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文檔簡介
中學必修一數(shù)學教案
在一年的數(shù)學教學工作中,作為中學數(shù)學老師的你知道如何寫中學必
修一數(shù)學教案嗎?來寫一篇中學必修一數(shù)學教案吧,它會對你的教學工作
起到不菲的幫助。下面是為大家收集有關(guān)于中學必修一數(shù)學教案,希望你
喜愛。
中學必修一數(shù)學教案1
一、教材分析
1.教材所處的地位和作用
在學習了隨機事務(wù)、頻率、概率的意義和性質(zhì)及用概率解決實際問題
和古典概型的概念后,進一步體會用頻率估量概率思想。它是對古典概型
問題的一種模擬,也是對古典概型學問的深化,同時它也是為了更廣泛、
高效地解決一些實際問題、體現(xiàn)信息技術(shù)的優(yōu)越性而新增的內(nèi)容。
2.教學的重點和難點
重點:正確理解隨機數(shù)的概念,并能應(yīng)用計算器或計算機產(chǎn)生隨機數(shù)。
難點:建立概率模型,應(yīng)用計算器或計算機來模擬試驗的方法近似計
算概率,解決一些較簡潔的現(xiàn)實問題。
二、教學目標分析
1、學問與技能:
(1)了解隨機數(shù)的概念;
(2)利用計算機產(chǎn)生隨機數(shù),并能干脆統(tǒng)計出頻數(shù)與頻率。
2、過程與方法:
(1)通過對現(xiàn)實生活中詳細的概率問題的探究,感知應(yīng)用數(shù)學解決問題
的方法,體會數(shù)學學問與現(xiàn)實世界的聯(lián)系,培育邏輯推理實力;
⑵通過模擬試驗,感知應(yīng)用數(shù)字解決問題的方法,自覺養(yǎng)成動手、動
腦的良好習慣
3、情感看法與價值觀:
通過數(shù)學與探究活動,體會理論來源于實踐并應(yīng)用于實踐的辯證唯物
主義觀點.
三、教學方法與手段分析
1、教學方法:本節(jié)課我主要接受啟發(fā)探究式的教學模式。
2、教學手段:利用多媒體技術(shù)優(yōu)化課堂教學
四、教學過程分析
㈠創(chuàng)設(shè)情境、引入新課
情境1:假設(shè)你作為一名食品衛(wèi)生工作人員,要對某超市內(nèi)的80袋小
包裝餅干中抽取10袋進行衛(wèi)生達標檢驗,你準備如何操作?
預設(shè)學生回答:
團接受簡潔隨機抽樣方法(抽簽法)
團接受簡潔隨機抽樣方法(隨機數(shù)表法)
老師總結(jié)得出:隨機數(shù)就是在肯定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù),并且得到這
個范圍內(nèi)每一數(shù)的機會一樣。(引入課題)
「設(shè)計意圖」(1)回憶統(tǒng)計學問中利用隨機抽樣方法如抽簽法、隨機數(shù)
表法等進行抽樣的步驟和特征;(2)從詳細試驗中了解隨機數(shù)的含義。
情境2:在拋硬幣和擲骰子的試驗中,是用頻率估量概率。假如現(xiàn)在
要作10000次試驗,你準備怎么辦?大家可能覺得這樣做試驗花費時間太
多了,有沒有其他方法可以代替試驗呢?
I'設(shè)計意圖」當須要隨機數(shù)的量很大時,用手工試驗產(chǎn)生隨機數(shù)速度
太慢,從而說明利用現(xiàn)代信息技術(shù)的重要性,體現(xiàn)利用計算器或計算機產(chǎn)
生隨機數(shù)的必要性。
㈡操作實踐、了解新知
老師:向?qū)W生介紹計算器的操作,讓他們了解隨機函數(shù)的原理??墒?/p>
先編制幾個小問題,在課堂上帶著學生用計算器(科學計算器或圖形計算
器)操作一遍,讓學生熟識如何用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)。
「設(shè)計意圖」通過操作熟識計算器操作流程,在明白原理后,通過讓學
生自己依據(jù)規(guī)則操作,熟識計算器產(chǎn)生隨機數(shù)的操作流程,了解隨機數(shù)。
問題1:拋一枚質(zhì)地勻稱的硬幣出現(xiàn)正面對上的概率是50,你能設(shè)計
一種利用計算器模擬擲硬幣的試驗來驗證這個結(jié)論嗎?
思索:隨著模擬次數(shù)的不同,結(jié)果是否有區(qū)分,為什么?
「設(shè)計意圖」團設(shè)計概率模型是解決概率問題的難點,也是能解決概
率問題的關(guān)鍵,是數(shù)學建模的第一步?;貟佊矌攀亲钍熳R、最簡潔的問題,
很自然會想到把正面對上、反面對上這兩個基本領(lǐng)件用兩個隨機數(shù)來代替。
(題目讓學生通過熟識50想到用隨機數(shù)0,1來模擬,為后面問題4每天
下雨的概率為40的概率建模作第一次小鋪墊。)團熟識利用計算器模擬試
驗的操作流程,為解決后面例題模擬下雨作好鋪墊。
問題2:(1)剛才我們利用了計算器來產(chǎn)生隨機數(shù),我們知道計算機有
很多軟件有統(tǒng)計功能,你知道哪些軟件具有隨機函數(shù)這個功能?
(2)你會利用統(tǒng)計軟件Excel來產(chǎn)生隨機數(shù)0,1嗎?你能設(shè)計一種利用
計算機模擬擲硬幣的試驗嗎?
