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文檔簡(jiǎn)介
幾何問(wèn)題
蝴蝶模型
請(qǐng)看這個(gè)GD邊形
①削r*SiXS3=S2XS4
04CUJ3
②Si+S2_SdBDA_AOSI+S4_S&ACD_
S^S,=S^BDC='CO
S2+S3S^ACBBO
再看一個(gè)?邊形:
②Si:Si=a2:b2
③S:S2:S3:S4=好:abh2ab
④梯形面積S的對(duì)應(yīng)份數(shù)是(。+力)2
如果在題中沒(méi)有蝴蝶一加輔助線構(gòu)造
例1、如圖,四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形,其中三個(gè)三角形
的面積已知,求:⑴三角形aK的面積;:GC=?
B
例2、如圖,長(zhǎng)方形ABCD中,BE:EC=2:3,DF\FC=\:2,三角
形〃%的面積為2平方厘米,求長(zhǎng)方形4?切的面積。
例3、如圖,W=2,£=4,求梯形的面積
例4、在下圖的正方形/版中,月是a1邊的中點(diǎn),4月與劭相交于尸
點(diǎn),三角形應(yīng)F的面積為1平方厘米,那么正方形/四面積是多少
平方厘米。
例5、如下圖,梯形力灰力的"平行于切,對(duì)角線力C〃。交于。,
已知△/%與的面積分別為25平方厘米與35平方厘米,那么
梯形力凡力的面積是多少平方厘米。
例6、已知45徵是平行四邊形,BC\CE=3:2,三角形〃〃夕的面積
為6平方厘米。則陰影部分的面積是多少平方厘米?
例7、如圖,在長(zhǎng)方形中,AB=6,AD=2,AE=EF=FB,求陰
一半模型:
①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等;
②兩個(gè)三角形高相等,面積比等于它們的底之比;
兩個(gè)三角形底相等,面積比等于它們的高之比;
如左圖£:5?=a:。
③夾在一組平行線之間的等積變形,如右上圖以皿=工板;
反之,如果=,則可知直線A8平行于CD.
④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特
殊的平行四邊形);
⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半;
⑥兩個(gè)平行四邊形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個(gè)平行四邊
形底相等,面積比等于它們的高之比.
1.四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F兩點(diǎn)三等分,且四邊形AECF的面
積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積(如圖所示)。
試一試:
1、四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F、G三點(diǎn)四等分,且四邊形
AECG的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的
面積(如圖)。
BC
2、已知四邊形ABCD的對(duì)角線被E、F、G三點(diǎn)四等分,且陰影部
分面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積(如圖所示)。
3.如右圖,ABCD是長(zhǎng)方形,圖中的數(shù)字是各部分的面積數(shù),則圖中
陰影部分的面積為
三角形:燕尾模型
在三角形ABC中,AD,BE,b相交于同一點(diǎn)。,那么$?:氏e=8。:短C.
【例1】2009年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題)如圖,三角形A8C的
面積是1,E是4c的中點(diǎn),點(diǎn)。在BC上,且8D:£>C=1:2,4)與
BE交于點(diǎn)F.則四邊形DFEC的面積等于.
A
E
B
【鞏固】如圖,已知8Q=OCEC=2AE,三角形ABC的面積是30,求
陰影部分面積.
【鞏固】如圖,三角形A8C的面積是200cmhE在AC上,
點(diǎn)。在8c上,且AE:EC=3:5,8O:OC=2:3,AD與BE交于點(diǎn)F.則
四邊形DFEC的面積等于.
【鞏固】如圖,已知BQ=3DC,EC=2AE,BE與C£>相交于點(diǎn)。,則△ABC
被分成的4部分面積各占△MC面積的幾分之幾?
A
【鞏固】如圖,三角形ABC的面積是1,BD=2DC,CE=2AE,AD與BE
相交于點(diǎn)F,請(qǐng)寫(xiě)出這4部分的面積各是多少?
