安徽省池州市貴池區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷含解析

Page26（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）留意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清晰，將條形碼精確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2．選擇題必需運(yùn)用2B鉛筆填涂；非選擇題必需運(yùn)用0.5毫米黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清晰.3．請(qǐng)按題號(hào)依次在各題答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效.4．保持答題卡卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)運(yùn)用涂改液、修正帶、刮紙刀.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的．1.直線：與直線：平行，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】由兩直線平行得到方程和不等式，求出答案.【詳解】由題意得，解得.故選：A2.已知兩條直線和的交點(diǎn)為，則過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)所求直線為，然后由直線與垂直，列方程可求出，從而可求出直線的方程.【詳解】設(shè)所求直線的方程為，即，因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得，所以直線的方程為，即.故選：B.3.橢圓的焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則的值為（）A. B.C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再由條件列方程求的值.【詳解】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，故，因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，所以，故選：B.4.如圖，在正三棱柱中，若，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【詳解】取的中點(diǎn)，則，

以為原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以在上的投影的長(zhǎng)度為，故點(diǎn)到直線的距離．故選：B.5.已知四面體的全部棱長(zhǎng)都等于2，E是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD靠近C的四等分點(diǎn)，則等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量的線性運(yùn)算可得，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和定義求.【詳解】因?yàn)镋是棱AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱CD靠近C的四等分點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，，，所以．故選：D.6.已知圓C：，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，相互垂直，圓心C到直線，的距離分別為，，則的最大值為（）A. B.1 C. D.4【答案】B【解析】【分析】由四邊形是矩形，應(yīng)用勾股定理可求，再利用基本不等式可得答案.【詳解】過(guò)圓心C分別作直線，的垂線，垂足分別為，．，相互垂直，所以四邊形為矩形．由圓C：，可得，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值為1，故選：B.7.已知是圓的一條弦，且，是的中點(diǎn)，當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長(zhǎng)度的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)已知條件先確定出點(diǎn)的軌跡方程，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“以為直徑的圓要包括圓”，由此利用圓心到直線的距離結(jié)合點(diǎn)的軌跡所表示圓的半徑可求解出的最小值.【詳解】由題可知：，圓心，半徑，又，是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程，圓心為點(diǎn)，半徑為，若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則以為直徑的圓要包括圓，點(diǎn)到直線的距離為，所以長(zhǎng)度的最小值為，故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵在于點(diǎn)軌跡方程的求解以及轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，依據(jù)弦中點(diǎn)以及線段長(zhǎng)度可求點(diǎn)軌跡方程，其次“恒成立”轉(zhuǎn)化為“以為直徑的圓包括的軌跡”，結(jié)合圓心到直線的距離加上半徑可分析的最小值.8.如圖，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)時(shí)，三點(diǎn)共線B.當(dāng)時(shí)，平面C.當(dāng)時(shí)，平面D.當(dāng)時(shí)，【答案】D【解析】【分析】以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，依據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，可得判定A正確；求得的法向量為，結(jié)合，可判定B正確；求得平面的法向量為，結(jié)合，可判定C正確；由時(shí)，結(jié)合，所以與不垂直，所以D錯(cuò)誤.【詳解】以為原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，設(shè)，可得，對(duì)于A中，當(dāng)時(shí)，即為對(duì)角線的中點(diǎn)，連接，在矩形中，可得也是的中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，所以，所以平面，所以B正確；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，且，則，取，可得，所以，則，所以平面，所以C正確；對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，，由，解得，則,所以與不垂直，所以D錯(cuò)誤.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.對(duì)于空間一點(diǎn)O，下列命題中正確的是（）．A.若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面B.若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面C.若，則P，A，B三點(diǎn)共線D.若，則B是線段AP的中點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】依據(jù)空間四點(diǎn)共面的結(jié)論即可推斷AB，再利用三點(diǎn)共線的結(jié)論和平面對(duì)量共線定理即可推斷CD.【詳解】對(duì)A，因?yàn)?，則P，A，B，C四點(diǎn)不共面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，因?yàn)?