圖中小正方形的邊長．23．（4分）如圖，點P是矩形ABCD內(nèi)任意一點，連接PA，PB，PC，PD，記∠PAB＝θ1，∠PBC＝θ2，∠PCD＝θ3，∠PDA＝θ4，則下列各結(jié)論一定成立的有①②③④（填序號）．①S△PAD+S△PBC＝S△PAB+S△PCD；②若∠APB＝80°，∠DPC＝50°，則θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝50°；③PA2+PC2＝PB2+PD2；④S△ABP＝S△ADP，則P在對角線AC上．【分析】過點P作EF⊥AB于點E，交CD于點F，連接AC，則∠BEF＝∠BAD＝90°，可證明EF∥AD，EF＝AD，進而推導出S△PAB+S△PCD＝AB?EF＝AB?AD＝S矩形ABCD，則S△PAD+S△PBC＝S矩形ABCD＝S△PAB+S△PCD，可判斷①正確；由∠APB＝80°，∠DPC＝50°，得∠PAB+∠PBA＝100°，∠PCD+∠PDC＝130°，而∠PBC＝90°﹣∠PBA，則θ1﹣θ2＝∠PAB﹣（90°﹣∠PBA）＝10°；因為∠PDA＝90°﹣∠PDC，所以θ3﹣θ4＝∠PCD﹣（90°﹣∠PDC）＝40°，則θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝10°+40°＝50°，可判斷②正確；由PA2＝AE2+PE2＝DF2+PE2，PC2＝CF2+PF2＝BE2+PF2，得PA2+PC2＝PE2+BE2+PF2+DF2，由PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2，得PB2+PD2＝PE2+BE2+PF2+DF2，則PA2+PC2＝PB2+PD2，可判斷③正確；由S△ABP＝S△ADP，S△ADP+S△PBC＝S△ABP+S△PCD，得S△PBC＝S△PCD，則S△ABP+S△PBC＝S△ADP+S△PCD＝S矩形ABCD＝S△ABC，所以點P在對角線AC上，可判斷④正確，于是得到問題的答案．【解答】解：過點P作EF⊥AB于點E，交CD于點F，連接AC，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BEF＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∴EF∥AD，∴EF＝AD，∠PFC＝∠ADC＝90°，∴PF⊥CD，∴S△PAB+S△PCD＝AB?PE+CD?PF＝AB?EF＝AB?AD＝S矩形ABCD，∴S△PAD+S△PBC＝S矩形ABCD﹣（S△PAB+S△PCD）＝S矩形ABCD，∴S△PAD+S△PBC＝S△PAB+S△PCD，故①正確；∵∠APB＝80°，∠DPC＝50°，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝100°，∠PCD+∠PDC＝180°﹣∠DPC＝130°，∵∠PBC＝90°﹣∠PBA，∴θ1﹣θ2＝∠PAB﹣∠PBC＝∠PAB﹣（90°﹣∠PBA）＝∠PAB+∠PBA﹣90°＝10°；∵∠PDA＝90°﹣∠PDC，∴θ3﹣θ4＝∠PCD﹣∠PDA＝∠PCD﹣（90°﹣∠PDC）＝∠PCD+∠PDC﹣90°＝40°，∴θ1﹣θ2+θ3﹣θ4＝10°+40°＝50°，故②正確；∴EF∥AD∥BC，AE⊥AD，DF⊥AD，BE⊥BC，CF⊥BC，∴AE＝DF，BE＝CF，∵PA2＝AE2+PE2＝DF2+PE2，PC2＝CF2+PF2＝BE2+PF2，∴PA2+PC2＝PE2+BE2+PF2+DF2，∵PB2＝PE2+BE2，PD2＝PF2+DF2，∴PB2+PD2＝PE2+BE2+PF2+DF2，∴PA2+PC2＝PB2+PD2，故③正確；∵S△ABP＝S△ADP，S△ADP+S△PBC＝S△ABP+S△PCD，∴S△PBC＝S△PCD，∴S△ABP+S△PBC＝S△ADP+S△PCD＝S矩形ABCD，∵S△ABC＝AB?BC＝S矩形ABCD，∴S△ABP+S△PBC＝S△ABC，∴點P在對角線AC上，故④正確，故答案為：①②③④．【點評】此題重點考查矩形的性質(zhì)、兩條平行線之間的距離處處相等、三角形內(nèi)角和定理、三角形的面積公式、矩形的面積公式、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．二、解答題（本小題共3個小題，共30分，其中24題8分，25題10分，26題12分）24．（8分）臺風是一種自然災(zāi)害，它以臺風中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形氣旋風暴，有極強的破壞力，此時某臺風中心在海域B處，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心風力為12級，每遠離臺風中心25千米，臺風就會減弱一級，如圖所示，該臺風中心正以20千米/時的速度沿北偏東30°方向向C移動，且臺風中心的風力不變，若城市所受風力超過4級，則稱受臺風影響．試問：（1）A城市是否會受到臺風影響？請說明理由．（2）若會受到臺風影響，那么臺風影響該城市的持續(xù)時間有多長？（3）該城市受到臺風影響的最大風力為幾級？【分析】（1）求是否會受到臺風的影響，其實就是求A到BC的距離是否大于臺風影響范圍的半徑，如果大于，則不受影響，反之則受影響．如果過A作AD⊥BC于D，AD就是所求的線段．直角三角形ABD中，有∠ABD的度數(shù)，有AB的長，AD就不難求出了．（2）受臺風影響時，臺風中心移動的距離，應(yīng)該是A為圓心，臺風影響范圍的半徑為半徑，所得圓截得的BC上的線段的長即EF得長，可通過在直角三角形AED和AFD中，根據(jù)勾股定理求得．有了路程，有了速度，時間就可以求出了．（3）風力最大時，臺風中心應(yīng)該位于D點，然后根據(jù)題目給出的條件判斷出時幾級風．【解答】解：（1）該城市會受到這次臺風的影響．理由是：如圖，過A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵∠ABD＝30°，AB＝240，∴AD＝AB＝120，∵城市受到的風力超過四級，則稱受臺風影響，∴受臺風影響范圍的半徑為25×（12﹣4）＝200．∵120＜200，∴該城市會受到這次臺風的影響．（2）如圖以A為圓心，200為半徑作⊙A交BC于E、F．則AE＝AF＝200．∴臺風影響該市持續(xù)的路程為：EF＝2DE＝2＝320．∴