泰勒公式例題

泰勒公式及其應用等價無窮小在求函數(shù)極限中的應用及推廣泰勒公式及其應用１引言泰勒公式是高等數(shù)學中一個非常重要的內(nèi)容,它將一些復雜函數(shù)近似地表示為簡單的多項式函數(shù),這種化繁為簡的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學問題的有力杠桿.作者通過閱讀大量的參考文獻,從中搜集了大量的習題,通過認真演算,其中少數(shù)難度較大的題目之證明來自相應的參考文獻,并對這些應用方法做了系統(tǒng)的歸納和總結(jié).由于本文的主要內(nèi)容是介紹應用,所以,本文會以大量的例題進行講解說明.２預備知識定義2.1假設函數(shù)在存在階導數(shù),那么有〔1〕這里為佩亞諾型余項,稱(1)f在點的泰勒公式.當=0時,〔1〕式變成,稱此式為(帶有佩亞諾余項的)麥克勞林公式.定義2.2假設函數(shù)在某鄰域內(nèi)為存在直至階的連續(xù)導數(shù),那么,〔2〕這里為拉格朗日余項,其中在與之間,稱〔2〕為在的泰勒公式.當=0時,〔2〕式變成稱此式為(帶有拉格朗日余項的)麥克勞林公式.常見函數(shù)的展開式：.....定理2.1(介值定理)設函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),且,假設為介于與之間的任何實數(shù),那么至少存在一點,使得.3泰勒公式的應用3.1利用泰勒公式求極限為了簡化極限運算,有時可用某項的泰勒展開式來代替該項,使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項式有理式的極限,就能簡捷地求出.例3.1求極限.分析：此為型極限,假設用羅比達法求解，那么很麻煩,這時可將和分別用泰勒展開式代替,那么可簡化此比式.解由,得,于是.例3.2極限.分析：此為型極限,假設用羅比達法求解，那么很麻煩,這時可將和sinx,分別用泰勒展開式代替,那么可簡化此比式.解：由,于是例3.3利用泰勒展開式再求極限。解：，【注解】現(xiàn)在，我們可以徹底地說清楚下述解法的錯誤之處因為，從而當時，，應為3.2利用泰勒公式證明不等式當所要證明的不等式是含有多項式和初等函數(shù)的混合物,不妨作一個輔助函數(shù)并用泰勒公式代替,往往使證明方便簡捷.例3.2當時,證明.證明取,,那么帶入泰勒公式,其中=3,得，其中.故當時,.3.3利用泰勒公式判斷級數(shù)的斂散性當級數(shù)的通項表達式是由不同類型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時,往往利用泰勒公式將級數(shù)通項簡化成統(tǒng)一形式,以便利用判斂準那么.3.3利用泰勒公式判斷廣義積分的斂散性例3由于收斂，所以例3.3討論級數(shù)的斂散性.分析：直接根據(jù)通項去判斷該級數(shù)是正向級數(shù)還是非正向級數(shù)比擬困難,因而也就無法恰中選擇判斂方法,注意到,假設將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相照應,會使判斂容易進行.解因為,所以,所以故該級數(shù)是正向級數(shù).又因為,所以.因為收斂,所以由正向級數(shù)比擬判別法知原級數(shù)收斂.3.4利用泰勒公式證明根的唯一存在性設f(x)在上二階可導,且,對,證明：在內(nèi)存在唯一實根. 分析：這里f(x)是抽象函數(shù),直接討論的根有困難,由題設f(x)在上二階可導且,可考慮將f(x)在a點展開一階泰勒公式,然后設法應用戒指定理證明.證明因為,所以單調(diào)減少,又,因此x>a時,,故f(x)在上嚴格單調(diào)減少.在a點展開一階泰勒公式有由題設,于是有,從而必存在,使得,又因為,在上應用連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在,使,由f(x)的嚴格單調(diào)性知唯一,因此方程在內(nèi)存在唯一實根.3.5利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值例3.5(極值的第二充分條件)設在的某鄰域內(nèi)一階可導,在處二階可導,且,.(i)假設,那么在取得極大值.