高中數(shù)學(xué)《簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題》導(dǎo)學(xué)案

3.3.2簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

卜課前自主預(yù)習(xí)

簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

名稱(chēng)意義

約束

叵L由變量x,y組成的不等式

條件

線性約畫(huà)一由x,y的一次不等式組成的不等式組

束條件

目標(biāo)

畫(huà)欲求最大值或最小值所涉及的變量x,y的函數(shù)解析式

函數(shù)

線性目畫(huà)如果目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于x,y的一次解析式,則稱(chēng)為線性目標(biāo)函數(shù)

標(biāo)函數(shù)

可行解國(guó)滿足線性約束條件的解(x,y)

國(guó)所有可行解組成的集合

可行域

也使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解

最優(yōu)解

線性規(guī)國(guó)在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題

戈問(wèn)題

品自診小測(cè)

1.判一判(正確的打“，錯(cuò)誤的打“x”)

(1)約束條件是關(guān)于變量的不等式，其中次數(shù)必須為1.()

(2)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解一定是唯一的.()

(3)線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)上.()

(4)目標(biāo)函數(shù)z=ox+bySWO)中，z的幾何意義是直線ax+by—z=O在y軸

上的截距.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X

2.做一做

(1)將目標(biāo)函數(shù)z=2x-y看成直線方程時(shí)，則該直線的縱截距等于.

⑵若變量x,y滿足約束條件則z=x—2y的最小值為

Lx—y—2W0,

（3）（教材改編P89例6）某公司招收男職員X名，女職員y名，X和y需滿足約

"5x—1ly2—22,

2x+3y29,

束條件12r<l'l則z=l0x+10y的最大值是

“eN*,yGN",

pc+y26,

⑷若x、y滿足{xW4,則2=三1的最大值是

答案(1)—z(2)-3(3)90(4)3

卜課堂互動(dòng)探究

探究］求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

x—4yW—3,

3x+5yW25,求z的最大值

{e,

和最小值.

%-4y<—3,

{3尤+5yW25,表示的平面區(qū)域（即可行域），如圖所示.

5

4

3、'

\a%-4y+3=0

2

LB\\3^+5y-25=0

O\1|\234561-.

把z=2x+y變形為y=-2x+z,得到斜率為一2,在y軸上的截距為z,隨

z變化的一組平行直線.

由圖可看出，當(dāng)直線z=2x+y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)A時(shí)，截距z最大，經(jīng)過(guò)

點(diǎn)8時(shí)，截距z最小.

\x—4y+3=0,

解方程組，X八得A點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2),

[3x+5y—25=0,

\x—\,

解方程組,「八得8點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

[x—4y+3=0,

所以Zmax=2X5+2=12,zmin=2X1+1=3.

拓展提升

解線性規(guī)劃問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地作出可行域，正確理解z的幾何意義，對(duì)一

個(gè)封閉圖形而言，最優(yōu)解一般在可行域的邊界線交點(diǎn)處或邊界線上取得.在解題

中也可由此快速找到最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).

j2W2x—yW4,

【跟蹤訓(xùn)練1】若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組

〔y2-3,

求下列目標(biāo)函數(shù)的最大值，以及此時(shí)尤，y的值.

(l)z=x—＞；

(2)z=x+3y+1.

解(1)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域，如圖中陰影部分所示.

當(dāng)直線y=x-z經(jīng)過(guò)點(diǎn)A&—3)時(shí)，直線在y軸上的截距一z最小，為一三,

17

所以當(dāng)無(wú)=],y=—3時(shí)，z取得最大值亍

|Z--17--1

(2)當(dāng)直線y=—下十丁經(jīng)過(guò)點(diǎn)8(3,4)時(shí)，直線在y軸上的截距丁最大,

所以當(dāng)無(wú)=3,y=4時(shí)，z取得最大值16.

探究2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

卜一4y+3W0,

例2變量無(wú)，y滿足《3x+5y—25W0,

1x^1,

⑴設(shè)z=3求Z的最小值；

(2)設(shè)z=f+/,求z的取值范圍.

