高一數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)微專題提分精練(人教A版必修第一冊)微專題18函數(shù)的應(yīng)用(原卷版+解析)

微專題18函數(shù)的應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】知識點(diǎn)一、幾種常見的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：知識點(diǎn)二、解答應(yīng)用問題的基本思想和步驟1、解應(yīng)用題的基本思想2、解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟求解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)一般按以下幾步進(jìn)行：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．第二步：建模在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，將問題的非數(shù)學(xué)語言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型．這時(shí)，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題的要求．第三步：求模運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識進(jìn)行推理、運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果．第四步：還原把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題作出解答，對于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評判，使其符合實(shí)際背景．上述四步可概括為以下流程：實(shí)際問題（文字語言）數(shù)學(xué)問題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）建模（數(shù)學(xué)語言）求模（求解數(shù)學(xué)問題）反饋（還原成實(shí)際問題的解答）．【題型歸納目錄】題型一：幾類不同增長的函數(shù)模型題型二：二次函數(shù)模型題型三：分段函數(shù)模型題型四：分式型函數(shù)模型題型五：對數(shù)函數(shù)模型題型六：冪函數(shù)模型題型七：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典型例題】題型一：幾類不同增長的函數(shù)模型例1．(2023·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期中）某地西紅柿從2月1日起開始上市.通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本單位：元與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間50120150種植成本26005002600由表知，體現(xiàn)與數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．例2．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)變量，，隨變量的變化數(shù)據(jù)如下表：12468…241664256…14163664…0122.5853…則反映，，隨x變化情況擬合較好的一組函數(shù)模型是（）A．，， B．，，C．，， D．，，例3．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，當(dāng)很大時(shí)，隨的增大而增大速度最快的是（）A． B． C． D．變式1．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下面對函數(shù)，與在區(qū)間上的衰減情況的敘述正確的是（

）A．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢B．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快C．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢D．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快變式2．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：－2－101230.240.5112.023.988.02則，的函數(shù)關(guān)系與下列各類函數(shù)最接近的是（其中，為待定系數(shù)）（

