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文檔簡(jiǎn)介

幾何問(wèn)題

蝴蝶模型

請(qǐng)看這個(gè)GD邊形

①削r*SiXS3=S2XS4

04CUJ3

②Si+S2_SdBDA_AOSI+S4_S&ACD_

S^S,=S^BDC='CO

S2+S3S^ACBBO

再看一個(gè)?邊形:

②Si:Si=a2:b2

③S:S2:S3:S4=好:abh2ab

④梯形面積S的對(duì)應(yīng)份數(shù)是(。+力)2

如果在題中沒(méi)有蝴蝶一加輔助線構(gòu)造

例1、如圖,四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形,其中三個(gè)三角形

的面積已知,求:⑴三角形aK的面積;:GC=?

B

例2、如圖,長(zhǎng)方形ABCD中,BE:EC=2:3,DF\FC=\:2,三角

形〃%的面積為2平方厘米,求長(zhǎng)方形4?切的面積。

例3、如圖,W=2,£=4,求梯形的面積

例4、在下圖的正方形/版中,月是a1邊的中點(diǎn),4月與劭相交于尸

點(diǎn),三角形應(yīng)F的面積為1平方厘米,那么正方形/四面積是多少

平方厘米。

例5、如下圖,梯形力灰力的"平行于切,對(duì)角線力C〃。交于。,

已知△/%與的面積分別為25平方厘米與35平方厘米,那么

梯形力凡力的面積是多少平方厘米。

例6、已知45徵是平行四邊形,BC\CE=3:2,三角形〃〃夕的面積

為6平方厘米。則陰影部分的面積是多少平方厘米?

例7、如圖,在長(zhǎng)方形中,AB=6,AD=2,AE=EF=FB,求陰

一半模型:

①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等;

②兩個(gè)三角形高相等,面積比等于它們的底之比;

兩個(gè)三角形底相等,面積比等于它們的高之比;

如左圖£:5?=a:。

③夾在一組平行線之間的等積變形,如右上圖以皿=工板;

反之,如果=,則可知直線A8平行于CD.

④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長(zhǎng)方形和正方形可以看作特

殊的平行四邊形);

⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半;

⑥兩個(gè)平行四邊形高相等,面積比等于它們的底之比;兩個(gè)平行四邊

形底相等,面積比等于它們的高之比.

1.四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F兩點(diǎn)三等分,且四邊形AECF的面

積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積(如圖所示)。

試一試:

1、四邊形ABCD的對(duì)角線BD被E、F、G三點(diǎn)四等分,且四邊形

AECG的面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的

面積(如圖)。

BC

2、已知四邊形ABCD的對(duì)角線被E、F、G三點(diǎn)四等分,且陰影部

分面積為15平方厘米。求四邊形ABCD的面積(如圖所示)。

3.如右圖,ABCD是長(zhǎng)方形,圖中的數(shù)字是各部分的面積數(shù),則圖中

陰影部分的面積為

三角形:燕尾模型

在三角形ABC中,AD,BE,b相交于同一點(diǎn)。,那么$?:氏e=8。:短C.

【例1】2009年第七屆希望杯五年級(jí)一試試題)如圖,三角形A8C的

面積是1,E是4c的中點(diǎn),點(diǎn)。在BC上,且8D:£>C=1:2,4)與

BE交于點(diǎn)F.則四邊形DFEC的面積等于.

A

E

B

【鞏固】如圖,已知8Q=OCEC=2AE,三角形ABC的面積是30,求

陰影部分面積.

【鞏固】如圖,三角形A8C的面積是200cmhE在AC上,

點(diǎn)。在8c上,且AE:EC=3:5,8O:OC=2:3,AD與BE交于點(diǎn)F.則

四邊形DFEC的面積等于.

【鞏固】如圖,已知BQ=3DC,EC=2AE,BE與C£>相交于點(diǎn)。,則△ABC

被分成的4部分面積各占△MC面積的幾分之幾?

