高一數(shù)學(xué)課堂抄重點(diǎn)講義(人教A版2019必修第二冊(cè))6.1平面向量的概念(講義+例題+小練)(原卷版+解析)

6.1平面向量的概念（一）向量的實(shí)際背景與概念在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到很多量，其中一些量在取定單位后用一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示出來，如長度、質(zhì)量等。還有一些量，如我們?cè)谖锢碇兴鶎W(xué)習(xí)的位移、力是一個(gè)既有大小又有方向的量，例如：物體受到的重力是豎直向下的（圖2.1-1），物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖2.1-2），物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大；被拉長的彈簧的彈力是向左的（圖2.1-3），被壓縮的彈簧的彈力是向右的（圖2.1-4），并且在彈性限度內(nèi)，彈簧拉長或壓縮的長度越大，彈力越大。我們可以對(duì)位移、力……這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象，形成一種新的量。這種量就是我們本章所要研究的——向量。向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，向量和數(shù)一樣也能進(jìn)行運(yùn)算，而且用向量的有關(guān)知識(shí)還能有效地解決數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中的很多問題，在這一章，我們將學(xué)習(xí)向量的概念、運(yùn)算及其簡單應(yīng)用。這一節(jié)課，我們將學(xué)習(xí)向量的有關(guān)概念。向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（物理學(xué)中常稱為矢量）（而把那些只有大小，沒有方向的量如：年齡、身高長度、面積、體積、質(zhì)量等，稱為數(shù)量。物理學(xué)中常稱為標(biāo)量）注意：1數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大?。幌蛄坑蟹较?，大小，雙重性，不能比較大小。例1：給出下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)間．其中不是向量的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)舉一反三下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是數(shù)量（即標(biāo)量）？（1）密度（2）體積（3）電阻（4）推進(jìn)力（5）長度（6）加速度向量：__________；數(shù)量：____________.（填寫相應(yīng)編號(hào)）.（二）向量的幾何表示對(duì)于向量，我們常用帶箭頭的線段——有向線段來表示，線段按一定比例（標(biāo)度）畫出，它的長短表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。A起點(diǎn)BA起點(diǎn)B終點(diǎn)我們?cè)谟邢蚓€段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向。以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作，起點(diǎn)寫在終點(diǎn)的前面。已知，線段AB的長度也叫做有向線段的長度，記作.有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度。（知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長度，它的終點(diǎn)就唯一確定。）向量的表示方法：幾何表示：①用有向線段表示；字母表示：②用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母表示如：；③用字母、、等表示。問題1：“向量就是有向線段，有向線段就是向量?！钡恼f法對(duì)嗎？（提問）（①向量是自由向量，只有大小和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；②有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段）向量的長度（或稱模）：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模）：記作。零向量、單位向量概念：①長度為0的向量叫零向量，記作。注意與0的區(qū)別（及書寫方法）。②長度等于1個(gè)單位的向量，叫單位向量。說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向。例2：下列結(jié)論中正確的為（）A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同B．向量與向量的長度相等C．對(duì)任意向量，是一個(gè)單位向量D．零向量沒有方向舉一反三1．下列結(jié)論中，正確的是__．①零向量只有大小沒有方向②對(duì)任一向量，||＞0總是成立的③||④與線段BA的長度不相等．2.圖中，小正方形的邊長為1，則||＝__，||＝__，||＝__．相等向量與共線向量1.相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；2.平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；④三點(diǎn)共線共線.3.相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量記作.例3．（1）如圖，在矩形中，可以用同一條有向線段表示的向量是（）A．和 B．和C．和 D．和（2）．