廣東省廣州西關(guān)外語學校與廣州理工實驗學校聯(lián)盟2022-2023學年高二上學期期中數(shù)學試題(原卷版+解析)

廣州西關(guān)外語學校與廣州理工實驗學校聯(lián)盟2022學年第一學期期中測試試題高二數(shù)學（考試時間：120分鐘滿分：150分）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共四大題22小題，滿分150分.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必在答卷和答題卡上用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫自己的考生號、姓名；填寫考場試室號、座位號，再用2B鉛筆把對應(yīng)考號涂黑.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫圖.答案必須寫在答卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；不允許使用涂改液、涂改帶等進行涂改，不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.經(jīng)過兩點、的直線方程都可以表示為（）A. B.C. D.3.已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若，則“”是“P，A，B，C四點共面”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.經(jīng)過點且圓心是兩直線與的交點的圓的方程為（）A B.C. D.5.如圖，在三棱錐中，E為OA的中點，點F在BC上，滿足，記，，分別為，，，則（）A. B. C. D.6.已知圓與圓恰有三條公切線，則實數(shù)a的值是（）A.4 B.6 C.8 D.167.已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25 C.5 D.21或－98.在四棱錐中，平面，底面為矩形，.若邊上有且只有一個點，使得，此時二面角的余弦值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知向量，，，則（）A. B.C. D.10.設(shè)點，若直線與線段沒有交點，則a的取值可能是（）A. B. C.1 D.11.如圖，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分別是中點，則（）A. B.BE∥平面C.與CD所成角余弦值為 D.與平面所成角的余弦值為12.關(guān)于直線與圓，下列說法正確是（）A.若直線l與圓C相切，則為定值 B.若，則直線l被圓C截得的弦長為定值C.若，則直線l與圓C相離 D.是直線l與圓C有公共點充分不必要條件第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.若直線與直線垂直，則______.14.若圓的方程為，則圓中過點的最短的弦長為______.15.已知向量，若共面，則________．16.已知圓是圓上的一條動直徑，點是直線上的動點，則的最小值是____.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、正明過程或演算步驟.17.已知向量，，點，.（1）求；（2）若直線AB上存在一點E，使得，其中O為原點，求E點的坐標.18.已知直線l的方程為，．（1）求證：直線l恒過點P，并求出點P的坐標．（2）若直線l在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程．19.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點.（1）求證：；（2）在平面內(nèi)求一點G，使平面.20.已知圓C：，直線l恒過點（1）若直線l與圓C相切，求l的方程；（2）當直線l與圓C相交于A，B兩點，且時，求l的方程.21.如圖，在直角中，，，，分別是上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖.（1）求證：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值；（3）當點在何處時，的長度最小，并求出最小值.22.已知過點A（0，4），且斜率為的直線與圓C：，相交于不同兩點M、N.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：為定值；（3）若O為坐標原點，問是否存在以MN為直徑的圓恰過點O，若存在則求的值，若不存在，說明理由．廣州西關(guān)外語學校與廣州理工實驗學校聯(lián)盟2022學年第一學期期中測試試題高二數(shù)學（考試時間：120分鐘滿分：150分）本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共四大題22小題，滿分150分.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必在答卷和答題卡上用黑色字跡的鋼筆或簽字筆填寫自己的考生號、姓名；填寫考場試室號、座位號，再用2B鉛筆把對應(yīng)考號涂黑.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，涉及作圖的題目，用2B鉛筆畫圖.答案必須寫在答卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；不允許使用涂改液、涂改帶等進行涂改，不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.