高一數(shù)學課堂抄重點講義(人教A版2019必修第二冊)6.4.3.2正弦定理(講義+例題+小練)(原卷版+解析)

6.4.3.2正弦定理一、正弦定理及其變形變式：題型一：已知兩角及任意一邊解三角形例1．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A． B． C． D．舉一反三1．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，，，則________．2．如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，已知a=6，A=60°，B=75°.(1)求角C；(2)求邊c.題型二：已知兩邊及一邊對角解三角形例2．在中，角分別對應(yīng)邊，已知，．角，求角．舉一反三1．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，.若，，，則（）A． B． C．或 D．或2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形．2．在中，根據(jù)下列條件求相應(yīng)的值.（1）已知，，，求；（2）已知，，，求.題型三：正弦定理邊角互化例3．在中，下列等式中總能成立的是（）A． B． C． D．舉一反三1．在△ABC中，若，則B＝（）A． B． C．或 D．或2．已知，則________．二、常用的三角形面積公式（1）；（2）（兩邊夾一角）；例4在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面積．舉一反三已知在中，，分別是角所對的邊.（1）求；（2）若，，求的面積.三、正弦定理判斷三角形解得個數(shù)已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況:（多解情況）eq\o\ac(○,1)若A為銳角時:eq\o\ac(○,2)若A為直角或鈍角時:例5．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則此三角形解的情況為（）A．無解 B．只有一解 C．有兩解 D．解的個數(shù)不確定舉一反三1．在中，，，是角，，所對的邊，且，，，則等于（）A．60° B．120° C．60°或120° D．135°2．已知中，內(nèi)角、、所對的邊分別，，，，，，那么滿足條件的（）A．有一種情形 B．有兩種情形C．不可求出 D．有三種以上情形3．在中，角，，所對的邊分別為，，，，，若滿足條件的三角形有且只有兩個，則邊的取值范圍為（）A． B．C． D．拓展創(chuàng)新①判斷三角形形狀例6．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則的形狀一定為（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形舉一反三1．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則的形狀一定為（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形②三角形的周長例7.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足：.（1）求；（2）若面積為，外接圓直徑為4，求的周長.舉一反三在中，角，，的對邊分別為，，，滿足.（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長.基礎(chǔ)題.③求三角形外接圓半徑例8．若中，，則的外接圓半徑為（）A．1 B．2 C．3 D．4舉一反三在中，，，的外接圓半徑為，則邊c的長為______.④求三角形最值或取值范圍例9．（1）在中，角，，的對邊分別是，，，已知．（1）求角；（2）若是的中點，且，求的最大值．（2）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若是銳角三角形，且的面積為，求邊的取值范圍.舉一反三1．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求面積的最大值.2．的內(nèi)角，，對應(yīng)邊分別為，，，且．（1）求的大小；（2）若為銳角三角形，求的取值范圍．3．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求周長的取值范圍.鞏固提升一、單選題1．在中，角所對的邊分別為.若，則等于（）A． B． C． D．2．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，，則的面積為（）A． B． C． D．4．已知在中，、、分別為角、、的對邊，則根據(jù)條件解三角形時恰有一解的一組條件是（）A．，， B．，，C．，， D．，，二、多選題5．在中，下列式子與的值相等的有（）A． B．C． D．(R為ABC的外接圓半徑)6．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形三、填空題7．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，的面積為，則的周長是______．8．在中，已知向量，且，記角的對邊依次為.若，且是銳角三角形，則的最大值為______________.四、解答題9．在銳角中內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，，求的值.10．已知的內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，且．(1)求；(2)若的面積為，角的平分線交于，且，求．11．