「設(shè)計意圖」團了解有很多統(tǒng)計軟件都有隨機函數(shù)這個功能,并與前
面第一章所學的用程序語言編寫程序相聯(lián)系;ElExcel是學生比較熟識的統(tǒng)
計軟件,也可讓學生回顧初中用Excel畫統(tǒng)計圖的一些功能和學問,其次
讓學生駕馭多種隨機模擬試驗方法。
問題3:(1)你能在Excel軟件中畫試驗次數(shù)從1到100次的頻率分布
折線圖嗎?
(2)當試驗次數(shù)為1000,1500時,你能說說出現(xiàn)正面對上的頻率有些
什么變更?
「設(shè)計意圖」團應(yīng)用隨機模擬方法估量古典概型中隨機事務(wù)的概率值;
團體會頻率的隨機性與相對穩(wěn)定性,經(jīng)驗用計算機產(chǎn)生數(shù)據(jù),整理數(shù)
據(jù),分析數(shù)據(jù),畫統(tǒng)計圖的全過程,使學生信任統(tǒng)計結(jié)果的真實性、隨機
性及規(guī)律性。
㈢講練結(jié)合、鞏固新知
問題4:天氣預報說,在今后的三天中,每一天下雨的概率均為40,
這三天中恰有兩天下雨的概率是多少?
問1:能用古典概型的計算公式求解嗎?
你能說明一下這為什么不是古典概型嗎?
問2:你如何模擬每一天下雨的概率為40?
「設(shè)計意圖」團問題分層提出,降低本題難度。如何模擬每一天下雨
的概率40是解決這道題的關(guān)鍵,是隨機模擬方法應(yīng)用的重點,也是難點
之一。
團鞏固用隨機模擬方法估量未知量的基本思想,明確利用隨機模擬方
法也可解決不是古典概型而比較困難的概率應(yīng)用題。
歸納步驟:第一步,設(shè)計概率模型;
其次步,進行模擬試驗;
方法一:(隨機模擬方法-計算器模擬)利用計算器隨機函數(shù);
方法二:(隨機模擬方法-計算機模擬)
第三步,統(tǒng)計試驗的結(jié)果。
課堂檢測將一枚質(zhì)地勻稱的硬幣連擲三次,出現(xiàn)2個正面朝上、1個
反面朝上和1個正面朝上、2個反面朝上的概率各是多少?并用隨機模擬的
方法做100次試驗,計算各自的頻數(shù)。
「設(shè)計意圖」通過練習,進一步鞏固學生對本節(jié)課學問的駕馭。
㈣歸納小結(jié)
(1)你能歸納利用隨機模擬方法估量概率的步驟嗎?
(2)你能體會到隨機模擬的優(yōu)勢嗎?請舉例說說。
「設(shè)計意圖」團通過問題的思索和解決,使學生理解模擬方法的優(yōu)點,
并充分利用信息技術(shù)的優(yōu)勢煙是對學問的進一步理解與思索,又是對本節(jié)
內(nèi)容的回顧與總結(jié)。
㈤布置練習:
課本練習3、4
「設(shè)計意圖」課后作業(yè)的布置是為了檢驗學生對本節(jié)課內(nèi)容的理解和
運用程度,并促使學生進一步鞏固和駕馭所學內(nèi)容。
[內(nèi)容結(jié)束]
中學必修一數(shù)學教案2
一教材分析
本節(jié)學問是必修五第一章《解三角形》的第一節(jié)內(nèi)容,與初中學習的
三角形的邊和角的基本關(guān)系有親密的聯(lián)系與判定三角形的全等也有親密
聯(lián)系,在日常生活和工業(yè)生產(chǎn)中也時常有解三角形的問題,而且解三角形
和三角函數(shù)聯(lián)系在高考當中也時??家恍┙獯痤}。因此,正弦定理和余弦
定理的學問特別重要。
依據(jù)上述教材內(nèi)容分析,考慮到學生已有的認知結(jié)構(gòu)心理特征及原有
學問水平,制定如下教學目標:
認知目標:在創(chuàng)設(shè)的問題情境中,引導學生發(fā)覺正弦定理的內(nèi)容,推
證正弦定理及簡潔運用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解斜三角形的兩
類問題。
實力目標:引導學生通過視察,推導,比較,由特別到一般歸納出正
弦定理,培育學生的創(chuàng)新意識和視察與邏輯思維實力,能體會用向量作為
數(shù)形結(jié)合的工具,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。
情感目標:面對全體學生,制造同等的教學氛圍,通過學生之間、師
生之間的溝通、合作和評價,調(diào)動學生的主動性和樂觀性,給學生勝利的
體驗,激發(fā)學生學習的愛好。
教學重點:正弦定理的內(nèi)容,正弦定理的證明及基本應(yīng)用。
教學難點:正弦定理的探究及證明,已知兩邊和其中一邊的對角解三
角形時推斷解的個數(shù)。
二教法
依據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點,為是更有效地突出重點,空破難點,
以學業(yè)生的進展為本,遵照學生的相識規(guī)律,本講遵照以老師為主導,以
學生為主體,訓練為主線的指導思想,接受探究式課堂教學模式,即在
教學過程中,在老師的啟發(fā)引導下,以學生獨立自主和合作溝通為前提,
以"正弦定理的發(fā)覺”為基本探究內(nèi)容,以生活實際為參照對象,讓學生的
思維由問題起先,到猜想的得出,猜想的探究,定理的推導,并逐步得到
深化。突破重點的手段:抓住學生情感的興奮點,激發(fā)他們的愛好,鼓舞
學生大膽猜想,樂觀探究,以及剛好地鼓舞,使他們知難而進。另外,抓
學問選擇的切入點,從學生原有的認知水平和所需的學問特點入手,老師
在學生主體下給以適當?shù)奶崾竞椭笇?。突破難點的方法:抓住學生的實力
線聯(lián)系方法與技能使學生較易證明正弦定理,另外通過例題和練習來突破
難點
三學法:
指導學生駕馭"視察一一猜想一一證明一一應(yīng)用"這一思維方法,實行個
人、小組、集體等多種解難釋疑的嘗試活動,將自己所學學問應(yīng)用于對隨
意三角形性質(zhì)的探究。讓學生在問題情景中學習,視察,類比,思索,探
究,概括,動手嘗試相結(jié)合,體現(xiàn)學生的主體地位,增加學生由特別到一
般的數(shù)學思維實力,形成了實事求是的科學看法,增加了鍥而不舍的求學
精神。
四教學過程
第一:創(chuàng)設(shè)情景,也許用2分鐘