答案：A【解析】分析：根據(jù)方程得到直線的斜率，然后可得答案.【詳解】由可得此直線的斜率為，傾斜角為，故選：A2.經(jīng)過兩點、的直線方程都可以表示為（）A. B.C. D.答案：C【解析】分析：根據(jù)兩點式直線方程即可求解.【詳解】當經(jīng)過、的直線不與軸平行時，所有直線均可以用，由于可能相等，所以只有選項C滿足包括與軸平行的直線.故選:C3.已知空間任意一點O和不共線的三點A，B，C，若，則“”是“P，A，B，C四點共面”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案：B【解析】分析：先找到P，A，B，C四點共面的充要條件，再進行判斷.【詳解】若A，B，C三點共線，所以存在實數(shù)非零實數(shù)，使得，∴，即，即，∴，其中，若P，A，B，C四點共面，且A，B，C三點不共線，所以存在實數(shù)m，n，使得，其中，∴，即，∴，即，其中；因為，但，所以“”是“P，A，B，C四點共面”的充分不必要條件故選：B4.經(jīng)過點且圓心是兩直線與的交點的圓的方程為（）A. B.C. D.答案：B【解析】分析：求出圓心坐標和半徑后，直接寫出圓的標準方程.【詳解】由得，即所求圓的圓心坐標為.由該圓過點，得其半徑為1，故圓的方程為.故選：B.【點睛】本題考查了圓的標準方程，屬于基礎(chǔ)題.5.如圖，在三棱錐中，E為OA的中點，點F在BC上，滿足，記，，分別為，，，則（）A. B. C. D.答案：A【解析】分析：根據(jù)空間向量的加減法進行求解.【詳解】解：三棱錐中，E為OA的中點，，所以故選：A6.已知圓與圓恰有三條公切線，則實數(shù)a的值是（）A.4 B.6 C.8 D.16答案：D【解析】分析：由題可知，圓與圓外切，則有圓心距.【詳解】圓化為：，則圓心為，半徑，圓，圓心為，半徑，若圓與圓恰有三條公切線，則兩圓外切.兩圓心的距離，則有，即，解得.故選：D7.已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25 C.5 D.21或－9答案：A【解析】分析：根據(jù)平行直線的性質(zhì)，結(jié)合平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】因為直線：與：平行，所以有，因為兩條平行直線：與：間距離為3，所以，或，當時，；當時，，故選：A8.在四棱錐中，平面，底面為矩形，.若邊上有且只有一個點，使得，此時二面角的余弦值為（）A. B. C. D.答案：C【解析】分析：由線面垂直的性質(zhì)與判定可證得平面，進而得到，設(shè)，，，利用勾股定理可得關(guān)于的方程，由方程有且僅有一個范圍內(nèi)的解可由求得的值；以為坐標原點，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，；設(shè)，，，，，，，即，關(guān)于的方程有且僅有一個范圍內(nèi)的解，對稱軸為，，解得：，，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，軸平面，平面的一個法向量；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，，由圖形可知：二面角為銳二面角，二面角的余弦值為.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用向量法求解二面角的問題；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)證得，從而利用勾股定理構(gòu)造關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)其根的分布可求得和的長度，進而得到利用向量法求解時所需的線段長度.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知向量，，，則（）A. B.C. D.答案：BCD【解析】分析：根據(jù)空間向量線性運算的坐標表示及數(shù)量積的坐標運算一一計算可得.【詳解】解：因為，，所以，所以，故A錯誤；因為，，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；因為，，所以，所以，故D正確.故選：BCD10.設(shè)點，若直線與線段沒有交點，則a的取值可能是（）A. B. C.1 D.答案：AC【解析】分析：直線過定點，求出直線的斜率，由圖形可得直線與線段有公共點時的范圍，從而可得無交點時的范圍，由此可得正確選項．【詳解】易知直線過定點，，，直線的斜率為，由圖知或，所以或時有交點，因此當時，直線與線段無交點，故選：AC．11.如圖，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分別是的中點，則（）A. B.BE∥平面C.與CD所成角的余弦值為 D.與平面所成角的余弦值為答案：BCD【解析】分析：以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，對選項ACD一一判斷；對選項B，連接與交于點，連接，易知，則由線面平行的判定定理可知BE∥平面，即可判斷B.【詳解】以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，，，對于A，，，所以，所以與不垂直，所以A錯誤；對于B，連接與交于點，連接，易知，所以面，面，所以BE∥平面，所以B正確；對于C，，，所以，，所以，與CD所成角的余弦值為，故C正確；對于D，，設(shè)面，，，令，，所以，與平面所成角為，，所以，與平面所成角的余弦值為，故D正確.故選：BCD.12.關(guān)于直線與圓，下列說法正確的是（）A.若直線l與圓C相切，則為定值 B.若，則直線l被圓C截得的弦長為定值C.