(ii)假設,那么在取得極小值.證明由條件，可得f在處的二階泰勒公式.由于,因此.(*)又因,故存在正數(shù),當時,與同號.所以,當時,(*)式取負值,從而對任意有,即在取得極大值.同樣對,可得在取得極小值.3.6利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式利用根本初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式,通過加減乘等運算進而可以求得一些較復雜的初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式.例3.6求的冪級數(shù)展開式.解利用泰勒公式3.7利用泰勒公式進行近似計算利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計算式和一些數(shù)值的近似計算,利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計算式為,其誤差是余項.例3.7計算Ln1.2的值,使誤差不超過0.0001解先寫出f(x)=Ln(1+x)帶拉格朗日型余項的麥克勞林展開式：,其中〔在0與x之間〕.令,要使那么取即可.因此當要求的算式不能得出它的準確值時,即只能求出其近似值,這時泰勒公式是解決這種問題的最好方法.例3.8求的近似值,精確到.解因為中的被積函數(shù)是不可積的〔即不能用初級函數(shù)表達〕,現(xiàn)用泰勒公式的方法求的近似值.在的展開式中以代替x得逐項積分,得上式右端為一個收斂的交錯級數(shù),由其余項的估計式知3.8利用泰勒公式求高階導數(shù)在某些點的數(shù)值如果f(x)泰勒公式,其通項中的加項的系數(shù)正是,從而可反過來求高階導數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導.例3.9求函數(shù)在x=1處的高階導數(shù).解設x=u+1,那么,,在u=0的泰勒公式為,從而,而g(u)中的泰勒展開式中含的項應為,從g(u)的展開式知的項為,因此,.3.9利用泰勒公式求行列式的值假設一個行列式可看做x的函數(shù)〔一般是x的n次多項式〕,記作f(x),按泰勒公式在某處展開,用這一方法可求得一些行列式的值.例3.10求n階行列式D=〔1〕解記,按泰勒公式在z處展開：,〔2〕易知〔3〕由〔3〕得,.根據(jù)行列式求導的規(guī)那么,有于是在處的各階導數(shù)為,,…………把以上各導數(shù)代入〔2〕式中,有假設,有,假設,有.總結(jié)本文主要介紹了泰勒公式以及它的九個應用,使我們對泰勒公式有了更深一層的理解,怎樣應用泰勒公式解題有了更深一層的認識.,只要在解題訓練中注意分析,研究題設條件及其形式特點,并把握上述處理規(guī)那么,就能比擬好地掌握利用泰勒公式解題的技巧.無窮小極限的簡單計算【教學目的】1、理解無窮小與無窮大的概念；2、掌握無窮小的性質(zhì)與比擬會用等價無窮小求極限；3、不同類型的未定式的不同解法?！窘虒W內(nèi)容】1、無窮小與無窮大；2、無窮小的比擬；3、幾個常用的等價無窮小等價無窮小替換；4、求極限的方法?！局攸c難點】重點是掌握無窮小的性質(zhì)與比擬用等價無窮小求極限。難點是未定式的極限的求法?！窘虒W設計】首先介紹無窮小和無窮大的概念和性質(zhì)〔30分鐘〕，在理解無窮小與無窮大的概念和性質(zhì)的根底上,讓學生重點掌握用等價無窮小求極限的方法〔20分鐘〕。最后歸納總結(jié)求極限的常用方法和技巧〔25分鐘〕，課堂練習〔15分鐘〕。【授課內(nèi)容】一、無窮小與無窮大1.定義前面我們研究了數(shù)列的極限、〔、〕函數(shù)的極限、〔、〕函數(shù)的極限這七種趨近方式。下面我們用＊表示上述七種的某一種趨近方式，即＊定義：當在給定的＊下，以零為極限，那么稱是＊下的無窮小，即。例如,【注意】不能把無窮小與很小的數(shù)混淆；零是可以作為無窮小的唯一的數(shù)，任何非零常量都不是無窮小。定義：當在給定的＊下，無限增大，那么稱是＊下的無窮大，即。顯然，時，都是無窮大量，【注意】不能把無窮大與很大的數(shù)混淆；無窮大是極限不存在的情形之一。無窮小與無窮大是相對的，在不同的極限形式下，同一個函數(shù)可能是無窮小也可能是無窮大，如，，所以當時為無窮小，當時為無窮大。