）A． B． C． D．題型二：二次函數(shù)模型例4．(2023·上海市莘莊中學(xué)高一階段練習(xí)）行駛中的汽車，在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離，在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離與汽車的車速滿足下列關(guān)系：（為常數(shù)，且），做了兩次剎車試驗(yàn)，有關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖所示，其中．(1)求的值；(2)要使剎車距離不超過，則行駛的最大速度是多少？例5．(2023·浙江省永嘉縣碧蓮中學(xué)高一期中）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需要增加投入100元，已知總收益（單位：元）函數(shù)為，其中是儀器的產(chǎn)量（單位：臺）(1)將利潤（單位：元）表示為產(chǎn)量的函數(shù)（利潤＝總收益－總成本）；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？例6．(2023·江蘇·常熟中學(xué)高一階段練習(xí)）某景區(qū)要建一個(gè)游樂場（如圖所示），其中、分別靠現(xiàn)有墻、（墻長為27米，墻足夠長），其余用籬笆圍成．籬笆將游樂場隔成等腰直角和長方形兩部分，并在三處各留2米寬的大門，已知籬笆總長為54米，設(shè)長為米，面積為平方米．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；(2)當(dāng)多長時(shí)，游樂場的面積為320平方米？變式3．(2023·廣東汕頭·高一期末）為節(jié)約能源，倡導(dǎo)綠色環(huán)保，某主題公園有60輛電動觀光車供租賃使用，管理這些電動觀光車的費(fèi)用是每日120元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛電動觀光車的日租金不超過5元，則電動觀光車可以全部租出；若超過5元，則每超過1元，租不出的電動觀光車就增加2輛．為了便于結(jié)算，每輛電動觀光車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求出租電動觀光車一日的收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y（元）表示出租電動觀光車的日凈收入（即一日出租電動觀光車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得）．(1)求函數(shù)；(2)試問當(dāng)每輛電動觀光車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？題型三：分段函數(shù)模型例7．(2023·云南師大附中高一期中）第二十二屆世界杯足球賽將于2022年11月20日至12月18日在卡塔爾舉行，這是世界杯足球賽首次在中東國家舉行.本屆世界杯很可能是“絕代雙驕”梅西?C羅的絕唱，狂傲的青春也將被時(shí)間攬入溫柔的懷抱.即將說再見時(shí)，才發(fā)現(xiàn)，那屬于一代人的絕世風(fēng)華，不會隨年華逝去，只會在年華的飄零中不經(jīng)意的想起.世界杯，是球員們圓夢的舞臺，是球迷們情懷的歸宿，也是商人們角逐的競技場.某足球運(yùn)動裝備生產(chǎn)企業(yè)，2022年的固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)千件裝備，需另投入資金（萬元）.經(jīng)計(jì)算與市場評估得，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)生產(chǎn)10千件裝備時(shí)需另投入的資金萬元.每千件裝備的市場售價(jià)為300萬元，從市場調(diào)查來看，2022年最多能售出150千件.(1)寫出2022年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)；（利潤=銷售總額-總成本）(2)求當(dāng)2022年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？例8．(2023·江蘇省灌南高級中學(xué)高一階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)（其中x是儀器的月產(chǎn)量）．(1)將利潤y表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量x為何值時(shí)，平均每件產(chǎn)品所獲利潤最大？每件產(chǎn)品的最大利潤為多少元？例9．(2023·江蘇省灌云高級中學(xué)高一期末）我國某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識產(chǎn)權(quán)的平板電腦，并從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬元，每生產(chǎn)（千臺）電腦需要另投成本萬元，且另外每臺平板電腦售價(jià)為0.6萬元，假設(shè)每年生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺平板電腦，企業(yè)獲得年利潤為1650萬元.(1)求該企業(yè)獲得年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千臺時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤最大?并求最大年利潤.變式4．(2023·云南·高一階段練習(xí)）為了解決受新冠疫情影響，文具用品滯銷的問題，文具店老板利用某直播平臺賣貨，銷售的文具主要有圓珠筆、筆記本、文具盒、鋼筆，價(jià)格依次為2元/支、10元/本、14元/個(gè)、25元/支.為了增加銷量，老板決定對這4種文具進(jìn)行1次優(yōu)惠大促銷：優(yōu)惠活動①，提供滿50元減4元的優(yōu)惠券，優(yōu)惠券可疊加；優(yōu)惠活動②，提供買1套文具（包括1支圓珠筆、1本筆記本、1個(gè)文具盒、1支鋼筆）減x（，且）元的優(yōu)惠券，優(yōu)惠券可疊加，每位顧客只能參加其中一種優(yōu)惠活動，每位顧客在網(wǎng)上支付訂單成功后，文具店老板都會得到支付款的80%.已知甲顧客購買了1套文具，選擇優(yōu)惠活動②，并且文具店老板從甲顧客的支付款中得到了36元.(1)求x的值；(2)已知乙、丙兩位順客計(jì)劃在該文具店購買圓珠筆、筆記本、文具盒、鋼筆這4種文具，計(jì)劃購買的圓珠筆的數(shù)量多于筆記本的數(shù)量的2倍，筆記本的數(shù)量多于文具盒的數(shù)量，文具盒的數(shù)量多于鋼筆的數(shù)量，鋼筆數(shù)量的3倍多于圓珠筆的數(shù)量，當(dāng)乙、丙購買的文具總數(shù)最少時(shí)，請你給乙、丙設(shè)計(jì)1種最省錢的購買方案，并求乙、丙花費(fèi)的總費(fèi)用的最小值.題型四：分式型函數(shù)模型例10．(2023·江蘇省新海高級中學(xué)高一期中）甲乙兩地相距，汽車從甲地以的速度勻速行駛到乙地.已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為元，可變成本與速度的平方成正比，比例系數(shù)為.已知當(dāng)速度為進(jìn)行行駛時(shí)，每小時(shí)運(yùn)輸?shù)目勺兂杀镜?6元，設(shè)全程運(yùn)輸成本元.(1)求全程運(yùn)輸成本關(guān)于速度的函數(shù)關(guān)系式；(2)為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？例11．(2023·湖南·長沙一中高一階段練習(xí)）某品牌電動汽車在某路段以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛240千米．該路段限速（單位：千米/時(shí)）．充電費(fèi)為1.5元/千瓦時(shí)，電動汽車行駛時(shí)每小時(shí)耗電千瓦時(shí)，輪胎磨損費(fèi)為元/千米，道路通行費(fèi)為0.2元/千米．(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)行車速度x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值．例12．(2023·上海市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長，計(jì)劃利用學(xué)校空地建造一間室內(nèi)面積為900m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左、右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖，設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為(m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為().(1)寫出與之間的關(guān)系式，并寫出的取值范圍∶(2)若要求矩形區(qū)域總面積不少于656m2，求室內(nèi)長的取值范圍.變式5．(2023·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，寧夏政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn).為此，該地政府決定為當(dāng)?shù)啬矨企業(yè)國慶節(jié)期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼.A企業(yè)在收到政府x（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）.同時(shí)A企業(yè)生產(chǎn)t（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.注：收益=銷售金額+政府專項(xiàng)補(bǔ)貼-成本(1)求企業(yè)國慶節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補(bǔ)貼（萬元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時(shí)，A企業(yè)國慶節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大？題型五：對數(shù)函數(shù)模型例13．(2023·全國·高一單元測試）某同學(xué)對航天知識有著濃厚的興趣，通過查閱資料，他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣動阻力和地球引力等造成的影響時(shí)，火箭是目前唯一能使物體達(dá)到宇宙速度，克服或擺脫地球引力，進(jìn)入宇宙空間的運(yùn)載工具．早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導(dǎo)出火箭的最大理想速度公式：，被稱為齊奧爾科夫斯基公式，其中為噴流相對火箭的速度，和分別是火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動機(jī)熄火（推進(jìn)劑用完）時(shí)的質(zhì)量，被稱為火箭的質(zhì)量比．(1)某火箭的初始質(zhì)量為160噸，噴流相對火箭的速度為2千米/秒，發(fā)動機(jī)熄火時(shí)的火箭質(zhì)量為40噸，求該火箭的最大理想速度（保留2位有效數(shù)字）；(2)根據(jù)現(xiàn)在的科學(xué)水平，通常火箭的質(zhì)量比不超過10．如果噴流相對火箭的速度為2千米/秒，請判斷該火箭的最大理想速度能否超過第一宇宙速度7.9千米/秒，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）例14．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）學(xué)校鼓勵學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時(shí)間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評分制度，建立一個(gè)每天得分與當(dāng)天鍛煉時(shí)間（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運(yùn)動時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；（3）每天運(yùn)動時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有三個(gè)函數(shù)模型①，②，③供選擇.(1)請你從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型并說明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）例15．(2023·云南玉溪·高一期末）某集團(tuán)公司為鼓勵下屬企業(yè)創(chuàng)業(yè)，擬對年產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進(jìn)行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金（單位：萬元）隨年產(chǎn)值（單位：萬元）的增加而增加，但獎金不低于7萬元，且不超過年產(chǎn)值的.(1)若某下屬企業(yè)年產(chǎn)值100萬元，核定可得9萬元獎金.試分析函數(shù)模型（為常數(shù)）是否為符合集團(tuán)的獎勵原則，并說明原因；(2)設(shè)，若函數(shù)模型符合獎勵原則，試求的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：.變式6．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）近年來，我國在航天領(lǐng)域取得了巨大成就，得益于我國先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)．據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計(jì)算火箭的最大速度v（單位：m/s）．其中（單位m/s）是噴流相對速度，m（單位：kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，M（單位：kg）是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對速度為2000m/s．參考數(shù)據(jù)：，．(1)當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；(2)經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?，若要使火箭的最大速度增?00m/s，記此時(shí)在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的總質(zhì)比為T，求不小于T的最小整數(shù)？變式7．(2023·吉林·長春市第二中學(xué)高一期末）某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預(yù)計(jì)年利潤低于10%時(shí)，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤y（百萬元）與年投資成本x（百萬元）變化的一組數(shù)據(jù)：年份2015201620172018投資成本35917…年利潤1234…給出以下3個(gè)函數(shù)模型：①；②（，且）；③（，且）.(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系，并求出其解析式；(2)試判斷該企業(yè)年利潤不低于6百萬元時(shí)，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型.題型六：冪函數(shù)模型例16．(2023·全國·高一專題練習(xí)）自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點(diǎn)對中國游客（含港、澳、臺同胞、海外僑胞）施行門票免費(fèi)，去三峽大壩旅游的游客人數(shù)增長越來越快，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)2017年三峽大壩游客總量約為200萬人，2018年約為240萬人，2019年約為288萬人，三峽大壩的年游客人數(shù)y與年份代碼x（記2017年的年份代碼為，2018年年份代碼為，依此類推）有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適（不需計(jì)算，簡述理由即可），并求出該模型的函數(shù)解析式；(2)問大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍．（參考數(shù)據(jù)：，，，）例17．(2023·廣東珠海·高一期末）果園A占地約3000畝，擬選用果樹B進(jìn)行種植，在相同種植條件下，果樹B每畝最多可種植40棵，種植成本（萬元）與果樹數(shù)量（百棵）之間的關(guān)系如下表所示.149161(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：與哪一個(gè)更適合作為與的函數(shù)模型；(2)已知該果園的年利潤（萬元）與的關(guān)系為，則果樹數(shù)量為多少時(shí)年利潤最大？例18．(2023·全國·高一專題練習(xí)）某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示．(1)分別將，兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù)；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）？變式8．(2023·福建漳州·高一期末）2021年10月26日下午，習(xí)近平總書記參觀國家“十三五”科技成就展強(qiáng)調(diào)，堅(jiān)定創(chuàng)新自信緊抓創(chuàng)新機(jī)遇，加快實(shí)現(xiàn)高水平科技自立自強(qiáng).面向人民生命健康，重點(diǎn)展示一體化全身正電子發(fā)射磁共振成像裝備，在紅色“健康中國”四個(gè)大字襯托下，更顯科技創(chuàng)新為人民健康“保駕護(hù)航”的意義.為促進(jìn)科技創(chuàng)新，某醫(yī)學(xué)影像設(shè)備設(shè)計(jì)公司決定將在2022年對研發(fā)新產(chǎn)品團(tuán)隊(duì)進(jìn)行獎勵，獎勵方案如下：獎金（單位：萬元）隨收益（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過90萬元，同時(shí)獎金不超過收益的，預(yù)計(jì)收益.(1)分別判斷以下三個(gè)函數(shù)模型：，能否符合公司獎勵方案的要求，并說明理由；（參考數(shù)據(jù)：）(2)已知函數(shù)模型符合公司獎勵方案的要求，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型七：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題例19．(2023·浙江省衢州第三中學(xué)高一階段練習(xí)）今年的新冠肺炎疫情是21世紀(jì)以來規(guī)模最大的突發(fā)公共衛(wèi)生事件，疫情早期，武漢成為疫情重災(zāi)區(qū)，據(jù)了解，為了最大限度保障人民群眾的生命安全，現(xiàn)需要按照要求建造隔離病房和藥物倉庫.已知建造隔離病房的所有費(fèi)用（萬元）和病房與藥物倉庫的距離（千米）的關(guān)系為：.若距離為1千米時(shí)，隔離病房建造費(fèi)用為100萬元.為了方便，隔離病房與藥物倉庫之間還需修建一條道路，已知購置修路設(shè)備需5萬元，鋪設(shè)路面每公里成本為6萬元，設(shè)為建造病房與修路費(fèi)用之和.(1)求的表達(dá)式；(2)當(dāng)隔離病房與藥物倉庫距離多遠(yuǎn)時(shí)，可使得總費(fèi)用最?。坎⑶蟪鲎钚≈?例20．(2023·遼寧·沈陽市遼中區(qū)第二高級中學(xué)高一階段練習(xí)）某種商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到x元，公司擬投入萬元作為技改費(fèi)用，投入萬元作為宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià).例21．(2023·黑龍江·哈師大附中高一階段練習(xí)）前一階段，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，一些城市陸續(xù)發(fā)出“十一期間非必要不返鄉(xiāng)”的倡議．為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，某地政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在十一期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn)．為此，該地政府決定為當(dāng)?shù)仄髽I(yè)十一期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼．企業(yè)在收到政府（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）．同時(shí)企業(yè)生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額+政府專項(xiàng)補(bǔ)貼-成本(1)求企業(yè)十一期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補(bǔ)貼（萬元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時(shí)，企業(yè)十一期間加班追產(chǎn)所獲收益最大?變式9．(2023·山東省青島第五十八中學(xué)高一期中）2022年第12號強(qiáng)臺風(fēng)“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日減弱為溫帶氣旋停止編號，共歷時(shí)8天，期間4次登錄我國東部沿海。9月14日20時(shí)30分前后，在我國浙江省舟山普陀沿海首次登陸，登陸時(shí)中心附近最大風(fēng)力14級，9月16日0時(shí)左右在山東省青島市嶗山區(qū)沿海第三次登陸，臺風(fēng)過境時(shí)帶來的狂風(fēng)暴雨天氣，造成了人民生命、財(cái)產(chǎn)的巨大損失，受災(zāi)民眾不懼困難，眾志成城，積極開展抗災(zāi)、救災(zāi)，守護(hù)自己的美麗家園。某地受其影響普降暴雨，一大型堤壩發(fā)生了滲水現(xiàn)象，當(dāng)發(fā)現(xiàn)時(shí)已有的壩面滲水，經(jīng)測算，壩面每平方米發(fā)生滲水現(xiàn)象的直接經(jīng)濟(jì)損失約為300元，且滲水面積以每天的速度擴(kuò)散．當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門在發(fā)現(xiàn)的同時(shí)立即組織人員搶修滲水壩面，假定每位搶修人員平均每天可搶修滲水面積，該部門需支出服裝補(bǔ)貼費(fèi)為每人600元，勞務(wù)費(fèi)及耗材費(fèi)為每人每天300元．若安排x名人員參與搶修，需要k天完成搶修工作．(1)寫出k關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)應(yīng)安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最?。倱p失＝因滲水造成的直接損失＋部門的各項(xiàng)支出費(fèi)用）變式10．(2023·寧夏六盤山高級中學(xué)高一階段練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量件（）與貨價(jià)p元/件之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為元.(1)若該廠某日的銷貨量是30件，求該廠當(dāng)日的獲利是多少元？(2)若該廠日獲利不少于1300元，求該廠日產(chǎn)量的取值范圍.【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）在流行病學(xué)中，每名感染者平均可傳染的人數(shù)叫做基本傳染數(shù)．當(dāng)基本傳染數(shù)高于1時(shí)，每個(gè)感染者平均會感染一個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染者人數(shù)急劇增長．當(dāng)基本傳染數(shù)低于1時(shí)，疫情才可能逐漸消散．而廣泛接種疫苗是降低基本傳染數(shù)的有效途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，1個(gè)感染者平均會接觸到個(gè)新人，這人中有個(gè)人接種過疫苗（稱為接種率），那么1個(gè)感染者可傳染的新感染人數(shù)為．已知某病毒在某地的基本傳染數(shù)，為了使1個(gè)感染者可傳染的新感染人數(shù)不超過1，該地疫苗的接種率至少為（

