中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點與壓軸題型專項突破訓(xùn)練專題11 相似三角形的綜合問題（重點突圍）(教師版)

專題11相似三角形的綜合問題【中考考向?qū)Ш健磕夸汿OC\o"1-3"\h\u【直擊中考】 1【考向一(雙)A字型相似】 1【考向二(雙)8字型相似】 8【考向三母子型相似】 16【考向四旋轉(zhuǎn)相似】 24【考向五K字型相似】 37【直擊中考】【考向一(雙)A字型相似】例題：（2022·上?！ぞ拍昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在△ABC中，點D在邊AB上，點E、點F在邊AC上，且DESKIPIF1<0BC，SKIPIF1<0．（1）求證：DFSKIPIF1<0BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6SKIPIF1<0．求證△ADE∽△AEB．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解【分析】（1）由題意易得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，進而問題可求證；（2）由（1）及題意可知SKIPIF1<0，然后可得SKIPIF1<0，進而可證SKIPIF1<0，最后問題可求證．【詳解】解：（1）∵DESKIPIF1<0BC，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴DFSKIPIF1<0BE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，SKIPIF1<0，AE=6，∵AB＝6SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0上一點，點E在SKIPIF1<0上，連接SKIPIF1<0交于點F，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0＝__________．【答案】2【分析】過D作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于H點，過D作SKIPIF1<0交BC于G點，先利用解直角三角形求出SKIPIF1<0的長，其次利用SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的長，得出SKIPIF1<0的長，最后利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的長，最后得出答案．【詳解】解：如圖：過D作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于H點，過D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于G點，∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案為：2．【點睛】本題考查勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)綜合，解題關(guān)鍵在于正確做出輔助線，利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例求出答案．2．（2023秋·安徽六安·九年級校考期末）如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0邊上的高．求證：SKIPIF1<0．【答案】見詳解【分析】先證明SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，再結(jié)合SKIPIF1<0，即可證明SKIPIF1<0．【詳解】∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0邊上的高，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2021秋·山東濟寧·九年級校考階段練習(xí)）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，現(xiàn)有動點P從點A出發(fā)，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發(fā)，沿線段CB也向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/s，點Q的速度是2cm/s，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設(shè)運動時間為t秒．（1）求運動時間為多少秒時，P、Q兩點之間的距離為10cm?（2）若SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)t為多少時，以點C，P，Q為頂點的三角形與SKIPIF1<0相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)題意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得答案；（2）若運動的時間為ts，則CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面積計算公式，即可得出S=20t-4t2，再結(jié)合各線段長度非負，即可得出t的取值范圍；（3）分①SKIPIF1<0和②SKIPIF1<0，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：由運動知，AP=4tcm，CQ=2tcm，∵AC=20cm，∴CP=（20-4t）cm，在Rt△CPQ中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0秒或SKIPIF1<0秒（2）由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0；（3）分兩種情況：①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，以點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為頂點的三角形與SKIPIF1<0相似．【點睛】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0中，點D在SKIPIF1<0邊上，且SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0；（2）點E在SKIPIF1<0邊上，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點F，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周長等于30，求SKIPIF1<0的長．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0＝60°；（3）AF＝11【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角與外角之間的關(guān)系建立等式，運用等量代換得出SKIPIF1<0，證得SKIPIF1<0；（2）作CH＝BE，連接DH，根據(jù)角的數(shù)量關(guān)系證得SKIPIF1<0，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH為等邊三角形，即可得出SKIPIF1<0＝60°；（3）借助輔助線AO⊥CE，構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合平行線構(gòu)造△BFE∽△BDH，建立相應(yīng)的等量關(guān)系式，完成等式變形和求值，即可得出AF的值．【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝90°＋SKIPIF1<0∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴

∠A＝90°－SKIPIF1<0∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－SKIPIF1<0∠ABD．∴

∠A＝∠BDA＝90°－SKIPIF1<0∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如圖1，作CH＝BE，連接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH為等邊三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如圖2，過點A作AO⊥CE，垂足為O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等邊三角形．設(shè)AC＝CE＝AE＝x，則BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵△ABF的周長等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋SKIPIF1<0＋x－SKIPIF1<0=30，解得AB＝16－SKIPIF1<0．在Rt△ACO中，AC＝SKIPIF1<0，AO＝SKIPIF1<0，∴BO＝16－SKIPIF1<0．在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0（舍去）SKIPIF1<0．∴AC＝SKIPIF1<0．∴AF＝11．【點睛】本題考查了三角形角的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能熟練掌握三角形的性質(zhì)與全等判定并借助輔助線構(gòu)造特殊三角形的能力．