其次:實踐探究,形成概念,大約用25分鐘
第三:應(yīng)用概念,拓展反思,大約用13分鐘
(一)創(chuàng)設(shè)情境,布疑激趣
"愛好是的老師”,假如一節(jié)課有個好的開頭,那就意味著勝利了一半,
本節(jié)課由一個實際問題引入,"工人師傅的一個三角形的模型壞了,只剩
下如右圖所示的部分,OO長為想修好這個零件,但他
0A=47,0B=53/AB1m,
不知道AC和BC的長度是多少好去截料,你能幫師傅這個忙嗎?”激發(fā)學生
幫助別人的熱忱和學習的愛好,從而進入今日的學習課題。
(二)探尋特例,提出猜想
1.激發(fā)學生思維,從自身熟識的特例(直角三角形)入手進行探討,發(fā)
覺正弦定理。
2.那結(jié)論對隨意三角形都適用嗎?指導學生分小組用刻度尺、量角器、
計算器等工具對一般三角形進行驗證。
3.讓學生總結(jié)試驗結(jié)果,得出猜想:
在三角形中,角與所對的邊滿意關(guān)系
這為下一步證明樹立信念,不斷的使學生對結(jié)論的相識從感性逐步上
升到理性。
(三)邏輯推理,證明猜想
1.強調(diào)將猜想轉(zhuǎn)化為定理,須要嚴格的理論證明。
2.鼓舞學生通過作高轉(zhuǎn)化為熟識的直角三角形進行證明。
3.提示學生思索哪些學問能把長度和三角函數(shù)聯(lián)系起來,繼而思索向
量分析層面,用數(shù)量積作為工具證明定理,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。
4.思索是否還有其他的方法來證明正弦定理,布置課后練習,提示,
做三角形的外接圓構(gòu)造直角三角形,或用坐標法來證明
(四)歸納總結(jié),簡潔應(yīng)用
1.讓學生用文字敘述正弦定理,引導學生發(fā)覺定理具有對稱和諧美,
提升對數(shù)學美的享受。
2.正弦定理的內(nèi)容,探討可以解決哪幾類有關(guān)三角形的問題。
3.運用正弦定理求解本節(jié)課引入的三角形零件邊長的問題。自己參與
實際問題的解決,能激發(fā)學生學問后用于實際的價值觀。
(五)講解例題,鞏固定理
1.例1。在團ABC中,已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.
例1簡潔,結(jié)果為解,假如已知三角形兩角兩角所夾的邊,以及已知
兩角和其中一角的對邊,都可利用正弦定理來解三角形。
2.例2.在13ABe中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.
例2較難,使學生明確,利用正弦定理求角有兩種可能。要求學生熟
識駕馭已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形。完了把時間交
給學生。
(六)課堂練習,提高鞏固
1.在團ABC中,已知下列條件,解三角形.
()
lA=45°,C=30°/c=10cm
(2)A=60°,B=45°,c=20cm
2.在團ABC中,已知下列條件,解三角形.
(l)a=20cm,b=llcm,B=30°
⑵c=54cm,b=39cm,C=115°
學生板演,老師巡察,剛好發(fā)覺問題,并解答。
(七)小結(jié)反思,提高相識
通過以上的探討過程,同學們主要學到了那些學問和方法?你對此有
何體會?
1.用向量證明白正弦定理,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。
2.它表述了三角形的邊與對角的正弦值的關(guān)系。
3.定理證明分別從直角、銳角、鈍角動身,運用分類探討的思想。
(從實際問題動身,通過猜想、試驗、歸納等思維方法,最終得到了
推導出正弦定理。我們探討問題的突出特點是從特別到一般,我們不僅收
獲著結(jié)論,而且整個探究過程我們也駕馭了探討問題的一般方法。在強調(diào)
探討性學習方法,留意學生的主體地位,調(diào)動學生樂觀性,使數(shù)學教學成
為數(shù)學活動的教學。)
(八)任務(wù)后延,自主探究
假如已知一個三角形的兩邊及其夾角,要求第三邊,怎么辦?發(fā)覺正
弦定理不適用了,那么自然過渡到下一節(jié)內(nèi)容,余弦定理。布置作業(yè),預
習下一節(jié)內(nèi)容。
五板書設(shè)計
板書設(shè)計可以讓學生一目了然本節(jié)課所學的學問,證明正弦定理的方
法以及正弦定理可以解決的兩類問題。
中學必修一數(shù)學教案3
教學目標
(1)使學生正確理解組合的意義,正確區(qū)分排列、組合問題;
(2)使學生駕馭組合數(shù)的計算公式、組合數(shù)的性質(zhì)用組合數(shù)與排列數(shù)之
間的關(guān)系;
⑶通過學習組合學問,讓學生駕馭類比的學習方法,并提高學生分析
問題和解決問題的實力;
⑷通過對排列、組合問題求解與剖析,培育學生學習愛好和思維深刻
性,學生具有嚴謹?shù)膶W習看法。
教學建議
一、學問結(jié)構(gòu)
二、重點難點分析
本小節(jié)的重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式,組合數(shù)的性質(zhì)。
難點是解組合的應(yīng)用題。突破重點、難點的關(guān)鍵是對加法原理與乘法原理
的駕馭和應(yīng)用,并將這兩個原理的基本思想貫穿在解決組合應(yīng)用題當中。
組合與組合數(shù),也有上面類似的關(guān)系。從n個不同元素中任取m(m<n)
個元素并成一組,叫做從n個不同元素中任取m個元素的一個組合。全
部這些不同的組合的個數(shù)叫做組合數(shù)。從集合的角度看,從n個元素的有
限集中取出m個組成的一個集合(無序集),相當于一個組合,而這種集合
的個數(shù),就是相應(yīng)的組合數(shù)。
解排列組合應(yīng)用題時主要應(yīng)抓住是排列問題還是組合問題,其次要搞
清須要分類,還是須要分步.切記:排組分清(有序排列、無序組合),加乘
明確(分類為加、分步為乘).
