運(yùn)城市重點中學(xué)2022年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚(yáng)中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學(xué)生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（）A． B． C． D．2．已知的值域為，當(dāng)正數(shù)a，b滿足時，則的最小值為（）A． B．5 C． D．93．已知復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實數(shù)a=（）A．-1 B．1 C．0 D．24．已知，，，則()A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若，使得，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．6．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．10 B．9 C．8 D．77．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過點的直線與橢圓交于、兩點.若的內(nèi)切圓與線段在其中點處相切，與相切于點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的值為8，則框圖中①處可以填（）．A． B． C． D．9．已知集合，，則A． B． C． D．10．設(shè)全集，集合，.則集合等于（）A． B． C． D．11．秦九韶是我國南寧時期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例.若輸入、的值分別為、，則輸出的值為（）A． B． C． D．12．已知，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則______，的最大值是______.14．已知，滿足約束條件，則的最小值為______．15．在四棱錐中，底面為正方形，面分別是棱的中點，過的平面交棱于點，則四邊形面積為__________.16．已知函數(shù)，在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，則使得≥0的概率為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣不存在逆矩陣，且非零特低值對應(yīng)的一個特征向量，求的值.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）把曲線向下平移個單位，然后各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€（縱坐標(biāo)不變），設(shè)點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.19．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，，，且的面積為.(1)求；(2)求的周長.20．（12分）為迎接2022年冬奧會，北京市組織中學(xué)生開展冰雪運(yùn)動的培訓(xùn)活動，并在培訓(xùn)結(jié)束后對學(xué)生進(jìn)行了考核．記表示學(xué)生的考核成績，并規(guī)定為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓(xùn)活動的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績，并作成如下莖葉圖：（Ⅰ）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；（Ⅱ）從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；（Ⅲ）記表示學(xué)生的考核成績在區(qū)間的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)時培訓(xùn)有效．請根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動是否有效，并說明理由．21．（12分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）記函數(shù)的最大值為，若，證明：.22．（10分）在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形是邊長為2的菱形，四邊形為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且，，（1）若分別為，的中點，求證：平面；（2）若，與平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有種，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)“數(shù)”位于第一位時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿足條件的情況有當(dāng)“數(shù)”在第二位時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種，由間接法得到滿足條件的情況有共有：種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有種，故滿足條件的事件的概率為：故答案為：C.【點睛】解排列組合問題要遵循兩個原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．2、A【解析】

利用的值域為,求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解：∵的值域為,∴,∴,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,∴的最小值為.故選：A.【點睛】本題主要考查了對數(shù)復(fù)合函數(shù)的值域運(yùn)用,同時也考查了基本不等式中“1的運(yùn)用”,屬于中檔題.3、B【解析】

化簡得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù)，故a-1=0故選：B.【點睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.4、B【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將數(shù)據(jù)和做對比，即可判斷.【詳解】由于，，故.故選：B.【點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】試題分析：由題意知，當(dāng)時，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號是成立，所以函數(shù)的最小值為，當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，又因為，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故選C．考點：函數(shù)的綜合問題．【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的綜合問題，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用、全稱命題與存在命題的應(yīng)用等知識點的綜合考查，試題思維量大，屬于中檔試題，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，其中解答中轉(zhuǎn)化為在的最小值不小于在上的最小值是解答的關(guān)鍵．6、B【解析】

根據(jù)題意，解得，，得到答案.【詳解】，解得，，故.故選：.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的求和，意在考查學(xué)生的計算能力.7、D【解析】

可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，設(shè)，，可得，由切線的性質(zhì)：切線長相等推得，解得、，并設(shè)，求得的值，推得為等邊三角形，由焦距為三角形的高，結(jié)合離心率公式可得所求值．【詳解】可設(shè)的內(nèi)切圓的圓心為，為切點，且為中點，，設(shè)，，則，且有，解得，，設(shè)，，設(shè)圓切于點，則，，由，解得，，，所以為等邊三角形，所以，，解得.因此，該橢圓的離心率為.故選：D.【點睛】本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，注意運(yùn)用三角形的內(nèi)心性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．8、C【解析】

根據(jù)程序框圖寫出幾次循環(huán)的結(jié)果，直到輸出結(jié)果是8時.【詳解】第一次循環(huán)：第二次循環(huán)：第三次循環(huán)：第四次循環(huán)：第五次循環(huán)：第六次循環(huán)：第七次循環(huán)：第八次循環(huán)：所以框圖中①處填時，滿足輸出的值為8.故選：C【點睛】此題考查算法程序框圖，根據(jù)循環(huán)條件依次寫出每次循環(huán)結(jié)果即可解決，屬于簡單題目.9、C【解析】分析：根據(jù)集合可直接求解.詳解：,,故選C點睛：集合題也是每年高考的必考內(nèi)容，一般以客觀題形式出現(xiàn)，一般解決此類問題時要先將參與運(yùn)算的集合化為最簡形式，如果是“離散型”集合可采用Venn圖法解決，若是“連續(xù)型”集合則可借助不等式進(jìn)行運(yùn)算.10、A【解析】