）A． B． C． D．2．(2023·云南·高一階段練習(xí)）某農(nóng)家院有客房20間，日常每間客房日租金為100元，每天都客滿.該農(nóng)家院欲重新裝修提高檔次，并提高租金，經(jīng)市場調(diào)研，每間客房日租金每增加10元，每天客房的出租間數(shù)就會減少1，則該農(nóng)家院重新裝修后，每天客房的租金總收入最高為（

）A．2250元 B．2300元 C．2350元 D．2400元3．(2023·甘肅·天水市第一中學(xué)高一開學(xué)考試）一件工藝品的進(jìn)價(jià)為元，標(biāo)價(jià)元出售，每天可售出件，根據(jù)銷售統(tǒng)計(jì)，一件工藝品每降價(jià)元，則每天可多售出件，要使每天獲得的利潤最大，則每件需降價(jià)（

）A．元 B．元 C．元 D．元4．(2023·四川省德陽中學(xué)校高一階段練習(xí)）我們通常以分貝為單位來表示聲音大小的等級，分貝為安靜環(huán)境，超過50分貝將對人體有影響，90分貝以上的環(huán)境會嚴(yán)重影響聽力且會引起神經(jīng)衰弱等疾?。绻麖?qiáng)度為的聲音對應(yīng)的分貝數(shù)為，那么滿足：．若在地鐵中多人外放電子設(shè)備加上行車噪音，車廂內(nèi)的聲音的分貝能達(dá)到，則的聲音與的聲音強(qiáng)度之比為（

）A．40 B．100 C．40000 D．100005．(2023·全國·高一單元測試）2004年中國探月工程正式立項(xiàng)，從嫦娥一號升空，到嫦娥五號攜月壤返回，中國人一步一步將“上九天攬?jiān)隆钡纳裨捵優(yōu)楝F(xiàn)實(shí).月球距離地球約38萬千米有人說，在理想狀態(tài)下，若將一張厚度約為0.1毫米的紙對折n次，其厚度就可以超過月球距離地球的距離.那么至少對折的次數(shù)n是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．40 B．41 C．42 D．436．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，，，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．在上，隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于B．在上，隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于C．當(dāng)時(shí)，的增長速度一直快于D．當(dāng)時(shí)，7．(2023·全國·高一單元測試）春天是一個(gè)美麗、神奇，充滿希望的季節(jié)，我們每個(gè)人都應(yīng)當(dāng)保持像春天一樣朝氣蓬勃的生命力，去創(chuàng)造屬于我們自己的美好生活．隨著2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每經(jīng)過一天的生長，荷葉覆蓋水面面積都是前一天的倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，則當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉大約生長了（參考數(shù)據(jù)）（

）A．17天 B．15天 C．12天 D．10天8．(2023·貴州·遵義四中高一期末）為了鼓勵大家節(jié)約用水，遵義市實(shí)行了階梯水價(jià)制度，下表是年遵義市每戶的綜合用水單價(jià)與戶年用水量的關(guān)系表．假設(shè)居住在遵義市的艾世宗一家年共繳納的水費(fèi)為元，則艾世宗一家年共用水（

）分檔戶年用水量綜合用水單價(jià)/（元）第一階梯（含）第二階梯（含）第三階梯以上A． B． C． D．二、多選題9．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，某池塘中浮萍蔓延的面積y（單位：）與時(shí)間t（單位：月）滿足函數(shù)關(guān)系，則下列說法正確的是（

）A．B．第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會超過C．浮萍的面積從蔓延到需要經(jīng)過1.5個(gè)月D．浮萍每月增加的面積都相等10．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某校學(xué)生在研究折紙?jiān)囼?yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)對折后紙張達(dá)到一定的厚度時(shí)，便不能繼續(xù)對折了.在理想情況下，對折次數(shù)n與紙的長邊長和厚度滿足：.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（參考數(shù)值：，）（

）A．當(dāng)對折4次時(shí)，的最小值為64B．當(dāng)對折4次時(shí)，的最小值為32C．一張長邊長為，厚度為的矩形紙最多能對折6次D．一張長邊長為，厚度為的矩形紙最多能對折8次11．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某打車平臺欲對收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改革，現(xiàn)制訂了甲、乙兩種方案供乘客選擇，其支付費(fèi)用y（單位：元）與打車?yán)锍蘹（單位：km）的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，則（

