《微積分（第4版）》教學(xué)大綱

《微積分》課程教學(xué)大綱

一、課程簡介課程類別：學(xué)科必修課授課對象：經(jīng)管各專業(yè)學(xué)時與學(xué)分：54學(xué)時，4學(xué)分使用教材：“十一五”普通高等教育國家級規(guī)劃教材《微積分》（第4版），張學(xué)奇主編，中國人民大學(xué)出版社，2024年6月.參考教材：1.“十一五”普通高等教育國家級規(guī)劃教材《微積分（第4版）學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》，張學(xué)奇主編，中國人民大學(xué)出版社.2.趙樹嫄主編，《微積分》（第五版），中國人民大學(xué)出版社，2021年8月；3.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》（第八版），高等教育出版社，2023年6月；二、教學(xué)目的與教學(xué)要求《微積分》是一門應(yīng)用廣泛的課程.學(xué)習(xí)本課程的目的和任務(wù)：第一，使學(xué)生系統(tǒng)地獲得大綱中所列基礎(chǔ)知識、基本理論和基本運算技能，為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和進一步深造奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).第二，通過各個教學(xué)環(huán)節(jié)逐步培養(yǎng)學(xué)生具有抽象概括問題的能力、空間想象能力、邏輯推理能力和自學(xué)能力，特別要培養(yǎng)學(xué)生具有熟練的運算能力和綜合運用所學(xué)知識去分析問題和解決問題的能力.第三，培養(yǎng)學(xué)生勇攀科學(xué)高峰的大國工匠精神及敢為人先的創(chuàng)新精神；培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義意識；切實增強學(xué)生科技興國的民族使命感.本課程基本要求的高低用不同詞匯加以區(qū)分，對概念、理論，高要求用“理解”一詞表述，低要求用“了解”一詞表述；對方法、運算，高要求用“掌握”一詞表述，低要求用“會”或“了解”表述.學(xué)生對高要求部分必須深入理解，牢固掌握，熟練應(yīng)用.三、參考學(xué)時分配序號內(nèi)容理論課習(xí)題課小計一緒論與函數(shù)44二極限與連續(xù)14216三導(dǎo)數(shù)與微分10212四一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用18422五不定積分8210六定積分10414七多元函數(shù)微積分22426八無窮級數(shù)10212九常微分方程8210總計

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第1章函數(shù)教學(xué)重點：1.鄰域的概念；2.函數(shù)的有界性；3.復(fù)合函數(shù)的概念及復(fù)合過程；4.初等函數(shù)的概念.教學(xué)難點：1.函數(shù)的有界性；2.復(fù)合函數(shù)的概念及復(fù)合過程.教學(xué)內(nèi)容：1.1函數(shù)的概念1.2反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)1.3初等函數(shù)1.4函數(shù)模型教學(xué)要求：1.在中學(xué)已有的基礎(chǔ)上，加深對函數(shù)概念的理解和對函數(shù)基本性態(tài)（奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性）的了解.2.理解復(fù)合函數(shù)的概念；了解反函數(shù)的概念，理解初等函數(shù)的概念.3.會建立簡單的經(jīng)濟問題的函數(shù)關(guān)系式；了解經(jīng)濟學(xué)中常用的一些函數(shù).本章考點：1.函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性，有界性.2.反函數(shù)概念，復(fù)合函數(shù)概念.3.初等函數(shù)的性質(zhì).本章課程思政滲透點：1.挖掘和融合歷史經(jīng)典與數(shù)學(xué)家思想，微積分在現(xiàn)代科技、經(jīng)濟管理和日常生活中的應(yīng)用，以此增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.2.教學(xué)內(nèi)容中的辯證思想、建模思想、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新精神要素的挖掘.3.微積分中的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)美學(xué)思想的融合.本章參考文獻：1.“十二五”普通高等教育國家級規(guī)劃教材《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》，張學(xué)奇主編，中國人民大學(xué)出版社.2.高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)《微積分》，趙樹源主編，中國人民大學(xué)出版社.3.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》（第八版），高等教育出版社.第2章極限與連續(xù)教學(xué)重點：1.極限概念；2.無窮小及函數(shù)連續(xù)性概念；3.兩個重要極限；4.極限的求法.教學(xué)難點：1.極限概念；2.無窮小及函數(shù)連續(xù)性概念；3.兩個重要極限的應(yīng)用；4.極限的求法.教學(xué)內(nèi)容：2.1數(shù)列的極限2.2函數(shù)的極限2.3無窮小與無窮大2.4極限的運算法則2.5極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限2.6無窮小的比較2.7函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)要求：1.理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的概念. 2.了解無窮大、無窮小、高階無窮小和等價無窮小的概念；會用等價無窮小求極.3.掌握極限的四則運算法則，會用變量代換求某些簡單復(fù)合函數(shù)的極限.4.了解極限存在的兩個準(zhǔn)則（夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界準(zhǔn)則）；了解兩個重要極限，并會用它們求一些相關(guān)的極限. 5.理解函數(shù)連續(xù)的概念；了解函數(shù)間斷點的概念，會判斷間斷點的類型. 6.了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大值、最小值定理和有界性定理、零點定理和介值定理）.本章考點：1.極限的概念2.函數(shù)連續(xù)性概念；3.兩個重要極限；4.無窮小與無窮大本章課程思政滲透點：1.挖掘和融合歷史經(jīng)典與數(shù)學(xué)家思想，微積分在現(xiàn)代科技、經(jīng)濟管理和日常生活中的應(yīng)用，以此增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.2.教學(xué)內(nèi)容中的辯證思想、建模思想、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新精神要素的挖掘.3.