高中數(shù)學(xué)必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題 (14)(含答案解析)

必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運算》解答題(14)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.在三角形ABC中，AB=2,AC=1,乙4cB=；,。是線段BC上一點，且防=：配，F(xiàn)為線

(1)設(shè)而=4,前=B，=xa+yb＞求x-y；

(2)求斤的取值范圍；

(3)若尸為線段A2的中點，直線C尸與AO相交于點求而.四.

2.在448C中，已知cosC=|(1)若而?襦=，求44BC的面積；

(2)設(shè)記=(2sing,值),n=(cosB,cos|),且沆〃五,求sin(B-4)的值.

3.已知瓦，石是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，荏=2瓦＜+電,而=-瓦*+4電，正=-2瓦+宅,

且A,E,C三點共線.

(1)求實數(shù);I的值；

(2)己知瓦＞=(2,1),石=(2,-2),點)(3,5),若A,B,C,。四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形,

求點A的坐標(biāo).

4.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知26cosc—c=2a.

⑴求&

(2)若a=3,且AC邊上的中線長為"，求c.

5.設(shè)向量五,b滿足|五|=|b|=1及|3日-|=

(1)求五石夾角。的大??；

(2)求|3方+年的值.

6.如圖，在菱形A8CD中，BE=^BC,CF=2FD.

(1)若前=K荏+丫而，求3x+2y的值；

(2)若|畫=6,NBA。=60。，求而?掘.

(3)若菱形ABCZ)的邊長為6,求荏?前的取值范圍.

7.已知五，3是兩個不共線的非零向量，|五|=2,\b\=1，且五與方的夾角是120。,

⑴求|五+2石|的大小；

(2)記函=五，OB=Ab<OC=2(a+b)>若正與短的夾角為銳角，求實數(shù)4的取值范圍.

8.已知向量五=(cosx,sinx')lb=(sinx,cosx)>且xe[0,-],

(1)求五萬的取值范圍;

(2)求證|4+方|=2sln[x+^)；

(3)求函數(shù)/'(X)=百片一聲|方+石|的取值范圍.

9.已知五=(V^sinx,cosx+sinx),b=(2cosx,sinx-cosx)，/(x)=a-b-

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)當(dāng)XG償，爭時，對任意t6R，不等式mt?+mt+3>/(x)恒成立，求實數(shù)的m取值范圍.

10.如圖，在△ABC中，已知48=2,AC=6,4BAC=60。,

分別在邊4B,AC上，且荏=2而，AC=SAE，

(1)若酢=一;四+之前，求證：點尸為。E的中點;

、,410

(2)在(1)的條件下，求瓦彳?前的值.

11..如圖△ABC為正三角形，邊長為2,以點A為圓心，1為半徑作圓，PQ為圓4的任意一條直徑.

日若麗=!說，求|而團求的?浮的最小值.

12.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，己知點4(1,0)和點8(-1,0),|瓦|=1,且N40C=x,其中O

為坐標(biāo)原點.

(1)若x兀，設(shè)點/)為線段0A上的動點，求|無+說|的最小值;

(2)若xe[0,,向量記=BC,n=(1—cosx,sinx—2cosx),求記■元的最小值及對應(yīng)的x值.

13.在EJABC中，若4B=市^AC=b-BD=|BC.(1)用a，b表萬BD'

(2)若4B=2,AC=3,^BAC=p五).訪的值.

14.已知向量乙方的夾角為60。，且|肉=1,|石|=2.

⑴求|蒼一石|與|2方-石|的值;

(2)求五一石與21一石的夾角仇

15.如圖所示，△ABC中，AB=a，AC=b，。為AB中點，E為CD上一點，且DC=3EC,AE的

延長線與8C的交點為凡

c

ADB

(1)用向量,，石表示荏；

(2)用向量五，坂表示希，并求出AE：EF和BF：FC的值.

16.已知A04B的頂點坐標(biāo)為0(0,0),4(2,9),8(6,-3),點P的橫坐標(biāo)為14,且而=2而，點。

是邊AB上一點，且麗?都=0.

(1)求實數(shù);I的值與點P的坐標(biāo)；

(2)求點。的坐標(biāo)；

(3)若R為線段OQ(含端點)上的一個動點，試求而-(RA+近)的取值范圍.

17.已知向量1=(2+sinx,1),b=(2,-2)>c=(sinx-3,1)>d=(l,/c)>(x6R,ke/?).

(1)若％e[—且益〃(B+辦求x的值；

(2)若函數(shù)f(x)=五.石，求/1(%)的最小值;

(3)是否存在實數(shù)左，使得0+辦1@+0？若存在，求出％的取值范圍；若不存在，請說明理由.