A

【鞏固】如圖,三角形ABC的面積是1,BD=2DC,CE=2AE,AD與BE

相交于點(diǎn)F,請(qǐng)寫(xiě)出這4部分的面積各是多少?

【鞏固】如圖,E在4C上,。在8C上,且

AE-.EC=2:3,BD-.DC=\,2,AD與BE交于息F.四邊形£>"C的面積等于

22cm一則三角形ABC的面積.

三角形48c中,C是直角,已知AC=2,CD=2,CB=3,AM=BM,那

么三角形AMN(陰影部分)的面積為多少?

CDB

【鞏固】如圖,長(zhǎng)方形A8CD的面積是2平方厘米,EC=2DE,尸是OG

的中點(diǎn).陰影部分的面積是多少平方厘米?

如圖所示,在四邊形A8c。中,AB=3BE,AD=3AF,四邊形AEOF的面

積是12,那么平行四邊形/3ODC的面積為.

ABC。是邊長(zhǎng)為12厘米的正方形,E、F分別是AB、BC邊的中點(diǎn),AF

與CE交于G,則四邊形AGCD的面積是平方厘米.

如圖所示,在△A8C中,BE-.EC=3A,。是AE的中點(diǎn),那么

AF.FC=.

A

【鞏固】在MBC中,BD:DC=3:2,AE:EC=3:\,求OB:OE=?

【鞏固】在AABC中,BD:DC=2AE:EC=\:3,

如右圖,三角形ABC中,BD:DC=4.9,

如右圖,△48C中,G是AC的中點(diǎn),D、E、F是BC邊上的四等分點(diǎn),

AD與8G交于M,A尸與8G交于N,已知△4BM的面積比四邊形/CGN的

面積大7.2平方厘米,則△ABC的面積是多少平方厘米?

【鞏固】(2007年四中分班考試題)如圖,AA8C中,點(diǎn)Q是邊AC的中

點(diǎn),點(diǎn)E、尸是邊8c的三等分點(diǎn),若AA8C的面積為1,那么

四邊形CDMF的面積是.

練習(xí)

1.已知圖18T中,三角形ABC的面積為8平方

厘米,AE=ED,BD=|BC,求陰影部分的面積。

AE=ED,BC=3BD,S.c=30平方厘米。求陰影部分

的面積。

2.如圖所示,DE4AE,BD=2DC,S△廿5平方厘米。求三角形ABC的

面積。

A

3、如圖所示,如三角形ABC中,三角形BDE、DCE、ACD的面積分別

是90,30,28平方厘米。那么三角形ADE的面積是多少?

4.如圖所示,在三角形ABC中,三角形ADE、DEF、EFG、FGH、CGH、

BCH的面積分別是5,7,11,15,20,12平方厘米。求三角形BGH

的面積。

鳥(niǎo)頭定理

兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ),這兩個(gè)三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之

比.

如圖在△48C中,分別是上的點(diǎn)如圖⑴(或。在BA的延長(zhǎng)線

上,E在AC上),

則5AABC:4八0£=(ABxAC):(ADxAE)

1、已知AB=3AE,AC=2AD,

△ABC=36,求S4AED。

2,已知AB=2AD,AC=2AE,SAABC=24,求SAAEDO

(一)、圖形變換

1、平移

(1)、點(diǎn)的移動(dòng)(等積變形)

【例1】計(jì)算(圖1)中的陰影部分面積。(單位:厘米)

1圖1][圖2]

【例2】如(圖3)所示,已知大正方形的邊長(zhǎng)為10厘米,小正方形

的邊長(zhǎng)為7厘米,

(圖3](圖4]

(2)、面的移動(dòng)(平移法)

【例3】求(圖5)中陰影部分的面積(單位:厘米)

4

[圖

[圖5]6]

【例4】求(圖7)陰影部分的面積(單位:厘米)

3、旋轉(zhuǎn)

【例5】求(圖9)陰影部分的面積(單位:厘米)

[圖9][圖10]

【例6】如圖(11),三角形ABC為等腰直角三角形,D為AB的中點(diǎn),

AB=20厘米,

1圖11](圖12]

試一試

1、如圖所示,求陰影部分的面積(單位:;

厘米)。

2、如圖所示,求圖中陰影部分的面積(單位:厘米)。

【例7】求(圖13)陰影部分的面積(單位:厘米)

【例8】求(圖15)陰影部分的面積(單位:厘米)

(圖15][圖16]

3、對(duì)稱

【例9】(圖17)中扇形的半徑6厘米,圓心角為45°,AC垂直于0B,

垂足為C,求陰影部分的面積是多少平方厘米?