儼一4y+3<0,

解由約束條件｛3x+5y—25W0,

Lei,

作出(x,y)的可行域如圖所示.

x=\,

由,

.3x+5y—25=0,

解得A0，引.

由廣，

由I

[x—4y+3=0,

解得C(l,l),

—+3=0,

由.解得5(5,2).

13X+5J-25=0,

..irz0

⑴(1).zz=x=LO'

.?.z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)。連線的斜率.

-2

觀察圖形可知Zmin=%B=g.

(2)z=d+y2的幾何意義是可行域中的點(diǎn)到原點(diǎn)。的距離的平方.結(jié)合圖形

可知，可行域中的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin=|OC]=啦，dmax=\OB\=y[29,：.

2?29.

拓展提升

求非線性目標(biāo)函數(shù)最值的方法

對(duì)于非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題，弄清楚它的幾何意義是解題的關(guān)鍵.常見(jiàn)

的目標(biāo)函數(shù)有三類(lèi)：

(1)形如Z=(x—a)2+(y—與2型的目標(biāo)函數(shù)，對(duì)于該類(lèi)型的目標(biāo)函數(shù)均可化為

可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(。，刀間的距離的平方的最值問(wèn)題.特別地，表

示點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)間的距離.

(2)形如z=震?acWO)型的目標(biāo)函數(shù)，對(duì)于該類(lèi)型的目標(biāo)函數(shù)可先變形為

Z端——；一%的形式,將問(wèn)題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(一%一鄉(xiāng)連線斜

X——二(’

率的T倍的取值范圍、最值等.特別地表示點(diǎn)a，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率；廠

cXXCI

表示點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(a,。)連線的斜率.

(3)對(duì)形如zulAx+By+CK^+FWO)型的目標(biāo)函數(shù)，可先變形為z=

\Ax+By+C\

yj^+B2-的形式，將問(wèn)題化為求可行域內(nèi)的點(diǎn)(x,y)到直線

.T+LAx+By

+C=0的距離的后1倍的最值.

卜+y—220,

【跟蹤訓(xùn)練2】實(shí)數(shù)x,y滿足1%+3廠6<0,則/+/+2x+2y的最

[冗一2W0,

小值為()

A.8B.6

C.5D.4

答案B

解析由題意，易知/+;/+2了+2了=。+1)2+&+1)2—2,表示已知約束條

件的可行域內(nèi)的點(diǎn)至U點(diǎn)(一1,一1)距離的平方與2的差，如下圖所示，結(jié)合圖形

可知點(diǎn)A與8,C兩點(diǎn)連線段的斜率的范圍為:，3,而過(guò)點(diǎn)A的直線與垂

直時(shí)其斜率為1,故點(diǎn)A與可行域內(nèi)點(diǎn)的最小距離即為點(diǎn)A到直線無(wú)+y—2=0

2

的距離，從而(f+y+2x+2y)min=R產(chǎn)12=6.

探究3已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)

例3已知變量x,y滿足約束條件lWx+y<4,—2，一產(chǎn)2.若目標(biāo)函數(shù)

z=ox+y(其中。>0)僅在點(diǎn)(3,1)處取得最大值，則a的取值范圍為.

答案a>\

解析由約束條件畫(huà)出可行域(如右圖).

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,1),z最大時(shí)，即平移y=-ox時(shí)，使直線在y軸上的截距

最大，

：.—a<kcD,即一a<—1,a>1.

拓展提升

求約束條件或目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍問(wèn)題

已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)是線性規(guī)劃的逆向思維問(wèn)題，解答此類(lèi)問(wèn)題必須

明確線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點(diǎn)或邊界取得，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想

方法求解，同時(shí)注意邊界直線斜率與目標(biāo)函數(shù)斜率的大小關(guān)系.

prBO,

【跟蹤訓(xùn)練31記不等式組｛x+3y24,所表示的平面區(qū)域?yàn)?。，若?/p>

線y=a(x+l)與區(qū)域。有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是.