18.在44BC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,向量m=(2b+c.sinC),向量n=(sinB,2c+b),

且滿足m-n=2asinA。

(1)求角4的大?。?/p>

(2)若44BC外接圓的半徑是1,求當(dāng)函數(shù)/(B)=cos2B-4cosAsinB取最大值時ZABC的周長。

19.如圖在直角坐標(biāo)系中，優(yōu)弧AB的圓心角為半，優(yōu)弧AB所在圓的半徑為1,角。的終邊與優(yōu)弧

AB交于點C.

(1)當(dāng)C為優(yōu)弧A8的中點時，。為線段0A上任一點，求|云+3研的最小值；

(2)當(dāng)C在優(yōu)弧A8上運動時，D,E分別為線段0A,。8的中點，求方?屁的取值范圍.

20.已知向量2=(msinx,cosx),b=(sinx,?nsinx),xe(0,2),

(1)若后〃Jtan%=[,求實數(shù)機的值：

(2)記/(切=；)，若/(幻2-寸亙成立，求實數(shù)m的取值范圍.

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知4(—1,—2),S(2,3),C(-2,-l).

(1)求以線段A8、AC為鄰邊的平行四邊形兩條對角線的長；

(2)若存在y軸上一點尸滿足BCJL4P,求cos/BPC.

22.在團ABC中，a,b,c分別是角4B,C所對的邊，已知a=l,m=(1,-V3)，元=(sinA,cos4),且

77l±7?.

(1)求角A的大??；

(2)若回ABC的面積為,，求b+c的值.

(3)求團ABC周長的取值范圍.

23.如圖所示，在平行四邊形A3CD中，M,N分別為DC,BC的中點,

已知力B=c，AD=d'試用3，2表示宿，MN，MB-

24.在2L4BC中，在60,AB=2,AC=1,'BD=2DC，~AE=AAC-AB.

(1)若而?荏=一4，求;l的大??；

(2)若非零向量而=%而+丫而，求需的最小值.

25.已知。為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)/(x)=asinx+bcosx,稱向量麗=(a,b)為函數(shù)/(%)的伴隨向量,

同時稱函數(shù)f(x)為向量曲的伴隨函數(shù).

(1)設(shè)函數(shù)g(x)=V3sin(7i+%)-sing-％)，試求g(x)的伴隨向量兩；

⑵記向量而=(1,遍)的伴隨函數(shù)為f⑺，求當(dāng)f(x)=|且xC(-晨)時sinx的值；

(3)由(1)中函數(shù)g(x)的圖象(縱坐標(biāo)不變)橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再把整個圖象向右平移等個

單位長度得到/i(x)的圖象，已知力(—2,3),8(2,6),問在y=/i(x)的圖象上是否存在一點P,使得

而，前若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

26.定義非零向量麗=(a,b)的"相伴函數(shù)”為/(x)=asinx+bcosx(xeR),向量而7=(a,b)

稱為函數(shù)/。)=asinx+bcosx(xeR)的“相伴向量”(其中0為坐標(biāo)原點).記平面內(nèi)所有向量

的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S.

(1)設(shè)/t(x)=V5cos(x+9+3cos(g-x)(x6R),請問函數(shù)/i(x)是否存在相伴向量而，若存

在，求出與麗共線且同向的單位向量；若不存在，請說明理由.

(2)已知點M(a,b)滿足：(0,V3],向量麗的“相伴函數(shù)”/(%)在x=x0處取得最大值，求

tan2x0的取值范圍.

27.我們知道，對一個量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同可以構(gòu)造等式解決問題，這種思維方

法稱為“算兩次”原理，又稱“富比尼原理”，是一種重要的數(shù)學(xué)思想。如：如圖，在ZL4BC中，

。為BC的中點，則而=超+前,工0/+3方，兩式相加得，2而=南+而+元+而,

因為。為8c的中點，所以而+而=6，故可得2而=荏+就.

請用“算兩次”的方法解決下列問題：

(1)如圖，在任意四邊形A8C。中，E,F分別為A。，BC的中點，求證：2品=四+配.

C

BF

(2)在四邊形ABC。中，E,尸分別在邊AO,BC上，且4E=^4。，BF=^BC,

①試用超,反表示前；

②若ZB=3,DC=2,荏與比的夾角為60°,求同?前.

28.在銳角三角形ABC中，a=2g,.

(1)求角4的大小：

(2)求44BC的周長/的取值范圍.

在下面三個條件①沆=(-cosg,sin今，元=(cos?,sin今，且記.記=-g,@(26-c)cosA=

acosC,③/(x)=cosxcos(x-g)-/(4)=；中任選一個補充在上面的橫線中，并對其進行

求解.