，則P，A，B，C四點(diǎn)共面，故B正確；對(duì)C，因?yàn)?，則P，A，B三點(diǎn)共線，故C正確；對(duì)D，，即，即，則，共線，且點(diǎn)P,B在點(diǎn)A的一側(cè)，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，則點(diǎn)三點(diǎn)共線，則B是線段AP的中點(diǎn)，故D正確.故選：BCD.10.以下四個(gè)命題表述正確的是（）A.圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于B.曲線與曲線，恰有四條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為C.已知圓，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引一條切線，其中為切點(diǎn)，則的最小值為D.已知圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線，，，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來(lái)確定所求點(diǎn)的個(gè)數(shù)；選項(xiàng)B依據(jù)兩曲線有四條公切線，確定曲線類型為圓，再由兩圓外離列不等式求解；選項(xiàng)C利用圓心與切點(diǎn)的連線垂直切線列等式，轉(zhuǎn)化為求圓心到直線上的點(diǎn)的距離的最小值問(wèn)題；選項(xiàng)D利用切線的性質(zhì)得切點(diǎn)弦方程，再依據(jù)切點(diǎn)弦方程求定點(diǎn).【詳解】選項(xiàng)A：圓的圓心為，半徑.圓心到直線的距離，所以圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線的距離都等于故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：方程可化為，故曲線表示圓心為，半徑的圓.方程可化為因?yàn)閳A與曲線有四條公切線，所以曲線也為圓，且圓心為，半徑()同時(shí)兩圓的位置關(guān)系為外離，有，即，解得.故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離.由切線的性質(zhì)知，為直角三角形，，當(dāng)且僅當(dāng)與直線垂直時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，由圓的切線性質(zhì)知，直線的方程為，，整理得，解方程得，.所以直線過(guò)定點(diǎn).故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.11.已知左、右焦點(diǎn)分別是，的橢圓C：的離心率為e，過(guò)左焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.的周長(zhǎng)為4aB.若直線OP的斜率為，AB的斜率為，則C.若，則e的最小值為D.若，則e的最大值為【答案】ACD【解析】【分析】依據(jù)橢圓的定義即可推斷A；設(shè)，，利用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而推斷B；依據(jù)平面對(duì)量的坐標(biāo)表示可得，結(jié)合選項(xiàng)計(jì)算即可推斷CD.【詳解】A:依據(jù)橢圓的定義，的周長(zhǎng)為，故A正確；B:設(shè)，，則，所以，，由得，所以，即，故B不正確；C:，因?yàn)?，所以，由，得，故C正確；D:由，得，故D正確．故選：ACD.12.如圖所示，該幾何體由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐組成，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若平面與平面的交線為，則AC//lC.三棱柱的外接球的表面積為D.當(dāng)該幾何體有外接球時(shí)，點(diǎn)到平面的最大距離為【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)空間線面關(guān)系，結(jié)合題中空間幾何體，逐項(xiàng)分析推斷即可得解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，若，又因平面，但是不愿定在平面上，所以A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)?，所以平面，平面平面，所以，所以B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中心，的中心，的中點(diǎn)為該三棱柱外接球的球心，所以外接球的半徑，所以外接球的表面積為，所以C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，該幾何體的外接球即為三棱柱的外接球，的中點(diǎn)為該外接球的球心，該球心到平面的距離為，點(diǎn)到平面的最大距離為，所以D正確.故選：BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.圓與圓的交點(diǎn)為A，B，則弦AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】先求出兩圓的公共弦方程，視察發(fā)覺(jué)的圓心在公共弦上，從而得到弦AB的長(zhǎng)為圓的直徑，求出公共弦長(zhǎng).【詳解】圓與圓聯(lián)立可得：公共弦的方程為，變形為，故的圓心為，半徑為，而滿意，故弦AB的長(zhǎng)為圓的直徑，故弦AB的長(zhǎng)為．故答案為：.14.已知點(diǎn)，點(diǎn)，則直線的傾斜角為_(kāi)______．【答案】【解析】【分析】利用兩點(diǎn)斜率公式結(jié)合三角恒等變換求得，從而可得傾斜角；【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，所以直線的傾斜角為；故答案為：.15.如圖，已知兩個(gè)正四棱錐與的高分別為1和2，，則異面直線AQ與BP所成角的余弦值為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】連接AC，BD，交于點(diǎn)O，則，連接PQ，則PQ過(guò)點(diǎn)O，由正四棱錐的性質(zhì)知平面ABCD，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線CA，DB，QP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解即可.【詳解】由題設(shè)知，四邊形ABCD是正方形，連接AC，BD，交于點(diǎn)O，則．連接PQ，則PQ過(guò)點(diǎn)O．由正四棱錐的性質(zhì)知平面ABCD，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以直線CA，DB，QP分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，．于是，所以異面直線AQ與BP所成角的余弦值為．故答案為：16.已知橢圓，、是坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)，且與橢圓的焦點(diǎn)不重合．若關(guān)于橢圓的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，線段的中點(diǎn)在橢圓上，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)已知條件，作出圖形，的中點(diǎn)連接橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，便會(huì)得到三角形的中位線，依據(jù)中位線的性質(zhì)及橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為即可求出．