2．無窮小與無窮大的關系：在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，那么為無窮??；反之，如果為無窮小，且，那么為無窮大。小結(jié)：無窮大量、無窮小量的概念是反映變量的變化趨勢，因此任何常量都不是無窮大量，任何非零常量都不是無窮小，談及無窮大量、無窮小量之時，首先應給出自變量的變化趨勢。3.無窮小與函數(shù)極限的關系:定理1其中是自變量在同一變化過程〔或〕中的無窮小.證：〔必要性〕設令那么有〔充分性〕設其中是當時的無窮小，那么【意義】〔1〕將一般極限問題轉(zhuǎn)化為特殊極限問題(無窮小);〔2〕3.無窮小的運算性質(zhì)定理2在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.【注意】無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.定理3有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.如：，，推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.二、無窮小的比擬例如，觀察各極限：不可比.極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.1．定義:設是自變量在同一變化過程中的兩個無窮小，且例1證：例2解2．常用等價無窮小:〔1〕～；〔2〕～；〔3〕～；〔4〕～；〔5〕～；〔6〕～〔7〕～〔8〕～〔9〕～用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式:例如3．等價無窮小替換定理：證：例3〔1〕；〔2〕解:〔1〕故原極限=8〔2〕原極限==例4錯解:=0正解:故原極限【注意】和、差形式一般不能進行等價無窮小替換，只有因子乘積形式才可以進行等價無窮小替換。例5解:原式三、極限的簡單計算1.代入法：直接將的代入所求極限的函數(shù)中去，假設存在，即為其極限，例如；假設不存在，我們也能知道屬于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，就代不進去了，但我們看出了這是一個型未定式，我們可以用以下的方法來求解。2.分解因式，消去零因子法例如，。3.分子〔分母〕有理化法例如，又如，4.化無窮大為無窮小法例如，，實際上就是分子分母同時除以這個無窮大量。由此不難得出又如，，〔分子分母同除〕。再如，，〔分子分母同除〕。5.利用無窮小量性質(zhì)、等價無窮小量替換求極限例如，，〔無窮小量乘以有界量〕。又如，解：商的法那么不能用由無窮小與無窮大的關系,得再如，等價無窮小量替換求極限的例子見本節(jié)例3—例5。6.利用兩個重要極限求極限〔例題參見§1.4例3—例5〕7.分段函數(shù)、復合函數(shù)求極限例如，解:左右極限存在且相等,【啟發(fā)與討論】思考題1：解：無界，不是無窮大．結(jié)論：無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.思考題2：假設，且，問：能否保證有的結(jié)論？試舉例說明.解：不能保證.例思考題3：任何兩個無窮小量都可以比擬嗎？解：不能．例如當時都是無窮小量但不存在且不為無窮大，故當時和不能比擬.【課堂練習】求以下函數(shù)的極限〔1〕；解：原極限=〔2〕求【分析】“”型，拆項。解：原極限===〔3〕；【分析】“抓大頭法”，用于型解：原極限==，或原極限〔4〕；【分析】分子有理化解：原極限===〔5〕【分析】型，是不定型，四那么運算法那么無法應用，需先通分，后計算。解：===〔6〕【分析】“”型，是不定型，四那么運算法那么失效，使用分母有理化消零因子。解：原極限==6〔7〕解:先變形再求極限.【內(nèi)容小結(jié)】一、無窮小〔大〕的概念無窮小與無窮大是相對于過程而言的.1、主要內(nèi)容:兩個定義;四個定理;三個推論.2、幾點注意:(1)無窮小〔大〕是變量,不能與很小〔大〕的數(shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；〔2〕無窮多個無窮小的代數(shù)和〔乘積〕未必是無窮小.〔3〕無界變量未必是無窮大.