29.設(shè)方=(sinx,cosx),6=(COSY,cosx)xeR，函數(shù)/'(x)=丘?0+b).

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期及最大值；

(2)求/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

30.已知落K.3是同一平面內(nèi)的三個向量，其中不=(1,2).

⑴若|3|=24,且)〃石，求石的坐標(biāo):

(2)若|小=同，且24+不與44-3及垂直，求弓與表的夾角仇

【答案與解析】

1.答案：解：(1):而=近+詬=前+2區(qū)=配+三(荏一於)=工前+2亞=33+2乙

333333

211

:,x=一,y=-,-??x—y=-

3/3J3

(2)設(shè)方=4屈，(0<A<1)

因為在三角形A8c中，4B=2,AC=1,^ACB=p^CAB=30°,

■■■CF-FA=(AF-AC}■(-AF)=(AXB-IC)(-AAB)=-4A2+A-lx2x^=-4A2+V3A

=-4(，-等)2+G[-4+V3,^]

ololo

⑶????1,M,。三點共線，二可設(shè)由=丫8？+(1-%)而=%8？+(1-％)看而，

??,尸為48的中點，；.蕭=[石5+：而，

又C,M,尸三點共線，.,.存在teR使得而=t謂，

?'?xCA+~(1-%)CB——tCA+-1CB,

—,—,2—.2—,—,2―,2—,2―.—?>4―.—.2—.2

CM-AB=(-CA+-CB)-AB=(-CA+-CA+-AB)-AB=-CA-AB+-AB

JJJJJJJ

4V3284V3

=-xlx2x(-T)+-x4=---

解析：(1)將前化成前和近后，與已知比較得x=I，y=§可得x—y=/

(2)設(shè)由:=2而，(0<A<1),將療，同化成就，荏后，再相乘可得；

(3)先根據(jù)向量共線和三點共線得到國=|C4+fee,再與荏相乘可得.

本題考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，屬中檔題.

2.答案：解：(1)由方=￡得abcosC=|

又因為COSC=|

所以所盛甘

又C為的內(nèi)角,

所以sinC=

所以△ABC的面積S=^absinC=3.

(2)因為沅〃元,

_BB_

所以2s譏5COS]=VScosB,EPsinB=遍cosB，

因為cosBH0,

所以tQ718=汽,

因為8為三角形的內(nèi)角,

所以〃..

所以4+C="

J

所以A=與27r―C

<5

所以sin(B-A)=sdn(^-4)

=sin(C——)=-sinC—^^cosC

3122

_1*4%3_4-3』

252510

解析：本題考查三角恒等變換、向量的數(shù)量積、向量平行和三角形的面積公式，屬于中檔題.

⑴利用而求出外的值，然后求解AABC的面積;

(2)通過沅〃元,求出tanB的值，推出3,轉(zhuǎn)化sin(B-A)

=sin?—A)=sin(C利用兩角和與差的三角函數(shù)求解即可.

3.答案：解：(1)荏=荏+而

=(2百+^7)+(一百+a^7)

=浣+(1+4)宅.

???4E,C三點共線,

???存在實數(shù)k,使得荏=kEC，

即匹+(1+1)3=k(-2可+器)，

得(1+2外瓦=(fc-1-A)e^.

???久，瓦是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，

.??｛：+?=1°，解得卜=心，A=-|.

U=fc-122

(2)元=麗+正=_3百孩

=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2).

???4,B,C,。四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，

AD=BC-

設(shè)4(x,y),則而=(3—x,5-y),

BC—(—7,—2)>

H；：7°

即點A的坐標(biāo)為(10,7).

解析：本題考查了向量共線和向量的坐標(biāo)運算，本題屬于中檔題.

(1)可以利用三點共線，得到向量的線性關(guān)系，解出；I的值，即可得到結(jié)果；

(2)由已知條件得到死的坐標(biāo)，再由同=能，得到A點的坐標(biāo)，即可得到結(jié)果.

4.答案：解:(1)由正弦定理得2sinBcosC=2sin4+sinC,

又由sinA=sin[7r—(8+C)]=sin(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC,

可得2cosBsinC+sinC=0,

因為0VCV7T,所以sinCHO,

所以cosB=—

因為0<8<兀，所以B=g.

(2)設(shè)。為4c的中點，所以瓦？+就=2而，

所以(瓦5+瓦》=(2阮y,

又B=—,所以BA-Bd=c-a-cos=-；ac,

332

可得M+C2—ac=19,

因為a=3,

得c2-3c-10=0,

解得c=5或c=-2(舍去).