微積分中的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)美學(xué)思想的融合.本章參考文獻：1.“十二五”普通高等教育國家級規(guī)劃教材《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》，張學(xué)奇主編，中國人民大學(xué)出版社.2.高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)《微積分》，趙樹源主編，中國人民大學(xué)出版社.3.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》（第八版），高等教育出版社.第3章導(dǎo)數(shù)和微分教學(xué)重點：1.導(dǎo)數(shù)的概念；2.求導(dǎo)法則（復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、冪指函數(shù)的求導(dǎo)）.教學(xué)難點：1.導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義；2.函數(shù)的求導(dǎo)方法（復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、冪指函數(shù)的求導(dǎo)）.教學(xué)內(nèi)容：3.1導(dǎo)數(shù)的概念3.2求導(dǎo)法則3.3高階導(dǎo)數(shù)3.4隱函數(shù)與參變量函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.5微分3.6導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟分析中的簡單應(yīng)用教學(xué)要求：1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義和經(jīng)濟意義（含邊際與彈性的概念），了解函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系.2.掌握基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式；掌握導(dǎo)數(shù)的四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；了解反函數(shù)的求導(dǎo)法則；掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法.3.了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，掌握初等函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的求法.了解幾個常見的函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的一般表達式.4.理解微分的概念，了解微分概念中包含的局部線性化思想，了解微分的四則運算法則和一階微分的形式不變性.本章考點：1.導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用2.導(dǎo)數(shù)的計算及應(yīng)用3.隱函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算4.微分的計算本章課程思政滲透點：1.挖掘和融合歷史經(jīng)典與數(shù)學(xué)家思想，微積分在現(xiàn)代科技、經(jīng)濟管理和日常生活中的應(yīng)用，以此增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.2.教學(xué)內(nèi)容中的辯證思想、建模思想、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新精神要素的挖掘.3.微積分中的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)美學(xué)思想的融合.本章參考文獻：1.“十二五”普通高等教育國家級規(guī)劃教材《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》，張學(xué)奇主編，中國人民大學(xué)出版社.2.高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)《微積分》，趙樹源主編，中國人民大學(xué)出版社.3.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》（第八版），高等教育出版社.第4章一元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用教學(xué)重點：1.微分中值定理；2.洛必達法則；3.函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；4.函數(shù)圖形的凹凸性、拐點.教學(xué)難點：1.羅爾定理與拉格朗日中值定理及其應(yīng)用；2.洛必達法則；3.函數(shù)極值的求法.教學(xué)內(nèi)容：4.1微分中值定理4.2洛必達法則4.3函數(shù)的單調(diào)性與極值4.4曲線的凹凸性與拐點4.5函數(shù)圖形的描繪4.6泰勒公式4.7優(yōu)化問題教學(xué)要求：1.理解羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理及柯西（Cauchy）中值定理，會用洛必達（L’Hospital）法則求不定式的極限.

2.了解泰勒（Taylor）定理及用多項式逼近函數(shù)的思想（對定理的證明及利用泰勒定理證明相關(guān)問題不作要求）.3.理解函數(shù)的極值概念，掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求極值的方法.會求解經(jīng)濟管理問題中的最大值與最小值的應(yīng)用問題.4.會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會求拐點會描繪一些簡單函數(shù)的圖形（包括水平和鉛直漸近線）.本章考點：1.洛必達法則；2.函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值；3.函數(shù)圖形的凹凸性、拐點；4.經(jīng)濟學(xué)中的優(yōu)化問題.本章課程思政滲透點：1.挖掘和融合歷史經(jīng)典與數(shù)學(xué)家思想，微積分在現(xiàn)代科技、經(jīng)濟管理和日常生活中的應(yīng)用，以此增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.2.教學(xué)內(nèi)容中的辯證思想、建模思想、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新精神要素的挖掘.3.微積分中的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)美學(xué)思想的融合.本章參考文獻：1.“十二五”普通高等教育國家級規(guī)劃教材《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》，張學(xué)奇主編，中國人民大學(xué)出版社.2.高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)《微積分》，趙樹源主編，中國人民大學(xué)出版社.3.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》（第八版），高等教育出版社.