）A．當(dāng)打車?yán)锍虨?km時(shí)，乘客選擇甲方案更省錢B．當(dāng)打車?yán)锍虨?0km時(shí)，乘客選擇甲、乙方案均可C．打車?yán)锍淘?km以上時(shí)，每千米增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多D．甲方案3km內(nèi)（含3km）付費(fèi)5元，打車?yán)锍檀笥?km時(shí)每增加1km費(fèi)用增加0.7元三、填空題12．(2023·江蘇·贛榆智賢中學(xué)高一階段練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量件（單位：件）（∈N*）與貨價(jià)p（單位：元/件）之間的關(guān)系為p＝160－2，生產(chǎn)x件所需成本C＝100＋30（單位：元），當(dāng)工廠日獲利不少于1000元時(shí)，該廠日產(chǎn)量最少生產(chǎn)風(fēng)衣的件數(shù)是___________13．(2023·全國·高一單元測試）某校食堂需定期購買大米．已知該食堂每天需用大米0.6t，每噸大米的價(jià)格為6000元，大米的保管費(fèi)用z（單位：元）與購買天數(shù)x（單位：天）的關(guān)系為（），每次購買大米需支付其他固定費(fèi)用900元．若要使食堂平均每天所支付的總費(fèi)用最少，則食堂應(yīng)______天購買一次大米．14．(2023·全國·高一單元測試）美國對中國芯片的技術(shù)封鎖激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮．某公司研發(fā)的，兩種芯片都已經(jīng)獲得成功．該公司研發(fā)芯片已經(jīng)耗費(fèi)資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進(jìn)行生產(chǎn)．經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）成正比，已知投入1千萬元，公司獲得毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)芯片的毛收入（千萬元）與投入的資金（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為，其圖象如圖所示．現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入40千萬元資金同時(shí)生產(chǎn)，兩種芯片，則可以獲得的最大利潤是______千萬元．（毛收入＝營業(yè)收入－營業(yè)成本）四、解答題15．(2023·四川·成都市新都香城中學(xué)高一階段練習(xí)）某企業(yè)研發(fā)的一條生產(chǎn)線生產(chǎn)某種產(chǎn)品，據(jù)測算，其生產(chǎn)的總成本（萬元）與月產(chǎn)量（噸）之間的關(guān)系式為：，已知此生產(chǎn)線月產(chǎn)量最大為20噸．(1)求月產(chǎn)量為多少噸時(shí)，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求出這個(gè)最低成本；(2)經(jīng)過評估，企業(yè)定價(jià)每噸產(chǎn)品的出廠價(jià)為32萬元，且最大利潤不超過200萬元，由該生產(chǎn)線月產(chǎn)量的最大值應(yīng)為多少？16．(2023·浙江寧波·高一期中）因新冠肺炎疫情影響，呼吸機(jī)成為緊缺商品，某呼吸機(jī)生產(chǎn)企業(yè)為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入成本500萬元安裝了一臺新設(shè)備，并立即進(jìn)行生產(chǎn)，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備前年的材料費(fèi)、維修費(fèi)、人工工資等成本共為萬元，每年的銷售收入為260萬元，設(shè)使用該設(shè)備前n年的總盈利額為萬元．(1)寫出關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開始盈利？（利潤=銷售收入-總成本）(2)問使用到第幾年末，年平均利潤最大，最大值為多少？17．(2023·北京·牛欄山一中高一期中）某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均時(shí)間，某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當(dāng)中的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為（單位：分鐘），.而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響，恒為40分鐘，試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：(1)當(dāng)時(shí)，求該地上班族的人均通勤時(shí)間；(2)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？(3)求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式；討論的單調(diào)性，并說明其實(shí)際意義.18．(2023·江蘇·常州高級中學(xué)高一階段練習(xí)）近年來，某企業(yè)每年消耗電費(fèi)24萬元，為了節(jié)能減排，決定安裝一個(gè)可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入企業(yè)內(nèi)電網(wǎng)，安裝這種供電設(shè)備的費(fèi)用（單位：萬元）與太陽能電池板的面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.5，為了保證正常用電，安裝后采用太陽能和電能互補(bǔ)供電的模式，假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)每年消耗的電費(fèi)C（單位：萬元）與安裝的這種太陽能電池板的面積x（單位：平方米）之間的函數(shù)關(guān)系是（，k為常數(shù)）.記F（單位：萬元）為該企業(yè)安裝這種太陽能供電設(shè)備的費(fèi)用與安裝后該企業(yè)15年內(nèi)共消耗的電費(fèi)之和.(1)求k的值，并建立F關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x何值時(shí)，F(xiàn)取得最小值？最小值是多少萬元？19．(2023·河南南陽·高一期中）為了激勵銷售人員的積極性，某企業(yè)根據(jù)業(yè)務(wù)員的銷售額發(fā)放獎金（獎金和銷售額的單位都為十萬元），獎金發(fā)放方案要求同時(shí)具備下列兩個(gè)條件：①獎金隨銷售額的增加而增加；②獎金金額不低于銷售額的5%.經(jīng)測算該企業(yè)決定采用函數(shù)模型作為獎金發(fā)放方案.(1)若，，此獎金發(fā)放方案是否滿足條件？并說明理由.(2)若，要使獎金發(fā)放方案滿足條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.微專題18函數(shù)的應(yīng)用【方法技巧與總結(jié)】知識點(diǎn)一、幾種常見的函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型：（，為常數(shù)，）2、二次函數(shù)模型：（為常數(shù)，）3、指數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）4、對數(shù)函數(shù)模型：（為常數(shù)，，且）5、冪函數(shù)模型：（為常數(shù)，）6、分段函數(shù)模型：知識點(diǎn)二、解答應(yīng)用問題的基本思想和步驟1、解應(yīng)用題的基本思想2、解答函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟求解函數(shù)應(yīng)用題時(shí)一般按以下幾步進(jìn)行：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇模型．第二步：建模在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，將問題的非數(shù)學(xué)語言合理轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)模型．這時(shí)，要注意函數(shù)的定義域應(yīng)符合實(shí)際問題的要求．第三步：求模運(yùn)用數(shù)學(xué)方法及函數(shù)知識進(jìn)行推理、運(yùn)算，求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)果．第四步：還原把數(shù)學(xué)結(jié)果轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問題作出解答，對于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗(yàn)、評判，使其符合實(shí)際背景．上述四步可概括為以下流程：實(shí)際問題（文字語言）數(shù)學(xué)問題（數(shù)量關(guān)系與函數(shù)模型）建模（數(shù)學(xué)語言）求模（求解數(shù)學(xué)問題）反饋（還原成實(shí)際問題的解答）．【題型歸納目錄】題型一：幾類不同增長的函數(shù)模型題型二：二次函數(shù)模型題型三：分段函數(shù)模型題型四：分式型函數(shù)模型題型五：對數(shù)函數(shù)模型題型六：冪函數(shù)模型題型七：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題【典型例題】題型一：幾類不同增長的函數(shù)模型例1．(2023·陜西·榆林市第十中學(xué)高一期中）某地西紅柿從2月1日起開始上市.通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本單位：元與上市時(shí)間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間50120150種植成本26005002600由表知，體現(xiàn)與數(shù)據(jù)關(guān)系的最佳函數(shù)模型是（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由提供的數(shù)據(jù)知，描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系函數(shù)不可能是常數(shù)函數(shù)，也不是單調(diào)函數(shù)；而A，C，D對應(yīng)的函數(shù)，在時(shí)，均為單調(diào)函數(shù)，這與表格提供的數(shù)據(jù)不吻合，所以，選取B，故選：B．例2．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知三個(gè)變量，，隨變量的變化數(shù)據(jù)如下表：12468…241664256…14163664…0122.5853…則反映，，隨x變化情況擬合較好的一組函數(shù)模型是（）A．，， B．，，C．，， D．，，答案：B【解析】從題表可以看出，三個(gè)變量，，都隨x的增大而增大，但是增長速度不同，其中變量的增長呈指數(shù)函數(shù)型變化，變量的增長呈冪函數(shù)型變化，變量的增長呈對數(shù)函數(shù)型變化．此外，也可以使用第五組數(shù)據(jù)代入檢驗(yàn)得到答案.故選：B.例3．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)中，當(dāng)很大時(shí)，隨的增大而增大速度最快的是（）A． B． C． D．答案：A【解析】由題意，當(dāng)很大時(shí)，指數(shù)函數(shù)增長速度大于一次函數(shù)的增長速度，一次函數(shù)的增長速度大于對數(shù)函數(shù)的增長速度，又，所以當(dāng)很大時(shí)，隨的增大而增大速度最快的是.故選：A變式1．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下面對函數(shù)，與在區(qū)間上的衰減情況的敘述正確的是（

）A．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢B．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變快C．的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢，的衰減速度逐漸變慢D．的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快，的衰減速度逐漸變快答案：C【解析】由函數(shù)，與在區(qū)間上的圖象以及性質(zhì)知函數(shù)，，的衰減速度均逐漸變慢，故選:C．變式2．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中，采集到如下一組數(shù)據(jù)：－2－101230.240.5112.023.988.02則，的函數(shù)關(guān)系與下列各類函數(shù)最接近的是（其中，為待定系數(shù)）（