故c=5.

解析：本題考查的是正弦定理、兩角和的正弦公式和數(shù)量積的運算，屬于中檔題.

(1)由已知和正弦定理得2sinBcosC=2sin力+sinC,由sinA=sin(B+C),化簡即可得到

2cosBsinC+sinC=0,即可得到cosB=-g,結(jié)合角的范圍進而得到角B；

(2)設(shè)。為AC的中點，所以瓦？+元=2前，所以(而+砒)2=(2前產(chǎn)，利用數(shù)量積運算可得a?+

c2—ac=19,將a=3代入，即可求解c的值.

5.答案:解：(1)由|3五一21|=夕，

得(3日一23)2=7，即9|五『一12五不+4|弓『=7,

,,—?,—>7*1

|a|=|/?|=1>?-a-b=-.

|a|?|b|cos0=I，cosd=I，

又???06[0,柯，.?.區(qū)石夾角。=g；

(2)v(3a+6)2=9|a|2+6a-K+|K|2

=9+6x*1=13.

2

|3a+K|=713.

解析：本題考查了向量的夾角，向量的模以及向量的數(shù)量積運算，熟練掌握向量的數(shù)量積運算性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵，是中檔題.

(1)把已知的等式|3五-2另|=VT兩邊平方，把向量模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，代入數(shù)量積公式求

得向量。方夾角。的大?。?/p>

(2)把|3方+9|的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，展開后代入向量的數(shù)量積運算，然后開方即可.

6.答案：解：(1)因為前=3而，方=2萬，

所以前=EC+CF=-BC--DC=-AD--AB,

2323

又因為麗=%荏+了而，

所以X=-|,y=

故3x+2y=3x(-|)+2x1=-l.

(2)---AC=AB+AD，

12

■■■AC-IF=(AB+AD)-(-AD--^4F)

1?22---*2i--?---?

=-AD--AB--AB-AD,

236

???四邊形A8CD為菱形，

■.\AD\=\AB\=6,

■.AC-IF=-y\AB\2-y\AB\2cos乙BAD

66

ill

=—x36—x36x-=-9,

662

即宿方=-9.

(3)-AE-EF=6cos(AB,AD)-15

又cos頌，硒G(-1,1)

:.AE-的取■值范圍為(-21,-9).

解析：本題主要考查向量的加法、減法、數(shù)乘運算，平面向量基本定理及平面向量的數(shù)量積問題,

屬于中檔題.

(1)利用平面向量基本定理，取荏，亦為基底，利用向量加減法可解；

(2)把所有的向量用基底而，而表示后，計算》?前即可.

(3)根據(jù)數(shù)量積公式以及cos(AB,AD)e可得亞?前的取值范圍.

7.答案：解：(1)由|4+2b|=+2b)2

=Ja2+4a-h+4b2

=，4—4+4=2.

(2)ab=2x1xcos120°=—1，

AC=0C-OA=a+2b>

BC=OC-OB=2a+(2-A)b'

ACBC=(a+2b)-[2a+(2-A)b]

=2\a\2+2(2-A)|K|2+(6-A)a-b

=8+4-22-6+2=6-A,

v而與阮的夾角為銳角，

?1?cos<Tic,BC>=濡潟1>0,且cos<AC.'BC>K1.

??AC-BC>0=>6—A>0=>A<6>

又落方是兩個不共線的非零向量，

二由而與睨不同向共線可得：;*一，即2,

綜上所述當(dāng)實數(shù);I<6且4豐-2時，向量而與元的夾角為銳角.

解析：本題主要考查了向量的夾角，向量的數(shù)量積，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力與計算能力，屬于中檔題.

(1)根據(jù)模長平方化簡計算即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)向量夾角為銳角必須有兩向量的數(shù)量積大于零，且不共線，由此得求解即可

8.答案：解：⑴???2?b=sinx?cosx+sinx?cosx=2sinx-cosx=sin2x

■.■xe[0^],

:.2xe[0,n]

a-bE[04]

(2)證明：va+b=(cos+sinx,sinx+cosx)

/.|a4-b|=J2(cos-+sin./

=j2[V2sin(x+^)]2=2|sin(x+

xe[0,J

?叫號，

???sin(x+：)>0,

?，?2|sin(x+E)l=2sm(x4-：),

TT71

A|a4-6|=2sin(x+-).