【考向二(雙)8字型相似】例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分別交BC、AB于點E、F，DF交對角線AC于點M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求證：CE＝AF；（2）連接ME，若SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，AF＝2，求SKIPIF1<0的長．【答案】（1）見解析（2）2【分析】（1）通過已知條件，易證△ADF≌△CDE，即可求得；（2）根據(jù)SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，易求得BE和BF，根據(jù)已知條件可得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，證明△AMF∽△CMD，SKIPIF1<0，再證明△ABC～△MEC,即可求出ME．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，SKIPIF1<0，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，設(shè)BE＝BF＝x，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，AF＝2，∴SKIPIF1<0，解得x＝SKIPIF1<0，∴BE＝BF＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，且CE＝AF，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,

∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．【點睛】本題主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性質(zhì)，熟練它們的判定和性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022春·九年級課時練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，SKIPIF1<0，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和AE＝2ED即可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0∵△ABE∽△DFE，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)進行解題．2．（2022春·陜西渭南·八年級統(tǒng)考期末）如圖在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，CF交BE于點G，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___．【答案】2【分析】延長CF、BA交于M，根據(jù)已知條件得出EF＝AF，CE＝SKIPIF1<0DC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出DC∥AB，DC＝AB，根據(jù)全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根據(jù)相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，再求出答案即可．【詳解】解：延長CF、BA交于M，∵E是CD的中點，F(xiàn)是AE的中點，∴EF＝AF，CE＝SKIPIF1<0DC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝SKIPIF1<0AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中SKIPIF1<0，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝SKIPIF1<0AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴SKIPIF1<0，∵BE＝8，∴SKIPIF1<0，解得：GE＝2，故答案為：2．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能綜合運用知識點進行推理和計算是解此題的關(guān)鍵．3．（2022秋·北京房山·九年級統(tǒng)考期中）如圖，AD與BC交于O點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求CD的長．【答案】1.5【分析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，利用相似三角形的性質(zhì)可得出SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求出CD的長．【詳解】解：∵AD與BC交于O點，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例列式．4．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D為AB上一點，連接CD，分別過點A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．（1）求證：AN＝CM；（2）若點D滿足BD：AD＝2：1，求DM的長；（3）如圖2，若點E為AB中點，連接EM，設(shè)sin∠NAD＝k，求證：EM＝k．【答案】（1）見解析；（2）SKIPIF1<0；（3）見解析【分析】（1）證明△ACN≌△CBM（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出AN＝CM；（2）證明△AND∽△BMD，由相似三角形的性質(zhì)得出SKIPIF1<0，設(shè)AN＝x，則BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，由勾股定理得出x＝SKIPIF1<0，則可得出答案；（3）延長ME，AN相交于點H，證明△AHE≌△BME（AAS），得出AH＝BM，證得HN＝MN，過點E作EG⊥BM于點G，由等腰直角三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】（1）證明：∵AN⊥CD，BM⊥CD，∴∠ANC＝90°，∠BMC＝90°，又∠ACB＝90°，∴∠ACN+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，∴∠ACN＝∠CBM，又∵AC＝BC，∴△ACN≌△CBM（AAS），∴AN＝CM；（2）解：∵∠AND＝∠BMD，∠ADN＝∠BDM，∴△AND∽△BMD，∴SKIPIF1<0，設(shè)AN＝x，則BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，∵AN2+CN2＝AC2，∴x2+（2x）2＝12，∴x＝SKIPIF1<0，∴CM＝SKIPIF1<0，CN＝SKIPIF1<0，∴MN＝SKIPIF1<0，∴DM＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；（3）解：延長ME，AN相交于點H，∵E為AB的中點，∴AE＝BE，∵∠ANM＝90°，∠BMN＝90°，∴AN∥BM，∴∠HAE＝∠MBE，∠AHE＝∠BME，∴△AHE≌△BME（AAS），∴AH＝BM，又∵BM＝CN，CM＝AN，∴CN＝AH，∴MN＝HN，∴∠HMN＝45°，∴∠EMB＝45°，過點E作EG⊥BM于點G，∵sin∠NAD＝k，∠NAD＝∠EBG，∴sin∠EBG＝SKIPIF1<0＝k，又∵AC＝BC＝1，∴AB＝SKIPIF1<0，∴BE＝SKIPIF1<0，∴EG＝SKIPIF1<0k，∴EM＝SKIPIF1<0EG＝SKIPIF1<0k＝k．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·廣東佛山·?？既＃┤鐖D1，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的內(nèi)角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平分線，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長線于點SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，如果SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)如果SKIPIF1<0是銳角，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似，求SKIPIF1<0的度數(shù)，并直接寫出SKIPIF1<0的值．【答案】(1)見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（1）由題意：SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0即可解決問題．（2）延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．證明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．（3）因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中必有一個內(nèi)角為SKIPIF1<0因為SKIPIF1<0是銳角，推出SKIPIF1<0．接下來分兩種情形分別求解即可．【詳解】（1）證明：如圖1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）解：延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中必有一個內(nèi)角為SKIPIF1<0SKIPIF1<0是銳角，SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0．