第02講 根式、分式的化簡 精講（解析版）數(shù)-高一數(shù)學學初升高銜接精講精練（人教A版2019）

第02講根式、分式的化簡（精講）

目錄

一、知識鞏固與延伸..................................................1

二、重點題型剖析....................................................2

題型一：二次根式有意義的條件....................................2

題型二：求二次根式中的參數(shù)......................................4

題型三：二次根式的乘法與除法及其混合運算........................5

題型四：最簡二次根式.............................................9

題型五：二次根式的加法與減法及其混合運算.......................12

題型六：分母有理化..............................................16

題型七：二次根式化簡求值........................................22

題型八：分式的意義..............................................26

題型九：分式的化簡求值..........................................29

題型十：分式的基本性質..........................................31

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一、知識鞏固與延伸

1、初中知識再現(xiàn)

（1）二次根式的定義

一般地，形如右（4>0）的式子叫做二次根式.

(2)二次根式性質：

①(右尸=a(a>0)

a(4Z>0)

-a{a<0)

③=\[a'\[b(a>0,b>0)

④口=平(〃>0力>0)

V。\la

（3）分式

A

形如：乙（其中8中含有字母）的式子叫作分式.

B

（4）分式的基本性質：

分式的分子與分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變.用式子表示為:

AxNA+N

4(NoO)

~BBxNB+N

2、高中相關知識

2.1無理式：根號下含有字母的式子并且開不盡方的根式叫做無理式.例如：7x^2，

JY-1是無理式，而J7不是無理式

2.2分母有理化：把分母中的根號化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同時乘分母

的有理化因式.例如：產(chǎn)=_=V77T+4.

y/x+l-\Jx(VX+1-VX)(Vx+l+VX)

2.3有理化因式：兩個含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含根式，那么這兩個代數(shù)式

叫做互為有理化因式.常用的有理化因式有：

①ix+i+4與jx+i-?②&與G+6

2.4繁分式：當一個分式的分子或分母中仍含有分式時，該分式就稱為繁分式.如：「或

7+1

)'

x+y?等.繁分式的化簡，通常將其化成分式的除法進行運算.

-1

X

二、重點題型剖析

題型一：二次根式有意義的條件

典型例題

例題1.(2023秋?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末)使代數(shù)式丁3一萬石有意義的整

數(shù)x有()

A.5個B.4個C.3個D.2個

【答案】C

fx+2>0

【詳解】解：由題意，得q、八，

[3-o2x>0

3

解不等式組得-2Vx4二，

2

符合條件的整數(shù)有：-1、。、1共三個.

故選：C.

例題2.(2023?全國?九年級專題練習)當x滿足時，式子〉=瘧1+空有意

義.

【答案】~<x,,2

[2-x.O

【詳解】解：由題意可得：。?八，

[2x+l>0

解得：

故答案為：-1<用,2.

例題3.(2023?全國?九年級專題練習)無論x取何實數(shù)，代數(shù)式J《—4x+m都有意義，

化簡式子JG”3)2+7(4-/n)2.

【答案】2切-7

【詳解】解：:dx2-4尤+〃?=-2)2-4,

且無論X取何實數(shù)，代數(shù)式J%2_4x+m都有意義,

m-4>0,

m>4.

當初24時，y](m-3)2+J(4—㈤2=(w-3)+(w-4)=2/77-7.

題型歸類練

1.(2023秋?湖南株洲?八年級統(tǒng)考期末)若，口有意義，則x的取值范圍是

【答案】x>\

【詳解】解：由題意知，X—120,

解得：x>l,

故答案為：x>\.

2.(2023秋?黑龍江哈爾濱?九年級統(tǒng)考期末)函數(shù)y=立亙的自變量x的取值范圍是____

x+2

【答案】x>-l

【詳解】解：要使y=近亙在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,

x+2

x+l>0x>-\

必須=>x>-l.

x+2w0=xw—2,

故答案為：x>-l.

3.（2023春?海南省直轄縣級單位?八年級?？茧A段練習）下列各式中字母取何值時，式子

在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？

⑴以-5;

【答案】⑴

（2）x>3

【詳解】（1）解：757二？有意義，

2%—520,

5

??2;

（2）解：解：；臣是二次根式，

Vx-3

??x—30,且工―3。0,

x—3>0,

x>3.