三、教法設(shè)計
1.對于基礎(chǔ)較好的學生,建議把排列與組合的概念進行對比的進行學
習,這樣有利于搞請這兩組概念的區(qū)分與聯(lián)系.
2.學生與老師可以合編一些排列組合問題,如"45人中選出5人當班
干部有多少種選法?"與"45人中選出5人分別擔當班長、副班長、體委、
學委、生委有多少種選法?”這是兩個相近問題,同學們會依據(jù)自己身邊的
實際可以編出各種各樣的具有特色的問題,老師要引導學生分辨哪個是排
列問題,哪個是組合問題.這樣既調(diào)動了學生學習的樂觀性,又在編題辨題
中澄清了概念.
為了理解排列與組合的概念,建議大家學會畫排列與組合的樹圖.如,
從a,b,c,d4個元素中取出3個元素的排列樹圖與組合樹圖分別為:
排列樹圖
由排列樹圖得到,從a,b,c,d取出3個元素的全部排列有24個,它們
分別是:abc,abd,acb.abd,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc......dca,dcb.
組合樹圖
由組合樹圖可得,從a,b,c,d中取出3個元素的組合有4個,它們是
(abc),(abd);(acd),(bcd).
從以上兩組樹圖清晰的告知我們,排列樹圖是對稱的,組合圖式不是
對稱的,之所以排列樹圖具有對稱性,是因為對于a,b,c,d四個字母哪一個
都有在第一位的機會,哪一個都有在其次位的機會,哪一個都有在第三位
的機會,而組合只考慮字母不考慮依次,為實現(xiàn)無依次的要求,我們可以
限定a,b,c,d的依次是從前至后,固定了死依次等于無依次,這樣組合就有
了自己的樹圖.
學會畫組合樹圖,不僅有利于理解排列與組合的概念,還有助于推導
組合數(shù)的計算公式.
3.排列組合的應(yīng)用問題,老師應(yīng)從簡潔問題問題入手,逐步到有一個
附加條件的單純排列問題或組合問題,最終在設(shè)及排列與組合的綜合問題.
對于每一道題目,老師必需先讓學生獨立思索,在進行全班探討,對
于學生的每一種解法,老師要先讓學生推斷正誤,在賜予點播.對于排列、
組合應(yīng)用問題的解決我們提倡一題多解,這樣有利于培育學生的分析問題
解決問題的實力,在學生的多種解法基礎(chǔ)上老師要引導學生選擇方案,總
結(jié)解題規(guī)律.對于學生解題中的常見錯誤,老師肯定要講明道理,細致分析
錯誤緣由,使學生在是非的推斷得以提高.
4.兩特性質(zhì)定理教學時,對定理1,可以用下例來說明:從4個不同
的元素a,b,c,d里每次取出3個元素的組合及每次取出1個元素的組
合分別是
這就說明從4個不同的元素里每次取出3個元素的組合與從4個元素
里每次取出1個元素的組合是一一對應(yīng)的.
對定理2,可啟發(fā)學生從下面問題的探討得出.從n個不同元素,,...,
里每次取出m個不同的元素(),問:(1)可以組成多少個組合;⑵在這些組
合里,有多少個是不含有的;⑶在這些組合里,有多少個是含有的;⑷
從上面的結(jié)果,可以得出一個怎樣的公式.在此基礎(chǔ)上引出定理2.
對于,和一樣,是一種規(guī)定.而學生常常誤以為是推算出來的,因此,
教學時要講清晰.
教學設(shè)計示例
教學目標
(1)使學生正確理解組合的意義,正確區(qū)分排列、組合問題;
(2)使學生駕馭組合數(shù)的計算公式;
(3)通過學習組合學問,讓學生駕馭類比的學習方法,并提高學生分析
問題和解決問題的實力;
教學重點難點
重點是組合的定義、組合數(shù)及組合數(shù)的公式;
難點是解組合的應(yīng)用題.
教學過程設(shè)計
(-)導入新課
(老師活動)提出下列思索問題,打出字幕.
[字幕]一條鐵路途上有6個火車站,⑴需準備多少種不同的一般客車
票?(2)有多少種不同票價的一般客車票?上面問題中,哪一問是排列問題?
哪一問是組合問題?
(學生活動)探討并回答.
答案提示:⑴排列;⑵組合.