）A． B． C． D．答案：B【解析】根據(jù)題表中的數(shù)據(jù)描點(diǎn)如圖所示．∵對應(yīng)數(shù)據(jù)顯示該函數(shù)是增函數(shù)，且增幅越來越快，∴A不成立；∵C是偶函數(shù)，∴的函數(shù)值應(yīng)該相等，∴C不成立；∵時(shí)，無意義，∴D不成立；對于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)驗(yàn)證它與各數(shù)據(jù)比較接近.故選：B.題型二：二次函數(shù)模型例4．(2023·上海市莘莊中學(xué)高一階段練習(xí)）行駛中的汽車，在剎車時(shí)由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離，在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離與汽車的車速滿足下列關(guān)系：（為常數(shù)，且），做了兩次剎車試驗(yàn)，有關(guān)試驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖所示，其中．(1)求的值；(2)要使剎車距離不超過，則行駛的最大速度是多少？【解析】（1）觀察圖象知，，而，即，解得，因，于是得，所以的值為6.（2）由（1）知，，當(dāng)時(shí)，，整理得：，解得，顯然，因此，即，所以行駛的最大速度是.例5．(2023·浙江省永嘉縣碧蓮中學(xué)高一期中）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需要增加投入100元，已知總收益（單位：元）函數(shù)為，其中是儀器的產(chǎn)量（單位：臺）(1)將利潤（單位：元）表示為產(chǎn)量的函數(shù)（利潤＝總收益－總成本）；(2)當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤最大？最大利潤是多少？【解析】（1）依題意，總成本為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，其中；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，.答：當(dāng)產(chǎn)量為300臺時(shí)，公司獲利潤最大，最大利潤為25000元.例6．(2023·江蘇·常熟中學(xué)高一階段練習(xí)）某景區(qū)要建一個(gè)游樂場（如圖所示），其中、分別靠現(xiàn)有墻、（墻長為27米，墻足夠長），其余用籬笆圍成．籬笆將游樂場隔成等腰直角和長方形兩部分，并在三處各留2米寬的大門，已知籬笆總長為54米，設(shè)長為米，面積為平方米．(1)求與的函數(shù)關(guān)系式及的取值范圍；(2)當(dāng)多長時(shí)，游樂場的面積為320平方米？【解析】（1），因?yàn)殚L為米，所以米，因?yàn)榛h笆總長為54米，三處各留2米寬的大門,所以米，由長為27米，墻足夠長，可知，解得：，所以長方形的面積為，所以，；（2）令平方米，即，解得：或8，因?yàn)?，所以，所以?dāng)長為16米時(shí)，游樂場的面積為320平方米.變式3．(2023·廣東汕頭·高一期末）為節(jié)約能源，倡導(dǎo)綠色環(huán)保，某主題公園有60輛電動觀光車供租賃使用，管理這些電動觀光車的費(fèi)用是每日120元.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，若每輛電動觀光車的日租金不超過5元，則電動觀光車可以全部租出；若超過5元，則每超過1元，租不出的電動觀光車就增加2輛．為了便于結(jié)算，每輛電動觀光車的日租金x（元）只取整數(shù)，并且要求出租電動觀光車一日的收入必須高于這一日的管理費(fèi)用，用y（元）表示出租電動觀光車的日凈收入（即一日出租電動觀光車的總收入減去管理費(fèi)用后的所得）．(1)求函數(shù)；(2)試問當(dāng)每輛電動觀光車的日租金為多少元時(shí)，才能使一日的凈收入最多？【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，令，解得，，，，，當(dāng)時(shí)，，令，其整數(shù)解為：，，所以，，所以（2）對于，顯然當(dāng)時(shí)，元，對于，因?yàn)?，所以?dāng)或時(shí)，元，，當(dāng)每輛電動觀光車的日租金定在17或18元時(shí)，才能使一日的凈收入最多.題型三：分段函數(shù)模型例7．(2023·云南師大附中高一期中）第二十二屆世界杯足球賽將于2022年11月20日至12月18日在卡塔爾舉行，這是世界杯足球賽首次在中東國家舉行.本屆世界杯很可能是“絕代雙驕”梅西?C羅的絕唱，狂傲的青春也將被時(shí)間攬入溫柔的懷抱.即將說再見時(shí)，才發(fā)現(xiàn)，那屬于一代人的絕世風(fēng)華，不會隨年華逝去，只會在年華的飄零中不經(jīng)意的想起.世界杯，是球員們圓夢的舞臺，是球迷們情懷的歸宿，也是商人們角逐的競技場.某足球運(yùn)動裝備生產(chǎn)企業(yè)，2022年的固定成本為1000萬元，每生產(chǎn)千件裝備，需另投入資金（萬元）.經(jīng)計(jì)算與市場評估得，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)生產(chǎn)10千件裝備時(shí)需另投入的資金萬元.每千件裝備的市場售價(jià)為300萬元，從市場調(diào)查來看，2022年最多能售出150千件.(1)寫出2022年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)；（利潤=銷售總額-總成本）(2)求當(dāng)2022年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)所獲得的利潤最大？最大利潤是多少？【解析】（1）由題意知，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1500；當(dāng)時(shí)，由基本不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為1550；因?yàn)?，所以?dāng)年產(chǎn)量為100千件時(shí)，該企業(yè)的年利潤最大，最大年利潤為1550萬元.例8．(2023·江蘇省灌南高級中學(xué)高一階段練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)（其中x是儀器的月產(chǎn)量）．(1)將利潤y表示為月產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量x為何值時(shí)，平均每件產(chǎn)品所獲利潤最大？每件產(chǎn)品的最大利潤為多少元？【解析】（1）設(shè)每月產(chǎn)量為x臺，則總成本為，從而，（2）設(shè)平均每件產(chǎn)品的月利潤為，則，當(dāng)時(shí)，設(shè)任意的，則，顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值為200元；當(dāng)時(shí)，，∵，所以當(dāng)時(shí)，平均每件產(chǎn)品所獲利潤最大為200元．例9．(2023·江蘇省灌云高級中學(xué)高一期末）我國某企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識產(chǎn)權(quán)的平板電腦，并從2021年起全面發(fā)售.經(jīng)測算，生產(chǎn)該平板電腦每年需投入固定成本1350萬元，每生產(chǎn)（千臺）電腦需要另投成本萬元，且另外每臺平板電腦售價(jià)為0.6萬元，假設(shè)每年生產(chǎn)的平板電腦能夠全部售出.已知2021年共售出10000臺平板電腦，企業(yè)獲得年利潤為1650萬元.(1)求該企業(yè)獲得年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千臺時(shí)，該企業(yè)所獲年利潤最大?并求最大年利潤.【解析】（1）10000臺=10千臺,則，根據(jù)題意得：，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述.（2）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最大值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋十?dāng)年產(chǎn)量為100千臺時(shí),該企業(yè)所獲年利潤最大,最大年利潤為5900萬元.變式4．(2023·云南·高一階段練習(xí)）為了解決受新冠疫情影響，文具用品滯銷的問題，文具店老板利用某直播平臺賣貨，銷售的文具主要有圓珠筆、筆記本、文具盒、鋼筆，價(jià)格依次為2元/支、10元/本、14元/個(gè)、25元/支.為了增加銷量，老板決定對這4種文具進(jìn)行1次優(yōu)惠大促銷：優(yōu)惠活動①，提供滿50元減4元的優(yōu)惠券，優(yōu)惠券可疊加；優(yōu)惠活動②，提供買1套文具（包括1支圓珠筆、1本筆記本、1個(gè)文具盒、1支鋼筆）減x（，且）元的優(yōu)惠券，優(yōu)惠券可疊加，每位顧客只能參加其中一種優(yōu)惠活動，每位顧客在網(wǎng)上支付訂單成功后，文具店老板都會得到支付款的80%.已知甲顧客購買了1套文具，選擇優(yōu)惠活動②，并且文具店老板從甲顧客的支付款中得到了36元.(1)求x的值；(2)已知乙、丙兩位順客計(jì)劃在該文具店購買圓珠筆、筆記本、文具盒、鋼筆這4種文具，計(jì)劃購買的圓珠筆的數(shù)量多于筆記本的數(shù)量的2倍，筆記本的數(shù)量多于文具盒的數(shù)量，文具盒的數(shù)量多于鋼筆的數(shù)量，鋼筆數(shù)量的3倍多于圓珠筆的數(shù)量，當(dāng)乙、丙購買的文具總數(shù)最少時(shí)，請你給乙、丙設(shè)計(jì)1種最省錢的購買方案，并求乙、丙花費(fèi)的總費(fèi)用的最小值.【解析】（1）由題意得，解得.（2）設(shè)購買圓珠筆，筆記本，文具盒，鋼筆的數(shù)量分別為a，b，c，d，且.由題意得，得，得，所以，，.當(dāng)乙、丙購買的文具總數(shù)最少時(shí)，，，，.未選擇優(yōu)惠活動之前，文具總價(jià)格為元.方案1：乙、丙一起購買，選擇優(yōu)惠活動①，可以優(yōu)惠元.方案2，乙，丙一起購買，選擇優(yōu)惠活動②，可以優(yōu)惠元.方案3：乙、丙分開購買，因?yàn)閮?yōu)惠活動②的優(yōu)惠力度更大，所以安排1人先購買6套文具，選擇優(yōu)惠活動②，另一個(gè)人購買11支圓珠筆、2本筆記本、1個(gè)文具盒，選擇優(yōu)惠活動①.因?yàn)椋钥梢詢?yōu)惠元，此時(shí)乙、丙花費(fèi)的總費(fèi)用最小，最小值為元.故方案3最省錢，乙、丙花費(fèi)的總費(fèi)用的最小值為322元.題型四：分式型函數(shù)模型例10．(2023·江蘇省新海高級中學(xué)高一期中）甲乙兩地相距，汽車從甲地以的速度勻速行駛到乙地.已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本由固定成本和可變成本組成，固定成本為元，可變成本與速度的平方成正比，比例系數(shù)為.已知當(dāng)速度為進(jìn)行行駛時(shí)，每小時(shí)運(yùn)輸?shù)目勺兂杀镜?6元，設(shè)全程運(yùn)輸成本元.(1)求全程運(yùn)輸成本關(guān)于速度的函數(shù)關(guān)系式；(2)為使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？【解析】（1）由題意可設(shè)每小時(shí)運(yùn)輸?shù)目勺兂杀緸?，因?yàn)楫?dāng)速度為進(jìn)行行駛時(shí)，每小時(shí)運(yùn)輸?shù)目勺兂杀镜?6元，所以有，即，因此；（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，即當(dāng)時(shí)取等號，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，應(yīng)以速度為速度行駛，所以為使全程運(yùn)輸成本最小，當(dāng)時(shí)，汽車應(yīng)以的速度行駛，當(dāng)時(shí)，應(yīng)以速度為速度行駛.例11．(2023·湖南·長沙一中高一階段練習(xí)）某品牌電動汽車在某路段以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛240千米．該路段限速（單位：千米/時(shí)）．充電費(fèi)為1.5元/千瓦時(shí)，電動汽車行駛時(shí)每小時(shí)耗電千瓦時(shí)，輪胎磨損費(fèi)為元/千米，道路通行費(fèi)為0.2元/千米．(1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式；(2)當(dāng)行車速度x為何值時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，并求出最低費(fèi)用的值．【解析】（1）．（2）因?yàn)?，．所以，所以行車費(fèi)最低為（）元．當(dāng)，即，時(shí)取得．答：行車速度為千米/時(shí)，這次行車的總費(fèi)用最低，最低費(fèi)用為（）元．例12．(2023·上海市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）某學(xué)校為了支持生物課程基地研究植物生長，計(jì)劃利用學(xué)?？盏亟ㄔ煲婚g室內(nèi)面積為900m2的矩形溫室，在溫室內(nèi)劃出三塊全等的矩形區(qū)域，分別種植三種植物，相鄰矩形區(qū)域之間間隔1m，三塊矩形區(qū)域的前、后與內(nèi)墻各保留1m寬的通道，左、右兩塊矩形區(qū)域分別與相鄰的左、右內(nèi)墻保留3m寬的通道，如圖，設(shè)矩形溫室的室內(nèi)長為(m)，三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為().(1)寫出與之間的關(guān)系式，并寫出的取值范圍∶(2)若要求矩形區(qū)域總面積不少于656m2，求室內(nèi)長的取值范圍.【解析】（1）根據(jù)題意，溫室的室內(nèi)長為，則寬為，所以三塊種植植物的矩形區(qū)域的總面積為：，由，可得；（2）由，可得，解得，即室內(nèi)長的取值范圍為(單位m).變式5．(2023·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，寧夏政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn).為此，該地政府決定為當(dāng)?shù)啬矨企業(yè)國慶節(jié)期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼.A企業(yè)在收到政府x（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）.同時(shí)A企業(yè)生產(chǎn)t（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出.注：收益=銷售金額+政府專項(xiàng)補(bǔ)貼-成本(1)求企業(yè)國慶節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補(bǔ)貼（萬元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時(shí)，A企業(yè)國慶節(jié)期間加班追產(chǎn)所獲收益最大？【解析】（1）由題意，銷售金額：（萬元），政府專項(xiàng)補(bǔ)貼：（萬元），成本：（萬元）.所以收益，.（2）由（1）可知，.其中，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，所以當(dāng)時(shí)，企業(yè)國慶期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為萬元，即當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為萬元時(shí)，企業(yè)國慶期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為萬元.題型五：對數(shù)函數(shù)模型例13．(2023·全國·高一單元測試）某同學(xué)對航天知識有著濃厚的興趣，通過查閱資料，他發(fā)現(xiàn)在不考慮氣動阻力和地球引力等造成的影響時(shí)，火箭是目前唯一能使物體達(dá)到宇宙速度，克服或擺脫地球引力，進(jìn)入宇宙空間的運(yùn)載工具．早在1903年齊奧爾科夫斯基就推導(dǎo)出火箭的最大理想速度公式：，被稱為齊奧爾科夫斯基公式，其中為噴流相對火箭的速度，和分別是火箭的初始質(zhì)量和發(fā)動機(jī)熄火（推進(jìn)劑用完）時(shí)的質(zhì)量，被稱為火箭的質(zhì)量比．(1)某火箭的初始質(zhì)量為160噸，噴流相對火箭的速度為2千米/秒，發(fā)動機(jī)熄火時(shí)的火箭質(zhì)量為40噸，求該火箭的最大理想速度（保留2位有效數(shù)字）；(2)根據(jù)現(xiàn)在的科學(xué)水平，通?；鸺馁|(zhì)量比不超過10．如果噴流相對火箭的速度為2千米/秒，請判斷該火箭的最大理想速度能否超過第一宇宙速度7.9千米/秒，并說明理由．