(3)v%e[0,5，

71713TT

??-X+4e[4*T]

/(%)=a-b->/2\a+b\

=sin2x—2企sin(x+：)

=2sinxcosx—2(sinx+cosx)

=sin2x—2V2sin(x+—)

=—cos[2(x+-)]—2V2sin(x+￡)

=2sin2(x+3)-2V2sin(x+；)—1

V2n

—<sin(x+-)<1

**?f(x)￡[-2,1—2V2].

解析：本題考查正弦函數(shù)的定義域和值域，著重考查了平面向量數(shù)量積的運算，三角函數(shù)的化簡求

值與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，綜合性強，難度較大，屬于難題.

(1))利用向量的坐標(biāo)運算公式可求得有小=sin2x，又TW[0(]，從而可求萬方的取值范圍；

(2)由G+b=(cos+sinx,sinx+cosx)由向量模的概念結(jié)合輔助角公式即可證得|a4-K|=

2sin(x4-J

(3)將/(%)=a-b—y/2\a4-K|化簡為:f(x)^2sinxcosx—2(sinx+cos%),

=sin2x—2V2sin(x+：)=2sin2(x+?)-2V2sin(x+力—1,求得sin(x+：)的范圍即可.

9.答案：解：(1)已知，a=(y[3sinx,cosx4-sinx),另=(2cos%,si?i%—cosx)，

貝I：/(%)=a-b=2yj3sinxcosx+(cosx+sinx)(sinx—cosx)

=V3sin2x—cos2x

=2sin(2x—￡),

令2kn—，42%——<2/CTT+(fc6Z),

262

解得：一^+々7rW%49+k兀，

63

所以：函數(shù)/Xx)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[-￡+kn(+k〃](kez).

(2)當(dāng)x6[手復(fù)時，牌2”一花拳

V2<2sin(2x--)<2,

6

對任意t6R,不等式血/4-mt+3>/(%)恒成立.

只需滿足：小產(chǎn)+mt+3Nf(x)7na%成立即可.

BPmt2+mt4-1>0即可.

①當(dāng)TH=0時，恒成立

②當(dāng)mH0時，只需滿足｛々；0°

解得：0VmW4

綜合所得：0WmW4.

解析：(1)首先根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出函數(shù)的解析式，進一步變函數(shù)為正弦型函數(shù)，最后求出單調(diào)

區(qū)間.

(2)根據(jù)函數(shù)與的定義域求出函數(shù)的值域，進一步利用恒成立問題，利用分類討論的思想求出，〃的取

值范圍.

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，向量的坐標(biāo)運算，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒

成立問題的應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題型.

io.答案：解：⑴???瓦=-=荏+高宿

：.AF='BF-BA=-AB+-AC,

410

又荏=2而，AC=5AE，■■AF=^Ab+^AE,

F為。E的中點.

(2)由(1)可得前=|ED=|(AD-A&),

-：AB=2AD，AC=5AE,EF={AB--^-AC.

410

—>—?—>1—>1—?1—>21—?—?

???BA-EF=-AB-(-AB--AC)=--AB+—AB-AC

k410J410

II7

=--x4+—x2x6xcos600=

4105

解析：本題考查了平面向量的基本定理，平面向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.

(1)用而，荏表示出刀，即可得出結(jié)論；

(2)用荏,而表示出麗，再計算麗?前.

11.答案：解：.-.CD=|ce

1111

，,>>,,■?1-?一3.>

???AD=AC+CD=4C+-CB,

3

A\AD\=J(4C+|CB)23=JAC2+^CB2+IAC-CB=J4+JX4+|X2X2Xcosl200=第=

2憶

(2)而屈=(瓦?+AP)(CA+AQ)=(BA-AQ)(CA+AQ)

=BA-CA+AQ(BA-CA)-AQ2=2X2XCOS600+AQ-BC-1=1+2cos。(其中。為而與玩的

夾角).

所以當(dāng)且僅當(dāng)0-7T,即血與死反向時，前?衣的最小值為-1.

解析：本題主要考查了向量在幾何中的應(yīng)用，以及向量的模和向量的基本運算，同時考查了轉(zhuǎn)化的

思想，屬于中檔題.

(1)先將向量而用向量尼與而線性表示，然后根據(jù)同=J辟I進行求解；

⑵前.詼可轉(zhuǎn)化成麗?麗=(BA+AP)(CA+AQ),然后展開化簡，可得而.衣=1+AQ-~8€=

1+2cos。(其中。為而與死的夾角)，最后根據(jù)三角形函數(shù)求出最值.

12.答案：解:(1)設(shè)。(t,O)(O《t4>),

又C(-今爭,

所以元+而=(-y+t,y),

所以|元+至『=|-V2t+t2+|=t2-V2C+1=(t-y)2+|(0<t<1)，

所以當(dāng)t=當(dāng)時，|靈+而|最小值為當(dāng).