[評述]問題⑴是從6個火車站中任選兩個,并按肯定的依次排列,要
求出排法的種數(shù),屬于排列問題;(2)是從6個火車站中任選兩個并成一組,
兩站無依次關(guān)系,要求出不同的組數(shù),屬于組合問題.這節(jié)課著重探討組合
問題.
設(shè)計意圖:組合與排列所探討的問題幾乎是平行的.上面設(shè)計的問題目
的是從排列學問中發(fā)覺并提出新的問題.
(二)新課講授
I提出問題創(chuàng)設(shè)情境]
(老師活動)指導學生帶著問題閱讀課文.
[字幕]1.排列的定義是什么?
2.舉例說明一個組合是什么?
3.一個組合與一個排列有何區(qū)分?
(學生活動)閱讀回答.
(老師活動)對比課文,逐一評析.
設(shè)計意圖:激活學生的思維,使其將所學的學問遷移過渡,并盡快適
應(yīng)新的環(huán)境.
【歸納概括建立新知】
(老師活動)承接上述問題的回答,展示下面學問.
[字幕]模型:從個不同元素中取出個元素并成一組,叫做從個不同
元素中取出個元素的一個組合.如前面思索題:6個火車站中甲站^乙站
和乙站>>甲站是票價相同的車票,是從6個元素中取出2個元素的一個組
合.
組合數(shù):從個不同元素中取出個元素的全部組合的個數(shù),稱之,用
符號表示,如從6個元素中取出2個元素的組合數(shù)為.
[評述]區(qū)分一個排列與一個組合的關(guān)鍵是:該問題是否與依次有關(guān),
當取出元素后,若變更一下依次,就得到一種新的取法,則是排列問題;
若變更依次,仍得原來的取法,就是組合問題.
(學生活動)傾聽、思索、記錄.
(老師活動)提出思索問題.
[投影]與的關(guān)系如何?
(師生活動)共同探討.求從個不同元素中取出個元素的排列數(shù),可
分為以下兩步:
第1步,先求出從這個不同元素中取出個元素的組合數(shù)為;
第2步,求每一個組合中個元素的全排列數(shù)為.
依據(jù)分步計數(shù)原理,得到
[字幕]公式1:
公式2:
(學生活動)驗算,即一條鐵路上6個火車站有15種不同的票價的一
般客車票.
設(shè)計意圖:本著以相識概念為起點,以問題為主線,以培育實力為核
心的宗旨,逐步展示學問的形成過程,使學生思維層層被激活、漸漸深化
到問題當中去.
【例題示范探求方法】
(老師活動)打出字幕,給出示范,指導訓練.
[字幕]例1列舉從4個元素中任取2個元素的全部組合.
例2計算:⑴;⑵.
(學生活動)板演、示范.
(老師活動)講評并指出用兩種方法計算例2的第2小題.
[字幕]例3已知,求的全部值.
(學生活動)思索分析.
解首先,依據(jù)組合的定義,有
?
其次,由原不等式轉(zhuǎn)化為
即
解得②
綜合①、②,得,即
I點評]這是組合數(shù)公式的應(yīng)用,關(guān)鍵是公式的選擇.
設(shè)計意圖:例題教學按部就班,讓學生鞏固學問,強化公式的應(yīng)用,
從而培育學生的綜合分析實力.
【反饋練習學會應(yīng)用】
(老師活動)給出練習,學生解答,老師點評.
[課堂練習]課本P99練習第2,5,6題.
[補充練習]
[字幕]1.計算:
2,已知,求.
(學生活動)板演、解答.
設(shè)計意圖:課堂教學體現(xiàn)以學生為本,讓全體學生參與訓練,深刻揭
示排列數(shù)公式的結(jié)構(gòu)、特征及應(yīng)用.
【點評矯正溝通提高】
(老師活動)依照學生的板演,賜予指正并總結(jié).
補充練習答案:
1.解:原式:
2.解:由題設(shè)得
整理化簡得,
解之,得或(因,舍去),
所以,所求
[字幕]小結(jié):
1.前一個公式主要用于計算詳細的組合數(shù),而后一個公式則主要用于
對含有字母的式子進行化簡和論證.
2.在解含組合數(shù)的方程或不等式時,肯定要留意組合數(shù)的上、下標的
限制條件.
(學生活動)溝通探討,總結(jié)記錄.
設(shè)計意圖:由“實踐一一相識一一一實踐”的相識論,教學時抓住“學習
一一練習一一反饋——小結(jié)”這些環(huán)節(jié),使教學目標得以強化和落實.
(三)小結(jié)
(師生活動)共同小結(jié).
本節(jié)主要內(nèi)容有
1.組合概念.
2.組合數(shù)計算的兩個公式.
(四)布置作業(yè)
1.課本作業(yè):習題103第1(1)、(4),3題.
2.思索題:某學習小組有8個同學,從男生中選2人,女生中選1人
參與數(shù)學、物理、化學三種學科競賽,要求每科均有1人參與,共有180
種不同的選法,那么該小組中,男、女同學各有多少人?
3.探討性題:
在的邊上除頂點外有5個點,在邊上有4個點,由這些點(包括)
能組成多少個四邊形?能組成多少個三角形?
(五)課后點評
在學習了排列學問的基礎(chǔ)上,本節(jié)課引進了組合概念,并推導出組合
數(shù)公式,同時調(diào)控進行訓練,從而培育學生分析問題、解決問題的實力.
作業(yè)參考答案
2.解;設(shè)有男同學人,則有女同學人,依題意有,由此解得或或
2.即男同學有5人或6人,女同學相應(yīng)為3人或2人.
