《微積分（第4版）》 課件 張學(xué)奇 第0-9章 緒論、函數(shù)-常微分方程

1線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一、微積分的設(shè)課目的二、微積分的發(fā)展過程三、微積分研究的基本問題及方法四、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系和區(qū)別五、怎樣學(xué)習(xí)微積分緒論

3

微積分課程是高等院校必修的一門重要基礎(chǔ)課和工具課.通過本課程的學(xué)習(xí)，為學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程和解決實際問題提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)方法。另外，微積分對人的思維能力的發(fā)展具有深刻的影響，通過微積分課程的學(xué)習(xí)，可以促進學(xué)生數(shù)學(xué)能力與素質(zhì)的發(fā)展。良好的數(shù)學(xué)能力與素質(zhì)已經(jīng)成為衡量一個科技人員文化素質(zhì)的重要標(biāo)志.緒論一、微積分的設(shè)課目的4

初等數(shù)學(xué)階段

17世紀(jì)以前的數(shù)學(xué)，研究的是常量及其常量間的代數(shù)運算；研究的形是孤立的、不變的、規(guī)則幾何形體及其不同幾何形體內(nèi)部及相互間的關(guān)系，這樣形成了初等數(shù)學(xué)．二、微積分的發(fā)展過程

高等數(shù)學(xué)階段

1637年，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒引入了坐標(biāo)，建立了解析幾何．使數(shù)學(xué)的發(fā)展進入了一個新階段．在這個階段中，研究的“數(shù)”是變數(shù)或變量，研究的“形”是不規(guī)則的幾何形體，而且“數(shù)”和“形”開始緊密地聯(lián)系起來．5

在17世紀(jì)英國科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在許多數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了微積分.微積分為變量建立了一種行之有效的運算規(guī)則，去描述因變量在一個短暫瞬間相對與自變量的變化率，以及在自變量的某個變化過程中因變量作用的整體積累，前者稱為微商，后者稱為積分，統(tǒng)稱為微積分．這一階段稱為高等數(shù)學(xué)階段．牛頓（Newton）萊布尼茨（Leibniz）6三、微積分研究的基本問題及方法

1.極限：極限方法是微積分的最基本方法，微積分的主要基本概念都是建立在極限的思想基礎(chǔ)之上.

割圓術(shù)：公元三世紀(jì),我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其所著的《九章算術(shù)》中曾用割圓術(shù)計算圓的面積和圓周率.并指出:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”

這里就滲透著極限的思想方法.72.自由落體運動的瞬時速度例求自由落體運動在時刻的瞬時速度.

解

考察到時間間隔內(nèi)速度的變化.局部時間間隔上的平均速度

時刻的瞬時速度8xoy3.平面曲邊圖形的面積

例求由拋物線直線及軸所圍成的平面圖形的面積.解(1)分割：將曲邊圖形分割成部分小曲邊圖形.

(2)近似：將小曲邊圖形面積用小矩形面積代替.9(3)積累：將小矩形求和得曲邊圖形面積近似值.(4)精確：用極限將近似轉(zhuǎn)化為精確.10微積分研究的方法及基本問題綜述

1.極限思想方法是微積分的最基本方法，其思想貫穿于微積分內(nèi)容始終，微積分的主要概念建立在極限基礎(chǔ)之上.

3.兩類問題求解思想方法的核心是局部以勻代變、以直代曲，通過極限實現(xiàn)勻與變、直與曲的轉(zhuǎn)化.體現(xiàn)了通過矛盾的轉(zhuǎn)化解決矛盾的唯物辨證法的矛盾分析方法.

2.變速直線運動的瞬時速度與平面曲線圖形的面積問題是微積分的兩個最基本問題,它是微積分的典型代表,微積分的主體內(nèi)容導(dǎo)數(shù)與積分就是由其引出的.11四、高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系和區(qū)別初等數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容以常量為主，量的特征為靜止、均勻、有限基本初等函數(shù)及基本特性以變量為主，量的特征為運動、非均勻、無限初等函數(shù)及一般特性教學(xué)方法教師帶領(lǐng)下學(xué)生被動學(xué)習(xí)教學(xué)內(nèi)容少、學(xué)時多、速度慢，注重內(nèi)容學(xué)習(xí)教師啟發(fā)下學(xué)生主動學(xué)習(xí)教學(xué)內(nèi)容多、學(xué)時少、速度快，注重能力培養(yǎng)12五、怎樣學(xué)習(xí)微積分學(xué)習(xí)微積分的一般原則:1.讀認(rèn)真閱讀和深入鉆研教材內(nèi)容.深刻理解概念、定理、公式、方法的內(nèi)涵與實質(zhì)及其內(nèi)在聯(lián)系,培養(yǎng)抽象思維和邏輯運算能力.

2.思學(xué)習(xí)中要獨立鉆研,勤于思考,敢于提出問題,善于鉆研問題,培養(yǎng)自己的創(chuàng)造思維和自學(xué)能力.

3.練必須做一定數(shù)量的習(xí)題,深化對概念、理論、思想方法的理解和掌握.

4.用逐步培養(yǎng)自己綜合運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識和興趣,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力.13學(xué)習(xí)微積分的具體方法抓概念：把握內(nèi)涵，理清脈絡(luò)，抓住聯(lián)系.抓理論：把握本質(zhì)，深化理解，注重應(yīng)用.抓方法：把握步驟，掌握類型，注意條件.抓題型：把握特征，注意要點，明確過程.抓總結(jié)：把握結(jié)構(gòu)，總結(jié)規(guī)律，突出重點.一、實數(shù)集二、實數(shù)的絕對值三、區(qū)間與鄰域預(yù)備知識第一章函數(shù)一、實數(shù)集整數(shù)集

無理數(shù)

這種無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).有理數(shù)集有理數(shù)與無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，實數(shù)集記為R.16正無理數(shù)負(fù)無理數(shù)

(無限不循環(huán)小數(shù))正有理數(shù)零負(fù)有理數(shù)實數(shù)有理數(shù)無理數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

實數(shù)的全體充滿了整個數(shù)軸，即實數(shù)不但是稠密的，而且是連續(xù)的.實數(shù)與數(shù)軸上的點形成了一一對應(yīng)的關(guān)系.實數(shù)系統(tǒng)可表示為：17二、實數(shù)的絕對值|x|的幾何意義為數(shù)軸上點x到原點的距離.實數(shù)x的絕對值，記為|x|，它是一個非負(fù)實數(shù).即|x|=實數(shù)的絕對值的性質(zhì)：(1)對于任意的，有.