題型二：求二次根式中的參數(shù)

典型例題

例題1.（2023春?浙江?八年級專題練習）已知后工是正整數(shù)，則實數(shù)”的最大值為

（）

A.12B.11C.8D.3

【答案】B

【詳解】解：由題意是正整數(shù)所以Ji=>0,且〃為整數(shù)，

.-.12-?>0,解得〃<12,

.??實數(shù)”最大值取11，

故選：B

例題2.（2023?全國?九年級專題練習）若最簡二次根式3“痂言和,2a-b+6能合并,

則的值分別是（）

A.2和1B.1和2C.2和2D.1和1

【答案】D

【詳解】解：最簡二次根式””向口瓦和d-6+6能合并，

3a-b=2

4a+3b=2a-b+6

\3a-b=2

"[a+2b=3f

（a=1

解得一,

[b=l

故選D.

題型歸類練

1.（2023春?浙江?八年級專題練習）若甌是整數(shù)，則正整數(shù)”的最小值是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【詳解】解：80"=42x5〃，血而是整數(shù)，

正整數(shù)〃的最小值是5,

故選：D.

2.（2022秋?八年級單元測試）如果二次根式屈其與近是同類二次根式，那么滿足條

件的用中最小正整數(shù)是.

【答案】4

【詳解】解：當5m+8=7時，m=1,不合題意，

當j5m+8=2J,即5m+8=28時，m=4,

二屈T兩與不是同類二次根式，那么m的最小正整數(shù)是4,

故答案為：4.

題型三：二次根式的乘法與除法及其混合運算

典型例題

例題1.（2023?全國?八年級專題練習）計算：（2&+3卜（a+1卜總不

【答案】2

2

【詳解】解：（2加+3卜（及+1卜/二

2&+3

x2

272+3

x2

2播+3

=2；

例題2.（2023春?全國?八年級專題練習）計算:

【答案］三叵

y

【詳解】解:

=3

/'8

二8對

y

例題3.（2023春?八年級課時練習）計算

(2)2,16a—

336

【答案】⑴-4月

4

⑵一§

【詳解】（1）解：原式=、，26x（」M

V52

(--710)

2

-4#>

(2)解：原式+

-4-^=X-y/b

y[b3

_4

~"3

例題4.（2023春?八年級課時練習）計算:

（1）厲x病

【答案】(1)15;(2)y.

【詳解】(1)原式=36x5應XQ=15.

(2)原式=—?—=—5/4^2=—x2a=—.

6Va3663

題型歸類練

1.

2

【答案】蕓2x

]

2.（2023?全國?八年級專題練習）計算:2(73-1)-

【答案］注叵

【詳解】解：2+（＞-142忘”

]

=(M

[

-4-26

4+2A/3

(4-2@(4+2⑹

4+26

一_~

_2+V3

2

3.(2023春?全國?八年級專題練習)羨族[一|質)-

【答案】-竺4〃2-瓦I--

b

【詳解】解原式=+

4.(2023春?全國?八年級專題練習)計算:

(1)屈+歷xM；

⑵舊2.

⑶^^6x44124-(―揚.

【答案】(1)2夜

(2)1

(3)18

【詳解】(1)解:712-727x718

=273-5-3^x3^

=2x1x30

3

=272

(3)-x/6x47124-(-72)

23

i3_________

=—x4x—76x124-2

22

=3736

=18.

題型四：最簡二次根式

典型例題

例題1.（2023秋?福建泉州?九年級統(tǒng)考期末）下列與20為同類二次根式的是（）

A.同B.如C.y/22D.而i

【答案】A

【詳解】解：A.屈=5夜，與20為同類二次根式，符合題意；

B.740=2710,與2應不是同類二次根式，不符合題意；

C.后與20不是同類二次根式，不符合題意；

D.質=|石，與20不是同類二次根式，不符合題意.

故選：A.

例題2.（2023春?八年級課時練習）能夠使廬與QTT是同類最簡二次根式的x值

是（）

A.-3B.2C.一3或2D.不存在

【答案】A

【詳解】根據(jù)題意得：

Jd-5=J—x+l，-0,x2—5>0?

?y/x2—5=J-x+1?

x2-5=-x+l,

解得：X=—3或1=2(舍)，

故選：A

例題3.（2023春?全國?八年級專題練習）把下列二次根式化為最簡二次根式:

⑴12.5;⑵卡;(3)~~~5⑷3^^；(5)2“a3b2c

(a,b,均大于0).