1

⑵由題意得C(cw.siu/),市發(fā)：(COST+l.siiu),

則療?”：1—cC+sin2x—2sinz<x)?jT

=1—sin2x-cos2x

1—v^2sin(2j：+工)，

因為XE[O(],

所以+g4生

444

所以當(dāng)2x+3=*即x=g時，$訓(xùn)2]+：)取得最大值1,

428

所以x=2時，示?”1-v%in(2工+；)取得最小值I一亂

所以布?元的最小值為1一衣，此時x=g.

O

解析：本題考查平面向量的模、數(shù)量積的坐標(biāo)運算和三角函數(shù)的恒等變換，最值等，屬于基礎(chǔ)題.

(1)設(shè)。(t,0)(04t41),則沅+而=(一①+t,立)，得至IJI雙+麗|2=：一魚t+t2+],配方即

22NN

可求I沆f+的最小值；

(2)由平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運算和三角恒等變換得：示?記1-v^sin(2z+：),結(jié)合xe[0,J

易求得最小值.

13.答案：解：(1)而=話+前=荏+|或=四+|(前一荏)=：五+|反

BD=AD-AB=^AB+^AC-AB=^-1a.

—,——?1—,2―>2—?2―>4―>22—a2—?―?

(2)AD-BD=(-AB4--AQ-(-AC--AB)=-AC--AB--AB-AC

JJJJ???

vAB=2,AC-3,Z-BAC=p

...而?麗=*/x4，x2x3x*短

解析：本題主要考查了向量的加法，減法，數(shù)乘運算法則，數(shù)量積運算，屬于中檔題.

(1)利用向量的加法，減法，數(shù)乘運算法則表示；

(2)由(1)的結(jié)果以及向量的數(shù)量積運算法則計算出結(jié)果.

14.答案:(1)由題向量)日的夾角為60。,所以五?b=|G|?b|cos600=1,

\a-h\=yla2+b2—2a-b=V1+4-2=百，

|2a-h|=V4a2+Z72—4a?6=，4+4—4=2；

/一、八(a-d)(2a-b)2a2+b2-3ab3\^3

(2)cos9=■|g-gjj2a.g|="2后F=Z

所以0=￡

o

解析：此題考查平面向量數(shù)量積，根據(jù)定義計算兩個向量的數(shù)量積，求向量的模長和根據(jù)數(shù)量積與

模長關(guān)系求向量夾角.

(1)由向量的數(shù)量積，先求出7T?石|7T|-Ti?wW)1，從而由向量的模長公式計算即可;

(2)利用(1)的結(jié)論，由向量的夾角公式即可求出五-方與2五+3的夾角。的余弦值.

15.答案：解：(1)而=亞+屁=而+|(前一/)=:亦+|前

=""荏+|前=軟+能;

(2)設(shè)=4,

則荏=半荏=?(益+濘)=誓為+空抖反

AA636A3A

設(shè)"：依=出則一=擊荏+毒前二專小含左

1+A_1

"i"1+\,解得4=5,〃=4,

[3A-1+g

因此衣=巳為+AE：EF=5,BF：FC=4.

解析：本題考查了向量的運算和平面向量的基本定理，是中檔題.

(1)先由荏=而+屁逐步由向量的運算，由向量落方表示而即可；

1+A_1

1+\

(3A-1+g

可得；I和以的值，即可得出結(jié)果.

16.答案：解:(1)設(shè)P(14,y),則赤=(14,y),同=(-8,-3-y)，由而=4而，得(14,y)=

2(-8,-3-y),解得4=-(,y=-7,所以點P(14,-7),

(2)設(shè)點Q(a,b),則麗=(a,b)，又9=(12,-16)，則由的.標(biāo)=0，得3a=4b①又點。在邊

A8上，所以為=*，即3a+b—15=0②

聯(lián)立①②，解得a=4"=3,

所以點Q(4,3)(3)因為R為線段。。上的一個動點，故設(shè)R(4t,3t),J&0<t<1,則而=(-4t,-3t)，

雨=(2-4t,9-3t)，而=(6-4t,-3-3t)，RA+^B=(8-8t,6-6t)>則稱兩+而)=

-4t(8-8t)-3t(6-6t)=50t2-50t(0<t<1),

故而?(成+而)的取值范圍為[一§,0].

解析：本題考查了向量的坐標(biāo)運算，根據(jù)相關(guān)的運算法則進行計算即可；

⑴設(shè)P(14,y),則赤=(14,y),而=(-8,-3-y)，由而=4而，得(14,y)=4(—8,-3-y),可

得答案，

(2)設(shè)點Q(a,b),則的=(a,b)，又品=(12,-16)，則由麗?朧=0，得3a=4b①又點。在邊

A8上，所以笠=今|,即3a+b—15=0②聯(lián)立①②，解得a=4/=3,可得答案.