當(dāng)且僅當(dāng)x=0時，才有|x|=0.18(5)設(shè)，則|x|<a

的充要條件是–a<x<a.(6)設(shè)，則的充要條件是.(7)設(shè)，則|x|>a的充要條件是x<–a或者x>a.(8)設(shè)，則的充要條件是或者.(2)對于任意，有|–x|=|x|.(3)對于任意，有.(4)對于任意，有.19關(guān)于四則運算的絕對值，有以下的結(jié)論:對任意的，恒有20三、區(qū)間與鄰域1.區(qū)間：區(qū)間包括四種有限區(qū)間和五種無限區(qū)間，它們的名稱、記號和定義如下21表示分別以為左、右端點的開區(qū)間，區(qū)間長度為.

2.鄰域

稱實數(shù)集為點a的鄰域，記作a稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑.由鄰域的定義知在中去掉中心點a得到的實數(shù)集稱為點a的去心鄰域，記作.22線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)24第一章函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)第三節(jié)初等函數(shù)第四節(jié)函數(shù)模型一、函數(shù)的概念二、具有特性的幾類函數(shù)第一節(jié)函數(shù)的概念第一章函數(shù)

變量：如果一個量在某個過程中是變化的,即可以取不同的數(shù)值,則稱這種量為變量.變量通常用x,y,t,表示．常量：如果一個量在某過程中保持不變,總?cè)⊥恢?則稱這種量為常量.常量通常用a,b,c，表示.

例變速運動物體的速度、某地區(qū)的溫度、某產(chǎn)品的產(chǎn)量和成本等均為變量．一、函數(shù)的概念第一節(jié)函數(shù)的概念

變量與變量之間的依賴關(guān)系是微積分研究的主要問題．先看下面的例子.

例自由落體運動.設(shè)物體下落的時間為t,下落的距離為s，假定開始下落的時刻為t=0，那么s與t之間的依賴關(guān)系式為:其中g(shù)是重力加速度，假定物體著地時刻為t=T，那么當(dāng)時間t在閉區(qū)間[0,T]上任取一值時，由上式就可以確定相應(yīng)的s值.1.函數(shù)的概念

例設(shè)有半徑為的圓,考慮內(nèi)接與圓的正邊形的周長.可得內(nèi)接正邊形的周長與邊數(shù)之間的依賴關(guān)系式為:當(dāng)邊數(shù)在3,4,5,等自然數(shù)中取任意一個確定值時,由上式都有周長的已相應(yīng)值對應(yīng).

上述例子都表達了兩個之間的依賴關(guān)系,這種依賴關(guān)系確定了一種對應(yīng)法則,這種這種對應(yīng)法則所反映的關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系.

定義1

設(shè)D是實數(shù)集上的一個非空子集，如果有D到R上的一個映射（對應(yīng)規(guī)則）f，使得對于每個，通過映射f都有惟一確定的數(shù)與之對應(yīng)，則稱f為定義在D上的函數(shù)，x稱為f的自變量，y

稱為因變量，函數(shù)記作其中稱D為函數(shù)的定義域，記作D（f），D中的每一個根據(jù)映射f對應(yīng)于一個y，記作y=f(x)，稱為函數(shù)f在x的函數(shù)值，全體函數(shù)值的集合稱為函數(shù)的值域設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中,對于任意的,通過函數(shù)y=f(x)都可確定一個點M(x,y),當(dāng)x取遍定義域D中的所有值時，點M(x,y)描出的圖形稱為函數(shù)y=f(x)的圖形.一個函數(shù)的圖形通常是一條曲線.因此,又稱函數(shù)y=f(x)的圖形為曲線y=f(x).xxyyy=f(x)

2.函數(shù)的兩個要素

(1)函數(shù)的定義域函數(shù)定義域的確定就是確定使得函數(shù)有意義的自變量的取值范圍．對于實際問題的定義域，通常由實際問題的性質(zhì)而定.例求函數(shù)的定義域.所以函數(shù)的定義域為

.解要使函數(shù)y有定義，應(yīng)滿足

例

已知存款的月利率為k%，現(xiàn)存入銀行a元本金，按復(fù)利計算，記第n個月后的存款余額為C（n）則它給出了存款余額與存款時間的函數(shù)關(guān)系.其定義域為

(2)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系例解

兩個函數(shù)相等的充分必要條件是其定義域、對應(yīng)規(guī)則分別相同.若函數(shù)和則

例

說明函數(shù)與是否相同?

解

函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為所以，函數(shù)與不相同.3.函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法通常有表格法,圖象法,公式法三種.

(1)表格法自變量x與因變量y的一些對應(yīng)值用表格列出，這樣函數(shù)關(guān)系就用表格法來表示出來.如對數(shù)表和三角函數(shù)表等都是用表格法來表示函數(shù)的.

例某地區(qū)8天的最高氣溫可以由下面表格表示.

此表格反映溫度與日期之間的對應(yīng)關(guān)系.

(2)圖象法用函數(shù)y=f(x)的圖形直觀地表達自變量x與因變量y之間的關(guān)系的方法為圖象法.例某河道的斷面圖形如圖所示.此圖形反映了河道深度y與岸邊到測量點的距離x之間的函數(shù)關(guān)系.

這里河道深度y與岸邊到測量點的距離x之間的函數(shù)關(guān)系是用圖形表示的.其定義域為區(qū)間[0,b].xyy=f(x)

(3)公式法用數(shù)學(xué)公式表示自變量和因變量之間的對應(yīng)關(guān)系，是函數(shù)的公式表示法.

例設(shè)半徑為x的圓的面積為S,則面積S與半徑x之間的函數(shù)關(guān)系可由公式表示.函數(shù)的定義域為例

f(x)的定義域是[-1,1].其對應(yīng)關(guān)系為

用兩個或兩個以上的公式來表示一個函數(shù),這類函數(shù)稱為分段函數(shù)

.分段函數(shù)是公式法表達函數(shù)的一種方式.在理論分析和實際應(yīng)用方面都是很有用的.需要注意的是,分段函數(shù)是用幾個公式合起來表示一個函數(shù),而不是表示幾個函數(shù).