第5章不定積分教學(xué)重點：1.不定積分的概念與性質(zhì)；2.基本積分法；3.幾類特殊初等函數(shù)的積分.教學(xué)難點：1.原函數(shù)與不定積分的概念；2.不定積分的第一類換元法和分部積分法.教學(xué)內(nèi)容：5.1不定積分的概念與性質(zhì)5.2換元積分法5.3分部積分法教學(xué)要求：1.理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì).2.掌握不定積分的基本公式.3.熟練掌握不定積分的換元積分法和分部積分法.本章考點：1.不定積分的概念、性質(zhì)及應(yīng)用2.不定積分的計算.本章課程思政滲透點：1.挖掘和融合歷史經(jīng)典與數(shù)學(xué)家思想，微積分在現(xiàn)代科技、經(jīng)濟管理和日常生活中的應(yīng)用，以此增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.2.教學(xué)內(nèi)容中的辯證思想、建模思想、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新精神要素的挖掘.3.微積分中的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)美學(xué)思想的融合.本章參考文獻：1.“十二五”普通高等教育國家級規(guī)劃教材《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》，張學(xué)奇主編，中國人民大學(xué)出版社.2.高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)《微積分》，趙樹源主編，中國人民大學(xué)出版社.3.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》（第八版），高等教育出版社.

第6章定積分教學(xué)重點：1.定積分的概念和性質(zhì)；2.微積分基本公式（牛頓-萊布尼茨公式）.3.定積分的換元積分法與分部積分法.4.無窮限的反常積分的概念及計算.5.定積分的幾何應(yīng)用.6.積分在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用.教學(xué)難點：1.定積分的概念及應(yīng)用；2.牛頓－萊布尼茨公式.3.定積分的計算.4.定積分應(yīng)用的元素法.5.用定積分計算平面區(qū)域的面積.6.用定積分計算旋轉(zhuǎn)體的體積.教學(xué)內(nèi)容：6.1定積分的概念與性質(zhì)6.2微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）6.3定積分的計算6.4反常積分6.5定積分的應(yīng)用教學(xué)要求：1.理解定積分的概念及幾何意義；了解定積分的基本性質(zhì)和積分中值定理.2.理解變上限的積分作為其上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理；掌握牛頓（Newton）-萊布尼茨（Leibniz）公式.3.掌握定積分的換元法與分部積分法.4.掌握實際問題中建立定積分表達式的元素法（微元法），會建立某些簡單的幾何問題及經(jīng)濟問題的定積分表達式.5.了解兩類反常積分及其收斂性的概念；了解Γ函數(shù)的概念.本章考點：1.定積分的概念、性質(zhì)；2.使用牛頓-萊布尼茨公式計算定積分.3.定積分的換元積分法與分部積分法.4.無窮限的反常積分的概念及計算.5.計算平面區(qū)域的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積.6.積分在經(jīng)濟學(xué)中的簡單應(yīng)用.本章課程思政滲透點：1.挖掘和融合歷史經(jīng)典與數(shù)學(xué)家思想，微積分在現(xiàn)代科技、經(jīng)濟管理和日常生活中的應(yīng)用，以此增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.2.教學(xué)內(nèi)容中的辯證思想、建模思想、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新精神要素的挖掘.3.微積分中的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)美學(xué)思想的融合.本章參考文獻：1.“十二五”普通高等教育國家級規(guī)劃教材《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》，張學(xué)奇主編，中國人民大學(xué)出版社.2.高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)《微積分》，趙樹源主編，中國人民大學(xué)出版社.3.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》（第八版），高等教育出版社.第7章多元函數(shù)微積分教學(xué)重點：1.二元函數(shù)的極限與連續(xù)性.2.函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分.3.多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).4.二重積分的計算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）.教學(xué)難點：1.二元函數(shù)的極限.2.全微分形式的不變性.3.多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求解、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).4.多元函數(shù)極值和條件極值的求法、多元函數(shù)的最值.5.二重積分和累次積分的轉(zhuǎn)化；二重積分的應(yīng)用.教學(xué)內(nèi)容：7.1空間曲面7.2多元函數(shù)7.3多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)7.4多元函數(shù)的全微分7.5多元函數(shù)微分法7.6多元函數(shù)的極值7.7多元函數(shù)的最優(yōu)化問題7.8二重積分教學(xué)要求：1.理解二元函數(shù)的概念及幾何意義；了解多元函數(shù)的概念.2.了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念；了解有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì).3.