3.能組成(留意不能用點為頂點)個四邊形,個三角形.
探究活動
同室四人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送
出的賀年卡,那么四張不同的安排萬式可有多少種?
解設(shè)四人分別為甲、乙、丙、丁,可從多種角度來解.
解法一可將拿賀卡的狀況,按甲分別拿乙、丙、丁制作的賀卡的情
形分為三類,即:
甲拿乙制作的賀卡時,則賀卡有3種安排方法.
甲拿丙制作的賀卡時,則賀卡有3種安排方法.
甲拿丁制作的賀卡時,則賀卡有3種安排方法.
由加法原理得,賀卡安排方法有3+3+3=9種.
解法二可從利用排列數(shù)和組合數(shù)公式角度來考慮.這時還存在正向與
逆向兩種思索途徑.
正向思索,即從滿意題設(shè)條件動身,分步完成安排.先可由甲從乙、丙、
丁制作的賀卡中選取1張,有種取法,剩下的乙、丙、丁中所制作賀卡
被甲取走后可在剩下的3張賀卡中選取1張,也有種,最終剩下2人可
選取的賀卡即是這2人所制作的賀卡,其取法只有互取對方制作賀卡1種
取法.依據(jù)乘法原理,賀卡的安排方法有(種).
逆向思索,即從4人取4張不同賀卡的全部取法中解除不滿意題設(shè)條
件的取法.不滿意題設(shè)條件的取法為,其中只有1人取自己制作的賀卡,其
中有2人取自己制作的賀卡,其中有3人取自己制作的賀卡(此時即為4
人均拿自己制作的賀卡).其取法分別為1.故符合題設(shè)要求的取法共有
(種).
說明⑴對一類元素不太多而利用排列或組合計算公式計算比較困難,
且簡潔重復遺漏計算的排列組合問題,常可接受干脆分類后用加法原理進
行計算,如本例接受解法一的做法.
(2)設(shè)集合,假如S中元素的一個排列滿意
中學必修一數(shù)學教案4
教學分析
本節(jié)課的探討是對初中不等式學習的持續(xù)和拓展,也是實數(shù)理論的進
一步進展.在本節(jié)課的學習過程中,將讓學生回憶實數(shù)的基本理論,并能用
實數(shù)的基本理論來比較兩個代數(shù)式的大小.
通過本節(jié)課的學習,讓學生從一系列的詳細問題情境中,感受到在
現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,并充分相識不等關(guān)系的存
在與應(yīng)用.對不等關(guān)系的相關(guān)素材,用數(shù)學觀點進行視察、歸納、抽象,完
成量與量的比較過程.即能用不等式或不等式組把這些不等關(guān)系表示出來.
在本節(jié)課的學習過程中還支配了一些簡潔的、學生易于處理的問題,其用
意在于讓學生留意對數(shù)學學問和方法的應(yīng)用,同時也能激發(fā)學生的學習愛
好,并由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具探討不等關(guān)系的愿望.依據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容,
應(yīng)用再現(xiàn)、回憶得出實數(shù)的基本理論,并能用實數(shù)的基本理論來比較兩個
代數(shù)式的大小.
在本節(jié)教學中,老師可讓學生閱讀書中實例,充分利用數(shù)軸這一簡潔
的數(shù)形結(jié)合工具,干脆用實數(shù)與數(shù)軸上點的一一對應(yīng)關(guān)系,從數(shù)與形兩
方面建立實數(shù)的依次關(guān)系.要在溫故知新的基礎(chǔ)上提高學生對不等式的相
識.
三維目標
1.在學生了解不等式產(chǎn)生的實際背景下,利用數(shù)軸回憶實數(shù)的基本理
論,理解實數(shù)的大小關(guān)系,理解實數(shù)大小與數(shù)軸上對應(yīng)點位置間的關(guān)系.
2.會用作差法推斷實數(shù)與代數(shù)式的大小,會用配方法推斷二次式的大
小和范圍.
3.通過溫故知新,提高學生對不等式的相識,激發(fā)學生的學習愛好,
體會數(shù)學的神奇與數(shù)學的結(jié)構(gòu)美.
重點難點
教學重點:比較實數(shù)與代數(shù)式的大小關(guān)系,推斷二次式的大小和范圍.
教學難點:精確比較兩個代數(shù)式的大小.
課時支配
1課時
教學過程
導入新課
思路1.(章頭圖導入)通過多媒體展示衛(wèi)星、飛船和一幅山巒重疊起伏
的壯麗畫面,它將學生帶入"橫看成嶺側(cè)成峰,遠近凹凸各不同”的大自然
和浩瀚的宇宙中,使學生在詳細情境中感受到不等關(guān)系在現(xiàn)實世界和日常
生活中是大量存在的,由此產(chǎn)生用數(shù)學探討不等關(guān)系的劇烈愿望,自然地
引入新課.
思路2.(情境導入)列舉出學生身體的高矮、身體的輕重、距離學校路
程的遠近、百米賽跑的時間、數(shù)學成果的多少等現(xiàn)實生活中學生身邊熟識
的事例,描述出某種客觀事物在數(shù)量上存在的不等關(guān)系.這些不等關(guān)系怎樣
在數(shù)學上表示出來呢?讓學生自由地綻開聯(lián)想,老師組織不等關(guān)系的相關(guān)
素材,讓學生用數(shù)學的觀點進行視察、歸納,使學生在詳細情境中感受
到不等關(guān)系與相等關(guān)系一樣,在現(xiàn)實世界和日常生活中大量存在著.這樣學
生會由衷地產(chǎn)生用數(shù)學工具探討不等關(guān)系的愿望,從而進入進一步的探究
學習,由此引入新課.