用公式法來表示一個函數(shù),通常表達為y=f(x)的形式稱為顯函數(shù);有時可以用方程F(x,y)=0來表達稱為隱函數(shù);有時也可用參數(shù)方程來表達.

例半徑為r的上半圓其方程分別可以由下述形式表達.顯函數(shù)形式隱函數(shù)形式參數(shù)方程形式1.函數(shù)的有界性三、函數(shù)的特性定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,數(shù)集，如果存在正數(shù)M,使得對于任意的,都有不等式成立,則稱f(x)在X上有界,如果這樣的M不存在,就稱函數(shù)f(x)在X上無界.

注:如果M為f(x)的一個界,易知比M大的任何一個正數(shù)都是f(x)的界.如果f(x)在X上無界,那么對于任意給定的正數(shù)M,X中總有相應(yīng)的點,使

有界函數(shù)圖象特征:當(dāng)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有界時,函數(shù)y=f(x)的圖形恰好位于直線y=M和y=–Ｍ之間.

例函數(shù)f(x)=sinx在內(nèi)有界.這是因為對于任意的都有(Ｍ=1)成立.函數(shù)y=sinx的圖形位于直線y=1與y=–1之間.注:

函數(shù)的有界性與自變量的變化范圍Ｘ相關(guān).2.函數(shù)的單調(diào)性

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上有定義.如果對于任意的,當(dāng)時,均有成立,則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上單調(diào)增加

(或單調(diào)減少).如果對于區(qū)間I上任意兩點，當(dāng)均有則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間Ｉ上嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少).嚴(yán)格單調(diào)增加的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向上升的；嚴(yán)格單調(diào)減少的函數(shù)的圖形是沿x

軸正向下降的；單調(diào)函數(shù)圖形特征:xxyy例函數(shù)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加.

例函數(shù)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的，在區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)增加的,而在區(qū)間內(nèi)則不是單調(diào)函數(shù).xyxy

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間I上有定義.如果對于任意的,均有成立.則稱f(x)為偶函數(shù).偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱.3.函數(shù)的奇偶性

如果對任意的,均有成立,則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù).奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標(biāo)原點對稱.例討論下列函數(shù)的奇偶性:解

若T是周期函數(shù)f(x)的周期，則kT也是f(x)的周期(k=1,2,3),通常周期函數(shù)的周期是指其最小周期.4.函數(shù)的周期性

定義設(shè)函數(shù)y=f(x),如果存在正常數(shù)

T,使得對于定義域內(nèi)的任何x均有f(x+T)=f(x)成立，則稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，T為f(x)的周期.例函數(shù)y=sinx及y=cosx都是以為周期的周期函數(shù)；函數(shù)y=tanx及y=cotx都是以為周期的周期函數(shù).例函數(shù)的周期為第一章函數(shù)第二節(jié)反函數(shù)和復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)二、復(fù)合函數(shù)第二節(jié)反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)一、反函數(shù)

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D,值域為W,如果對每一個,都有確定的且滿足的使得與之對應(yīng),其對應(yīng)法則記為.這個定義在W上的函數(shù)稱為函數(shù)的反函數(shù).或稱其為互為反函數(shù).反函數(shù)的定義域為W值域為D.習(xí)慣上將改寫為52函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是變量x與y互換,所以它們的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的.

例設(shè)函數(shù)y=2x–3，求它的反函數(shù).解53二、復(fù)合函數(shù)

定義設(shè)y是u的函數(shù)y=f(u)，,而u是x的函數(shù)并且的值域包含f(u)的定義域,即,則y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù),稱此函數(shù)是由y=f(u)及復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，記作并稱x為自變量,稱u為中間變量.變量之間關(guān)系為因變量中間變量自變量54所以可以復(fù)合,復(fù)合函數(shù)為的定義域為值域為所以使可以復(fù)合,應(yīng)滿足其復(fù)合函數(shù)為例求下列函數(shù)的復(fù)合函數(shù)解

(1)由于的定義域為

(2)由于的定義域為的定義域為值域為55例下列函數(shù)是由哪幾個函數(shù)復(fù)合而成.解所討論的復(fù)合函數(shù)由下列函數(shù)復(fù)合而成復(fù)合函數(shù)的復(fù)合與分解關(guān)系函數(shù)復(fù)合函數(shù)分解函數(shù)由里到外函數(shù)由外到里56例解57第一章函數(shù)第三節(jié)初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)二、初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)(一)常函數(shù)y=C(C為常數(shù))常函數(shù)的定義域為,無論x取何值，y都取值常數(shù)C.第三節(jié)初等函數(shù)常函數(shù)的圖象為平行于x軸且與x軸間距為C的水平直線.y=C60(二)冪函數(shù)冪函數(shù)的定義域隨的不同而不同.61指數(shù)函數(shù)的定義域為.當(dāng)a>1時，它嚴(yán)格單調(diào)增加；當(dāng)0<a<1時，它嚴(yán)格單調(diào)減少.對于任何的a,的值域都是，函數(shù)的圖形都過(0,1)點.在高等數(shù)學(xué)中，常用到以e為底的指數(shù)函數(shù)這里e=2.7182818，是一個無理數(shù).62對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),它的定義域為.當(dāng)a>1時,它嚴(yán)格單調(diào)增加;當(dāng)0<a<1時,它嚴(yán)格單調(diào)減少.對于任何限定的a，的值域都是,函數(shù)的圖形都過(1,0)點.在微積分中,常用到以e為底的對數(shù)函數(shù)(記作lnx),lnx稱為自然對數(shù).63(五)三角函數(shù)正弦函數(shù)

y=sinx;余弦函數(shù)y=cosx;y=sinx與y=cosx

的定義域均為，它們都是以為周期的函數(shù),都是有界函數(shù).sinx

是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù).64正切函數(shù)y=tanx;余切函數(shù)y=cotx;65(六)反三角函數(shù)反正弦函數(shù)反余弦函數(shù)反正切函數(shù)反余切函數(shù)66二、初等函數(shù)定義由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算經(jīng)過有限次復(fù)合運算所構(gòu)成,并可用一個式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù)

.67第一章函數(shù)第四節(jié)函數(shù)模型一、實際問題函數(shù)模型舉例二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型

第四節(jié)函數(shù)模型函數(shù)模型是一種反應(yīng)變量之間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型．它是一種最基本的數(shù)學(xué)模型形式.