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C的大?。?2)若的面積，求ab的最小值.12．如圖，在中，已知，A為銳角，邊上的兩條中線相交于點P，的面積為.(1)求的長度；(2)求的余弦值.6.4.3.2正弦定理一、正弦定理及其變形變式：題型一：已知兩角及任意一邊解三角形例1．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正弦定理直接計算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.舉一反三1．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，，，則________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理直接求解可得.【詳解】由正弦定理可得，則．故答案為：2．如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，已知a=6，A=60°，B=75°.(1)求角C；(2)求邊c.【答案】(1)C=45°(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形三個內(nèi)角和等于180°即可求解；（2）結(jié)合已知條件，根據(jù)正弦定理即可求解.(1)解：在△ABC中，因為A=60°，B=75°，所以角；(2)解：在△ABC中，因為a=6，A=60°，又由（1）知C=45°，所以由正弦定理有，即，解得.題型二：已知兩邊及一邊對角解三角形例2．在中，角分別對應(yīng)邊，已知，．角，求角．1．【分析】先通過正弦定理求出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和為求出.【詳解】解：由正弦定理得，即，解得，因為，則必為銳角，，.【點睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.舉一反三1．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，.若，，，則（）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意和正弦定理求出，結(jié)合即可求出角B.【詳解】由正弦定理可得，則，故或.因為，所以，所以.故選：A2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c＝，b＝，C＝30°，解此三角形．【答案】B=60o時，A=90o，a=；B=120o時，A=30o，a=c=【解析】【分析】利用正弦定理即可求解.【詳解】在△ABC中，由正弦定理可得，即，解得，又因為，所以或，當時，，.當，，所以△ABC為等腰三角形，所以.2．在中，根據(jù)下列條件求相應(yīng)的值.（1）已知，，，求；（2）已知，，，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可求.（2）求出后利用正弦定理可求.【詳解】（1）由余弦定理可得，故.（2），由正弦定理可得，解得.題型三：正弦定理邊角互化例3．在中，下列等式中總能成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理辨析即可.【詳解】對于A，由可得，，不一定成立，故A錯誤；對于B，由可得，，不一定成立，故B錯誤；對于C，由可得，，即，不一定成立，故C錯誤；對于D，由正弦定理可得，，即一定成立，故D正確.故選：D．舉一反三1．在△ABC中，若，則B＝（）A． B． C．或 D．或【答案】A【解析】【分析】由正弦定理化邊為角，再由誘導公式，兩角和的正弦公式變形可得．【詳解】因為，由正弦定理得因為，所以因為，所以，所以，而B為三角形內(nèi)角，故．故選：A．2．已知，則________．【答案】2【解析】【分析】由題意結(jié)合正弦定理可得，即可得解.【詳解】，，.故答案為：.二、常用的三角形面積公式（1）；（2）（兩邊夾一角）；例4在△ABC中，acosB＝bsinA．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面積．（1）；（2）．【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進行化簡即可求解tanB，進而可求B；（2）由余弦定理及已知條件可求a，c的值，然后結(jié)合三角形的面積公式可求．【詳解】解：（1）在△ABC中，由正弦定理，因為，所以，因為sinA≠0，所以，所以tanB，因為0＜B＜π，所以，（2）因為b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得，所以a，c，所以．【點睛】此題考查正、余定理的應(yīng)用，考查三角恒等變換有應(yīng)用，考查三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題舉一反三已知在中，，分別是角所對的邊.（1）求；（2）若，，求的面積.（1）；（2）.【分析】（1）因為且，可得：，代入正切的倍角公式即可得解；（2）由題意可得：，所以，，由正弦定理，得，代入面積公式即可得解.【詳解】（1）因為且，∴∴（2）由，得，由，所以，則，由正弦定理，得，∴的面積為.【點睛】本題考查了三角恒等變換和解三角形，考查了正弦定理和面積公式，是對三角形基本量的計算，該類題型只需正確應(yīng)用公式即可得解，屬于常規(guī)考查，是基礎(chǔ)題.三、正弦定理判斷三角形解得個數(shù)已知a,b和A,用正弦定理求B時的各種情況:（多解情況）eq\o\ac(○,1)若A為銳角時:eq\o\ac(○,2)若A為直角或鈍角時:例5．