（參考數(shù)據(jù)：）【解析】（1）由題意，，，，∴，∴該火箭的最大理想速度為2.8千米/秒．（2）∵，，∴．∵，∴，即．∴該火箭的最大理想速度不能超過第一宇宙速度7.9千米/秒．例14．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）學(xué)校鼓勵學(xué)生課余時(shí)間積極參加體育鍛煉，每天能用于鍛煉的課余時(shí)間有90分鐘，現(xiàn)需要制定一個(gè)課余鍛煉考核評分制度，建立一個(gè)每天得分與當(dāng)天鍛煉時(shí)間（單位：分）的函數(shù)關(guān)系，要求及圖示如下：（1）函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)；（2）每天運(yùn)動時(shí)間為0分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為0分；（3）每天運(yùn)動時(shí)間為30分鐘時(shí)，當(dāng)天得分為3分；（4）每天最多得分不超過6分.現(xiàn)有三個(gè)函數(shù)模型①，②，③供選擇.(1)請你從中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型并說明理由，再根據(jù)所給信息求出函數(shù)的解析式；(2)求每天得分不少于4.5分，至少需要鍛煉多少分鐘.（注：，結(jié)果保留整數(shù)）【解析】（1）第一步：分析題中每個(gè)模型的特點(diǎn)對于模型一，當(dāng)時(shí)，勻速增長；對于模型二，當(dāng)時(shí)，先慢后快增長；對于模型三，當(dāng)時(shí)，先快后慢增長.第二步：根據(jù)題中材料和題圖選擇合適的函數(shù)模型從題圖看應(yīng)選擇先快后慢增長的函數(shù)模型，故選.第三步：把題圖中的兩點(diǎn)代入選好的模型中，得到函數(shù)解析式將（0，0），（30，3）代入解析式得到，即，解得，即.第四步：驗(yàn)證模型是否合適當(dāng)時(shí)，，滿足每天得分最高不超過6分的條件.所以函數(shù)的解析式為.（2）由，得，得，得，所以每天得分不少于4.5分，至少需要運(yùn)動55分鐘.例15．(2023·云南玉溪·高一期末）某集團(tuán)公司為鼓勵下屬企業(yè)創(chuàng)業(yè)，擬對年產(chǎn)值在50萬元到500萬元的新增小微企業(yè)進(jìn)行獎勵，獎勵方案遵循以下原則：獎金（單位：萬元）隨年產(chǎn)值（單位：萬元）的增加而增加，但獎金不低于7萬元，且不超過年產(chǎn)值的.(1)若某下屬企業(yè)年產(chǎn)值100萬元，核定可得9萬元獎金.試分析函數(shù)模型（為常數(shù)）是否為符合集團(tuán)的獎勵原則，并說明原因；(2)設(shè)，若函數(shù)模型符合獎勵原則，試求的取值范圍.參考數(shù)據(jù)：.【解析】(1)對于函數(shù)模型（為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，，代入模型解得，所以，獎勵原則為：①在區(qū)間上遞增；②恒成立，當(dāng)時(shí)，模型是增函數(shù)，符合獎勵原則①；當(dāng)時(shí)，；，所以，模型不符合獎勵原則②，故該函數(shù)模型不符合獎勵原則.(2)對于函數(shù)模型，可得，因?yàn)椋屎瘮?shù)在遞增，則在遞增，符合獎勵原則①；由獎勵原則②得，即，解得；又由獎勵原則②得，即在恒成立，即，，設(shè)，則拋物線開口向下，對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，，由得，綜上，.所以的取值范圍是.變式6．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）近年來，我國在航天領(lǐng)域取得了巨大成就，得益于我國先進(jìn)的運(yùn)載火箭技術(shù)．據(jù)了解，在不考慮空氣阻力和地球引力的理想狀態(tài)下，可以用公式計(jì)算火箭的最大速度v（單位：m/s）．其中（單位m/s）是噴流相對速度，m（單位：kg）是火箭（除推進(jìn)劑外）的質(zhì)量，M（單位：kg）是推進(jìn)劑與火箭質(zhì)量的總和，稱為“總質(zhì)比”，已知A型火箭的噴流相對速度為2000m/s．參考數(shù)據(jù)：，．(1)當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，利用給出的參考數(shù)據(jù)求A型火箭的最大速度；(2)經(jīng)過材料更新和技術(shù)改進(jìn)后，A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，總質(zhì)比變?yōu)樵瓉淼?，若要使火箭的最大速度增?00m/s，記此時(shí)在材料更新和技術(shù)改進(jìn)前的總質(zhì)比為T，求不小于T的最小整數(shù)？【解析】(1)當(dāng)總質(zhì)比為230時(shí)，，即A型火箭的最大速度為.(2)A型火箭的噴流相對速度提高到了原來的1.5倍，所以A型火箭的噴流相對速度為，總質(zhì)比為，由題意得：因?yàn)椋?，即，所以不小于T的最小整數(shù)為45．變式7．(2023·吉林·長春市第二中學(xué)高一期末）某新型企業(yè)為獲得更大利潤，須不斷加大投資，若預(yù)計(jì)年利潤低于10%時(shí)，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤y（百萬元）與年投資成本x（百萬元）變化的一組數(shù)據(jù)：年份2015201620172018投資成本35917…年利潤1234…給出以下3個(gè)函數(shù)模型：①；②（，且）；③（，且）.(1)選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系，并求出其解析式；(2)試判斷該企業(yè)年利潤不低于6百萬元時(shí)，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型.【解析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，年利潤是隨著投資成本的遞增而遞增，而①是單調(diào)遞減，所以不符合題意；將，代入（，且），得，解得，∴.當(dāng)時(shí)，，不符合題意；將，代入（，且），得，解得，∴.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故可用③來描述x，y之間的關(guān)系.（2）由題知，解得.∵年利潤，∴該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型.題型六：冪函數(shù)模型例16．(2023·全國·高一專題練習(xí)）自2014年9月25日起，三峽大壩旅游景點(diǎn)對中國游客（含港、澳、臺同胞、海外僑胞）施行門票免費(fèi)，去三峽大壩旅游的游客人數(shù)增長越來越快，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)2017年三峽大壩游客總量約為200萬人，2018年約為240萬人，2019年約為288萬人，三峽大壩的年游客人數(shù)y與年份代碼x（記2017年的年份代碼為，2018年年份代碼為，依此類推）有兩個(gè)函數(shù)模型與可供選擇．(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適（不需計(jì)算，簡述理由即可），并求出該模型的函數(shù)解析式；(2)問大約在哪一年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)中，隨的增長而增長的速度越來越快，而函數(shù)，隨的增長而增長的速度越來越慢，故由題意應(yīng)選；則有，解得，∴；（2）設(shè)經(jīng)過年，三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍，則，即，∴，∴，故大約在2022年三峽大壩旅客年游覽人數(shù)約是2018年的2倍．例17．(2023·廣東珠海·高一期末）果園A占地約3000畝，擬選用果樹B進(jìn)行種植，在相同種植條件下，果樹B每畝最多可種植40棵，種植成本（萬元）與果樹數(shù)量（百棵）之間的關(guān)系如下表所示.149161(1)根據(jù)以上表格中的數(shù)據(jù)判斷：與哪一個(gè)更適合作為與的函數(shù)模型；(2)已知該果園的年利潤（萬元）與的關(guān)系為，則果樹數(shù)量為多少時(shí)年利潤最大？【解析】(1)①若選擇作為與的函數(shù)模型，將的坐標(biāo)分別帶入，得解得此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，與表格中的和相差較大，所以不適合作為與的函數(shù)模型.②若選擇作為與的函數(shù)模型，將的坐標(biāo)分別帶入，得解得此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，剛好與表格中的和相符合，所以更適合作為與的函數(shù)模型.(2)由題可知，該果園最多120000棵該呂種果樹，所以確定的取值范圍為，令，則經(jīng)計(jì)算，當(dāng)時(shí)，取最大值（萬元），即，時(shí)（每畝約38棵），利潤最大.例18．(2023·全國·高一專題練習(xí)）某企業(yè)生產(chǎn)，兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查和預(yù)測，產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）成正比，其關(guān)系如圖（1）所示；產(chǎn)品的利潤（萬元）與投資額（萬元）的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖（2）所示．(1)分別將，兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資額的函數(shù)；(2)該企業(yè)已籌集到10萬元資金，并全部投入，兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問：怎樣分配這10萬元投資，才能使企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元（精確到1萬元）？【解析】（1）設(shè)投資額為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，產(chǎn)品的利潤為萬元，由題設(shè)，，由圖可知（1），所以，又（4），所以，所以，；（2）設(shè)產(chǎn)品投入萬元，則產(chǎn)品投入萬元，設(shè)企業(yè)的利潤為萬元，，，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以當(dāng)產(chǎn)品投入3.75萬元，產(chǎn)品投入6.25萬元，企業(yè)獲得最大利潤為萬元，即4.0625萬元．變式8．(2023·福建漳州·高一期末）2021年10月26日下午，習(xí)近平總書記參觀國家“十三五”科技成就展強(qiáng)調(diào)，堅(jiān)定創(chuàng)新自信緊抓創(chuàng)新機(jī)遇，加快實(shí)現(xiàn)高水平科技自立自強(qiáng).面向人民生命健康，重點(diǎn)展示一體化全身正電子發(fā)射磁共振成像裝備，在紅色“健康中國”四個(gè)大字襯托下，更顯科技創(chuàng)新為人民健康“保駕護(hù)航”的意義.為促進(jìn)科技創(chuàng)新，某醫(yī)學(xué)影像設(shè)備設(shè)計(jì)公司決定將在2022年對研發(fā)新產(chǎn)品團(tuán)隊(duì)進(jìn)行獎勵，獎勵方案如下：獎金（單位：萬元）隨收益（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過90萬元，同時(shí)獎金不超過收益的，預(yù)計(jì)收益.(1)分別判斷以下三個(gè)函數(shù)模型：，能否符合公司獎勵方案的要求，并說明理由；（參考數(shù)據(jù)：）(2)已知函數(shù)模型符合公司獎勵方案的要求，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)模型，滿足獎金隨收益增加而增加，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即獎金超過90萬，不滿足要求；函數(shù)模型，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)獎金超過收益的，不滿足要求；函數(shù)模型，滿足獎金隨收益增加而增加，當(dāng)時(shí)，，滿足獎金不超過90萬元，又時(shí)，，滿足獎金不超過收益的，函數(shù)模型能符合公司的要求.(2)函數(shù)模型，因?yàn)楠劷痣S收益增加而增加，所以，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，恒成立，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.題型七：利用給定函數(shù)模型解決實(shí)際問題例19．(2023·浙江省衢州第三中學(xué)高一階段練習(xí)）今年的新冠肺炎疫情是21世紀(jì)以來規(guī)模最大的突發(fā)公共衛(wèi)生事件，疫情早期，武漢成為疫情重災(zāi)區(qū)，據(jù)了解，為了最大限度保障人民群眾的生命安全，現(xiàn)需要按照要求建造隔離病房和藥物倉庫.已知建造隔離病房的所有費(fèi)用（萬元）和病房與藥物倉庫的距離（千米）的關(guān)系為：.若距離為1千米時(shí)，隔離病房建造費(fèi)用為100萬元.為了方便，隔離病房與藥物倉庫之間還需修建一條道路，已知購置修路設(shè)備需5萬元，鋪設(shè)路面每公里成本為6萬元，設(shè)為建造病房與修路費(fèi)用之和.(1)求的表達(dá)式；(2)當(dāng)隔離病房與藥物倉庫距離多遠(yuǎn)時(shí)，可使得總費(fèi)用最小？并求出最小值.【解析】（1）由題意知，距離為1km時(shí)，隔離病房建造費(fèi)用為100萬元，所以，得，所以；（2）由(1)知，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號成立，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取到最小值75萬元，所以隔離病房與藥物倉庫距離5km時(shí)，可使得總費(fèi)用最小，最小值為75萬元.例20．(2023·遼寧·沈陽市遼中區(qū)第二高級中學(xué)高一階段練習(xí)）某種商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件.(1)據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到x元，公司擬投入萬元作為技改費(fèi)用，投入萬元作為宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià).【解析】（1）設(shè)每件定價(jià)為t元，依題意，有，整理得，解得因此要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元.（2）依題意，時(shí)，不等式能成立，等價(jià)于時(shí)，有解.∵時(shí)，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立），∴.因此當(dāng)該商品明年的銷售量a至少應(yīng)達(dá)到12.2萬件時(shí)，才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的定價(jià)為每件30元.例21．(2023·黑龍江·哈師大附中高一階段練習(xí)）前一階段，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，一些城市陸續(xù)發(fā)出“十一期間非必要不返鄉(xiāng)”的倡議．為最大程度減少人員流動，減少疫情發(fā)生的可能性，某地政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在十一期間留住員工在本市過節(jié)并加班追產(chǎn)．為此，該地政府決定為當(dāng)?shù)仄髽I(yè)十一期間加班追產(chǎn)提供（萬元）的專項(xiàng)補(bǔ)貼．企業(yè)在收到政府（萬元）補(bǔ)貼后，產(chǎn)量將增加到（萬件）．同時(shí)企業(yè)生產(chǎn)（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為（萬元），并以每件元的價(jià)格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額+政府專項(xiàng)補(bǔ)貼-成本(1)求企業(yè)十一期間加班追產(chǎn)所獲收益（萬元）關(guān)于政府補(bǔ)貼（萬元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為多少萬元時(shí)，企業(yè)十一期間加班追產(chǎn)所獲收益最大?【解析】（1）依題意可知，銷售金額萬元，政府補(bǔ)貼萬元，成本為萬元；所以收益，（2）由（1）可知，其中，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，