【鞏固】如圖,E在4C上,。在8C上,且
AE-.EC=2:3,BD-.DC=\,2,AD與BE交于息F.四邊形£>"C的面積等于
22cm一則三角形ABC的面積.
三角形48c中,C是直角,已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,那
么三角形AMN(陰影部分)的面積為多少?
CDB
【鞏固】如圖,長(zhǎng)方形A8CD的面積是2平方厘米,EC=2DE,尸是OG
的中點(diǎn).陰影部分的面積是多少平方厘米?
如圖所示,在四邊形A8c。中,AB=3BE,AD=3AF,四邊形AEOF的面
積是12,那么平行四邊形/3ODC的面積為.
ABC。是邊長(zhǎng)為12厘米的正方形,E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn),AF
與CE交于G,則四邊形AGCD的面積是平方厘米.
如圖所示,在△A8C中,BE-.EC=3A,。是AE的中點(diǎn),那么
AF.FC=.
A
【鞏固】在MBC中,BD:DC=3:2,AE:EC=3:\,求OB:OE=?
【鞏固】在AABC中,BD:DC=2AE:EC=\:3,
如右圖,三角形ABC中,BD:DC=4.9,
如右圖,△48C中,G是AC的中點(diǎn),D、E、F是BC邊上的四等分點(diǎn),
AD與8G交于M,A尸與8G交于N,已知△4BM的面積比四邊形/CGN的
面積大7.2平方厘米,則△ABC的面積是多少平方厘米?
【鞏固】(2007年四中分班考試題)如圖,AA8C中,點(diǎn)Q是邊AC的中
點(diǎn),點(diǎn)E、尸是邊8c的三等分點(diǎn),若AA8C的面積為1,那么
四邊形CDMF的面積是.
練習(xí)
1.已知圖18T中,三角形ABC的面積為8平方
厘米,AE=ED,BD=|BC,求陰影部分的面積。
AE=ED,BC=3BD,S.c=30平方厘米。求陰影部分
的面積。
2.如圖所示,DE4AE,BD=2DC,S△廿5平方厘米。求三角形ABC的
面積。
A
3、如圖所示,如三角形ABC中,三角形BDE、DCE、ACD的面積分別
是90,30,28平方厘米。那么三角形ADE的面積是多少?
4.如圖所示,在三角形ABC中,三角形ADE、DEF、EFG、FGH、CGH、
BCH的面積分別是5,7,11,15,20,12平方厘米。求三角形BGH
的面積。
鳥(niǎo)頭定理
兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ),這兩個(gè)三角形叫做共角三角形.
共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之
比.
如圖在△48C中,分別是上的點(diǎn)如圖⑴(或。在BA的延長(zhǎng)線
上,E在AC上),
則5AABC:4八0£=(ABxAC):(ADxAE)
1、已知AB=3AE,AC=2AD,
△ABC=36,求S4AED。
2,已知AB=2AD,AC=2AE,SAABC=24,求SAAEDO
圓
(一)、圖形變換
1、平移
(1)、點(diǎn)的移動(dòng)(等積變形)
【例1】計(jì)算(圖1)中的陰影部分面積。(單位:厘米)
1圖1][圖2]
【例2】如(圖3)所示,已知大正方形的邊長(zhǎng)為10厘米,小正方形
的邊長(zhǎng)為7厘米,
(圖3](圖4]
(2)、面的移動(dòng)(平移法)
【例3】求(圖5)中陰影部分的面積(單位:厘米)
4
[圖
[圖5]6]
【例4】求(圖7)陰影部分的面積(單位:厘米)
3、旋轉(zhuǎn)
【例5】求(圖9)陰影部分的面積(單位:厘米)
[圖9][圖10]
【例6】如圖(11),三角形ABC為等腰直角三角形,D為AB的中點(diǎn),
AB=20厘米,
1圖11](圖12]
試一試
1、如圖所示,求陰影部分的面積(單位:;
厘米)。
2、如圖所示,求圖中陰影部分的面積(單位:厘米)。
【例7】求(圖13)陰影部分的面積(單位:厘米)
【例8】求(圖15)陰影部分的面積(單位:厘米)
(圖15][圖16]
3、對(duì)稱
【例9】(圖17)中扇形的半徑6厘米,圓心角為45°,AC垂直于0B,
垂足為C,求陰影部分的面積是多少平方厘米?