下列敘述：（1）單位向量都相等；（2）若一個(gè)向量的模為0，則該向量的方向不確定；（3）共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；（4）方向不同的兩個(gè)向量一定不平行.其中正確的有________.(填所有正確的序號(hào))舉一反三1．下列說法正確的是（）A．向量就是所在的直線平行于所在的直線B．長度相等的向量叫做相等向量C．若，則D．共線向量是在一條直線上的向量2．下列敘述中錯(cuò)誤的是（多選）（）A．若，則B．若，則與的方向相同或相反C．若，，則D．對(duì)任一非零向量，是一個(gè)單位向量3．在如圖所示的向量，，，，中（小正方形的邊長為1），是否存在：若存在，分別寫出這些向量．(1)共線向量？(2)相反向量？(3)相同的向量？(4)模相等的向量？鞏固提升一、單選題1．下列說法正確的是（）A．若，則B．零向量的長度是0C．長度相等的向量叫相等向量D．共線向量是在同一條直線上的向量2．下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①面積、壓強(qiáng)、速度、位移這些物理量都是向量②零向量沒有方向③向量的模一定是正數(shù)

④非零向量的單位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．33．如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與相等的向量為（）A． B． C． D．4．下列物理量：①質(zhì)量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能稱為向量的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、多選題5．以下關(guān)于平面向量的說法中，正確的是（）A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有單位向量都相等C．零向量沒有方向 D．平行向量也叫做共線向量6．下列說法正確的有（）A．若，，則 B．若，，則C．若，則與的方向相同或相反 D．若、共線，則、、三點(diǎn)共線三、填空題7．已知，若，則________.8．有下列命題：①單位向量一定相等；②起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；③相等的非零向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；④方向相反的兩個(gè)單位向量互為相反向量；⑤起點(diǎn)相同且模相等的向量的終點(diǎn)的軌跡是圓．其中正確的命題的個(gè)數(shù)為______．四、解答題9．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，且，．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．10．1.如圖，已知點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心．(1)在圖中標(biāo)出的向量中，與向量長度相等的向量有多少個(gè)？(2)是否存在的相反向量？6.1平面向量的概念（一）向量的實(shí)際背景與概念在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到很多量，其中一些量在取定單位后用一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示出來，如長度、質(zhì)量等。還有一些量，如我們?cè)谖锢碇兴鶎W(xué)習(xí)的位移、力是一個(gè)既有大小又有方向的量，例如：物體受到的重力是豎直向下的（圖2.1-1），物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖2.1-2），物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大；被拉長的彈簧的彈力是向左的（圖2.1-3），被壓縮的彈簧的彈力是向右的（圖2.1-4），并且在彈性限度內(nèi)，彈簧拉長或壓縮的長度越大，彈力越大。我們可以對(duì)位移、力……這些既有大小又有方向的量進(jìn)行抽象，形成一種新的量。這種量就是我們本章所要研究的——向量。向量是數(shù)學(xué)中的重要概念之一，向量和數(shù)一樣也能進(jìn)行運(yùn)算，而且用向量的有關(guān)知識(shí)還能有效地解決數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中的很多問題，在這一章，我們將學(xué)習(xí)向量的概念、運(yùn)算及其簡單應(yīng)用。這一節(jié)課，我們將學(xué)習(xí)向量的有關(guān)概念。向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（物理學(xué)中常稱為矢量）（而把那些只有大小，沒有方向的量如：年齡、身高長度、面積、體積、質(zhì)量等，稱為數(shù)量。物理學(xué)中常稱為標(biāo)量）注意：1數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小。例1：給出下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時(shí)間．其中不是向量的有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【解析】【分析】既有方向，又有大小的量為向量【詳解】①質(zhì)量，⑥路程，⑦密度，⑧功，⑨時(shí)間只有大小，沒有方向，故不是向量，其余均為向量，故共有5個(gè)不是向量.故選：C舉一反三下列各量中，哪些是向量（即矢量），哪些是數(shù)量（即標(biāo)量）？（1）密度（2）體積（3）電阻（4）推進(jìn)力（5）長度（6）加速度向量：__________；數(shù)量：____________.（填寫相應(yīng)編號(hào)）.【答案】（4）（6）（1）（2）（3）（5）【解析】【分析】根據(jù)向量的概念進(jìn)行判斷即可.