②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0．綜上所述，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．【考向三母子型相似】例題：（2022秋·全國·八年級專題練習(xí)）定義：如圖，若點P在三角形的一條邊上，且滿足SKIPIF1<0，則稱點P為這個三角形的“理想點”．(1)如圖①，若點D是SKIPIF1<0的邊AB的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，試判斷點D是不是SKIPIF1<0的“理想點”，并說明理由；(2)如圖②，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點D是SKIPIF1<0的“理想點”，求CD的長．【答案】(1)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的理想點,理由見解析(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）由已知可得SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可證點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想點”；（2）由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想點”，分三種情況：當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的高，根據(jù)面積法可求SKIPIF1<0長度；當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時，SKIPIF1<0，對應(yīng)邊成比例即可求SKIPIF1<0長度；SKIPIF1<0不可能在SKIPIF1<0上．（1）解：點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想點”，理由如下：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想點”；（2）①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上時，如圖：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想點”，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的高，當(dāng)SKIPIF1<0時，同理可證SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的高，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0“理想點”SKIPIF1<0不可能在SKIPIF1<0邊上，③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上時，如圖：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想點”，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，綜上所述，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想點”，SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解“理想點”的定義．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級?？计谥校┤鐖D，SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則線段SKIPIF1<0的長為___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】延長SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，可得等腰SKIPIF1<0和等腰SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再證明SKIPIF1<0，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求出SKIPIF1<0．【詳解】解：如圖所示，延長SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題主要考查了等腰三角形性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，利用已知二倍角關(guān)系①構(gòu)造等腰SKIPIF1<0和②構(gòu)造等腰SKIPIF1<0是解題關(guān)鍵．2．（2022秋·安徽蚌埠·九年級校考期中）如圖，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=SKIPIF1<0，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA．【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)AC=SKIPIF1<0，CD＝4，BD＝2，可得SKIPIF1<0，根據(jù)∠C=∠C，即可證明結(jié)論．【詳解】解：∵AC=SKIPIF1<0，CD＝4，BD＝2∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握知識點是解題關(guān)鍵．3．（2022秋·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┤鐖D，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高，SKIPIF1<0的平分線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積，(3)若SKIPIF1<0，請直接寫出SKIPIF1<0的值為______．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）利用同角的余角相等可得SKIPIF1<0，再由角平分線的定義可得SKIPIF1<0，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先根據(jù)SKIPIF1<0定理可證SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用勾股定理SKIPIF1<0，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得；（3）由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根據(jù)一元二次方程的解法求解即可得．【詳解】（1）證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分線，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．（3）解：如上圖，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（不符題意，舍去），∴SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)定理、解直角三角形的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·九年級專題練習(xí)）如圖：在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，動點Р以SKIPIF1<0的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以SKIPIF1<0的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，設(shè)P、Q兩點移動的時間為t秒SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0______m，SKIPIF1<0______m，SKIPIF1<0_____m（用含t的代數(shù)式表示）（2）t為多少秒時，以P、Q、C為頂點的三角形與SKIPIF1<0相似？（3）在P、Q兩點移動過程中，四邊形ABQP與SKIPIF1<0CPQ的面積能否相等？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）四邊形ABQP與SKIPIF1<0CPQ的面積不相等，理由見解析【分析】（1）根據(jù)矩形和勾股定理的性質(zhì)，計算得SKIPIF1<0，結(jié)合題意，根據(jù)代數(shù)式的性質(zhì)計算，即可得到答案；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程并求解，即可得到答案；（3）過點P作SKIPIF1<0，交BC于點M，通過證明SKIPIF1<0，根據(jù)相似比的性質(zhì)，推導(dǎo)得SKIPIF1<0，根據(jù)題意列一元二次方程，根據(jù)一元二次方程判別式的性質(zhì)分析，即可得到答案．【詳解】（1）∵矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0m∵動點Р以SKIPIF1<0的速度從A點出發(fā)，沿AC向C點移動，同時動點Q以SKIPIF1<0的速度從點C出發(fā)，沿CB向點B移動，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴當(dāng)SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0時，以P、Q、C為頂點的三角形與SKIPIF1<0相似當(dāng)SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；（3）如圖，過點P作SKIPIF1<0，交BC于點M∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵四邊形ABQP與SKIPIF1<0CPQ的面積相等,SKIPIF1<0四邊形ABQP面積SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0無解，即四邊形ABQP與SKIPIF1<0CPQ的面積不相等．