一、實際問題函數(shù)模型舉例函數(shù)模型通?？梢酝ㄟ^解析式進行表示，用解析式表示實際問題的過程是：

(1)分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示；

(2)根據(jù)所給條件，運用數(shù)學(xué)、物理等知識規(guī)律確定等量關(guān)系；

(3)具體寫出解析式，并指明定義域．70

例欲建一個容積為V的長方體游泳池，它的底面為正方形，如果所用材料單位面積的造價池底是池壁的3倍，試將總造價表示為底面邊長的函數(shù).

解設(shè)底面邊長為x，總造價為P

，池壁單位面積的造價為a

，底面單位面積造價為3a，則游泳池的高為，側(cè)面積為，故總造價函數(shù)模型為71例某運輸公司規(guī)定貨物的噸公里運價為:在a公里以內(nèi)每公里k元;超過a公里,超出部分每公里為0.8k元,秋運價P與里程s之間的函數(shù)關(guān)系.解根據(jù)題意可列出函數(shù)關(guān)系為這里運價與里程之間的函數(shù)關(guān)系為分段函數(shù).定義域為72

例指數(shù)函數(shù)模型是實際問題中廣泛應(yīng)用的一類模型，很多自然現(xiàn)象可以通過指數(shù)函數(shù)模型進行描述.

（1）衰減記憶模型假設(shè)t周后你能記住所學(xué)知識的百分比是P（t），則其中Q是難以忘記的百分比，k是一個常數(shù)，它依賴于所要記憶的知識.

（2）赫爾學(xué)習(xí)模型一個打字員學(xué)習(xí)打字，t周后每分鐘打的英語單詞數(shù)W的函數(shù)模型為73二、幾種常用的經(jīng)濟函數(shù)模型

1．需求函數(shù)與供給函數(shù)設(shè)商品的需求量與供給量分別用Q和S表示，商品價格為p，若忽略市場其它因素的影響，只考慮反映該商品的價格因素，則Q和S分別為p的函數(shù)，即有（價格取非負(fù)值），稱為需求函數(shù).（價格取非負(fù)值），稱為供給函數(shù).通常需求函數(shù)是價格的單調(diào)減少函數(shù)，商品供給函數(shù)是商品價格的單調(diào)增加函數(shù).74，，，，，類型需求函數(shù)供給函數(shù)線性函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)常用的需求函數(shù)與供給函數(shù)模型75當(dāng)市場上的需求量和供給量相等時，需求關(guān)系與供給關(guān)系達到某種平衡，這時的價格和需求量分別稱為均衡價格與均衡量，而稱為均衡點.如果把需求曲線和供給曲線畫在同一坐標(biāo)系中，由于需求函數(shù)Q是單調(diào)減少函數(shù)，供給函數(shù)S是增加函數(shù)，它們相交于的點為均衡點，其橫縱坐標(biāo)即為均衡價格與均衡量.p0Q=Q(p)Q0OS=S(p)pQ76

例某商品的需求量和供給量與其價格滿足如下關(guān)系式：和試求市場平衡的價格和數(shù)量.

解求均衡價格和數(shù)量，即解方程組解之得或（無意義）故所求均衡價格為84個單位，均衡數(shù)量為8個單位.77

2．成本函數(shù)、收益函數(shù)與利潤函數(shù)

總成本是指生產(chǎn)一定數(shù)量的某種產(chǎn)品所需費用的總和；總收益是指產(chǎn)品出售后所得到的收入；總利潤則是指總收益減去總成本．若只考慮產(chǎn)品的數(shù)量q，而不考慮市場其它因素的影響，則用表示總成本函數(shù)；表示總收益函數(shù)；表示總利潤函數(shù)．總成本函數(shù)一般可分為固定成本與可變成本兩部分，則總成本函數(shù)

78如果產(chǎn)品的銷售價格函數(shù)，則總收益函數(shù)為總利潤函數(shù)為生產(chǎn)個單位產(chǎn)品時的平均成本、平均收益和平均利潤分別為79

例某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品，年產(chǎn)量為臺，每臺售價為250元，當(dāng)年產(chǎn)量在600臺以內(nèi)時，可以全部售出．經(jīng)廣告宣傳后又可再多售出200臺，每臺平均廣告費20元，若再生產(chǎn)，本年就銷不出去了．試建立本年的銷售總收入R與年產(chǎn)量q之間的函數(shù)關(guān)系．解當(dāng)時當(dāng)時當(dāng)時80所以，銷售總收入R與年產(chǎn)量q之間的函數(shù)關(guān)系為8183線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第二章極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限第二節(jié)函數(shù)的極限第三節(jié)無窮小與無窮大第四節(jié)極限的運算法則第五節(jié)兩個重要極限第六節(jié)無窮小的比較第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限存在準(zhǔn)則問題導(dǎo)言——極限思想方法的歷史淵源第一節(jié)數(shù)列的極限

自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術(shù)運算是計算不出來的,而必須通過分析一個無限變化的過程的變化趨勢才能求得結(jié)果,這正是極限思想和極限概念產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ).

極限思想的淵遠(yuǎn)流源,早在2500年前就已產(chǎn)生.

古希臘偉大數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用窮竭法解決過曲邊三角形的面積.

公元三世紀(jì),我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其所著的《九章算術(shù)》中增用割圓術(shù)解決了圓的面積.這些方法中都已滲透著極限的思想.劉徽割圓術(shù)阿基米德窮竭法xoy一、數(shù)列的概念定義按一定順序排列起來的無窮多個數(shù)稱為數(shù)列.通常稱為數(shù)列的第一項,為第二項，將第n項稱為通項或一般項.數(shù)列可以簡記為.例數(shù)列可以理解為關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，因此,數(shù)列又稱為整變量函數(shù),其定義域是正整數(shù)集.數(shù)列的幾何表示(1)用數(shù)軸上的點列表示數(shù)列.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(2)用坐標(biāo)面上的點表示數(shù)列.單調(diào)增加的.單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.單調(diào)減少的.例定義在數(shù)軸上,單調(diào)增加的數(shù)列是自左向右依次排列的點列.單調(diào)減少的數(shù)列是自右向左依次排列的點列.