【答案】(1)巫(2)2叵(3)73(4)好(5)4"疝

2530

故后的最簡二次根式為：孚

的最簡二次根式為：爭,

故巨的最簡二次根式為：6；

3

/八&72V275

3屈-374x5x2-6石x瓶-30

故卓的最簡二次根式為：正；

3V4030

（5）1,,a,h,c均大于0

2JAa,trc=4ah\[ac-

例題4.（2023春?全國?八年級專題練習）如果最簡二次根式j3“+4與,19-2。同類二

次根式，且j4a-3x+Jy-a=0,求x,的值.

【答案】x=4,y=3.

【詳解】：最簡二次根式J3a+4與J19-2”同類二次根式，

3a+4=19-2a,

解得，a=3,

?A/4x3-3x+VrZ3=0,BPV12-3X+V7Z3=0

J12-3x20,y]y-3>0,

12-3x=0,y-3=0,

解得，x=4,y=3.

題型歸類練

1.（2023春?八年級課時練習）下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）

A.>/（L2B.RC.y/15D.而

【答案】C

【詳解】A、耐=￡二冬被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；

B、4=乎’被開方數(shù)含分母，不是最簡二次根式，本選項不符合題意；

C、爐是最簡二次根式，本選項符合題意；

D、而="忑=2后，被開方數(shù)含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，本選項不符

合題意；

故選：C.

2.（2023春?八年級課時練習）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.J（）.3B.J2.4aC,小p?-4qD.J4M-4—+1

【答案】C

【詳解】解：A.鬧=宿=嚕，故A不符合題意；

C.獷W是最簡二次根式，故C符合題意;

D.,4機2_4m+1=]（2吁=|2加-1],故D不符合題意.

故選：D.

3.（2023春?八年級課時練習）最簡二次根式小形與“癢方是同類最簡二次根式，則

a-b=.

【答案】2

【詳解】根據(jù)題意得：a-l=2

a=3

.?最簡二次根式^/^^2與“癢茄是同類最簡二次根式

■."2=5—2/7

b=\

a—b=3—\=2

故答案為：2.

4.(2023春?八年級課時練習)下列各式：①g②百斤③字④加7是最簡

二次根式的是:(填序號)

【答案】②③

【詳解】②而③叵是最簡二次根式，

4

故答案為②③.

題型五：二次根式的加法與減法及其混合運算

典型例題

例題1.(2023秋?廣東深圳?八年級校聯(lián)考期末)計算：

(1)月-近；

(2)712+|73-2|-(^-3.14)°；

⑶(6+&)(0-四)-(逐一1尸

【答案】(1)S⑵6+1(3)2石-5

【詳解】(1)解：后一近

=2近-近

=幣?

(2)解：V12+|>/3-2|-(^-3.14)0

=2'2-6-1

=++1.

(3)解：(百+⑸(石_偽-(6-I)?

-3-2-(5-2A/5+1)

=1-5+2宕-1

=2圍-5.

例題2.(2023秋?陜西西安?八年級校考期末)計算：

(1)(748+^0)-(712-75)；

(2)A+G-2Ax病+(2亞+可；

【答案】⑴26+3后

⑵5石-同+11+4指

【詳解】(1)(V48+V20)-(V12->/5)

=4下>+2后-2下,+舊

=2x/3+3>/5

(2)如+0-2耳x而+(2立+可

=4^+73-2x-xV30+11+476

2

=5石-病+11+4指

例題3.(2023春?海南省直轄縣級單位?八年級校考階段練習)計算

(1)V18-V32+V2

⑵使+4肝-4)

⑶瓜—2^^+(x—7)°

(4)(0+⑨z

(5)(2748-3^)-76

【答案】⑴0(2)73⑶&+1⑷5+2?⑸-立

2

【詳解】(1)解：V18-y/32+y/2

=3近-4夜+血

=0；

(2)解：便+4)便-4)

=(^)2-42

=3—16

=-13；

(3)解：y/8-2^+(x-7)°

=20-&+1

=5/2+1;

(4)解：(應+腐產(chǎn)

=2+26+3

=5+2>/6;

（5）解：（2/一3場）+6

=（85/3-9>^）4->/6

=卜6卜指

=_①

-2

例題4.（2023春?全國?八年級專題練習）計算:

⑴舟2名-（厲-夜）；

⑵矯走一國旦

<5V5

（3）V3XV6-|1-X/2|-（V6-1）°+^27--^；

（4）（2+V3）X（2-V3）+（1-V2）2.