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則此三角形解的情況為（）A．無解 B．只有一解 C．有兩解 D．解的個數(shù)不確定【答案】B【分析】由正弦定理可得，進而判斷解的情況.【詳解】因為，，，所以由正弦定理可得，，所以或，當時，，滿足題意；當時，，不能構(gòu)成三角形，舍去.綜上，，即三角形的解只有一個.故選：B．舉一反三1．在中，，，是角，，所對的邊，且，，，則等于（）A．60° B．120° C．60°或120° D．135°【答案】C【分析】利用正弦定理求得，根據(jù)大邊對大角確定的范圍，得到的值.【詳解】，，，由正弦定理得,,，45或，故選：C.【點睛】本題考查正弦定理，在已知兩邊一對角時，利用正弦定理解三角形，注意大邊對大角，對另一個對角的范圍進行限定，從而做出正確選擇.2．已知中，內(nèi)角、、所對的邊分別，，，，，，那么滿足條件的（）A．有一種情形 B．有兩種情形C．不可求出 D．有三種以上情形【答案】B【分析】由正弦定理，求得角的值，進而做出判定，得到答案.【詳解】由題意，因為，由正弦定理，可得，因為，可得，且，所以或，所以滿足條件的有兩種情形.故選：B.3．在中，角，，所對的邊分別為，，，，，若滿足條件的三角形有且只有兩個，則邊的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】作出圖形（如圖），計算出到角另一邊的距離，由可得結(jié)論．【詳解】如圖，作于，，．若有兩解，則，故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正弦定理解三角形，只有在已知兩邊和一邊對角解三角形時才可能出現(xiàn)兩解情形，而這種情形可能通過作圖判斷，由圖也可得出有兩解的條件．拓展創(chuàng)新①判斷三角形形狀例6．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則的形狀一定為（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形1．B【分析】先由正弦定理化簡得到，再求出，最后判斷三角形形狀.【詳解】解：因為，所以由正弦定理有，整理得，又因為，所以，故為直角三角形.故選：B【點睛】本題考查利用正弦定理判斷三角形的形狀，是基礎(chǔ)題.舉一反三1．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，若，則的形狀一定為（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．鈍角三角形1．B【分析】先由正弦定理化簡得到，再求出，最后判斷三角形形狀.【詳解】解：因為，所以由正弦定理有，整理得，又因為，所以，故為直角三角形.故選：B【點睛】本題考查利用正弦定理判斷三角形的形狀，是基礎(chǔ)題.②三角形的周長例7.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足：.（1）求；（2）若面積為，外接圓直徑為4，求的周長.（1）；（2）.【分析】（1）首先將已知等式化簡，再利用正弦定理將邊化角，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)三角形面積公式可得，再正弦定理可求，再利用余弦定理可求，由此即可求出結(jié)果.【詳解】（1），得，∴.（2）的面積，由正弦定理可知，由，則，∴的周長為.【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.舉一反三在中，角，，的對邊分別為，，，滿足.（1）求角；（2）若，的面積為，求的周長.（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得，結(jié)合運算即可；（2）由余弦定理結(jié)合三角形的面積公式可得解.【詳解】解：（1）由正弦定理可得，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，則；（2）由余弦定理可得，得，化簡得，又，則，解得，或，，所以三角形周長為.【點睛】本題考查了正弦定理及余弦定理，重點考查了三角形的面積公式，屬基礎(chǔ)題.③求三角形外接圓半徑例8．若中，，則的外接圓半徑為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】直接利用正弦定理，結(jié)合題目數(shù)據(jù)進行運算，即可求出的值.【詳解】解：根據(jù)題意，可知，由正弦定理得，即，解得：，所以的外接圓半徑為1.故選：A.舉一反三在中，，，的外接圓半徑為，則邊c的長為______.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)可求出，再根據(jù)正弦定理即可求出邊c的長．【詳解】因為，所以由可得，．根據(jù)正弦定理可得，，所以．故答案為：3．④求三角形最值或取值范圍例9．（1）在中，角，，的對邊分別是，，，已知．（1）求角；（2）若是的中點，且，求的最大值．（1）；（2）.【分析】（1）利用正余弦定理將進行邊角互化可得答案；（2）在中，設(shè)，，則，然后由正弦定理可得，然后，利用三角函數(shù)的知識可求得答案.【詳解】（1）因為所以由正弦定理可得，即所以由余弦定理可得，所以因為，所以，即因為，所以（2）在中，設(shè)，，則所以所以（其中）因為，所以，即的最大值為【點睛】方法點睛：在解決三角形中的最值問題時，常有兩種思路：①轉(zhuǎn)化為邊，利用基本不等式求（2）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且.（1）求；（2）若是銳角三角形，且的面積為，求邊的取值范圍.（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理化簡得，然后在中，由余弦定理求解.