17.答案:解：(1)?.?b+口=(sinx—1,—1)，

又有〃@+?)，

:.-(2+sinx)=sinx—1,即sin%=—

又XG[一M》

(2),?,a=(2+sinx,1),b=(2,—2)，

/(%)=五?方

=2(24-sinx)-2=2sinx+2.

又％ER,.??當(dāng)sin%=-1時，f(%)有最小值，且最小值為0.

(3)va+d=(34-sinx,1+k)，h+c=(sinx—1,-1),

若0+d)1(b+c))則Q+d)-(b+c)=0>

即(3+sinx)(sinx—1)—(14-fc)=0,

k=sinx+2sinx-4=(smx+1)--5.

由sin久G[—1,1],得kG[—5,—1].

二存在kG[—5,—1],使得0+d)l(b+c).

解析：本題主要考查向量的數(shù)量積，向量的坐標(biāo)運算，以及向量平行的充要條件，屬于中檔題.

(1)先求出方+乙再根據(jù)丘〃(石+丹找到向量坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，根據(jù)x的范圍，就可求出X的值;

(2)根據(jù)向量的數(shù)量積求出f(x)=2sinx+2,然后根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出f(x)的最小

值；

(3)先假設(shè)存在實數(shù)k,使(2+41(方+辦，則0+2).@+1)=0，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式

計算，若能解出左的值，則存在，否則，不存在.

18.答案：解：(1)由已知布,云=2asin4,得2asin4=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC,

再根據(jù)正弦定理有：2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=爐+c2+be,

由余弦定理得：a2=b2+c2—2bccosA,可得cos4=—5

因為46(0,兀)，所以4=拳

2

(2)由(1)知f(B)=cos2B+2sin8=1-2sin2^+2sinB=—2(sinB-]+|，

因為()<Z?<",所以sinBe(0,—)?

?)2

因此當(dāng)sinB=泄，/(B)有最大值I，

此時a=2Rs\nA=V3,b=c=2RsinB-1,

故AABC的周長是2+g.

解析：本題主要考查向量的數(shù)量積，正余弦定理的運用，屬于中檔題.

⑴由沅?五=2asinA代入數(shù)據(jù)可得等式，結(jié)合正余弦定理可得cosA=/即可求出A的大小.

(2)由(1)可化簡/(B),結(jié)合二倍角公式，以及二次函數(shù)性質(zhì)，可求得/(B)的最大值，再根據(jù)正弦定

理求出三邊，即可得周長.

19.答案：解：以。為原點，以次為x軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

(1)設(shè)C(t,0)(0WtWl),C(-今日)，

所以沅+而=+當(dāng))，

2

所以I正+前|2=|-V2t+t24-1=t2-V2t+1=(t-y)+|(0<t<1)，

當(dāng)t=￥時，I元+而I的最小值為爭

(2)設(shè)5?=(cosa,s譏a),0<a<

PPJCF=OE-=(°,一—{cosa,sina)=(—cosa,—1—sina),

又因為D&0),

所以屁=(W)，

所以方?OF=：(cosa+1+sina)=sin(a+1)+；，

因為OWaW?,所以+

2444

則當(dāng)sin(a+9+江b?怖+外

所以方.而曰,；+曰］.

解析：本題考查向量的數(shù)量積，向量的表示方法，三角運算，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力.

(1)以。為原點，以0A為x軸正方向，建立圖示坐標(biāo)系，設(shè)D(t,O)(OWtW1),求出C坐標(biāo)，推出

元+而=(t一今務(wù)然后求出模的最小值；

(2)0C=(cosa,sina).0<a<y,求出2f?屁的表達式，即可求出屈,屁的取值范圍.

20.答案：解:(1)因為五//K，所以病5訪解—sinxcosx=0,^sinx(m2sinx-cosx)=0,

因為工€(0《)，所以s出％>0,

故m2s比％—cosx=0,

當(dāng)m=0時，顯然不成立,

11

故m豐0,tanx=—m2=4

解得m=-2或2,

所以實數(shù)機的值為-2或2.

1—cos2xsin2x

(2)/(%)=msin2x+msinxcosx=漢一+亍)

nm

=-42ms?in—(2x-x-).+y

Vxe(0,^),2x-^esin(2x-^)e(-y,l].