定義對于數(shù)列,若存在正數(shù)M,使得對于一切的n都有成立,則稱數(shù)列是有界的,否則稱是無界的.例為有界數(shù)列.在數(shù)軸上,對有界數(shù)列表示的點列全部落在某一區(qū)間[－M，M]之內(nèi),表示無界數(shù)列的點列,無論區(qū)間[－M，M]多么長,總有落在該區(qū)間之外的點.圓內(nèi)接正多邊形的面積數(shù)列

1.割圓術(shù)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)關(guān)于圓的面積計算中提到:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”圓內(nèi)接正六邊形的面積圓內(nèi)接正十二邊形的面積圓內(nèi)接正邊形的面積二、數(shù)列極限問題引例2.截丈問題我國古代著名的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的論斷,就是數(shù)列極限思想的體現(xiàn).變化趨勢觀察下列數(shù)列的變化趨勢.三、數(shù)列的極限數(shù)列的變化趨勢,可以通過平面直角坐標(biāo)系上的圖形來直觀表示.(3)當(dāng)n無限增大時，沒有確定的變化趨勢.

(2)當(dāng)n無限增大時，無限接近于0.(1)當(dāng)n無限增大時，無限接近于1.數(shù)列的變化趨勢(4)當(dāng)n無限增大時，無限增大.

定義設(shè)數(shù)列,若當(dāng)n無限地增大時,

無限趨近于某一確定常數(shù)A,則稱常數(shù)A為數(shù)列在n趨于無窮大時的極限.記為觀察幾何圖形可知下述數(shù)列的極限四、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理(唯一性)

若數(shù)列收斂,則其極限唯一.定理

(有界性)

收斂數(shù)列必有界.

例數(shù)列是有界的,而是發(fā)散的.說明:(1)無界數(shù)列一定是發(fā)散的.(2)數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,但非充分條件.定理

（單調(diào)有界原理）

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.例

設(shè)

觀察數(shù)列的極限

由數(shù)據(jù)和圖形觀察數(shù)列的變化趨勢123510100100010000…22.252.372.4882.5942.7052.7172.718…可以看出，當(dāng)時，數(shù)列變化的大致趨勢是單調(diào)遞增，且，可以證明

數(shù)e是一個無理數(shù)100線性代數(shù)高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)微積分高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中國人民大學(xué)出版社第二章極限與連續(xù)第一節(jié)數(shù)列的極限第二節(jié)函數(shù)的極限第三節(jié)無窮小與無窮大第四節(jié)極限的運算法則第五節(jié)兩個重要極限第六節(jié)無窮小的比較第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

第一節(jié)數(shù)列的極限一、數(shù)列的概念二、數(shù)列的極限三、數(shù)列極限存在準(zhǔn)則問題導(dǎo)言——極限思想方法的歷史淵源第一節(jié)數(shù)列的極限

自然界中有很多量僅僅通過有限次的算術(shù)運算是計算不出來的,而必須通過分析一個無限變化的過程的變化趨勢才能求得結(jié)果,這正是極限思想和極限概念產(chǎn)生的客觀基礎(chǔ).

極限思想的淵遠(yuǎn)流源,早在2500年前就已產(chǎn)生.

古希臘偉大數(shù)學(xué)家阿基米德(Archimedes公元前287—212年)曾用窮竭法解決過曲邊三角形的面積.

公元三世紀(jì),我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在其所著的《九章算術(shù)》中增用割圓術(shù)解決了圓的面積.這些方法中都已滲透著極限的思想.劉徽割圓術(shù)阿基米德窮竭法xoy一、數(shù)列的概念定義按一定順序排列起來的無窮多個數(shù)稱為數(shù)列.通常稱為數(shù)列的第一項,為第二項，將第n項稱為通項或一般項.數(shù)列可以簡記為.例數(shù)列可以理解為關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)，因此,數(shù)列又稱為整變量函數(shù),其定義域是正整數(shù)集.數(shù)列的幾何表示(1)用數(shù)軸上的點列表示數(shù)列.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系(2)用坐標(biāo)面上的點表示數(shù)列.單調(diào)增加的.單調(diào)增加或單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.單調(diào)減少的.例定義在數(shù)軸上,單調(diào)增加的數(shù)列是自左向右依次排列的點列.單調(diào)減少的數(shù)列是自右向左依次排列的點列.

定義對于數(shù)列,若存在正數(shù)M,使得對于一切的n都有成立,則稱數(shù)列是有界的,否則稱是無界的.例為有界數(shù)列.在數(shù)軸上,對有界數(shù)列表示的點列全部落在某一區(qū)間[－M，M]之內(nèi),表示無界數(shù)列的點列,無論區(qū)間[－M，M]多么長,總有落在該區(qū)間之外的點.圓內(nèi)接正多邊形的面積數(shù)列

1.割圓術(shù)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在九章算術(shù)關(guān)于圓的面積計算中提到:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣.”圓內(nèi)接正六邊形的面積圓內(nèi)接正十二邊形的面積圓內(nèi)接正邊形的面積二、數(shù)列極限問題引例2.截丈問題我國古代著名的“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”的論斷,就是數(shù)列極限思想的體現(xiàn).變化趨勢觀察下列數(shù)列的變化趨勢.三、數(shù)列的極限數(shù)列的變化趨勢,可以通過平面直角坐標(biāo)系上的圖形來直觀表示.(3)當(dāng)n無限增大時，沒有確定的變化趨勢.

(2)當(dāng)n無限增大時，無限接近于0.(1)當(dāng)n無限增大時，無限接近于1.數(shù)列的變化趨勢(4)當(dāng)n無限增大時，無限增大.