【詳解】密度、體積、電阻、長度都是只有大小沒有方向的量，是數(shù)量；推進(jìn)力、加速度是既有大小又有方向的量，是向量.故答案為：（4）（6）；（1）（2）（3）（5）.（二）向量的幾何表示對(duì)于向量，我們常用帶箭頭的線段——有向線段來表示，線段按一定比例（標(biāo)度）畫出，它的長短表示向量的大小，箭頭的指向表示向量的方向。A起點(diǎn)BA起點(diǎn)B終點(diǎn)我們?cè)谟邢蚓€段的終點(diǎn)處畫上箭頭表示它的方向。以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段記作，起點(diǎn)寫在終點(diǎn)的前面。已知，線段AB的長度也叫做有向線段的長度，記作.有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度。（知道了有向線段的起點(diǎn)、方向和長度，它的終點(diǎn)就唯一確定。）向量的表示方法：幾何表示：①用有向線段表示；字母表示：②用表示向量的有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母表示如：；③用字母、、等表示。問題1：“向量就是有向線段，有向線段就是向量?！钡恼f法對(duì)嗎？（提問）（①向量是自由向量，只有大小和方向兩個(gè)要素；與起點(diǎn)無關(guān)：只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量；②有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段）向量的長度（或稱模）：向量的大小，也就是向量的長度（或稱模）：記作。零向量、單位向量概念：①長度為0的向量叫零向量，記作。注意與0的區(qū)別（及書寫方法）。②長度等于1個(gè)單位的向量，叫單位向量。說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向。例2：下列結(jié)論中正確的為（）A．兩個(gè)有共同起點(diǎn)的單位向量，其終點(diǎn)必相同B．向量與向量的長度相等C．對(duì)任意向量，是一個(gè)單位向量D．零向量沒有方向【答案】B【解析】【分析】利用單位向量的概念可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用向量模的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；取可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用零向量的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，兩個(gè)單位向量的模相等，但這兩個(gè)單位向量的方向不確定，故A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，向量與向量的模相等，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則無意義，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，零向量的方向任意，D錯(cuò).故選：B.舉一反三1．下列結(jié)論中，正確的是__．①零向量只有大小沒有方向②對(duì)任一向量，||＞0總是成立的③||④與線段BA的長度不相等．【答案】③【解析】【分析】根據(jù)向量的概念，逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】①中，既有大小又有方向的量叫向量，∴大小與方向是向量的兩個(gè)要素，∴①不正確；②中，零向量的模為0，∴②不正確；③中，由于與方向相反大小相等，∴③正確；④中，與線段BA的長度相等，∴④不正確故答案為：③．2.圖中，小正方形的邊長為1，則||＝__，||＝__，||＝__．【答案】32【解析】【分析】根據(jù)所給圖形，利用勾股定理，直接計(jì)算模長即可得解.【詳解】由題意可知：||3．||．||．故答案為：3；；2．相等向量與共線向量1.相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；2.平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；④三點(diǎn)共線共線.3.相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量記作.例3．（1）如圖，在矩形中，可以用同一條有向線段表示的向量是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相等向量的概念，得到和是相等向量，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，向量和的方向相反，但長度相等，所以和不是相等向量；對(duì)于B中，向量和的方向相同且長度相等，所以和是相等向量，對(duì)于C中，向量和的方向不同，且長度不相等，所以和不是相等向量；對(duì)于D中，向量和的方向不同，且長度不相等，所以和不是相等向量；所以只有向量和可以用同一條有向線段表示.故選：B.（2）．下列敘述：（1）單位向量都相等；（2）若一個(gè)向量的模為0，則該向量的方向不確定；（3）共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；（4）方向不同的兩個(gè)向量一定不平行.其中正確的有________.(填所有正確的序號(hào))【答案】（2）【解析】【分析】（1）單位向量的方向不一定相同，故不相等；（2）零向量方向不確定；（3）共線向量可以起點(diǎn)不同，終點(diǎn)相同；（4）方向相反的向量是平行的.【詳解】（1）錯(cuò)誤,單位向量模都相等，但是方向不一定相同.（2）正確,若一個(gè)向量的模為0，則該向量是零向量，其方向不確定，是任意的.（3）錯(cuò)誤,共線的向量，若起點(diǎn)不同，但終點(diǎn)有可能相同.（4）錯(cuò)誤,方向相反的兩個(gè)向量一定平行.故答案為：（2）舉一反三1．下列說法正確的是（）A．向量就是所在的直線平行于所在的直線B．長度相等的向量叫做相等向量C．