推動新課
新知探究
提出問題
機團回憶初中學過的不等式,讓學生說出"不等關(guān)系"與"不等式”的異同.
怎樣利用不等式探討及表示不等關(guān)系?
m2B在現(xiàn)實世界和日常生活中,既有相等關(guān)系,又存在著大量的不等
關(guān)系.你能舉出一些實際例子嗎?
加[3數(shù)軸上的隨意兩點與對應(yīng)的兩實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?
叱明隨意兩個實數(shù)具有怎樣的關(guān)系?用邏輯用語怎樣表達這個關(guān)系?
活動:老師引導學生回憶初中學過的不等式概念,使學生明確“不等
關(guān)系"與“不等式”的異同.不等關(guān)系強調(diào)的是關(guān)系,可用符號
表示,而不等式則是表示兩者的不等關(guān)系,可用"ab""a
老師與學生一起舉出我們?nèi)粘I钪胁坏汝P(guān)系的例子,可讓學生充分
合作探討,使學生感受到現(xiàn)實世界中存在著大量的不等關(guān)系.在學生了解了
一些不等式產(chǎn)生的實際背景的前提下,進一步學習不等式的有關(guān)內(nèi)容.
實例1:某天的天氣預報報道,氣溫32回,最低氣溫26團.
實例2:對于數(shù)軸上隨意不同的兩點A、B,若點A在點B的左邊,則
xA
實例3:若一個數(shù)是非負數(shù),則這個數(shù)大于或等于零.
實例4:兩點之間線段最短.
實例5:三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊.
實例6:限速40km/h的路標指示司機在前方路段行駛時,應(yīng)使汽車
的速度v不超過40km/h.
實例7:某品牌酸奶的質(zhì)量檢查規(guī)定,酸奶中脂肪的含量f應(yīng)不少于
2.5%,蛋白質(zhì)的含量p應(yīng)不少于2.3%.
老師進一步點撥:能夠發(fā)覺身邊的數(shù)學當然很好,這說明同學們已
經(jīng)走進了數(shù)學這門學科,但作為我們探討數(shù)學的人來說,能用數(shù)學的眼光、
數(shù)學的觀點進行視察、歸納、抽象,完成這些量與量的比較過程,這是我
們每個探討數(shù)學的人必須要做的,那么,我們可以用我們所探討過的什么
學問來表示這些不等關(guān)系呢?學生很簡潔想到,用不等式或不等式組來表
示這些不等關(guān)系.那么不等式就是用不等號將兩個代數(shù)式連結(jié)起來所成的
式子.如-7-5,3+41+4,2xS6,a+220,3H4,0S5等.
老師引導學生將上述的7個實例用不等式表示出來.實例1,若用t表
示某天的氣溫,則260<t<32固實例3,若用x表示一個非負數(shù),則x>0.
實例5,|AC|+|BC||AB|,如下圖.
|AB|+|BC||ACh|AC|+|BC||AB|>|AB|+|AC||BC|.
|AB|-|BC||AC|>|AC|-|BC||ABh|AB|-|AC||BC|,交換被減數(shù)與減數(shù)
的位置也可以.
實例6,若用v表示速度,則v40km/h.實例7,f>2.5%,p22.3%.對
于實例7,老師應(yīng)點撥學生留意酸奶中的脂肪含量與蛋白質(zhì)含量需同時滿
意,避開寫成也2.5%或p22.3%,這是不對的.但可表示為f22.5%且p22.3%.
對以上問題,老師讓學生輪番回答,再用投影儀給出課本上的兩個結(jié)
論.
探討結(jié)果:
⑴(2)略;⑶數(shù)軸上隨意兩點中,右邊點對應(yīng)的實數(shù)比左邊點對應(yīng)的實
數(shù)大.
(4)對于隨意兩個實數(shù)a和b,在a=b,ab,a應(yīng)用示例
例1(教材本節(jié)例1和例2)
活動:通過兩例讓學生熟識兩個代數(shù)式的大小比較的基本方法:作差,
配方法.
點評:本節(jié)兩例的求解,是借助因式分解和應(yīng)用配方法完成的,這兩
種方法是代數(shù)式變形時常常運用的方法,應(yīng)讓學生嫻熟駕馭.
變式訓練
1.若f(x)=3x2-x+l,g(x)=2x2+x-l,則f(x)與g(x)的大小關(guān)系是()
A.f(x)g(x)B.f(x)=g(x)
C.f(x)
答案:A
解析:f(x)-g(x)=x2-2x+2=(x-l)2+l>10,0f(x)g(x).
2.已知XHO,比較(x2+l)2與x4+x2+l的大小.
解:由(x2+l)2-(x4+x2+l)=x4+2x2+l-x4-x2-l=x2.
取HO,得x20.從而(x2+l)2x4+x2+l.
例2比較下列各組數(shù)的大小(arb).
⑴a+b2與21a+lb(a0,bO);
(2)a4-b4與4a3(a-b).
活動:比較兩個實數(shù)的大小,常依據(jù)實數(shù)的運算性質(zhì)與大小依次的關(guān)
系,歸結(jié)為推斷它們的差的符號來確定.本例可由學生獨立完成,但要點撥
學生在最終的符號推斷說理中,要理由充分,不行忽視這點.
解:(I)a+b2-21a+lb=a+b2-2aba+b=2|a+b02-4ab2aa+b0=[3a-bB22Ba+b[a.
0aO,bO且awb,0a+bO,(a-b)2O.0[?!a-b[?|22?ia+b[?jO,即a+b221a+lb.