定義設(shè)數(shù)列,若當(dāng)n無限地增大時,

無限趨近于某一確定常數(shù)A,則稱常數(shù)A為數(shù)列在n趨于無窮大時的極限.記為觀察幾何圖形可知下述數(shù)列的極限數(shù)列極限定義的精確化數(shù)列極限定義用邏輯語言表述為：注：正數(shù)具有任意性和給定性，它是用于衡量與A接近程度的.極限定義的幾何意義當(dāng)時，所有點全部落在區(qū)間內(nèi)，只有有限多個（最多N個）點落在區(qū)間之外.當(dāng)n無限增大時，區(qū)間向點A無限收縮，介于區(qū)間

內(nèi)的點就向A無限趨近.例

證明分析

因為對于任意給定，要使，只要即即可.證明對于任意給定，取所以例

證明證明由于所以因此，要使只要即，于是對于任意給定，取四、收斂數(shù)列的性質(zhì)定理(唯一性)

若數(shù)列收斂,則其極限唯一.定理

(有界性)

收斂數(shù)列必有界.

例數(shù)列是有界的,而是發(fā)散的.說明:(1)無界數(shù)列一定是發(fā)散的.(2)數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件,但非充分條件.定理

（單調(diào)有界原理）

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.單調(diào)有界準(zhǔn)則

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.準(zhǔn)則的幾何解釋:在數(shù)軸上,對應(yīng)于單調(diào)數(shù)列的點列只能從開始向一個方向排列,所以只有兩種可能情況：或者點列沿數(shù)軸移向無窮遠(yuǎn)處(此時發(fā)散)；或者點列無限趨近于某一個定點a(常數(shù))，也就是以A為極限.因此,對有界數(shù)列必有極限.例

設(shè)

觀察數(shù)列的極限

由數(shù)據(jù)和圖形觀察數(shù)列的變化趨勢123510100100010000…22.252.372.4882.5942.7052.7172.718…可以看出，當(dāng)時，數(shù)列變化的大致趨勢是單調(diào)遞增，且可以證明

數(shù)e是一個無理數(shù)第二章極限與連續(xù)第二節(jié)函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限三、單側(cè)極限四、函數(shù)極限的性質(zhì)在此可理解為一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限對比數(shù)列極限的定義，給出下面函數(shù)極限的定義.

自變量趨于無窮大時的幾種形式第二節(jié)函數(shù)的極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在上有定義,A為一個常數(shù).若當(dāng)

無限增大時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.記為xyO幾何意義類似的可以定義極限定理設(shè)f(x)在內(nèi)有定義,A為常數(shù).若當(dāng)x無限增大時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.設(shè)f(x)在內(nèi)有定義,A為常數(shù).若當(dāng)x無限減小時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.由圖形可知下列基本初等函數(shù)的極限

定義

若當(dāng)（或）時，（C

為常數(shù)），即，則稱曲線有水平漸近線.例由知為曲線的水平漸近線.二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

自變量趨于有限值時的幾種形式自變量趨向有限值分為以下幾種形式考察函數(shù)當(dāng)自變量

時的變化趨勢.函數(shù)變化數(shù)據(jù)表如下從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量時,x0.50.90.991.011.11.5f

(x)1.51.91.992.012.12.5再考察函數(shù)當(dāng)自變量

的變化趨勢.仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量時,上述兩例說明：處沒有定義.處有定義.而當(dāng)時，都有相同的變化趨勢.通常稱當(dāng)存在極限值2.

定義對于函數(shù)在附近有定義(在處可以有定義也可以無定義）若在的過程中,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限趨近于確定的數(shù)值A(chǔ),則稱A

是函數(shù)當(dāng)時的極限.說明：由定義知極限與函數(shù)在點的狀況（是否有定義;或有定義時,是否等于A）是無關(guān)的.xy由基本初等函數(shù)圖像可知下列極限成立.在的定義中,若只考慮x從的某一側(cè)(從小于的一側(cè)或從大于的一側(cè))趨近于時f(x)的變化趨勢,則有左極限和右極限的概念.類似可定義左極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義，A為常數(shù).若當(dāng)x從的右側(cè)(大于的一側(cè))趨近于時,f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱f(x)在處的右極限為A.記為三、單側(cè)極限左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.根據(jù)時函數(shù)f(x)的極限定義、左極限和右極限的定義,可以得到下面的結(jié)論.定理y=f(x)xOyy=f(x)xOyAA左極限右極限對于分段函數(shù)在分段點處是否存在極限通常用此定理進行討論.函數(shù)f(x)在點x=0處的左、右極限都存,在但不相等.所以極限不存在.例解四、函數(shù)極限的性質(zhì)定理(唯一性)定理(局部有界性)定理（保號性）定理（保序性）第二章極限與連續(xù)第二節(jié)函數(shù)的極限一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限三、單側(cè)極限四、函數(shù)極限的性質(zhì)在此可理解為一、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限對比數(shù)列極限的定義，給出下面函數(shù)極限的定義.

自變量趨于無窮大時的幾種形式第二節(jié)函數(shù)的極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在上有定義,A為一個常數(shù).若當(dāng)

無限增大時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.記為定義

極限定義的幾何意義：對任意給定的正數(shù)，在直線的上、下方各作一直線，則存在使得在區(qū)間與內(nèi)函數(shù)的圖形全部落在這兩條直線之間.xyO141例

證明證明所以對于任意給定，由于即取則當(dāng)有類似的可以定義極限定理設(shè)f(x)在內(nèi)有定義,A為常數(shù).若當(dāng)x無限增大時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.設(shè)f(x)在內(nèi)有定義,A為常數(shù).若當(dāng)x無限減小時,函數(shù)f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱函數(shù)f(x)當(dāng)以A為極限.由圖形可知下列基本初等函數(shù)的極限

定義

若當(dāng)（或）時，（C

為常數(shù)），即，則稱曲線有水平漸近線.例由知為曲線的水平漸近線.二、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

自變量趨于有限值時的幾種形式自變量趨向有限值分為以下幾種形式考察函數(shù)當(dāng)自變量

時的變化趨勢.函數(shù)變化數(shù)據(jù)表如下從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量時,x0.50.90.991.011.11.5f

(x)1.51.91.992.012.12.5再考察函數(shù)當(dāng)自變量

的變化趨勢.仿上例可以得到下表.x0.50.90.991.011.11.5g(x)1.51.91.992.012.12.5從上述圖表中可以看出,當(dāng)自變量時,上述兩例說明：處沒有定義.處有定義.而當(dāng)時，都有相同的變化趨勢.通常稱當(dāng)存在極限值2.