【答案】⑴3&-[⑵2（3）逑一3⑷4-2&

2

【詳解】（1）解：原式=2夜+26-36+血

=3>/2—>/3；

（2）解：原式=+1-15xg

=2+1-1

(3)解：^^=718-(72-1)-1-3--

=3^-72+1-1-3--

2

30.

=-----3;

2

(4)解：原式=4-3+1-2a+2

=4-20-

題型歸類練

1.（2023春?廣東東莞?八年級校考階段練習）計算：（3-及『+（3+&）（3-&）

【答案】18-6亞

【詳解】解：原式=9-6忘+2+9-2

=18-6丘.

2.(2023秋?山東棗莊?八年級統(tǒng)考期末)計算:

(l)(V6-V24)x^-J|；

(2)(6-2)2-加+6..

【答案】⑴-(3

(2)7-4>/3

【詳解】(1)解：-畫

=3y/2-6y/2~—

2

=-"；

2

(2)解:(杉-2)。一月+6出

=3-4^+4-273+2^

=7-4百?

3.(2023秋?山東淄博?七年級統(tǒng)考期末)計算

⑴如-Q+卜閩

⑵^^一("+G)(夕-⑹

【答案】⑴8+近

【詳解】(1)解：749-^8+|l-x/2|

=7-(-2)+V2-l

=7+2+0-1

=8+&;

5

=——17

5,

4.（2023秋?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末）計算

⑴后+我-夜；

⑵（尤+6『+（&+6）（夜-石卜

【答案】（1）5a

（2）4+2指

【詳解】（1）解：任+直-&

=4&+2拒-41

=5夜;

（2）解：（a+6『+（&+&）（夜一石）

=（可+2后X4+（可+（可一陰2

=2+276+3+2-3

=4+26.

題型六：分母有理化

典型例題

例題1.（2023秋?湖南邵陽?八年級統(tǒng)考期末）計算：，石+2-石

【答案】4

【詳解】解：/石+2-6

2+y/3同

一（2-6）（2+6）一“

=2+6+2-6

=4

故答案為：4.

2

例題2.（2023春?八年級單元測試）在進行二次根式化簡時，我們可以將進一步

6+1

化簡，如:

2_2，回1)_2(癢1)乃

G+1-(6+1)(6—1)一(0)2-產(chǎn)一一

2222

貝!1----F+-7=——T=+-7=——7=+…+，——，=.

I+V5V5+V9V9+V13J4〃-1+j4〃+3------

【答案】^(V4n+3-l)

7:帚八6*..二__2x(癢1)1/92_2x?6

'''1+V5(V5+l)(>/5-l)5(-)'出+亞(囪+6)(方-石)

=g(而⑹……

2222

I+J5-J5+-J9J9+V13…j4”-l+j4w+3

+'(j4〃+3-

=—(A/5—14->/9—5/5++J4,+3—，4/—1)

2

=—(V4/J+3-1),

2

故答案為：g(j4〃+3-l)

2

例題3.(2023春?廣東東莞?八年級?？茧A段練習)觀察下列等式:

1..V2-1A.

①尤+1一(夜+1)(a-1)一；

]_6-血_AF)

-V

@?3772"(V3+V2)(X/3-V2)-"；

③京后g吟g吟77；

1_4-6_斤6

7^=(4+6)回6)"7…?

回答下列問題：

(1)利用上面你觀察到的規(guī)律，化簡7之后=，Uw=-

⑵計算：i+應+應+6+6+2++72022+72023,

【答案】⑴療-灰，4-715

(2)(2023-1

【詳解】⑴解：正匕不一遍=上巫=幣_瓜

(V7+A/6)(V7-A/6)7-6

]=4--=4一.=4.屈

4+底(4+V15)(4-V15)16-15

故答案為：77-76,4-V15；

1

(2)解:=及-1,

V2+1

]=6-拉,

6+0

I=4-石,

"+百

可以得到規(guī)律-7=~7-=3-,

7n+\n-\

.,.原式=&-1+百-0+4-石++J2023-J2022

=72023-1.