【點睛】本題考查了代數(shù)式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形、一元二次方程判別式的性質(zhì)，從而完成求解．【考向四旋轉(zhuǎn)相似】例題：（2022秋·貴州貴陽·九年級?？计谥校┤鐖D1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0．(1)問題發(fā)現(xiàn)①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0＝______；②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0＝______；(2)拓展探究試判斷當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；(3)問題解決當(dāng)SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0逆時針旋轉(zhuǎn)至SKIPIF1<0三點在同一條直線上時，求線段SKIPIF1<0的長．【答案】(1)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，大小沒有變化，證明見解析(3)線段SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）①先利用勾股定理可得SKIPIF1<0，再根據(jù)線段中點的定義可得SKIPIF1<0，由此即可得；②先畫出圖形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，再利用勾股定理可得SKIPIF1<0，然后根據(jù)線段和差分別求出SKIPIF1<0的長，由此即可得；（2）根據(jù)相似三角形的判定證出SKIPIF1<0，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得；（3）分①點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延長線上和②點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，利用勾股定理求出SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0的長，再根據(jù)SKIPIF1<0求解即可得．【詳解】（1）解：①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0；②如圖1，SKIPIF1<0點SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，當(dāng)SKIPIF1<0時，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：SKIPIF1<0的大小不變，仍等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0長度不變，仍等于2，SKIPIF1<0的長度不變，仍等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案為：SKIPIF1<0．（2）解：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，大小沒有變化，證明如下：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）解：①如圖，當(dāng)點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延長線上時，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②如圖，當(dāng)點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上時，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；綜上，線段SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理等知識點，較難的是題（3），正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點D，E分別是SKIPIF1<0的中點．把SKIPIF1<0繞點B旋轉(zhuǎn)一定角度，連結(jié)SKIPIF1<0．(1)如圖2，當(dāng)線段SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)部時，求證：SKIPIF1<0．(2)當(dāng)點D落在直線SKIPIF1<0上時，請畫出圖形，并求SKIPIF1<0的長．(3)當(dāng)SKIPIF1<0面積最大時，請畫出圖形，并求出此時SKIPIF1<0的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析；SKIPIF1<0(3)見解析，SKIPIF1<0【分析】（1）根據(jù)點D，E分別是SKIPIF1<0的中點，得到SKIPIF1<0，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)，得到SKIPIF1<0，即可得證；（2）勾股定理定理求出SKIPIF1<0的長，中位線定理得到SKIPIF1<0，進而得到SKIPIF1<0，根據(jù)旋轉(zhuǎn)，得到SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，利用勾股定理求出SKIPIF1<0的長；（3）設(shè)點E到SKIPIF1<0的距離為h，判斷出h最大SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積最大，過點D作SKIPIF1<0于H，證明SKIPIF1<0，利用對應(yīng)邊對應(yīng)成比例，求出SKIPIF1<0的長，利用SKIPIF1<0進行求解即可．【詳解】（1）證明：∵點D，E分別是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，

由旋轉(zhuǎn)知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：如圖，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）圖∵點D，E分別是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵點D落在SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，根據(jù)勾股定理得，SKIPIF1<0；（3）解：如圖，設(shè)點E到SKIPIF1<0的距離為h，則SKIPIF1<0，要SKIPIF1<0的面積最大，則h最大，即SKIPIF1<0時，此時，h最大SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由旋轉(zhuǎn)知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，過點D作SKIPIF1<0于H，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在題干圖1中，∵點D，E分別是SKIPIF1<0的中點，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的中位線，勾股定理．本題的綜合性較強，難度較大，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，正確的畫出圖形．2．（2022·山東棗莊·校考模擬預(yù)測）如圖1，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，以SKIPIF1<0為邊作正方形SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將正方形SKIPIF1<0繞點SKIPIF1<0順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，①判斷SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是否全等，并說明理由；②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．(2)如圖3，延長SKIPIF1<0交直線SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0；【答案】(1)①SKIPIF1<0，理由見解析；②SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）①根據(jù)“邊角邊”，證明SKIPIF1<0即可；②過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根據(jù)①中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出SKIPIF1<0，再根據(jù)勾股定理，得出SKIPIF1<0，再根據(jù)SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，計算即可得出答案；（2）設(shè)SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根據(jù)（1）SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出SKIPIF1<0，再根據(jù)