定義對于函數(shù)在附近有定義(在處可以有定義也可以無定義）若在的過程中,對應(yīng)的函數(shù)值f(x)無限趨近于確定的數(shù)值A(chǔ),則稱A

是函數(shù)當(dāng)時的極限.記為說明：由定義知極限與函數(shù)在點的狀況（是否有定義;或有定義時,是否等于A）是無關(guān)的.xy148函數(shù)極限定義的精確化定義函數(shù)極限定義可以簡述為150

極限定義的幾何意義：對任意給定的正數(shù)，在直線的上、下方各作一直線，則存在使得在區(qū)間與內(nèi)函數(shù)的圖形全部落在這兩條直線之間.xyxy151例

證明證明所以對于任意給定，當(dāng)時，為使即取則當(dāng)時，有由基本初等函數(shù)圖像可知下列極限成立.在的定義中,若只考慮x從的某一側(cè)(從小于的一側(cè)或從大于的一側(cè))趨近于時f(x)的變化趨勢,則有左極限和右極限的概念.類似可定義左極限定義設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義，A為常數(shù).若當(dāng)x從的右側(cè)(大于的一側(cè))趨近于時,f(x)無限趨近常數(shù)A,則稱f(x)在處的右極限為A.記為三、單側(cè)極限左極限和右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.根據(jù)時函數(shù)f(x)的極限定義、左極限和右極限的定義,可以得到下面的結(jié)論.定理y=f(x)xOyy=f(x)xOyAA左極限右極限對于分段函數(shù)在分段點處是否存在極限通常用此定理進行討論.函數(shù)f(x)在點x=0處的左、右極限都存,在但不相等.所以極限不存在.例解四、函數(shù)極限的性質(zhì)定理(唯一性)證明定理(局部有界性)證明定理（保號性）證明類似的可以證明情形定理（保序性）證明第二章極限與連續(xù)第三節(jié)無窮小與無窮大一、無窮小量二、無窮大量三、無窮小與無窮大的關(guān)系一、無窮小量第三節(jié)無窮小與無窮大注意無窮小量是在某一過程中,以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數(shù).0是可以作為無窮小量的唯一的一個數(shù).定義若則稱

是極限過程下的無窮小量，簡稱無窮小.1.無窮小量的定義

1.要指明自變量的變化過程(如)；說明:在確定一個量是否為無窮小量應(yīng)注意2.在這個過程中,函數(shù)f(x)以0為極限.例例2.極限與無窮小量的關(guān)系證(必要性)定理

例

當(dāng)時，將函數(shù)寫成其極限值與一個無窮小量之和的形式．解所以，為所求極限值與一個無窮小量之和的形式．

無窮小與微積分無窮小量在建立微積分時具有基礎(chǔ)性的地位，早期的微積分常稱為無窮小分析.在17世紀(jì)下半葉微積分創(chuàng)立以后，微積分在解決過去無法解決的許多實際問題中顯示了巨大的威力，但由于當(dāng)時還沒有建立起嚴(yán)密的極限理論，在實際應(yīng)用中常常將無窮小時而變成0，時而又說不是0，顯得很“神秘”，難以捉摸，甚至微積分的主要創(chuàng)立者牛頓，也難以擺脫由無窮小引起的概念上的混亂，因此，微積分的“神秘性”受到了唯心主義哲學(xué)家們的猛烈攻擊，嘲笑無窮小是“逝去的鬼魂”.引起了數(shù)學(xué)史上著名的“第二次數(shù)學(xué)危機”.為了微積分的健康發(fā)展，也為了擺脫這種危機，以及克服由于沒有嚴(yán)格的極限理論而導(dǎo)致的一些混亂，許多數(shù)學(xué)家在為微積分建立嚴(yán)密的理論基礎(chǔ)方面做出了許多工作.性質(zhì)1

有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.性質(zhì)2

有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.推論常量與無窮小之積為無窮小.性質(zhì)3

有限個無窮小之積為無窮小.3.無窮小的性質(zhì)注意:無窮多個無窮小量的代數(shù)和未必是無窮小量.注意：兩個無窮小之商未必是無窮小.解例定義設(shè)函數(shù)f(x)在的某去心鄰域內(nèi)有定義.若當(dāng)時,無限增大,則稱f(x)當(dāng)時為無窮大量，簡稱無窮大，并且記為二、無窮大

若當(dāng)時,(或)無限增大,則稱f(x)當(dāng)時為正無窮大(或負(fù)無窮大),記為

無窮大的幾點說明：

1.函數(shù)f(x)當(dāng)時為無窮大,則極限是不存在的.簡記為

2.無窮大量是一個絕對值可無限增大的變量,不是絕對值很大很大的固定數(shù).類似地可以給出x的其他趨向下的無窮大量定義.無窮大的圖形特征例三、無窮小與無窮大的關(guān)系定理即無窮小與無窮大的關(guān)系為：在自變量的同一趨向下,無窮大的倒數(shù)是無窮小,無窮小(不等于0)的倒數(shù)是無窮大.需要指出的是無窮大與無窮小不同的是：在自變量的同一變化過程中，兩個無窮大的和、差與商是沒有確定結(jié)果的，需具體問題具體考慮.第二章極限與連續(xù)第四節(jié)極限的運算法則一、極限的四則運算法則二、復(fù)合函數(shù)極限運算法則定理一、極限的四則運算第四節(jié)極限的運算法則證明定理中的(1)和(2)可以推廣到有限個函數(shù)的代數(shù)和及乘積的極限情況.結(jié)論(2)還有如下常用的推論.結(jié)論(2)還有如下常用的推論.推論1

設(shè)存在，則對于常數(shù)c，有推論2

設(shè)存在，則對于正整數(shù)n，有例解例解

多項式(有理整函數(shù))的極限則有即有理分式函數(shù)的極限例解例解例解例解有理分式函數(shù)的極限其中m，n為正整數(shù).此結(jié)論可以作為公式使用.例求極限解例解先變形再求極限.二、復(fù)合函數(shù)極限運算法則