(2)、等分(縮小法)[§]17]
【例10】求(圖19)陰影部分的面積(單位:厘米)
——4A
[圖19][圖20]
試一試
1.在圖中,正方形的面積是10厘米,求圖中陰影部分的面積。
例11、在正方形ABCD中,AC=6厘米。求陰影部C
分的面積。
(二)、等量替換
1、條件替換
【例11】如(圖21)所示,兩個(gè)半徑為2厘米的等圓,已知陰影的
BA
[圖22]
2、問(wèn)題替換
【例12】如(圖22)所示,一個(gè)直徑為4厘米的半圓,以A點(diǎn)為圓
心,把整個(gè)半圓按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,此時(shí)點(diǎn)B移到Bl求陰影部
分的面積。
(三)、從整體看問(wèn)題
【例13】如(圖23)所示,直角三角形ABC的三條邊長(zhǎng)分別為6厘
米、8厘米、10厘米,三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)等圓圓心,求陰
影部分的面積和是多少平方厘米?
【例14]如(圖24)所示,一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)40厘米,寬30厘米,A
為長(zhǎng)方形內(nèi)的任意一點(diǎn),求陰影部分的面積。
(四)、靈活運(yùn)用公式
【例15】在(圖28)中,BC=20厘米,求直角梯形ABCD的面積
【例16】如(圖29),正方形的面積是30平方厘米,求圓的面積。
[圖29][圖30]
【例17】如(圖30)陰影部分的面積是25平方厘米,求圓環(huán)的面積。
[圖29]
練習(xí)
1.?求陰影部分的面積。(單位:厘米)
2.、求陰影部分的面積。(單位:厘米)
例18:如圖所示,半圓的面積是62.8平方厘米,求陰影部分的面積。
練習(xí):
1、如圖五個(gè)相同的圓的圓心連線構(gòu)成一個(gè)邊
長(zhǎng)為10厘米的正五邊形。求五邊形內(nèi)陰影部分的面積。(門=3.14)
2.如圖,四個(gè)扇形的半徑相等,求陰影部分的面積。(單位:厘米)
(25)
3o在圖的扇形中,正方形的面積是30平方厘米。求陰影部
分的面積。
4.已知直角三角形面積是12平方厘米,求陰影部分的面積。
(15)
3.如圖所示,0是小圓的圓心,C0垂直于AB,三角形
ABC的面積是45平方厘米,求陰影部分的面積。
與圓周角有關(guān)的圖形問(wèn)題
如圖所示,圖中圓的直徑AB是4厘米,平行四邊形ABCD的面積
是7平方厘米,ZABC=30°,求陰影部分的面積(得數(shù)保留兩位
小數(shù))。
試一試:
1、如圖所示,三角形ABC的面積是31.2平
方厘米,圓的直徑AC=6厘米,BD:DC=3:lo
求陰影部分的面積。
2、圖所示如,求陰影部分的面積(單位:厘米。得數(shù)保留兩位小
數(shù))。
雜題:;20、如圖,三角形ABC是直角三角形,陰影部分甲比陰影
部分乙面積大28平方厘
21、如圖,大正方形的邊長(zhǎng)為6厘米,小正方形的邊長(zhǎng)為4厘米。求
陰影部分的面積。
(32)
22、求陰影部分的面積。(單位:厘米)
(33)
23、求陰影部分的面積。(單位:厘米)
(34)
正方形和長(zhǎng)方形
1、如圖所示,在一個(gè)大正方形中,有兩個(gè)帶陰影的小正方形。較小
的一個(gè)帶陰影的小正方形的面積與較大的一個(gè)帶陰影的小正方形的
面積的比是。
五、周長(zhǎng)的變化
1、將一個(gè)平行四邊形拉成一個(gè)長(zhǎng)方形,它的周長(zhǎng)和面積發(fā)生了什么
變化?
