高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)【考點題型歸納講練】導(dǎo)學(xué)案（新高考專用）專題研究五導(dǎo)數(shù)與不等式綜合問題(原卷版+解析)

專題研究五導(dǎo)數(shù)與不等式綜合問題編寫：廖云波題型一導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)【例1-1】已知，其中．（1）若在處取得極值，求實數(shù)的值．（2）若在，上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．【例1-2】已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）若，，求的取值范圍．歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】已知．（1）若在上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時，在，上恒成立．題型二導(dǎo)數(shù)與數(shù)列【例2-1】已知a>0且函數(shù).(1)若，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：.【例2-2】已知函數(shù).證明：(1)當(dāng)，不等式恒成立；(2)對于任意正整數(shù)，不等式恒成立（其中為自然常數(shù)）歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：.題型三同構(gòu)法解不等式【例3-1】已知函數(shù)．(1)求的極值；(2)若對任意的，恒成立，求正實數(shù)a的取值范圍．【練習(xí)3-1】已知函數(shù)．(1)設(shè)，證明：對，都有恒成立；(2)若，求證：．【請完成課時作業(yè)（二十三）】

【課時作業(yè)（二十三）】1．函數(shù).(1)當(dāng)時，求函數(shù)的極值；(2)當(dāng)，且.①證明：有兩個極值點；②證明：對任意的.2．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)設(shè)，若，，都有，求實數(shù)的取值范圍．3．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)若，證明：曲線與軸相切．(2)證明：對于任意大于1的自然數(shù)，不等式恒成立．4．已知函數(shù)．(1)若在上僅有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若對任意的，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．5．已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[]上的最大值；(2)證明：．6．設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時，求的值域；(2)當(dāng)時，，求k的取值范圍.專題研究五導(dǎo)數(shù)與不等式綜合問題編寫：廖云波題型一導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)【例1-1】已知，其中．（1）若在處取得極值，求實數(shù)的值．（2）若在，上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），（2分）由可得，；（4分）經(jīng)檢驗，滿足題意．（5分）（2）函數(shù)在單調(diào)遞增．在上恒成立．（7分）即在上恒成立．即，（10分）．（11分）檢驗，時，，，僅在處取得．所以滿足題意．．（12分）【例1-2】已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）若，，求的取值范圍．【解析】解：（1）證明：，因為，所以，，于是（等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立）．故函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）由（1）得在上單調(diào)遞增，又，所以，（?。┊?dāng)時，成立．（ⅱ）當(dāng)時，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又，所以，故時，．由式可得，令，則由式可得令，得在上單調(diào)遞增，又，，所以存在使得，即時，，所以時，，單調(diào)遞減，又，所以，即時，，與矛盾．綜上，滿足條件的的取值范圍是，．歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】已知．（1）若在上單調(diào)，求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時，在，上恒成立．【解析】解：（1）（1分）若在上單調(diào)遞增，則當(dāng)，恒成立，當(dāng)時，，此時；（4分）若在上單調(diào)遞減，同理可得（5分）所以的取值范圍是（6分）（2）時，（7分）當(dāng)，時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（9分）存在，使得在，上，在，上，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減（11分）故在，上，，，所以在，上恒成立（12分）題型二導(dǎo)數(shù)與數(shù)列【例2-1】已知a>0且函數(shù).(1)若，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：.【答案】(1)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)(3)證明見解析【解析】【分析】（1）代入，求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而確定原函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）求導(dǎo)可得，再分析與1的關(guān)系，結(jié)合求解即可；（3）根據(jù)（2）可得，整理可得，再累加證明即可.(1)代入有，則，故當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)因為，，，令有，，當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，故成立.當(dāng)，即時，在上，單調(diào)遞減.，不滿足.綜上有(3)由（2）可得，當(dāng)時，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，有，即，即，故，…，累加可得，即，即得證【例2-2】已知函數(shù).證明：(1)當(dāng)，不等式恒成立；(2)對于任意正整數(shù)，不等式恒成立（其中為自然常數(shù)）【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）要證不等式成立，即證恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求出最值可得答案；（2）由（1）知，令則轉(zhuǎn)化為，利用放縮法和等比數(shù)列求和可得答案.(1)要證不等式成立，即證恒成立，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以恒成立.(2)由（1）知，令則，所以，即歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】設(shè)函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)證明：.【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再分，和三種情況討論，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可得出答案；（2）由（1）知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，從而有，則有，再令，再利用放縮法及裂項相消法即可得證.(1)解：的定義域為，，令，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，有二正根，，，當(dāng)，，在和上單調(diào)遞減，當(dāng)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，故在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；(2)證明：由（1）知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，