高中數(shù)學(xué)競賽試卷試題

創(chuàng)作；朱本曉

2022年元月元日

2021年高中數(shù)學(xué)競賽試卷

（2006年3月26日星期日上午8：30~10：30）

【說明】解答本套試卷不得使用計算器

一、填空題（此題滿分是60分，前4小題每一小題7分，后4小題每一小題8分）

1.設(shè)x,y,z是正實數(shù)，滿足盯+z=（x+z）（y+z）,那么xyz的最大值是

2.設(shè)從正整數(shù)k開場的201個連續(xù)正整數(shù)中，前101個正整數(shù)的平方和等

于后100個正整數(shù)的平方和，那么k的值是.

3.設(shè)"（〃22）是給定的整數(shù)，，…，x是實數(shù)，那么sinxcosx+sinxcosx+

I2n1223

…+sinxcosx的最大值是

nI

4.在AABC中，NA=30。，N8=105。，過邊AC上一點D作直線DE,

與邊AB或者者BC相交于點E,使得NCOE=60。，且DE將AABC的面積兩等分，那么

不等式max{|z+Z?|卜―4,|2006-.}之（7恒成立，那么

5.對于任意實數(shù)a,b,

常數(shù)C的最大值是.（注：max{x,y,z}表示x,y,z中的最大者.）

6.設(shè)/(x)=x2+ox+。cosx{邛(幻=0,xeR}={邛(/(X))=0,XGR}H0,

那么滿足條件的所有實數(shù)a,b的值分別為

7.在直三棱柱中，底面積為s平方米，三個側(cè)面面積分別為m平方米，

n平方米，p平方米，那么它的體積為________________________________立方

米.8.函數(shù)/：R+-R滿足：對任意x,yeR+,都有

倉U作；多本阿

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2022年元月再日］、

/(x)/(y)=/(xy)+2006-+-+2005

創(chuàng)作；不姻

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那么所有滿足條件的函數(shù)f為.

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二、解答題

9.（此題滿分是14分）拋物線

產(chǎn)=2px（p>0）,其焦點為F,一條過焦點F,

傾斜角為9（0<0<K）的直線交拋物線于A,B

兩點，連接閨（0為坐標(biāo)原點），交準(zhǔn)線于點B',

連接B0,交準(zhǔn)線于點A',求四邊形ABB'A'的

面積.

10.（此題滿分是14分）數(shù)列L｝定義如下：a=1,且當(dāng)〃22時,

n1

\a+1,當(dāng)〃為偶數(shù)時，

21

2

CI=<[

"當(dāng)〃為奇數(shù)時.

10,

n-\

30

a=—,求正整數(shù)n.

“19

11.（此題滿分是16分）對一個邊長互不相等的凸〃（〃23）邊形的邊染色，每條邊

可以染紅、黃、藍三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有一樣的顏色.問：一共有多少種

不同的染色方法？

12.（此題滿分是16分）設(shè)a,be[0,1],求

ah

s="+”+（1—a）（j）

1+/?1+a

的最大值和最小值.

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［參考答案］

一、填空題(此題滿分是60分，前4小題每一小題7分，后4小題每一小題8分)

1

1、272、20210

n

3、

24、6

5、10036、0＜。＜4,b=0

r_______________________/(x)=1+2006

7、—+p)(m+n-p)(p+m-n)(n+p-m)8、

X

二、解答題

9.(此題滿分是14分)拋物線W=2px(p>°),其焦點為F,一條過焦點F,傾斜角為

0(0<0<K)的直線交拋物線于A,B兩點，連接A0(0為坐標(biāo)原點)，交準(zhǔn)線于點B',連接BO,交

準(zhǔn)線于點A',求四邊形ABB'A'的面積.

n

解當(dāng)。=—時，S=2p2(4分)

肝2ABB,A1

n

當(dāng)e#5時，令k=tane設(shè)