答案14

解析滿足約束條件的平面區(qū)域如圖所示，因?yàn)橹本€y=a(x+l)過(guò)定點(diǎn)(一

1,0),故當(dāng)y=a(x+l)過(guò)點(diǎn)B(0,4)時(shí)，得到a=4,當(dāng)y=aCr+1)過(guò)點(diǎn)A(l』)時(shí)，得

探究4線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用

例4某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，

生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘，已知

總生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)10小時(shí).若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲

利潤(rùn)6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元.

(1)用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(rùn)W(元)；

(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？

解(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100—x-y,

所以利潤(rùn)W=5x+6y+3(100—x—y)

=2x+3y+300(x,yGN).

'5x+7y+4(100—x—y)W600,

100—x—y^O,

(2)約束條件為5

xCN,

「x+3yW200,

x+yW100,

整理得＜

x《N,

lyGN.

目標(biāo)函數(shù)為W=2r+3y+300,

作出可行域?yàn)槿鐖D所示陰影部分中的整數(shù)點(diǎn).

初始直線/o：2x+3y=0,平移初始直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，W有最大值.

"3尸200,J尤=50,

由最優(yōu)解為A(50,50),

x+y=100,)=50,

所以Wmax=550(元).

答：每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè)，騎兵50個(gè)，傘兵0個(gè)時(shí)利潤(rùn)最大，為550元.

拓展提升

利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題的步驟是：①設(shè)出未知數(shù)(當(dāng)數(shù)據(jù)較多時(shí)，可以

列表格來(lái)分析數(shù)據(jù))；②列出約束條件，確立目標(biāo)函數(shù)；③作出可行域；④利用

圖解法求出最優(yōu)解；⑤得出結(jié)論.

【跟蹤訓(xùn)練4】某貨運(yùn)公司擬用集裝箱托運(yùn)甲、乙兩種貨物，一個(gè)大集裝

箱所托運(yùn)的貨物的總體積不能超過(guò)24立方米，總重量不低于650千克.甲、乙

兩種貨物每袋的體積、重量和可獲得的利潤(rùn)，列表如下：

每袋體積每袋重量每袋利潤(rùn)

貨物

（單位：立方米）（單位：百千克）（單位：百元）

甲5120

乙42.510

問(wèn)：在一個(gè)大集裝箱內(nèi)，這兩種貨物各裝多少袋（不一定都是整袋）時(shí)，可獲

得最大利潤(rùn)？

解設(shè)一個(gè)大集裝箱托運(yùn)甲種貨物x袋，乙種貨物y袋，獲得利潤(rùn)為z（百元）,

則目標(biāo)函數(shù)為z=20x+1Oy.

依題意得，關(guān)于x,y的約束條件為

（5x+4yW24,（5x+4yW24,

<x+2.5y26.5,即《2x+5y213,

1x20,y20,Lr20,y20.

作出上述不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示.

由目標(biāo)函數(shù)z=20x+10y,

z

可得y=—2x+充.

7

當(dāng)直線y=-2x+m的縱截距最大時(shí)，對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)z=20x+10）-也會(huì)取

得最大值.

畫(huà)直線/0：20x+10y=0,平行移動(dòng)“到直線/的位置，當(dāng)直線I過(guò)直線5%

+4y=24與2x+5y=13的交點(diǎn)M時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z=20x+10y取得最大值.

[5x+4y=24,

解方程組L-得點(diǎn)M（4,l）.

12r十5y=13,

因此，當(dāng)x=4,y=l時(shí)，z取得最大值，

此時(shí)z*大值=20X4+10X1=90.

答:在一個(gè)大集裝箱內(nèi)裝甲種貨物4袋，乙種貨物1袋時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，

最大利潤(rùn)為9000元.

速懶加---------------------

f---------------------1

［規(guī)律小結(jié)］

1.線性規(guī)劃的應(yīng)用

線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類(lèi)問(wèn)題中得到應(yīng)用：一是在人力、物力、

資金等資源一定的條件下，如何利用它們完成更多的任務(wù)；二是給定一項(xiàng)任務(wù),

如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來(lái)完成該項(xiàng)任務(wù).