所以，所以當(dāng)時(shí)，A企業(yè)十一期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為萬元；即當(dāng)政府的專項(xiàng)補(bǔ)貼為萬元時(shí)，A企業(yè)十一期間加班追產(chǎn)所獲收益最大，最大值為萬元變式9．(2023·山東省青島第五十八中學(xué)高一期中）2022年第12號強(qiáng)臺風(fēng)“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日減弱為溫帶氣旋停止編號，共歷時(shí)8天，期間4次登錄我國東部沿海。9月14日20時(shí)30分前后，在我國浙江省舟山普陀沿海首次登陸，登陸時(shí)中心附近最大風(fēng)力14級，9月16日0時(shí)左右在山東省青島市嶗山區(qū)沿海第三次登陸，臺風(fēng)過境時(shí)帶來的狂風(fēng)暴雨天氣，造成了人民生命、財(cái)產(chǎn)的巨大損失，受災(zāi)民眾不懼困難，眾志成城，積極開展抗災(zāi)、救災(zāi)，守護(hù)自己的美麗家園。某地受其影響普降暴雨，一大型堤壩發(fā)生了滲水現(xiàn)象，當(dāng)發(fā)現(xiàn)時(shí)已有的壩面滲水，經(jīng)測算，壩面每平方米發(fā)生滲水現(xiàn)象的直接經(jīng)濟(jì)損失約為300元，且滲水面積以每天的速度擴(kuò)散．當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門在發(fā)現(xiàn)的同時(shí)立即組織人員搶修滲水壩面，假定每位搶修人員平均每天可搶修滲水面積，該部門需支出服裝補(bǔ)貼費(fèi)為每人600元，勞務(wù)費(fèi)及耗材費(fèi)為每人每天300元．若安排x名人員參與搶修，需要k天完成搶修工作．(1)寫出k關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)應(yīng)安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最小．（總損失＝因滲水造成的直接損失＋部門的各項(xiàng)支出費(fèi)用）【解析】（1）由題意得，所以，，（2）設(shè)總損失為元，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．所以，應(yīng)安排22名民工參與搶修，才能使總損失最小．變式10．(2023·寧夏六盤山高級中學(xué)高一階段練習(xí)）某小型服裝廠生產(chǎn)一種風(fēng)衣，日銷貨量件（）與貨價(jià)p元/件之間的關(guān)系為，生產(chǎn)件所需成本為元.(1)若該廠某日的銷貨量是30件，求該廠當(dāng)日的獲利是多少元？(2)若該廠日獲利不少于1300元，求該廠日產(chǎn)量的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以該廠當(dāng)日的獲利是(元)；（2）設(shè)該廠日獲利為，則由題意得，由，得，所以，即，解得，所以當(dāng)日產(chǎn)量在20到45件之間（含20件和45件）時(shí)，日獲利不少于1300元.【過關(guān)測試】一、單選題1．(2023·浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）在流行病學(xué)中，每名感染者平均可傳染的人數(shù)叫做基本傳染數(shù)．當(dāng)基本傳染數(shù)高于1時(shí)，每個(gè)感染者平均會感染一個(gè)以上的人，從而導(dǎo)致感染者人數(shù)急劇增長．當(dāng)基本傳染數(shù)低于1時(shí)，疫情才可能逐漸消散．而廣泛接種疫苗是降低基本傳染數(shù)的有效途徑．假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù)為，1個(gè)感染者平均會接觸到個(gè)新人，這人中有個(gè)人接種過疫苗（稱為接種率），那么1個(gè)感染者可傳染的新感染人數(shù)為．已知某病毒在某地的基本傳染數(shù)，為了使1個(gè)感染者可傳染的新感染人數(shù)不超過1，該地疫苗的接種率至少為（