(2)a4-b4-4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2)-4a3(a-b)
=(a-b)(a3+a2b+ab2+b3-4a3)=(a-b)[(a2b-a3)+(ab2-a3)+(b3-a3)]
=-(a-b)2(3a2+2ab+b2)=-(a-b)2[2a2+(a+b)2],
132a2+(a+b)220(當且僅當a=b=O時取等號),
又awb,0(a-b)2O,2a2+(a+b)2O.0-(a-b)2[2a2+(a+b)2]O.
0a4-b44a3(a-b).
點評:比較大小常用作差法,一般步驟是作差一一變形一一推斷符號.
變形常用的手段是分解因式和配方,前者將"差"變?yōu)?積",后者將“差”化
為一個或幾個完全平方式的"和",也可兩者并用.
變式訓練
已知xy,且ywO,比較xy與1的大小.
活動:要比較隨意兩個數(shù)或式的大小關(guān)系,只需確定它們的差與0的
大小關(guān)系.
解:xy-l=x-yy.
0xy,0x-yO.
當yO時,x-yyO,即xy-10.0xyl;
當yO時,x-yyO,即xy-lO.0xyl.
點評:當字母y取不同范圍的值時,差xy-1的正負狀況不同,所以需
對y分類探討.
例3建筑設(shè)計規(guī)定,民用住宅的窗戶面積必需小于地板面積.但按采光
標準,窗戶面積與地板面積的比值應(yīng)不小于10%,且這個比值越大,住宅
的采光條件越好.試問:同時增加相等的窗戶面積和地板面積,住宅的采
光條件是變好了,還是變壞了?請說明理由.
活動:解題關(guān)鍵首先是把文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學語言,然后比較前后
比值的大小,接受作差法.
解:設(shè)住宅窗戶面積和地板面積分別為a、b,同時增加的面積為m,
依據(jù)問題的要求a
由于a+mb+m-ab=mL,:b-a?jbl?lb+m[?]O,于是a+mb+mab..又ab>10%,
因此a+mb+mab>10%.
所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后,住宅的采光條件變好了.
點評:一般地,設(shè)a、b為正實數(shù),且a
變式訓練
已知al,a2,???為各項都大于零的等比數(shù)列,公比q/1,則()
A.al+a8a4+a5B.al+a8
C.al+a8=a4+a5D,al+a8與a4+a5大小不確定
答案:A
解析:(al+a8)-(a4+a5)=al+alq7-alq3-alq4
=al[(l-q3)-q4(l-q3)]=al(l-q)2(l+q+q2)(l+q)(l+q2).
團{an}各項都大于零,HqO,即1+qO.
又ElqHl,0(al+a8)-(a4+a5)O,即al+a8a4+a5.
課堂小結(jié)
1.老師與學生共同完成本節(jié)課的小結(jié),從實數(shù)的基本性質(zhì)的回顧,到
兩個實數(shù)大小的比較方法;從例題的活動探究點評,到緊跟著的變式訓練,
讓學生去繁就簡,聯(lián)系舊知,將本節(jié)課所學納入已有的學問體系中.
2.老師畫龍點睛,點撥利用實數(shù)的基本性質(zhì)對兩個實數(shù)大小比較時易
錯的地方.鼓舞學有余力的學生對節(jié)末的思索與探討在課后作進一步的探
究.
作業(yè)
習題3-1A組3;習題3-1B組2.
設(shè)計感想
1.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了教學方法的優(yōu)化.閱歷告知我們:課堂上應(yīng)依據(jù)詳
細狀況,選擇、設(shè)計最能體現(xiàn)教學規(guī)律的教學過程,不宜長期運用一種
固定的教學方法,或原封不動地照搬一種試驗模式.各種教學方法中,沒有
一種能很好地適應(yīng)一切教學活動.也就是說,世上沒有萬能的教學方法.針
對特性,敏捷變更,因材施教才是勝利的施教靈藥.
2.本節(jié)設(shè)計留意了難度限制.不等式內(nèi)容應(yīng)用面廣,可以說與其他全部
內(nèi)容都有交匯,歷來是高考的重點與熱點.作為本章起先,可以適當開闊
一些,算作拋磚引玉,讓學生有個自由探究聯(lián)想的平臺,但不宜過多向外
拓展,以免對學生產(chǎn)生負面影響.
3.本節(jié)設(shè)計關(guān)注了學生思維實力的訓練.訓練學生的思維實力,提升思
維的品質(zhì),是數(shù)學老師直面的重要課題,也是中學數(shù)學教化的主線.接受一
題多解有助于思維的發(fā)散性及敏捷性,克服思維的僵化.變式訓練教學又可
以拓展學生思維視野的廣度,解題后的點撥反思有助于學生思維批判性品
質(zhì)的提升.
中學必修一數(shù)學教案5
一、教學內(nèi)容分析
二面角是我們?nèi)粘I钪谐3R姷降囊粋€圖形,它是在學生學過空間
異面直線所成的角、直線和平面所成角之后,探討的一種空間的角,二面
角進一步完善了空間角的概念.駕馭好本節(jié)課的學問,對學生系統(tǒng)地理解直
線和平面的學問、空間想象實力的培育,乃至創(chuàng)新實力的培育都具有特別
重要的意義.
二、教學目標設(shè)計
理解二面角及其平面角的概念;能確認圖形中的已知角是否為二面角
的平面角;能作出二面角的平面角,并能初步運用它們解決相關(guān)問題.
三、教學重點及難點
二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.
四、教學流程設(shè)計
五、教學過程設(shè)計
一、新課引入
1.復習和回顧平面角的有關(guān)學問.
平面中的
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