因為/(x)2-共亙成立，所以f(x)mm2一：，

當(dāng)mN0時，/(%)>0,顯然成立；

當(dāng)血<0時，fMmin=^p,

解得m>1—\/2,

1?11—V2<m<0.

綜上可得實數(shù)m的取值范圍是[1-V2,+00).

解析：本題考查了向量共線、數(shù)量積運算性質(zhì)、三角函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬

于中檔題.

(1)根據(jù)向量共線，可得n^sinx-cosx=0：結(jié)合tanx=[,即可求解機的值:

(2)整理函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求其最小值，即可求解結(jié)論.

21.答案：解：(1)由題意荏=(3,5)，AC=

\AB+AC\=|(2,6)|=V22+62=2國，

\AB-AC\=|(4,4)|="2+42=472；

所以所求對角線長為2m和4位；

(2)設(shè)P(O,y),由8CJ.4P,得配?存=0,

所以(一2—2,—1—3),(l,y+2)=0,

所以一4一4(y+2)=0,解得：y=-3.

即P(0,-3),

則而=(2,6)，PC=(-2,2),

~PBPC_-4+12_x/5

所以COS4BPC=

|PB||PC|-zVioxzVz-5

解析：本題考查了向量的模，向量的數(shù)量積和平面向量的坐標(biāo)運算，屬于中檔題.

(1)由題意得所求對角線長為|AB+ACI和I而-前I，由向量的坐標(biāo)運算即可得出結(jié)果；

(2)由8CJ_4P,則數(shù)量積為零求出y=-3,得P(0,-3),求出而，PC，即可求得cos乙BPC.

22.答案：解:(1)由沆=(1,一次)，n=(sinA,cosA),且沆1元,

得沅-n=sinA—\[3cosA=0，

AtanA=V3;

又4G(0,兀),

(2)由余弦定理得a?=b24-c2-2bccosA,

Bpi=b2+c2-2bccos^,

???b2+c2-be=1；

又〉A(chǔ)BC的面積為S=-besinA=-besin-=—?

2234

???be=1,

???(b+c)2=匕2+c2+2bc=2+2x1=4,

???b+c=2.

,7T?,bca12

(3)由(1)知A=],Q=1,則/方=嬴=訴=礫=而，

:?b='sinB,c=^=sinCfC=TI-A-B=y-B,BE(0,y)；

222n

?J=Q+b+c=l+—sinB4-—sin(--B)

=1+專(|sinB+ycosB)=14-2sin(JB+-),

又B€(0,算二8+音第汾

???2<1+2sin(B+-6)<3,

△4BC周長的取值范圍(2,3].

解析：本題考查平面向量垂直的應(yīng)用，三角形正弦定理，余弦定理及三角形面積公式，考查三角恒

等變換以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題.

(1)運用向量計算化簡整理，結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系，求得tanA,即可得到NA；

(2)由面積公式求出6c,再由余弦定理求出爐+c2,即可解得b+c.

(3)運用正弦定理可得b=2sinB，c=*sinC，再由C=?-B,運用兩角差的正弦公式，化簡計

算結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到范圍.

23.答案：解：由已知在平行四邊形ABCO中，M,N分別為。C,8C的中點，已知

AB=c,AD=d，AM=AD+1DC=AD+^AB=d+^c,

MN=MC+CN=^(DC+CB)=^(AB+DA)=^(c-d),

MB=h1C+CB=-2DC+DA=2-c-d.

解析：本題考查了平面向量的三角形法則的運用；考查平面向量基本定理；注意平面向量的運算與

向量的方向.

利用平行四邊形的性質(zhì)以及平面向量的三角形法則解答.

24.答案：解：(1)而=布+前

一2一

=AB+-BC

2

=AB+-(AC-AB}

=-3AB3+-AC,

Vb4B|=2,\AC\=1.AB-AC=1<

：.AD-AE

]__2_____.

=q麗硝.Q前一初

A.—>—?1—?22—?22—>—>

=-ABAC+-A/4C--i4C-/IF

3333

=A—2=—4,

???A=-2;

(2)|m|2=(%荏+y而產(chǎn)

=x2AB+2xyAB?前十y2前

=4/+2xy4-y2,

ImI4x2+2xy+y2I_x""x""

-W=J——寸寸+2小

小+'+?

???當(dāng)3=-加y=-4x時，罌取得最小值，最小值為烏

y45|y|2

解析：本題考查向量的運算法則，考查向量的數(shù)量積運算和向量的模，屬于較難題.

(1)用荏，而表示而，再利用向量的數(shù)量積運算求解即可；

(2)由題意得至1」|沅|2=4/+2盯+y2,所以需=J4(渭)2+：,利用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.

25.答案：解：(1)g(x)=V3si