A(x,y),B(x,y),那么由

1122

￥=2Px,②

消去X得,一半

>2y-p2=0,所以

k

y+y=留,yy=~P2.③

12k—

y2P

=x

又直線AO的方程為：y=-LX,即為y—?所以，A0與準(zhǔn)線的交點的坐標(biāo)為

Xy

11

B'(-J-〃2),而由醐口,y=一匕，所以B和的縱坐標(biāo)相等，從而BB1九軸同理

2y2y

11

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軸，故四邊形ABBA'是直角梯形.…........⑷分）

所以，它的面積為

f岬叫W叩"叫兇

=I（『產(chǎn)"?|

=g（）；-）?2號W后取+彳*1」

=2p2,+；）=2p2（1+COt20他.…..........（14分）

10.（此題滿分是14分）數(shù)列｛"｝定義如下：a=1,且當(dāng)"N2時，

n1

a+1,當(dāng)〃為偶數(shù)時,

J1

,當(dāng)〃為奇數(shù)時.

30

—,求正整數(shù)n.

解由題設(shè)易知，a〉0,〃=1,2,....又由4=1,可得，當(dāng)n為偶數(shù)時，a>1.當(dāng)〃（>1）

n1n

1

是奇數(shù)時，a=----<1（4分）

?a

M-1

30.30-11-〃

由a=__〉1,所以n為偶數(shù)，于是a=_-I=_<I,所以，一是奇數(shù).

n19￡19192

于是依次可得:

力>1nI

a2-1是偶數(shù)，

11

2

19Tn-2

a=--121

-21111是奇數(shù),

4

11n-6

a-—>1-----是偶數(shù),

立馬84

4

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11T3Tn-6

a=—-1=_<1

488o是奇數(shù),

8

8〃一14

a=_>1是偶數(shù),

■一138

8

8.5.z?-14

°恒=-1=>1,----是偶數(shù),

”-14

16

52H—14

a=_-1=_<1------是奇數(shù),（9分）

3332

32

3〃-46

a=_>1-------是偶數(shù),

232

32

341.n-46

a=_一1=_<1,—「是奇數(shù),

”-4622

64

n-110

a=2>1，y廠是偶數(shù)，

以一46《

-1

64

a=2—1=1

128

H-110

所以，［28=L解得，n=238.（14分）

11.（此題滿分是16分）對一個邊長互不相等的凸23）邊形的邊染色，每條邊可以染紅、黃、

藍三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有一樣的顏色.問：一共有多少種不同的染色方法?

解設(shè)不同的染色法有P種.易知P=6..............（4分）

n3

當(dāng)〃24時，首先，對于邊a,有3種不同的染法，由于邊a的顏

12

色與邊。的顏色不同，所以，對邊a有2種不同的染法，類似地，對邊

12

aaa

3，…，邊n-1均有2種染法.對于邊Qn,用與邊n-1不同的2種顏

色染色，但是，這樣也包括了它與邊a顏色-樣的情況，而邊Q與邊a

11n

顏色一樣的不同染色方法數(shù)就是凸n-1邊形的不同染色方法數(shù)的種數(shù)J,于是可得

p=3x2〃-1-p,

nw-1（10分）

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p—2"——(p_2"-J

C1)

于是P—2〃=(—1)〃-3〃-23=(―1)〃_2.2,

n3

p=2〃+(—1,2,〃之3.

n

綜上所述，不同的染色方法數(shù)為P=2”+(—1)”2...........(16分)

n

12.(此題滿分是16分)設(shè)a/e[0,1],求

0_ah

7+1+?+(1

1+b

的最大值和最小值.

解因為

Cab

S=—^+1+?+(1-?)(1-^)

1+b

1+Q+%+a2b2ab(1-ah)

=—=1------------

(1+a)(1+與(1+a)(1+b)

<1,

當(dāng)ab=°或者a8=1時等號成立，所以S的最大值為1............(6分)

出?(1一ah)

令7=75---~,x=’那么

_ah(}-ah)abC\-ab)

I____________<-----------

+a+b+ab1+21ab+ab

_X2(1-X2)_X2(1-x)

(1+x)21+x'

m(1一x)/5把-11

1+x-2?①

①=(x-(x+>/5-2)>0,

r<575-11

所以

2

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?13-5