理解二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念；了解全微分存在的必要條件與充分條件.掌握求偏導(dǎo)數(shù)和全微分的方法.4.掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)（對抽象復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，只作簡單訓(xùn)練）.5.會求由一個方程確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù).6.理解二元函數(shù)極值與條件極值概念；會求二元函數(shù)的極值；會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值；會求解比較簡單的最大值和最小值問題.7.理解二重積分的概念及幾何意義；了解二重積分性質(zhì)；掌握二重積分的計算方法（直角坐標(biāo)，極坐標(biāo)）；會計算無界域上的較簡單的反常二重積分.8.會用多元函數(shù)的微積分知識解決一些簡單的經(jīng)濟問題.本章考點：1.二元函數(shù)的定義域、計算二元函數(shù)的極限、二元函數(shù)連續(xù)的概念.2.計算簡單的多元函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)；計算多元復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)；隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟學(xué)中的簡單應(yīng)用.3.偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)與可微的關(guān)系.4.多元函數(shù)的全微分.5.多元函數(shù)的極值與條件極值；經(jīng)濟學(xué)中常見的最值問題.6.二重積分計算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；二重積分和累次積分的轉(zhuǎn)化；二重積分的應(yīng)用.本章課程思政滲透點：1.挖掘和融合歷史經(jīng)典與數(shù)學(xué)家思想，微積分在現(xiàn)代科技、經(jīng)濟管理和日常生活中的應(yīng)用，以此增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.2.教學(xué)內(nèi)容中的辯證思想、建模思想、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新精神要素的挖掘.3.微積分中的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)美學(xué)思想的融合.本章參考文獻：1.“十二五”普通高等教育國家級規(guī)劃教材《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》，張學(xué)奇主編，中國人民大學(xué)出版社.2.高等學(xué)校經(jīng)濟管理學(xué)科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)《微積分》，趙樹源主編，中國人民大學(xué)出版社.3.同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系，《高等數(shù)學(xué)》（第八版），高等教育出版社.第8章無窮級數(shù)教學(xué)重點：1.正項級數(shù)的斂散性判別.2.交錯級數(shù)的斂散性判別.3.絕對收斂與條件收斂.教學(xué)難點：1.正項級數(shù)的斂散性判別.2.交錯級數(shù)的斂散性判別.3.絕對收斂與條件收斂.教學(xué)內(nèi)容：8.1數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)8.2數(shù)項級數(shù)斂散性判別法8.3冪級數(shù)（“選講”內(nèi)容，教師自主安排）教學(xué)要求： 1.理解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)和的概念；了解無窮級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件. 2.了解正項級數(shù)的比較判別法，掌握幾何級數(shù)與p-級數(shù)的斂散性結(jié)果；掌握正項級數(shù)的比值判別法. 3.了解交錯級數(shù)的萊布尼茨定理；了解絕對收斂與條件收斂的概念及二者的關(guān)系. 4.掌握簡單冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法（區(qū)間端點的收斂性不作要求）；了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)，會求一些簡單的冪級數(shù)的和函數(shù). 5.會用麥克勞林（Maclaurin）展開式將一些簡單的函數(shù)展開成冪級數(shù).本章考點：1.數(shù)項級數(shù)斂散性基本概念；數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì).2.正項級數(shù)概念及其斂散性.3.交錯級數(shù)概念及其斂散性.4.絕對收斂與條件收斂概念及判定.5.冪級數(shù)收斂區(qū)間，簡單的冪級數(shù)的和函數(shù). 6.簡單的函數(shù)展開成冪級數(shù).本章課程思政滲透點：1.挖掘和融合歷史經(jīng)典與數(shù)學(xué)家思想，微積分在現(xiàn)代科技、經(jīng)濟管理和日常生活中的應(yīng)用，以此增強學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.2.教學(xué)內(nèi)容中的辯證思想、建模思想、創(chuàng)新思維、創(chuàng)新精神要素的挖掘.3.微積分中的數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)美學(xué)思想的融合.本章參考文獻：1.“十二五”普通高等教育國家級規(guī)劃教材《線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答》，張學(xué)奇主編，中國人民大學(xué)出版社.2.高等學(xué)校經(jīng)濟管