2.解決線性規(guī)劃問(wèn)題的一般方法

解決線性規(guī)劃問(wèn)題的一般方法是圖解法，其步驟如下：

(1)確定線性約束條件，注意把題中的條件準(zhǔn)確翻譯為不等式組；

(2)確定線性目標(biāo)函數(shù)；

(3)畫(huà)出可行域，注意作圖準(zhǔn)確；

(4)利用線性目標(biāo)函數(shù)(直線)求出最優(yōu)解；

(5)實(shí)際問(wèn)題需要整數(shù)解時(shí)，應(yīng)調(diào)整檢驗(yàn)確定的最優(yōu)解(調(diào)整時(shí)，注意抓住

“整數(shù)解”這一關(guān)鍵點(diǎn)).

［走出誤區(qū)］

易錯(cuò)點(diǎn)>忽略截距與目標(biāo)函數(shù)值的關(guān)系而致錯(cuò)

［典例］設(shè)E為平面上以A(4,l),3(—1,-6),。(一3,2)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)

域(包括邊界)，求z=4x—3y的最大值與最小值.

［錯(cuò)解檔案］

41

把目標(biāo)函數(shù)z=4x—3y化為乎.

根據(jù)條件畫(huà)出圖形如圖所示，

41

當(dāng)動(dòng)直線y=gx一夢(mèng)通過(guò)點(diǎn)C時(shí)，z取最大值；

41

當(dāng)動(dòng)直線y=1x一于通過(guò)點(diǎn)3時(shí)，z取最小值.

???Zmin=4X(—l)—3X(—6)=14;

zmax=4X(-3)-3X2=-18.

4111

［誤區(qū)警示］直線>=主一?在y軸上的截距是一?，當(dāng)截距一作最大即直

線過(guò)點(diǎn)C時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值z(mì)最?。欢?dāng)截距一上最小即直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函

數(shù)值z(mì)最大，此處容易出錯(cuò).

41

［規(guī)范解答］把目標(biāo)函數(shù)z=4x—3y化為乎.

41

當(dāng)動(dòng)直線乎通過(guò)點(diǎn)8時(shí)，z取最大值；

41

當(dāng)動(dòng)直線y=gx—乎通過(guò)點(diǎn)。時(shí)，z取最小值.

.,.zmin=4X(-3)-3X2=-18:

zmax=4X(-l)-3X(-6)=14.

n7n7

［名師點(diǎn)津］由目標(biāo)函數(shù)z=?x+/?y(/?WO),得y=—廬+j.直線y=—gx+］在

y軸上的截距為京當(dāng)b>Q時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值與直線在y軸上的截距同步達(dá)到最大值

和最小值；當(dāng)X0時(shí)，情形正好相反.

I陵堂達(dá)標(biāo)自測(cè)1

1.設(shè)變量x,y滿足約束條件：｛x+2)W2,則z=x—3y的最小值為()

〔尢2—2,

A.-2B.-4

C.-6D.-8

答案D

解析作出約束條件：?x+2yW2,

表示的可行域，如圖所示.

Lx，—2

令z=0,則Z()：x—3y=0.

平移/o,在點(diǎn)M(—2,2)處z取到最小值，最小值z(mì)=-2-3*2=—8.

產(chǎn)0,

2.實(shí)數(shù)滿足不等式組｛九一y》0，則卬=曷的取值范圍是()

12%一y—220,

,i-lrir

A[-1,3JB.[-2,3_

C.昌'+8)1)

答案D

解析利用數(shù)形結(jié)合思想，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)A(—1,

1)連線的斜率問(wèn)題.畫(huà)出題中不等式組所表示的可行域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)卬=

y表示陰影部分的點(diǎn)與定點(diǎn)4一1』)的連線的斜率，由圖可知點(diǎn)4一11)與點(diǎn)

人I1

(1,0)連線的斜率為最小值，最大值趨近于1,但永遠(yuǎn)達(dá)不到1,故一3wwvi.

卜一4yB—3,

3.已知目標(biāo)函數(shù)z=2x+y,且變量x,y滿足下列條件｛3x+5yV25,則

)

A.Zmax-12，Zmin-3

B.Zmax=12,無(wú)最小值

C.Zmin=3,無(wú)最大值

D.z既無(wú)最大值又無(wú)最小值

答案D

解析

畫(huà)直線/：2x+y=0,平移直線/,知z=2x+y既無(wú)最大值，又無(wú)最小值.