若，則D．共線向量是在一條直線上的向量【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共線向量的定義可判斷A，D；由相等向量的定義可判斷B，C；進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：根據(jù)共線向量的定義可知向量就是所在的直線與所在的直線平行或重合，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：若，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量，零向量與任意向量共線，故選項(xiàng)D不正確；故選：C.2．下列敘述中錯(cuò)誤的是（多選）（）A．若，則B．若，則與的方向相同或相反C．若，，則D．對(duì)任一非零向量，是一個(gè)單位向量【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)向量不能比較大小可判斷A；根據(jù)共線向量的定義可判斷B；當(dāng)時(shí)可判斷C；根據(jù)單位向量的定義可判斷D，進(jìn)而可得答案.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)橄蛄渴羌扔写笮∮钟蟹较虻牧浚韵蛄坎荒鼙容^大小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，零向量與任意向量平行，且零向量的方向是任意的，所以若，則對(duì)于非零向量，必有，但與的方向不一定相同或相反，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則零向量與任意向量平行，所以對(duì)任意向量與，均有，，故此時(shí)與不一定平行，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由單位向量的定義可得，對(duì)任一非零向量，其單位向量為，故D正確.故選：ABC.3．在如圖所示的向量，，，，中（小正方形的邊長為1），是否存在：若存在，分別寫出這些向量．(1)共線向量？(2)相反向量？(3)相同的向量？(4)模相等的向量？【答案】(1)與共線，與共線(2)與(3)無相同向量(4)【解析】【分析】（1）利用共線向量的定義判斷，（2）利用相反向量的定義判斷，（3）利用相同向量的定義判斷，（4）求出各個(gè)向量的模進(jìn)行判斷(1)與共線，與共線(2)與是相反向量(3)圖中無方向相同的向量，所以向量，，，，中無相同的向量(4)由圖可知，所以模相等的向量為鞏固提升一、單選題1．下列說法正確的是（）A．若，則B．零向量的長度是0C．長度相等的向量叫相等向量D．共線向量是在同一條直線上的向量【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】A：僅表示與的大小相等，但是方向不確定，故未必成立，所以A錯(cuò)誤；B：根據(jù)零向量的定義可判斷B正確；C：長度相等的向量方向不一定相同，故C錯(cuò)誤；D：共線向量不一定在同一條直線上，也可平行，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．下列說法正確的個(gè)數(shù)為（）①面積、壓強(qiáng)、速度、位移這些物理量都是向量②零向量沒有方向③向量的模一定是正數(shù)

④非零向量的單位向量是唯一的A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷正誤即可.【詳解】①錯(cuò)誤，只有速度，位移是向量．②錯(cuò)誤，零向量有方向，它的方向是任意的．③錯(cuò)誤，④錯(cuò)誤，非零向量的單位向量有兩個(gè)，一個(gè)與同向，一個(gè)與反向．故選：A.3．如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，則與相等的向量為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】方向相同，模長相等的向量為相等向量.【詳解】AB選項(xiàng)均與方向不同，C選項(xiàng)與模長不等，D選項(xiàng)與方向相同，長度相等.故選：D4．下列物理量：①質(zhì)量；②路程；③位移；④重力；⑤加速度.其中，不能稱為向量的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)物理量的定義及性質(zhì)判斷是否為向量即可.【詳解】根據(jù)物理量的定義、性質(zhì)知：質(zhì)量、路程是標(biāo)量，位移、重力、加速度為矢量即向量，∴③④⑤是向量，①②是標(biāo)量.故選：C二、多選題5．以下關(guān)于平面向量的說法中，正確的是（）A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B．所有單位向量都相等C．零向量沒有方向 D．平行向量也叫做共線向量【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合平面向量的基本概念，逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】由向量的定義知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正確；單位向量是長度為1的向量，其方向是任意的，B不正確；零向量有方向，其方向是任意的，C不正確；由平行向量的定義知，平行向量也叫做共線向量，D正確.故選：AD6．下列說法正確的有（）A．若，，則 B．若，，則C．若，則與的方向相同或相反 D．若、共線，則、、三點(diǎn)共線【答案】BD【解析】【分析】取可判斷AC選項(xiàng)的正誤；利用向量相等的定義可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用共線向量的定義可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，、均為非零向量，則，成立，但不一定成立，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)