二、無窮小的比擬:1.反映了同一過程中,兩無窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無窮小都可進行比擬。高(低)階無窮小;等價無窮小;無窮小的階。2.等價無窮小的替換:求極限的又一種方法,注意適用條件.三、極限求法〔不同類型的未定式的不同解法〕;a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.等價無窮小在求函數(shù)極限中的應用及推廣前言設f在某內(nèi)有定義，假設那么稱f為當時的無窮小量設當時，f于g均為無窮小量假設那么稱f于g是當時的等價無窮小量。記作一、等價無窮小在求函數(shù)極限中的應用1求函數(shù)的極限技巧很強，可利用無窮小等價的關系，簡化了求某些型的極限的計算引理設函數(shù)〔x〕，〔x〕滿足以下條件：在a的某個去心鄰域內(nèi)均有非零導數(shù)Limf〔x〕=0，；那么，〔3〕當f〔x〕，>0時,=1證明由洛比塔法那么;;=,證畢定理1設函數(shù)f(x),g(x)及,滿足以下條件:〔1〕在a的某去心鄰域內(nèi)均有導數(shù)〔2〕在xa時,均為無窮小量,,,于是;假設假設f(x),>0，且,那么證明由引理(1)故(2)故如果我們能熟記一些符合定理條件的一些無窮小量,那么在求某些型的極限時將很方便.如時,等,均為無窮小量,且例1求以下函數(shù)的極限(1)解(1)原式=(2)原式=(3)原式=〔4〕原式=〔5〕原式=例2求以下函數(shù)的極限解〔1〕原式=〔其中，〕〔2〕原式=〔3〕原式=〔4〕原式=〔5〕原式=〔6〕原式=〔其中〕所謂等價無窮小，是指在同種變化趨勢下，和都是無窮小，且0，如果，那么和是等價無窮小，記。這意味著在這一極限過程中，和趨近于零的速度根本相同。例如因為，，所以當時，都是等價無窮小，即。常見的等價形式有：時，,2對不定式極限型的計算定理2假設在同一極限過程中，a，b是無窮小且那么該定理說明，對型未定式可以施行等價無窮小替換來計算極限。但是這種替換只限于整個分子〔分母〕及其乘積因子，當分子或分母為代數(shù)和時，對其中的項卻不能隨意作等價無窮小替換。例如：求極限時，sinx~x，tanx~x對原式作無窮小替換將導致錯誤的結(jié)果：原式=〔正確結(jié)果為〕例3因為當時解原式==例4解使用等價無窮小，當時上式=例5求解它是型，按以前的求極限方法，它是不能用等價無窮小來代替，用洛必達法那么計算原式=很顯然，這個題目直接用洛比達法那么求解太繁，我們考慮函數(shù)中使用等價無窮小進行化簡。注意到：當時，有原極限=可見，對一些無法直接使用等價無窮小的極限式直接使用洛比達法那么，會造成計算量大而且通過對函數(shù)式的構(gòu)造變換，再使用等價無窮小，就很容易求得答案了。3數(shù)列極限的假設干計算法〔1〕極限的四那么運算法那么假設{}與{}為收斂數(shù)列，那么{}，{}，{}也都是收斂數(shù)列，其有例6求解由得〔2〕利用重要極限求數(shù)列的極限兩個重極限分別為例7求解〔3〕單調(diào)有界數(shù)列法這一方法是利用極限理論根本定理：單調(diào)有界數(shù)列必有極限，其方法為:(1)判定數(shù)列是單調(diào)有界的，從而可設其極限為A?！?〕建立數(shù)列相鄰兩項之間的關系式。〔3〕在關系式兩端取極限，得以關于A的方程，假設能解出A，問題得解。例8求數(shù)列其中〔a>0〕極限解:設，…那么{}是單調(diào)有界數(shù)列，它必有極限，設其極限為A在兩邊取極限得即所以，因為A>0所以即〔4〕利用定積分計算計算項數(shù)無限增多的無窮小量之和，有時可設法把問題化為某一函數(shù)在某一區(qū)間上的積分和的極限問題，從而利用定積分求解。有時問題呈現(xiàn)乘積的形式，也可試用本方法，只式要先取對數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為和的形式。例9計算解、先考慮，從而有因此〔5〕變上限積分的極限常用的變上限積分的等價無窮小有：其中上述等式可以用洛比塔法那么直接證明，證明中我們可以看到被積函數(shù)之間是等價無窮小，由此可得將被積函數(shù)用等價無窮小代換后的變上限積分仍是等價無窮小，即是:定理3假設當存在，，那么。證明：由此定理還可以得出如