先算出集合，再與集合B求交集即可.【詳解】因為或.所以，又因為.所以.故選：A.【點睛】本題考查集合間的基本運(yùn)算，涉及到解一元二次不等式、指數(shù)不等式，是一道容易題.11、B【解析】

列出循環(huán)的每一步，由此可得出輸出的值.【詳解】由題意可得：輸入，，，；第一次循環(huán)，，，，繼續(xù)循環(huán)；第二次循環(huán)，，，，繼續(xù)循環(huán)；第三次循環(huán)，，，，跳出循環(huán)；輸出.故選：B.【點睛】本題考查根據(jù)算法框圖計算輸出值，一般要列舉出算法的每一步，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

分別解出集合然后求并集.【詳解】解：，故選：D【點睛】考查集合的并集運(yùn)算，基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用等差數(shù)列前項和公式，列出方程組，求出首項和公差的值，利用等差數(shù)列的通項公式可求出數(shù)列的通項公式，可求出的表達(dá)式，然后利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性可求出的最大值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，數(shù)列的通項公式為；（2），，令，則且，，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增，當(dāng)或時，取得最大值為.故答案為：；.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．14、2【解析】

作出可行域，平移基準(zhǔn)直線到處，求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準(zhǔn)直線到處時，取得最小值為.故答案為：【點睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

設(shè)是中點，由于分別是棱的中點，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形.由于平面，所以，而，，所以平面，所以.由于，所以，也即，所以四邊形是矩形.而.從而.故答案為：.【點睛】本小題主要考查空間平面圖形面積的計算，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.16、【解析】試題分析：可以得出，所以在區(qū)間上使的范圍為，所以使得≥0的概率為考點：本小題主要考查與長度有關(guān)的幾何概型的概率計算.點評：幾何概型適用于解決一切均勻分布的問題，包括“長度”、“角度”、“面積”、“體積”等，但要注意求概率時做比的上下“測度”要一致.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

由不存在逆矩陣，可得，再利用特征多項式求出特征值3，0，，利用矩陣乘法運(yùn)算即可.【詳解】因為不存在逆矩陣，，所以.矩陣的特征多項式為，令，則或，所以，即，所以，所以【點睛】本題考查矩陣的乘法及特征值、特征向量有關(guān)的問題，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，是一道容易題.18、（1），；（2）.【解析】

（1）在直線的參數(shù)方程中消去參數(shù)可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標(biāo)方程兩邊同時乘以得，進(jìn)而可化簡得出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)變換得出的普通方程為，可設(shè)點的坐標(biāo)為，利用點到直線的距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的有界性可得出結(jié)果.【詳解】（1）由（為參數(shù)），得，化簡得，故直線的普通方程為.由，得，又，，.所以的直角坐標(biāo)方程為；（2）由（1）得曲線的直角坐標(biāo)方程為，向下平移個單位得到，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋兜玫角€的方程為，所以曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.故點到直線的距離為，當(dāng)時，最小為.【點睛】本題考查曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的相互轉(zhuǎn)化，同時也考查了利用橢圓的參數(shù)方程解決點到直線的距離最值的求解，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦，余弦定理對式子化簡求解即可；（2）利用余弦定理以及三角形的面積，求解三角形的周長即可．【詳解】（1），由正弦定理可得：，即：，由余弦定理得.（2）∵，所以，，又，且，，的周長為【點睛】本題考查正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式，也考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可；（Ⅱ）結(jié)合圖表得到6人中有2個人考核為優(yōu)，從而求出滿足條件的概率即可；（Ⅲ）求出滿足的成績有16個，求出滿足條件的概率即可．【詳解】解：（Ⅰ）設(shè)這名學(xué)生考核優(yōu)秀為事件，由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道，30名同學(xué)中，有7名同學(xué)考核優(yōu)秀，所以所求概率約為（Ⅱ）設(shè)從圖中考核成績滿足的學(xué)生中任取2人，至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件，因為表中成績在的6人中有2個人考核為優(yōu)，所以基本事件空間包含15個基本事件，事件包含9個基本事件，所以（Ⅲ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，滿足的成績有16個，所以所以可以認(rèn)為此次冰雪培訓(xùn)活動有效．【點睛】本題考查了莖葉圖問題，考查概率求值以及轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題．21、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進(jìn)而分類討論求解不等式即可；（2）先利用絕對值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】（1）①當(dāng)時，恒成立，；②當(dāng)時，，即，；③當(dāng)時，顯然不成立，不合題意；綜上所述，不等式的解集為.（2）由（1）知，于是由基本不等式可得（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）（當(dāng)且