(2)、等分(縮小法)[§]17]

【例10】求(圖19)陰影部分的面積(單位:厘米)

——4A

[圖19][圖20]

試一試

1.在圖中,正方形的面積是10厘米,求圖中陰影部分的面積。

例11、在正方形ABCD中,AC=6厘米。求陰影部C

分的面積。

(二)、等量替換

1、條件替換

【例11】如(圖21)所示,兩個(gè)半徑為2厘米的等圓,已知陰影的

BA

[圖22]

2、問(wèn)題替換

【例12】如(圖22)所示,一個(gè)直徑為4厘米的半圓,以A點(diǎn)為圓

心,把整個(gè)半圓按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,此時(shí)點(diǎn)B移到Bl求陰影部

分的面積。

(三)、從整體看問(wèn)題

【例13】如(圖23)所示,直角三角形ABC的三條邊長(zhǎng)分別為6厘

米、8厘米、10厘米,三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C分別是三個(gè)等圓圓心,求陰

影部分的面積和是多少平方厘米?

【例14]如(圖24)所示,一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)40厘米,寬30厘米,A

為長(zhǎng)方形內(nèi)的任意一點(diǎn),求陰影部分的面積。

(四)、靈活運(yùn)用公式

【例15】在(圖28)中,BC=20厘米,求直角梯形ABCD的面積

【例16】如(圖29),正方形的面積是30平方厘米,求圓的面積。

[圖29][圖30]

【例17】如(圖30)陰影部分的面積是25平方厘米,求圓環(huán)的面積。

[圖29]

練習(xí)

1.?求陰影部分的面積。(單位:厘米)

2.、求陰影部分的面積。(單位:厘米)

例18:如圖所示,半圓的面積是62.8平方厘米,求陰影部分的面積。

練習(xí):

1、如圖五個(gè)相同的圓的圓心連線構(gòu)成一個(gè)邊

長(zhǎng)為10厘米的正五邊形。求五邊形內(nèi)陰影部分的面積。(門=3.14)

2.如圖,四個(gè)扇形的半徑相等,求陰影部分的面積。(單位:厘米)

(25)

3o在圖的扇形中,正方形的面積是30平方厘米。求陰影部

分的面積。

4.已知直角三角形面積是12平方厘米,求陰影部分的面積。

(15)

3.如圖所示,0是小圓的圓心,C0垂直于AB,三角形

ABC的面積是45平方厘米,求陰影部分的面積。

與圓周角有關(guān)的圖形問(wèn)題

如圖所示,圖中圓的直徑AB是4厘米,平行四邊形ABCD的面積

是7平方厘米,ZABC=30°,求陰影部分的面積(得數(shù)保留兩位

小數(shù))。

試一試:

1、如圖所示,三角形ABC的面積是31.2平

方厘米,圓的直徑AC=6厘米,BD:DC=3:lo

求陰影部分的面積。

2、圖所示如,求陰影部分的面積(單位:厘米。得數(shù)保留兩位小

數(shù))。

雜題:;20、如圖,三角形ABC是直角三角形,陰影部分甲比陰影

部分乙面積大28平方厘

21、如圖,大正方形的邊長(zhǎng)為6厘米,小正方形的邊長(zhǎng)為4厘米。求

陰影部分的面積。

(32)

22、求陰影部分的面積。(單位:厘米)

(33)

23、求陰影部分的面積。(單位:厘米)

(34)

正方形和長(zhǎng)方形

1、如圖所示,在一個(gè)大正方形中,有兩個(gè)帶陰影的小正方形。較小

的一個(gè)帶陰影的小正方形的面積與較大的一個(gè)帶陰影的小正方形的

面積的比是。

五、周長(zhǎng)的變化

1、將一個(gè)平行四邊形拉成一個(gè)長(zhǎng)方形,它的周長(zhǎng)和面積發(fā)生了什么

變化?