例題4.（2023春?浙江?八年級專題練習）閱讀材料，黑白雙雄，縱橫江湖；雙劍合壁，

天下無敵.這是武俠小說中的常見描述，其意是指兩個人合在一起，團結一致、優(yōu)勢互補、

取長補短、威力無比,在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”.如：（遙+3乂石-3）=-4,

像（百+3）和（百-3）這樣的兩個二次根式，它們的積不含根號，我們就稱這兩個二次根式

互為有理化因式，其中一個是另一個的有理化因式.再如（g+&）與（后-④）也互為有理

2+W（2+6）（2+6）廠

化因式.于是，下面二次根式除法可以這樣運算：下=號=）一r（7一尸（=7+4g,像

2-V3（2-V3）（2+V3）

這樣，通過分子、分母同乘以一個式子把分母中的根號化去的過程叫分母有理化，解決問

題.

4

（1）2e+3近的一個有理化因式是,t百分母有理化結果是

色）計算：念?+4至++?

⑶比較大?。?7-75Vi5-Vi3.

【答案】⑴（26-30）：3+石

(2)1

(3)>

【詳解】（1）解：；（2右+3近）（2/一3&）=-6

.2宕+3夜的一個有理化因式是（2打-30）,

.4_電+逐）4（3+均「

---<=3+V5

'3->/5（3-V5）（3+V5）4

4

二萬分母有理化結果是3+方：

（2）解:念?+尋H出

=72-1+^-72+2-73

=1;

1_77+石_幣+亞

（3）解:''斥硝萬詢產(chǎn)可

1_厲+如_而+9

715-713（岳-呵（屈+岳）2

又；77+75<715+713,

,y/l+45>/15+5/13

?--------<---------

22

11

-----<---------

一布-非715-5/13

■-■5-非>岳-屈.

題型歸類練

1.（2023?陜西西安??？家荒＃╅喿x下列材料，并解決相應問題：

22（^+V3）

=6+6,用上述類似的方法化簡下列各式.

耳耳=（行-6）（石+6）

⑴^77；

⑵若。是&的小數(shù)部分，求之的值.

a

【答案】（1）5-布

⑵3夜+3

1屈-不￡/7

［詳解］⑴解：ET而邛不二近藕

（2）解：。是血的小數(shù)部分,

a=\/2-1>

3(>/2+l)

3二3=30+3

aV2-1(V2-I)(V2+1)

2.（2023秋?湖南常德?八年級統(tǒng)考期末）在學習二次根式化簡時，有時會碰到形如的

式子，這時可以將其進一步化簡,

22y/52751lx(V2+l)72+1

例如:=0+1.這種化簡的步

115~y/5xy/5~~T'V2-I-(V2-l)x(V2+l)-(>/2)2-12

驟叫做分母有理化.

3

⑴根據(jù)上述方法化簡：

1

（2）化簡------------1-----------------1--------------1■…H-------------------1--------------------

e+i用&回+也而+w

【答案】（1）6+及

⑵而-1

3

【詳解】（1）解：（1）~

3x（逐+回

(逐_&)x(布+A/2j

3x(75+72)

=ww

3x(75+72)

3

=75+72.

：2)解：⑵看+萬片而:如

V2-1V3-V24-石

(血+1卜(a-1)(G+&卜(6-0)("+白卜研―6)

M-眄?(E-殉

(Vio+>/9)x(Vio->/9)(VH+Vio)x(7H-Vio)

=sfi-1+^3—>/2+—>/3+…+Jl0—5/9+■'/FT—y)\0

=E-1.

3.(2023秋?河北保定?八年級?？计谀?材料閱讀：

材料一：兩個含有二次根式而非零的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含二次根式，那么這兩個

代數(shù)式互為有理化因式.

例如：6x6=3,+3)=6-2=4,我們稱Q的一個有理化因式是否，

布-血的一個有理化因式是指+&.

材料二：如果一個代數(shù)式的分母中含有二次根式，通常可將分子、分母同乘分母的有理化因

式，使分母中不含根號，這種變形叫做分母有理化.

捌加11x6488(顯旬8(6+間

例如：耳=瓦耳=?'ET('一?("+&)=-4—=？瓜+2亞.

請你仿照材料中的方法探索并解決下列問題：

⑴舊的有理化因式為,近+石的有理化因式為；(均寫出一個即可)

⑵將下列各式分母有理化：(要求：寫出變形過程)

①*T

2222

⑶化簡：耳石+―萬+萬二后++72023+^021

【答案】⑴舊，幣-小

(2)①半;②2石+3

(3)72023-1

【詳解】(1)由題意可得，

的有理化因式為Ji3,77+6的有理化因式為近-石，

故答案為：y[\3,yjl—y[S：

33x而_3后一岳

(2)①

715-715x715-15-5

11x(26+3)_llx(2石+3)3縣且=2君+3

②七(2石-3)x(2石+3)-20-911

2222

(3)-7=---1—7=---H—f=----產(chǎn)+H—/---]

V3+1V5+V3V7+V5V2023+V2021

=73-1+75->^+A/7-^+---+72023-5/2021

=72023-1.