2、把兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形拼在一起,原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米,
寬是4厘米。想一想有幾種拼法,
(1)如果把它們拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,拼成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)是多少?
(2)如果把它們拼成一個(gè)正方形,周長(zhǎng)是多少?
3、下圖的周長(zhǎng)是()厘米.
4、右圖“凸”字的周長(zhǎng)是()厘米.
5P
5、下圖是一座樓房的平面圖,圖中用不同字母表示長(zhǎng)度不同的各條邊.
已知b=50米,c=30米,g=10米,這座樓房平面的周長(zhǎng)是()米.
6、下圖是由16個(gè)同樣大小的正方形組成的,如果這個(gè)圖形的面積是
400平方厘米,那么它的周長(zhǎng)是()厘米.
7、下圖“E”字周長(zhǎng)是()厘米.
六、體積與表面積的問(wèn)題
1把兩個(gè)相同的正方體拼在一起成一個(gè)長(zhǎng)方體,這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積
是兩個(gè)正方體表面積之和的分之.
2一個(gè)長(zhǎng)6分米、寬4分米、高2分米的木箱.用三根鐵絲捆起來(lái)(如
右圖),打結(jié)處要用1分米鐵絲.這根鐵絲總長(zhǎng)至少為分米.
4
3、一個(gè)長(zhǎng)方體的底面、側(cè)面和前面的面積分別是12平方厘米、8平
方厘米和6平方厘米.那么它的體積是.
4、將高都是1米,底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱
組成一個(gè)物體.這個(gè)物體的表面積是.(萬(wàn)=3.14)
5、把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是7厘米、6厘米、5厘米的長(zhǎng)方體,截成
兩個(gè)長(zhǎng)方體,使這兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和最大.這時(shí)表面積之和是
平方厘米.
6、一個(gè)圓柱形玻璃杯中盛有水,水面高2.5厘米,玻璃內(nèi)側(cè)的底面積
是72平方厘米,在這個(gè)杯中放進(jìn)棱長(zhǎng)6厘米的正方體的鐵塊后,水面
沒(méi)有淹沒(méi)鐵塊,這時(shí)水面高厘米.
7、一個(gè)正方體的表面積是384平方分米,體積是512立方分米,這
個(gè)正方體棱長(zhǎng)的總和是.
9、一個(gè)邊長(zhǎng)為4分米的正方形,以它的一條邊為軸,把正方形旋轉(zhuǎn)一
周后,得到一個(gè),這個(gè)形體的體積是
10、把19個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體重疊起來(lái)堆成如右圖所示的立方
體,這個(gè)立方體的表面積是______平方厘米.
11、一個(gè)棱長(zhǎng)為10cm的正方體,如果在它的各面的中間的正
中位置打一個(gè)深4cm,長(zhǎng)、寬均為2cm的長(zhǎng)方華W
則打孔以后的正方體的表面積=cm2,□
12、將一個(gè)長(zhǎng)8厘米寬6厘米長(zhǎng)方形4個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的
正方形,然后折成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體。求長(zhǎng)方體表面積和體積?
13、在一個(gè)棱長(zhǎng)8厘米的正方體玻璃缸中,盛有一定深度的水。將棱
長(zhǎng)4厘米正方體鐵塊放入缸中
(1)若缸中水深6厘米,則水面上升多少厘米?
(2)若缸中水深2厘米,則水面上升多少厘米?
(3)
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