【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，如圖，連接、，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，則是的中位線，所以，，同理可得，依據(jù)橢圓的定義可得，所以，.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)向圓作切線，求切線方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法去求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用幾何法去求過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程即可解決.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為則，解之得則圓的方程為則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】圓圓心，半徑當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)直線方程為，與圓相切，符合題意；當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)直線方程可設(shè)為則，解之得，則，整理得故過(guò)點(diǎn)的圓的切線方程為或18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的焦點(diǎn)為，，點(diǎn)為上頂點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn).（1）若，，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，求橢圓的離心率.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求解橢圓的方程和直線的方程，聯(lián)立方程組可求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用橢圓的定義及垂直關(guān)系求解，再結(jié)合余弦定理可求離心率.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以橢圓的方程為，直線，，所以或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（2）設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)為上頂點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所?在三角形中，,在三角形中，,所以，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和橢圓的位置關(guān)系及橢圓的離心率，離心率的求解的關(guān)鍵是建立之間的關(guān)系式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19.如圖，四邊形與四邊形是全等的矩形，.（1）若P是棱的中點(diǎn)，求證：平面平面；（2）若P是棱上的點(diǎn)，直線BP與平面所成角的正切值為，求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）易證平面，從而，再由，得到，從而，同理，從而，即，再由，得到，然后利用線面垂直的判定定理得到平面，然后利用面面垂直的判定定理證明；（2）依據(jù)（1）得到，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.，求得平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，然后設(shè)二面角的大小為，由求解.【小問(wèn)1詳解】由題意知，所以，又因?yàn)?，且，平面，平面，所以平面，又平面，所?，即，所以，所以，同理，所以，即.又由于，所以，且，又平面，平面，所以平面，又因?yàn)槊?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】由（1）知，平面，所以CP是直線BP在平面內(nèi)的射影，所以就是直線BP與平面所成的角，即，所以，所以由勾股定理得，又由（1）知，，，兩兩垂直，以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由于，所以，即，令，則，，即，易知平面的一個(gè)法向量為，設(shè)二面角的大小為，可知為銳角，所以.故二面角的正弦值為.20.如圖，和都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，平面平面，平面．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)E到平面的距離為，求平面與平面夾角的正切值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，先證明平面，則可證明，即可證明平面；（2）連接，，取的中點(diǎn)，連接，先求出，，則可求到，再證明平面與平面夾角的平面角為，從而依據(jù)即可求解．【小問(wèn)1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，則平面，又平面，所以，又平面，平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】如圖，連接，，取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)椋瑒t等腰的面積為，所以三棱錐的體積為，因?yàn)槠矫妫矫?，則，又因?yàn)?，，平面，平面，則平面，因?yàn)?，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離等于，因?yàn)?，則，又，所以，因?yàn)槠矫?，平面，平面，則，，所以，所以，所以平面與平面夾角的平面角為，則，所以平面與平面夾角的正切值為．21.如圖，C是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，平面平面為正三角形，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn).（1）求證：；（2）若E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)且異面直線與所成角的正切值為，記平面與平面的交線為直線l，點(diǎn)Q為直線l上動(dòng)點(diǎn)，求直線與平面所成角的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明平面，即可證明.（2）由已知結(jié)合線面平行的判定定理知平面，結(jié)合線面平行的性質(zhì)定理知，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量求線面角即可得解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)镃是以為直徑的圓O上異于A，B的點(diǎn)，所以，又平面平面，且平面平面平面，所以平面平面.所以【小問(wèn)2詳解】由E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，連結(jié)，所以，由（1）知，所以，所以在中，就是異面直線與所成的角.因?yàn)楫惷嬷本€與所成角的正切值為，所以，即又平面平面，所以平面，又平面，平面平面，所以所以在平面中，過(guò)點(diǎn)A作的平行線即為直線l.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸，y軸，過(guò)C且垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè).因?yàn)闉檎切嗡?，從而由已知E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，所以則，所以，