4.若無(wú)，y滿足則z=x+2y的最小值是________.

[x+y-2,0,

答案2

解析畫(huà)出不等式組表示的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)可知y=—得出

最優(yōu)解為(2,0),則z的最小值為2.

(工一y+2W0,

5.已知變量x,y滿足約束條件則友的最大值是_______

Lx+y—7W0.

最小值是.

9

答案65

解析由約束條件作出可行域(如圖所示)，目標(biāo)函數(shù)z=g表示坐標(biāo)(x,y)與

原點(diǎn)(0,0)連線的斜率.由圖可知，點(diǎn)C與。連線斜率最大；點(diǎn)8與。連線斜率

9

0,。點(diǎn)坐標(biāo)為(1,6),所以攵08=亍koc=6.

故!的最大值為6,最小值為冬

卜課后課時(shí)精練

A級(jí)：基礎(chǔ)鞏固練

一、選擇題

wo,

1.已知P(x,y)為區(qū)域，內(nèi)的任意一點(diǎn)，當(dāng)該區(qū)域的面積為4

時(shí)，z=2x-y的最大值是()

A.6B.0

C.2D.2也

答案A

解析畫(huà)出不等式組

)x-a

/2

\/尸2%-z

/\「

A=%/B

4V二一久

r"/一八

所表示的平面區(qū)域如圖所示，由圖可知&小

即當(dāng)y=2x~z過(guò)A點(diǎn)時(shí)z取最大值,且Zn1ax=2X2—(—2)=6.故選A.

產(chǎn)一yWO,

2.若尤,y滿足《x+yWL

則z=x+2y的最大值為()

Lr?O,

3

A.0B.1C，2D.2

答案D

解析作出不等式組

x—yWO,

-1z

x+yWl,表示的平面區(qū)域，如圖所示.當(dāng)直線產(chǎn)一3+]經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，

目標(biāo)函數(shù)z達(dá)到最大值.

?*.z景大他=0+2X1=2.故選D.

3.點(diǎn)P(x,y)在直線4x+3y=0上，且x,y滿足一14W元一yW7,則點(diǎn)P到

坐標(biāo)原點(diǎn)距離的取值范圍是()

A.[0,5]B.[0,10]

C.f5,10]D.[5,15]

答案B

,[x-yW7,

解析因x,y滿足一14Wx—>W7,則點(diǎn)P(x,y)在，所確定的

x—y^—14

區(qū)域內(nèi)，且原點(diǎn)也在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，如圖所示.因?yàn)辄c(diǎn)P在直線4x+3y=0上，

[4x+3y=0,

由彳,，，解得A(—6,8)；

1x—y=-14,

f4x+3y=0,

由々r解得3(3,-4).

1x-y=7,

...點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最小值為0.

又|。4|=10,|8。|=5.因此,最大值為10,故所求取值范圍是[0,10].

4.某貨運(yùn)員擬運(yùn)送甲、乙兩種貨物，每件貨物的體積、重量、可獲利潤(rùn)如

表所示：

體積（升/件）重量（公斤/件）利潤(rùn)（元/件）

甲20108

乙102010

在一次運(yùn)輸中，貨物總體積不超過(guò)110升，總重量不超過(guò)100公斤，那么在

合理的安排下，一次運(yùn)輸獲得的最大利潤(rùn)為（）

A.65元B.62元

C.60元D.56元

答案B

解析設(shè)運(yùn)送甲龍件，乙y件，利潤(rùn)為z,

C20x+10^110,囚+戶11,

則由題意得｛10x+20yW100,即｛龍+2yW10,

[x,y6N,〔x,yGN,

且z=8x+10y,

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域（陰影部分內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)）如圖:

由z=8x+10y得y—

平移直線y=—$+京，由圖象知當(dāng)直線丫=一*+■經(jīng)過(guò)點(diǎn)3時(shí)，直線的

截距最大，此時(shí)z最大,

j2x+y=H,(x=4,

U+2j=10,中iy=3,即8(4,3),

此時(shí)z=8X4+10X3=32+30=62.故選B.