若，則直線l與圓C相離 D.是直線l與圓C有公共點的充分不必要條件答案：ABD【解析】分析：利用圓心到直線的距離，判斷A；利用弦長公式，判斷B；直線方程與圓的方程聯(lián)立，利用判斷C；利用直線與軸的交點，判斷D.【詳解】A.若直線l與圓C相切，則圓心到直線的距離，整理為，即，故A正確；B.弦長，當時，，故B正確；C聯(lián)立方程，，得，，當時，整理為恒成立，所以直線與圓相交，故C錯誤；D.直線與軸的交點是，當時，在圓內(nèi)，過圓內(nèi)的點的直線一定與圓有交點，但反過來，直線與軸的交點在圓上的直線也與圓有交點，或直線與軸的交點在圓外，也有直線與圓相交，所以是直線l與圓C有公共點的充分不必要條件，故D正確.故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.若直線與直線垂直，則______.答案：或.【解析】分析：直線與直線垂直的充要條件是.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得或.故答案為：或.14.若圓的方程為，則圓中過點的最短的弦長為______.答案：【解析】分析：由題可知點在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點的弦，進而即得.【詳解】由題可得圓的標準方程為，即圓是以為圓心，5為半徑的圓，且由，即點在圓內(nèi)，則最短的弦是以為中點的弦，所以圓中過點的最短的弦長為.故答案為：.15.已知向量，若共面，則________．答案：±1【解析】分析：利用共面向量定理直接求解【詳解】因為向量共面,所以存在實數(shù)m、n，使得,m≠0,n≠0,即,所以，解得,所以x=±1.故答案為：±1.16.已知圓是圓上的一條動直徑，點是直線上的動點，則的最小值是____.答案：【解析】分析：由題意得，＝＝﹣＝，即可求的最小值．【詳解】圓，得，則圓心C（1，2），半徑R＝，如圖可得：＝＝﹣＝，點是直線上，所以＝（）2＝，∴的最小值是＝.故答案為：．【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積、轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，點到直線的距離，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、正明過程或演算步驟.17.已知向量，，點，.（1）求；（2）若直線AB上存在一點E，使得，其中O為原點，求E點的坐標.答案：（1）5（2）【解析】分析：（1）根據(jù)空間向量坐標表示的線性運算求出，再根據(jù)向量模的坐標公式即可得解；（2）設(shè)，根據(jù)求出，再根據(jù)可得，從而可求得，即可求出，從而可得出答案.【小問1詳解】解：因為，，所以，所以；【小問2詳解】解：設(shè)，由，，得，則，故，因為，所以，即，解得，所以，設(shè)，則，所以，解得，所以.18.已知直線l的方程為，．（1）求證：直線l恒過點P，并求出點P的坐標．（2）若直線l在x軸、y軸上的截距相等，求直線l的方程．答案：（1）證明見解析，（2）或【解析】分析：將式子變形得到，令可得到所過定點；（2）由題意得到，，分別求出在y軸上的截距為，在x軸上的截距為，由，解方程可求得或，進而得到直線方程.【小問1詳解】將轉(zhuǎn)化為．由，解得故直線l恒過點．【小問2詳解】由題意得直線l在x軸、y軸上的截距相等所以，．令得，，故l在y軸上的截距為．令得，，故l在x軸上的截距為．由得，解得或當時，化簡得，當時，化簡得，故直線l的方程為或．19.如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點.（1）求證：；（2）在平面內(nèi)求一點G，使平面.答案：（1）證明見解析；（2）G為AD的中點.【解析】分析：（1）建立空間直角坐標系，設(shè)，寫出各點坐標，求得向量，由即得；（2）設(shè)，求出平面內(nèi)兩個不共線向量，由和求得確定點位置．【小問1詳解】因為底面，平面，平面，所以，，又底面為正方形，所以，以D為原點，分別以DA，DC，DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F(xiàn)，∴，，∴＝0，∴，即EF⊥CD；【小問2詳解】設(shè)，則，，，若使GF⊥平面PCB，則需且，由，解得，由，解得，因為為平面內(nèi)兩條相交直線，故平面，∴G點坐標為，即G為AD的中點．20.已知圓C：，直線l恒過點（1）若直線l與圓C相切，求l的方程；（2）當直線l與圓C相交于A，B兩點，且時，求l的方程.答案：（1）或（2）或【解析】分析：(1)分類討論直線l的斜率存在與不存在，利用圓心到直線l的距離等于圓的半徑計算即可；(2)由題意知直線l的斜率一定存在，設(shè)直線方程，利用點到直線的距離公式和圓的垂徑定理計算即可.【小問1詳解】由題意可知，圓C的圓心為，半徑，

①當直線l的斜率不存在時，即l的方程為時，此時直線與圓相切，符合題意；

②當直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，直線l的方程為，

化為一般式：，若直線l與圓相切，

則，即，解得，

：，即l：，

綜上，當直線l與圓C相切時，直線l的方程為或；【小問2詳解】由題意可知，直線l的斜率一定存在，設(shè)斜率為k，

直線l的方程為，即，

設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，

由垂徑定理可得，，即，

整理得，，解得或，

則直線l的方程為或21.如圖，在直角中，，，，分別是上的點，且，將沿折起到的位置，使，如圖.（1）求證：平面；（2）若，求與平面所成角的正弦值；（3）當點在何處時，的長度最小，并求出最小值.答案：（1）證明見解析（