定理設(shè)函數(shù)與的復(fù)合函數(shù)為

,若，，且在點的某一去心鄰域內(nèi)，則復(fù)合函數(shù)在點處極限存在，且特殊地，若則（變量代換）（位置互換）例求極限

解當(dāng)時分子分母極限均為零，為型未定式，不能直接用商的極限法則.作變換令，則當(dāng)時，，從而第二章極限與連續(xù)第五節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限一、極限存在準(zhǔn)則二、兩個重要極限第五節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限一、極限存在準(zhǔn)則定理定理xy例證明極限證

在作圓的內(nèi)接正多邊形求圓面積時,當(dāng)邊數(shù)無限增多時弦與弧將無限接近,因此弦與弧比的極限.二、兩個重要極限問題的提出:圓的弦與弧之比的極限ABO所以xOy如圖.設(shè)圓心角過點A作圓的切線與OB的延長線交于點C，又作重要極限一

證則sinx=BC，tanx=AD，DABCO又因為和都是偶函數(shù)，所以，由函數(shù)極限夾迫準(zhǔn)則得該極限是微積分中的重要極限之一，后續(xù)內(nèi)容中有關(guān)三角函數(shù)的一些重要公式可由該公式推得，應(yīng)該熟練掌握該公式，重要極限的應(yīng)用說明

1.重要極限的一般形式

2.重要極限解決問題的特征：重要極限解決含有三角函數(shù)的型極限.

3.應(yīng)用重要極限求極限時,既要注意比值的結(jié)構(gòu)特征,又要注意極限過程.（極限變形）例解例解例解例解重要極限二觀察如下數(shù)據(jù)表1231010010001000022.252.372.5942.7052.7172.718

從表中可以看出當(dāng)x無限增大時,函數(shù)無限逼近確定的數(shù)值,此值為無理數(shù)e=2.718281828.自然界中植物、人口的增長，物體的冷卻放射元素衰變等現(xiàn)象都與指數(shù)函數(shù)及無理數(shù)e密切相關(guān).重要極限的應(yīng)用說明

1.重要極限的變形2.重要極限解決問題的特征重要極限主要解決冪指函數(shù)的型極限.3.應(yīng)用重要極限求極限時,既要注意比值的結(jié)構(gòu)特征,又要注意極限過程.例解例解

例設(shè)有本金1000元,若用連續(xù)復(fù)利計算,年利率為8%,問5年末可得本利和為多少？解設(shè)復(fù)利一年計算一次，則一年未本利和為若復(fù)利三個月為一期計算，則x年末本利和為同理，若復(fù)利一年計算n次，則x年末本利和為現(xiàn)設(shè)想n無限增大，以致復(fù)利接連不斷地計算，則

當(dāng)時，稱之為連續(xù)復(fù)利，其極限為第二章極限與連續(xù)第六節(jié)無窮小的比較一、無窮小的比較二、等價無窮小的性質(zhì)第六節(jié)無窮小的比較

一、無窮小的比較兩個無窮小的和、差、積都是無窮小.但兩個無窮小的商確會出現(xiàn)不同情況.例這些情形表明,同為無窮小,但它們趨于0的速度有快有慢.為了比較不同的無窮小趨于0的速度,引入無窮小量階的概念.這些無窮小的商為定義

同階無窮小.例二、等價無窮小的性質(zhì)定理證明因為即由極限與無窮小之間的關(guān)系知其中即所以無窮小等價代換定理證用此定理求兩個無窮小之比的極限時,若極限難求,可用分子、分母各自的等價無窮小來代替,以簡化運算.應(yīng)用無窮小等價代換定理求極限，需要預(yù)先知道一些等價無窮小.常用等價無窮小的有：例解例解例解所以例解所以例解

注意：相乘(除)的無窮小都可用各自的等價無窮小代換,但是相加(減)的無窮小的項不能作等價代換.第二章極限與連續(xù)第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)與間斷的直觀描述二、函數(shù)連續(xù)與間斷概念三、連續(xù)函數(shù)的運算四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)問題導(dǎo)言——連續(xù)與間斷第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化、河水的流動、植物的生長等都是隨時間連續(xù)地變化的.這種現(xiàn)象在反映在函數(shù)關(guān)系上就是函數(shù)的連續(xù)性.連續(xù)性描述了自然界的漸變現(xiàn)象.除了漸變現(xiàn)象，自然界還存在突變現(xiàn)象，突變現(xiàn)象則反映的是函數(shù)的間斷特征.連續(xù)與間斷問題舉例

在此，從函數(shù)連續(xù)與間斷的矛盾關(guān)系出發(fā)，展開對函數(shù)連續(xù)與間斷特征的研究.放射性元素鈾的衰變的數(shù)學(xué)模型火箭飛行中的質(zhì)量變化函數(shù)圖形一、連續(xù)與間斷舉例與描述連續(xù)與間斷點特征分析間斷點特征連續(xù)點特征定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量趨向于零時，相應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù).定義1.連續(xù)函數(shù)的概念二、連續(xù)與間斷概念函數(shù)連續(xù)性的判別函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)的幾何意義是：f(x)的圖形在點(x0,f(x0))處是聯(lián)結(jié)在一起的，沒有斷隙.函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，其圖形是一條連接不斷的曲線.函數(shù)的單側(cè)連續(xù)若則稱函數(shù)f(x)在點x0左連續(xù).若則稱函數(shù)f(x)在點x0右連續(xù).

定理函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)的充分必要條件是f(x)在點x0處既左連續(xù)又右連續(xù).即函數(shù)的單側(cè)連續(xù)主要用于分段函數(shù)分?jǐn)帱c及區(qū)間端點處函數(shù)連續(xù)特征的討論.若函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點都連續(xù),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),且稱它是開區(qū)間(a,b)上的連續(xù)函數(shù).若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù),并且在左端點a處右連續(xù)，右端點b處左連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).且稱它是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù).區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)結(jié)論

基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)為連續(xù)函數(shù).例解因此f(x)在x=0點連續(xù).例設(shè)函數(shù)，問當(dāng)a為何值時，在處連續(xù)？解函數(shù)在處有定義，且因為要使在處連續(xù)，應(yīng)滿足即當(dāng)時，在處連續(xù).2、函數(shù)的間斷點定義但是極限不存在，所以x=0是函數(shù)f(x)的間斷點.例例函數(shù)在x=1