二、填空題

‘ei,

5.已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)”(3,2),若點(diǎn)N(x,y)滿足不等式組＜y^O,

則函.礪的最大值為

答案12

解析畫(huà)出所給不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.

令?礪=3x+2y,由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知當(dāng)z=3x+2y過(guò)(4,0)點(diǎn)

時(shí)，z取最大值，即麗?麗的最大值=3X4+0=12.

x—y+2^0,

6.若已知實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組《2x~y~5^0,則z=|x+2y—4|的最大

420,

值是.

答案21

解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.

解法一：z=|x+2y—4|=生苔Wlx小，其幾何意義為陰影區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到

lfx—y+2=0,

直線尤+2y—4=0的距離的小倍.由入,「八得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(7,9),顯

[2x—y—5=0

然點(diǎn)B到直線x+2y—4=0的距離最大，此時(shí)Zmax=21.

解法二：由圖可知，陰影區(qū)域(可行域)內(nèi)的點(diǎn)都在直線x+2y—4=0的上方，

顯然此時(shí)有x+2y—4>0,于是目標(biāo)函數(shù)等價(jià)于z=x+2y-4,即轉(zhuǎn)化為一般的

線性規(guī)劃問(wèn)題.顯然當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z取得最大值，由

x-y+2=0,

得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(7,9),此時(shí)Zmax=2L

2x-y-5=0

產(chǎn)一y+220,

7.不等式組《尤+y+220,所確定的平面區(qū)域記為。.若點(diǎn)(x,y)是區(qū)域D

〔2x—y—2W0

上的點(diǎn)，則2x+y的最大值是；若圓O：/+y2=，上的所有點(diǎn)都在區(qū)

域。內(nèi)，則圓。面積的最大值是.

答案14y

解析作出區(qū)域。如圖所示.

令z=2x+y可知，直線z=2x+y經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,6)時(shí)z最大，此時(shí)z=14；當(dāng)圓0：

f+y2=M和直線2x—y—2=0相切時(shí)半徑最大，此時(shí)半徑r=泉，面積S=系.

三'解答題

(2x+y—220,

8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足*一2丹420,試求的最大值和最小值.

13%一y—3W0,

y+1y-(-l)

解由于7=-----=------------

x+1X—(-1)'

所以Z的幾何意義是點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)M(-l,一1)連線的斜率，因此，由的

最值就是點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)加(一1,一1)連線的斜率的最值,

(2x+y—220,

作出《x-2y+420,表示的可行域如下圖所示:

〔3x—y—3W0

結(jié)合圖可知，直線MB的斜率最大，直線的斜率最小，即Zmax=%MB=3,

此時(shí)x=0,y=2；

Zmin=Z"C=；，此時(shí)X=l,y=0.

所以z的最大值為3,最小值為去

9.一農(nóng)民有農(nóng)田2畝，根據(jù)往年經(jīng)驗(yàn)，若種水稻，則每畝產(chǎn)量為400千克；

若種花生，則每畝產(chǎn)量為100千克.但水稻成本較高，每畝240元，而花生只需

80元，且花生每千克5元，稻米每千克3元.現(xiàn)該農(nóng)民手頭有400元.

(1)設(shè)該農(nóng)民種x畝水稻，y畝花生，利潤(rùn)z元，請(qǐng)寫(xiě)出約束條件及目標(biāo)函數(shù)；

(2)問(wèn)兩種作物各種多少，才能獲得最大收益？

解(1)約束條件為：

"x+yW2,"x+yW2,

240x+80yW400,3%+yW5,

<即,

x?0,x20,

、代0,、代0,

目標(biāo)函數(shù)為：z=(3X400-240)x+(5X100-80)y=960x+420y.

(2)作出可行域如圖所示，

距為磊7i，隨z變化的一組平行直線；當(dāng)直線y=一多In+總7經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)8

時(shí)，截距者最大，即Z最大.

fxH-y~~25x~~1.55

所以解方程組.；u得CU即8點(diǎn)的坐標(biāo)是(1.5,0.5),故當(dāng)x=

[3x+y=5[y=