（2）根據(jù)是銳角三角形，求得，然后由的面積為求得，則，然后由，利用正切函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】（1）因為，所以，即，在中，由余弦定理得，又，所以，所以.（2）因為是銳角三角形，所以，所以.因為，所以.設(shè)的外接圓半徑為，則，所以，所以，，.因為，所以，所以，所以，所以，所以.【點睛】方法點睛：(1)在解有關(guān)三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到．(2)解題中注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍限制．舉一反三1．已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大?。唬?）若，求面積的最大值.（1）；（2）.【分析】(1)由正弦定理對已知式子進行邊角互化后得，結(jié)合余弦定理即可求出角C的大小.(2)由（1）可知，從而可求出，結(jié)合三角形的面積公式即可求出面積的最大值.【詳解】（1），，，.又，.（2）據(jù)（1）求解知，.又，.又，當且僅當時等號成立，，，此時.【點睛】方法點睛：在解三角形時，若已知的式子中既有邊又有角的正弦值，此時?？紤]用正弦定理將角的正弦值用邊來代替。若已知式子中含有邊的平方，此時常采用余弦定理進行化簡.2．的內(nèi)角，，對應(yīng)邊分別為，，，且．（1）求的大?。唬?）若為銳角三角形，求的取值范圍．（1）；（2）.【分析】（1）由，利用余弦定理化簡得，再結(jié)合余弦定理，即可求解；（2）由（1）和為銳角三角形，

求得，利用三角恒等變換的公式，化簡得到，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）因為，由余弦定理，可得，整理得，又由，因為，所以.（2）因為為銳角三角形，

可得，，因為，所以，可得，又由，因為，可得，所以的取值范圍為.【點睛】對于解三角形問題，通常利用正弦定理進行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合正、余弦定理求解.3．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知.（1）求角的大小；（2）若，求周長的取值范圍.（1）；（2）.【分析】（1）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及正弦定理將角化邊，再利用余弦定理計算可得；（2）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：（1）由題意知，即.由正弦定理，可得.則由余弦定理，可得.又因為，所以.（2）由正弦定理，，所以，.則的周長.因為，所以，所以，所以，所以周長的取值范圍是.【點睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實現(xiàn)“角化邊”；求三角形面積的最大值也是一種常見類型，主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.鞏固提升一、單選題1．在中，角所對的邊分別為.若，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理進行求解.【詳解】由正弦定理得：，即，解得：.故選：A2．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用余弦函數(shù)的單調(diào)性、大邊對大角定理以及正弦定理判斷可得出結(jié)論.【詳解】因為、，且余弦函數(shù)在上為減函數(shù)，在中，.因此，“”是“”的充要條件.故選：C.3．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，，則的面積為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由余弦定理得出，再求的面積.【詳解】由，得．因為，，，所以，故的面積．故選：D4．已知在中，、、分別為角、、的對邊，則根據(jù)條件解三角形時恰有一解的一組條件是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理求出的值，結(jié)合大邊對大角定理可判斷各選項.【詳解】對于A選項，由正弦定理可得，且，故有兩解；對于B選項，由正弦定理可得，且，故只有一解；對于C選項，由正弦定理可得，故無解；對于D選項，因為，則角為的最大內(nèi)角，且，故無解.故選：B.二、多選題5．在中，下列式子與的值相等的有（）A． B．C． D．(R為ABC的外接圓半徑)【答案】CD【解析】【分析】利用正弦定理對選項進行一一驗證，即可得答案；【詳解】對A，取，顯然，故A錯誤；對B，取，，故B錯誤；對C，D，，，故C，D正確；故選：CD6．設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的形狀為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)正弦定理和二倍角公式進行求解.【詳解】∵∴由正弦定理得，∵∴，即∴或，即該三角形為等腰三角形或直角三角形.故選：AC.三、填空題7．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，的面積為，則的周長是______．【答案】##【解析】【分析】由題得,結(jié)合正弦定理及面積公式可求a,c，進而利用余弦定理可求b，即得.【詳解】∵在中，，由正弦定理得，又，的面積為，∴，∴，由余弦定理,可得:，解得，故的周長是.故答案為：.8．在中