4.(2023春?浙江?八年級專題練習)在數(shù)學課外學習活動中，小華和他的同學遇到一道題:

己知〃=表,

求4+1的值.小華是這樣解答的:

"五耳二（2+碼僅-司”，

.?“+1=3-6.請你根據(jù)小華的解題過程，解決下列問題.

⑴填空：耳片=——；七=——?

⑵化簡：高+^71+；^^+…+廊:廊.

⑶若a=6：由'求1-（2"行『的值.

【答案】⑴6+夜，縣比

2

（2）16

⑶-4

1石+3/T

【詳解］⑴解：ET（癢⑹便+萬|=昌區(qū)fT

1_g+1G+1

y/3—l（百—l）（g+l）2，

故答案為：石+垃，3擔；

2

（2）解：原式=0-1+百-夜+4-6+-.+7^-7^函

=7289-1

=17-1

=16

1指+6指+g

⑶解："FT砰研百可〒’

.-.2"石=2x立+G=非,

2

.?.1-僅a-可=1-（9=-4.

題型七：二次根式化簡求值

典型例題

例題1.（2023春?全國?八年級專題練習）已知x=9l二!,）,=立里，求土+上=

22yX

【答案】4

【詳解】解:?…亨，尸”

,x_-172Kh

■<V3+r73+r2-20

2

也+1

y一丁.G+14+26E

六四-京-2+小

2

2+上=2-石+2+6=4；

yx

故答案為：4.

例題2.（2023春八年級課時練習）已知非零實數(shù)a,b滿足2G（6+2揚）=G（6+5揚）,

2a+\[ab+3b

求代數(shù)式的值.

3a+\fab-2b

【答案】3

【詳解】解：,非零實數(shù)小。滿足26（?+2揚）=揚（&+5振），

由題意可知。>。力>。，

/.2(?)2+3后揚-5(而2=o,

(2&+5而(&-而二0

,a>0,b>0,

???26+5振>0,

/.4a=4b，

：.a=b,

,2a+>[ab+3b

3a+\fab-2b

_2。+a+3〃

3a+a-2a

6a

一五

例題3.（2023春?浙江?八年級專題練習）先化簡，再求值:

其中x=8,y=L.

【答案】五+34，歷+B.

23

［詳解］解：原式=4+24-亨+6

=與+3&-

當尤=8、y=L時，

/

原式=?+3x

2

例題4.（2023春?浙江?八年級專題練習）已知：y=G7+/^+5,化簡并求

【答案】

【詳解】解：-/x-4>0K4-x>0,

x=4,

y=5,

66

x+^xyy-4xy

1_*_1

\[x+y[yJx-y/y

（7x+77）（\/x-77）

_2y[x

~，

x-y

_274

------f

4-5

=-4

題型歸類練

1.(2。23?江西?九年級專題練習)先化簡,再求值：2-普x+6x+9_,

+---o--;—，其中1=石r一3?

x-I

【答案】"5-4石

~5~

【詳解】解：2-^1x2+6x+9

x2-1

2x+2-x+1(x+3)~

-m"(x+l)(x-l)

x+3/x+l)(xT)_I

尤+1(x+3)2x+3

—時,原式=妄出一手

(9Y—1、x—2

2.(2023秋,湖南邵陽,八年級統(tǒng)考期末)求代數(shù)式一--x-lU^-_■的值，其中

Vx-1)x-2x+l

x=6+\?

【答案】-x2+x,-2-V2

2x—1f—1)x—2

【詳解】解：原式:一-——T卜廠

(Ix-l)(1)

22

=2x-x(-x-l)

x—\x—2

_-x(x-2)(x-1)2

x—1x—2

=-x(x—1)

=—x2+X，

"jx=V^+l時,原式:一++1)=—2—.