2、把兩個(gè)完全相同的長(zhǎng)方形拼在一起,原來(lái)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是8厘米,

寬是4厘米。想一想有幾種拼法,

(1)如果把它們拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,拼成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)是多少?

(2)如果把它們拼成一個(gè)正方形,周長(zhǎng)是多少?

3、下圖的周長(zhǎng)是()厘米.

4、右圖“凸”字的周長(zhǎng)是()厘米.

5P

5、下圖是一座樓房的平面圖,圖中用不同字母表示長(zhǎng)度不同的各條邊.

已知b=50米,c=30米,g=10米,這座樓房平面的周長(zhǎng)是()米.

6、下圖是由16個(gè)同樣大小的正方形組成的,如果這個(gè)圖形的面積是

400平方厘米,那么它的周長(zhǎng)是()厘米.

7、下圖“E”字周長(zhǎng)是()厘米.

六、體積與表面積的問(wèn)題

1把兩個(gè)相同的正方體拼在一起成一個(gè)長(zhǎng)方體,這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積

是兩個(gè)正方體表面積之和的分之.

2一個(gè)長(zhǎng)6分米、寬4分米、高2分米的木箱.用三根鐵絲捆起來(lái)(如

右圖),打結(jié)處要用1分米鐵絲.這根鐵絲總長(zhǎng)至少為分米.

4

3、一個(gè)長(zhǎng)方體的底面、側(cè)面和前面的面積分別是12平方厘米、8平

方厘米和6平方厘米.那么它的體積是.

4、將高都是1米,底面半徑分別為1.5米、1米和0.5米的三個(gè)圓柱

組成一個(gè)物體.這個(gè)物體的表面積是.(萬(wàn)=3.14)

5、把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是7厘米、6厘米、5厘米的長(zhǎng)方體,截成

兩個(gè)長(zhǎng)方體,使這兩個(gè)長(zhǎng)方體的表面積之和最大.這時(shí)表面積之和是

平方厘米.

6、一個(gè)圓柱形玻璃杯中盛有水,水面高2.5厘米,玻璃內(nèi)側(cè)的底面積

是72平方厘米,在這個(gè)杯中放進(jìn)棱長(zhǎng)6厘米的正方體的鐵塊后,水面

沒(méi)有淹沒(méi)鐵塊,這時(shí)水面高厘米.

7、一個(gè)正方體的表面積是384平方分米,體積是512立方分米,這

個(gè)正方體棱長(zhǎng)的總和是.

9、一個(gè)邊長(zhǎng)為4分米的正方形,以它的一條邊為軸,把正方形旋轉(zhuǎn)一

周后,得到一個(gè),這個(gè)形體的體積是

10、把19個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方體重疊起來(lái)堆成如右圖所示的立方

體,這個(gè)立方體的表面積是______平方厘米.

11、一個(gè)棱長(zhǎng)為10cm的正方體,如果在它的各面的中間的正

中位置打一個(gè)深4cm,長(zhǎng)、寬均為2cm的長(zhǎng)方華W

則打孔以后的正方體的表面積=cm2,□

12、將一個(gè)長(zhǎng)8厘米寬6厘米長(zhǎng)方形4個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)1厘米的

正方形,然后折成一個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體。求長(zhǎng)方體表面積和體積?

13、在一個(gè)棱長(zhǎng)8厘米的正方體玻璃缸中,盛有一定深度的水。將棱

長(zhǎng)4厘米正方體鐵塊放入缸中

(1)若缸中水深6厘米,則水面上升多少厘米?

(2)若缸中水深2厘米,則水面上升多少厘米?

(3)

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