）A． B． C． D．答案：A【解析】為了使1個(gè)感染者傳染人數(shù)不超過1，只需，所以，即，因?yàn)?，所以，解得，則地疫苗的接種率至少為．故選：A．2．(2023·云南·高一階段練習(xí)）某農(nóng)家院有客房20間，日常每間客房日租金為100元，每天都客滿.該農(nóng)家院欲重新裝修提高檔次，并提高租金，經(jīng)市場調(diào)研，每間客房日租金每增加10元，每天客房的出租間數(shù)就會減少1，則該農(nóng)家院重新裝修后，每天客房的租金總收入最高為（

）A．2250元 B．2300元 C．2350元 D．2400元答案：A【解析】設(shè)每間客房日租金提高個(gè)10元，每天客房的租金總收入為元，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值故選：3．(2023·甘肅·天水市第一中學(xué)高一開學(xué)考試）一件工藝品的進(jìn)價(jià)為元，標(biāo)價(jià)元出售，每天可售出件，根據(jù)銷售統(tǒng)計(jì)，一件工藝品每降價(jià)元，則每天可多售出件，要使每天獲得的利潤最大，則每件需降價(jià)（

）A．元 B．元 C．元 D．元答案：B【解析】設(shè)每天的銷售量為件，每件工藝品的標(biāo)價(jià)為元，則關(guān)于的函數(shù)為一次函數(shù)，設(shè)，由題意可得，解得，則，故每天獲得的利潤為，故當(dāng)元時(shí)，每天獲得的利潤最大，因此，要使每天獲得的利潤最大，則每件需降價(jià)元.故選：B.4．(2023·四川省德陽中學(xué)校高一階段練習(xí)）我們通常以分貝為單位來表示聲音大小的等級，分貝為安靜環(huán)境，超過50分貝將對人體有影響，90分貝以上的環(huán)境會嚴(yán)重影響聽力且會引起神經(jīng)衰弱等疾?。绻麖?qiáng)度為的聲音對應(yīng)的分貝數(shù)為，那么滿足：．若在地鐵中多人外放電子設(shè)備加上行車噪音，車廂內(nèi)的聲音的分貝能達(dá)到，則的聲音與的聲音強(qiáng)度之比為（

）A．40 B．100 C．40000 D．10000答案：D【解析】由題意可知,當(dāng)聲音強(qiáng)度的等級為90dB時(shí),有,得；此時(shí)對應(yīng)的強(qiáng)度.當(dāng)聲音強(qiáng)度的等級為50dB時(shí),有,得,此時(shí)對應(yīng)的強(qiáng)度.∴90dB的聲音與50dB的聲音強(qiáng)度之比為.故選：D.5．(2023·全國·高一單元測試）2004年中國探月工程正式立項(xiàng)，從嫦娥一號升空，到嫦娥五號攜月壤返回，中國人一步一步將“上九天攬?jiān)隆钡纳裨捵優(yōu)楝F(xiàn)實(shí).月球距離地球約38萬千米有人說，在理想狀態(tài)下，若將一張厚度約為0.1毫米的紙對折n次，其厚度就可以超過月球距離地球的距離.那么至少對折的次數(shù)n是（參考數(shù)據(jù)：，）（

）A．40 B．41 C．42 D．43答案：C【解析】設(shè)對折n次時(shí)，紙的厚度為y（單位：毫米），由題意可知若將一張厚度約為0.1毫米的紙對折n次，則.令，即，所以，即，所以至少對折的次數(shù)n是42.故選：C.6．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，，，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（

）A．在上，隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于B．在上，隨著的逐漸增大，增長速度越來越快于C．當(dāng)時(shí)，的增長速度一直快于D．當(dāng)時(shí)，答案：B【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，的圖像，如圖所示，在上，隨著的逐漸增大，的增長速度越來越快，且快于，故A錯(cuò)誤；B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，的增長速度不是一直快于，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：B.7．(2023·全國·高一單元測試）春天是一個(gè)美麗、神奇，充滿希望的季節(jié)，我們每個(gè)人都應(yīng)當(dāng)保持像春天一樣朝氣蓬勃的生命力，去創(chuàng)造屬于我們自己的美好生活．隨著2022年春天的深入，某池塘中的荷花枝繁葉茂，已知每經(jīng)過一天的生長，荷葉覆蓋水面面積都是前一天的倍，若荷葉20天可以完全長滿池塘水面，則當(dāng)荷葉剛好覆蓋水面面積一半時(shí)，荷葉大約生長了（參考數(shù)據(jù)）（

）A．17天 B．15天 C．12天 D．10天答案：A【解析】設(shè)荷葉覆蓋水面的初始面積為，則天后荷葉覆蓋水面的面積，根據(jù)題意，令，即，兩邊取以10為底的對數(shù)得，所以解得．故選：A．8．(2023·貴州·遵義四中高一期末）為了鼓勵大家節(jié)約用水，遵義市實(shí)行了階梯水價(jià)制度，下表是年遵義市每戶的綜合用水單價(jià)與戶年用水量的關(guān)系表．假設(shè)居住在遵義市的艾世宗一家年共繳納的水費(fèi)為元，則艾世宗一家年共用水（

）分檔戶年用水量綜合用水單價(jià)/（元）第一階梯（含）第二階梯（含）第三階梯以上A． B． C． D．答案：B【解析】設(shè)戶年用水量為，年繳納的稅費(fèi)為元，則，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，所以艾世宗一家年共用水.故選：B二、多選題9．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）如圖所示，某池塘中浮萍蔓延的面積y（單位：）與時(shí)間t（單位：月）滿足函數(shù)關(guān)系，則下列說法正確的是（

）A．B．第5個(gè)月時(shí)，浮萍面積就會超過C．浮萍的面積從蔓延到需要經(jīng)過1.5個(gè)月D．浮萍每月增加的面積都相等答案：AB【解析】由題意，函數(shù)圖像滿足的關(guān)系，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，滿足，當(dāng)時(shí)，，滿足，故，選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，故浮萍蔓延的面積就會超過，選項(xiàng)B正確；由題意，，所以，，所以，所以增加的時(shí)間為，而，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由題意可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以從第一個(gè)開始，每個(gè)月增加的面積分別為、、、，所以增加的面積不相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.10．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某校學(xué)生在研究折紙?jiān)囼?yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)對折后紙張達(dá)到一定的厚度時(shí)，便不能繼續(xù)對折了.在理想情況下，對折次數(shù)n與紙的長邊長和厚度滿足：.根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（參考數(shù)值：，）（

）A．當(dāng)對折4次時(shí)，的最小值為64B．當(dāng)對折4次時(shí)，的最小值為32C．一張長邊長為，厚度為的矩形紙最多能對折6次D．一張長邊長為，厚度為的矩形紙最多能對折8次答案：AC【解析】令，則，則，即，即當(dāng)對折4次時(shí)，的最小值為64，故A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)，x=0.05cm時(shí)，，所以該矩形紙最多能對折6次，故C正確，D錯(cuò)誤,故選:AC.11．(2023·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某打車平臺欲對收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行改革，現(xiàn)制訂了甲、乙兩種方案供乘客選擇，其支付費(fèi)用y（單位：元）與打車?yán)锍蘹（單位：km）的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，則（

）A．當(dāng)打車?yán)锍虨?km時(shí)，乘客選擇甲方案更省錢B．當(dāng)打車?yán)锍虨?0km時(shí)，乘客選擇甲、乙方案均可C．打車?yán)锍淘?km以上時(shí)，每千米增加的費(fèi)用甲方案比乙方案多D．甲方案3km內(nèi)（含3km）付費(fèi)5元，打車?yán)锍檀笥?km時(shí)每增加1km費(fèi)用增加0.7元答案：ABC【解析】對于A，當(dāng)3