22

3.(2023春?全國?八年級專題練習)己知：x=6+?,y=6-五,求廠-"+.「

孫

【答案】9

【詳解】解：f=(石+揚2=3+2舟2=5+2指

/=(73->/2)2=3-276+2=5-276

xy=(>/3+V2)(5/3-V2)=3-2=1

5+2指-1+5-2a

原式=

1

=9

—,1.'J3—173+1

4.（2023春?全國?八年級專題練習）l_i知x=一產(chǎn)—，求產(chǎn)+3肛+丁的值.

V3+1

【答案】17.

22

V3-1,（V3-1）,373+1（V3+1）、l

【詳解】解:y=-f=—=-7=-----7=—=2+G

x/3+l（6+1）（石-1）'-6-1（存1）（x/3+l）

x2+3xy+y2

=（2-73）2+3（2-73）（2+6）+（2+6）2

=7-4相+3+7+4Q

=17.

題型八：分式的意義

典型例題

—2

例題1.（2023秋?湖南邵陽?八年級統(tǒng)考期末）要使分式x三有意義，x的取值范圍應

x+3

滿足（）

A.x=2B.xw2C.x=-3D.xw-3

【答案】D

【詳解】解：分式三x—2有意義，

x+3

."+3工0,

解得戶-3,

故選：D.

例題2.（2023秋?河北石家莊?八年級統(tǒng)考期末）已知分式衛(wèi)士（”，〃為常數(shù)）滿足

x-m

表格中的信息，則下列結論中塔堤的是（）

X的取值-44a

分式的值無意義01

A.n=4B.m=-4C.?=12D.?=-8

【答案】A

【詳解】解：?；x=T時，原分式無意義，

-4-%=0,解得：m=-4,B選項正確，

???當x=4時，原分式值為0,

2x4+〃

??.E=?！獾靡?,D選項正確，A選項錯誤,

由上分析，原分式為發(fā)，

???當x=”時，原分式值為1,

2。一8?

???----=1,

〃+4

解得：4=12,

經(jīng)檢驗，4=12是原分式方程的解，C選項正確，

故選:A.

例題3.（2023春?江蘇?八年級專題練習）化簡分式：，~7廠告十㈠，并

（x'-4x+4x-4Jx-4

從1,2,3這三個數(shù)中取一個合適的數(shù)作為x的值代入求值.

x~+2x—3

【答案】化簡為:取x=l,代數(shù)式的值為0

x-3

'x2-2x3).x-3

【詳解】

/2—4X+4X1-^)X2-4

_(x-2)x3,x—3

=(x-2)2-(x-2)(x+2)_|"(x-2)(x+2)

=(x-2)x*(x-2)(x+2)_3*--2)(x+2)

(x-2)x—3(x-2)(x+2)x—3

_x(x+2)3

x—3x~3

x2+2x—3

=，

x-3

根據(jù)上述化簡過程可知：％—3/0,x-2^0,x+2w0,

即工。3,x豐2、"-2,

??.在1,2,3中，取x=l,

%2+2x—3l2+2xl-3八

當x=1時,-------------=0.

x—31-3

題型歸類練

1.（2023春?重慶渝北?八年級?？茧A段練習）若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，貝口的取值范

圍是.

【答案】x>-2Kx^2

【詳解】解：立三在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，

x-2

.卜+220

解得：x>-2fl.x2,

故答案為：工之一2且x，2.

22

2.(2023秋?廣東廣州?八年級統(tǒng)考期末)已知4=三--x,8==^,問：當x為何值時,

X—1X—1

A=B.

【答案】戶1

【詳解】解：根據(jù)題意可得：

x-lx2-\

.X2(x+l)X2+X

x2-1x2-1x2-1

=

/.工2(太+1)--14~Xf

x-x=0?

0=0，

?.?當X=1時，分式無意義,

??.X為除了1之外的所有實數(shù)，

故當xwl時，A=B.

f—4x-+-4(4、

3.(2023春?江蘇?八年級專題練習)先化簡，再求值：士：,其中一24x42,

取一個合適的整數(shù)代入求值.

【答案】一:，當x=l時，原式

x+23

r2—4r4-4

【詳解】解：

x-2x

_(x-2y：--4

x(x-2)x

=-x---2--------x------

x(x+2)(x-2)

1

x+2'

xwO,九±±2,-2<x<2,x是整數(shù),

???當x=l時，原式=」=!.

1+23

題型九：分式的化簡求值

典型例題

例題1.(2023秋?重慶永川?八年級統(tǒng)考期末)若分式，-」=2,則分式一+：'"”包

mnm-3mn-n

的值等于()

4c4