歷考研數(shù)學(xué)三真題及詳細答案解析

2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

選擇題：「8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

x2+x

y--------

（1）曲線一漸近線的條數(shù)為（）

（A）0（B）1（C）2（D）3

⑵設(shè)函數(shù)"￥）=（"一1）（0-2尸?（*-叱其中n為正整數(shù)，則廣（°）=

(A)(-ir,(H-l)!(B)(-

(C)(Tf（D）（T）〃m

工2

設(shè)函數(shù)/⑺連續(xù)，則二次積分）"=（）

(3)

(A)f公盛,+/小+/姒

(B)

J：4%yjx2+y2f(x2+丁)dy

(C)i+A/2%—x~

(,2\4-x",,

Ldx\--------f(x~+y-)dy

2

(D)i+\/2x-x

已知級數(shù)*Ms*絕對收斂厚界條件收如則。皿

(4)

()

]_

(A)0<a2(B)2<?<1

33

%°4為任意

(A)%'4’火(B)%，%，%

（C）。3，04(D)%%%

(\、

1

(6)設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且P-1AP=1

P=（%，a2,%），Q=（?]+a2,a2,彩貝（]。-'4。二（)

21

(A)IU(B)VL2)

,2、’2、

12

(C)I2>(D)I〔J

（7）設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，且都服從區(qū)間（0,1）上的均勻分布，則

P{X2+Y2<1}()

117171

(A)4(B)2(C)8(D)4

2

(8)設(shè)X，X2,X3,X4為來自總體N(l，O-)(。>°)的簡單隨機樣本,

X]_X]

則統(tǒng)計量IX3+X4-2I的分布()

(A)N(0,1)(B)'⑴(C)/⑴(D)/(11)

二、填空題：9r4小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置

上.

1

lim(tanx)cosx-sinx

71

(9)4

InVx,X>1、、牛力

"%)xL,,?=/(/(%))，求j

(10)設(shè)函數(shù)[21,x<ldxx=Q

lim/（y）-2x+y-2=a

（11）函數(shù)z=/（%,y）滿足Vx2+（y-l）2則喝?i）=.

y=—4

（12）由曲線一x和直線y=%及＞=4%在第一象限中所圍圖形的面積為

（13）設(shè)A為3階矩陣，|A|=3,A*為A的伴隨矩陣，若交換A的第一行與第二

行得到矩陣B,貝J|BA*|=.

P（AB）=iP（Q=i

（14）設(shè)A,B,C是隨機事件，A,C互不相容，23則

PCABO=.

解答題：15~23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文

字說明、證明過程或演算步驟.

（15）（本題滿分10分）

八一

「e-e2-2cosx

hm----------

計算.1°%

（16）（本題滿分10分）

jjexxydxdyy=G與y=

計算二重積分。，其中D為由曲線1％所圍區(qū)域.

（17）（本題滿分10分）某企業(yè)為生產(chǎn)甲、乙兩種型號的產(chǎn)品，投入的固定成

本為10000（萬元），設(shè)該企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x（件）和丫（件），

X

且固定兩種產(chǎn)品的邊際成本分別為20+5（萬元/件）與6+y（萬元/件）.

1）求生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù)c（%?）（萬元）

2)當(dāng)總產(chǎn)量為50件時，甲乙兩種的產(chǎn)量各為多少時可以使總成本最??？求最小

的成本.

3)求總產(chǎn)量為50件時且總成本最小時甲產(chǎn)品的邊際成本，并解釋其經(jīng)濟意義.

(18)(本題滿分10分)

,1+X、，,

xln-----Fcos>1H---,-1<x<1.

證明：1一%2

(19)(本題滿分10分)已知函數(shù)八工)滿足方程/〃(％)+/'(%)-2/(%)二°及

f(x)+f(x)=2ex

1)求表達式/(X)

y=/(x2)f

2)求曲線的拐點)八為八禺

(20)(本題滿分10分)

a00、

01a0-1

A-,b=

001a0

00

設(shè)1;O

(I)求|A|

(H)已知線性方程組有無窮多解，求。，并求=的通解.

(21)(本題滿分10分)

101

011

A=,

—10a

已知a—1-二次型%3)=xT(ATA)X的秩為2,

求實數(shù)a的值；

求正交變換x=Qy將f化為標準型.

(22)(本題滿分10分)

已知隨機變量X,Y以及XY的分布律如下表所示:

X012

P

Y012

P

XY0124

P0

求(1)P(X=2Y);

⑵cov(x-y,y)與pxy.

(23)(本題滿分10分)

設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，

V=min(X,Y),U=max(X,y).

求(1)隨機變量V的概率密度；

(2)成U+V).

2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分。下列每題給出的四個選項中,

只有一個選項是符合題目要求的。請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上。

(1)已知當(dāng)X—>0時，函數(shù)/(x)=3sinx—sin3x與是等價無窮小，則

(A)%=1,c=4(B)Z=1,c=-4

(C)攵=3,c=4(D)Z=3,c=-4

(2)已知/(x)在x=0處可導(dǎo)，且/(0)=0,貝Jlim//(匯2/Q=

x->0x，

(A)-2/(0)(B)-/'(0)(C)/,(O)(D)0

(3)設(shè)同｝是數(shù)列，則下列命題正確的是

(A)若收斂，則￡(〃2"T+〃2”)收斂

(B)若+"2”)收斂，則收斂

M=1/：=1

(c)若收斂，則￡(4,1-收斂

"=1〃=1

(D)若￡(%,_]f2.)收斂，則"收斂

n=l〃=1

n7i_n

(4)/=￡4ln(sinx)dx,J=￡4ln(cotx)dx,K=￡4ln(cosx)dx貝1J/,J,K的大小關(guān)系

是

(A)I<J<K(B)I<K<J(C)J<I<K(D)K<J<I

(5)設(shè)A為3階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣8,再交換8的第2行與

00'‘100、

第3行得單位矩陣記為［=1106=001貝"

0b、016

(A"g(B)P；'P2(C)P2Pt(D)P-'P.

(6)設(shè)A為4x3矩陣，7,%,%是非齊次線性方程組Ax=/7的3個線性無關(guān)

的解，%,h為任意常數(shù),則的通解為

(A)及署+左(％-7)

(B)%丁+《(%一%)

(C)%；%-+￡(,_/)+攵2(%-7)

(D)%2%+-(小-7)+-(〃3-/)

(7)設(shè)耳(幻，與⑴為兩個分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度工(x),工(均是連續(xù)函數(shù),

則必為概率密度的是

(A)ft(x)f2(x)(B)2力(x)片(x)

(C)工(x)片(x)(D)/(%)居*)+力(尤)6(幻

(8)設(shè)總體X服從參數(shù)4(4>0)的泊松分布，X1,X“X”(〃N2)為來自總體的簡

〃

單隨即樣本，則對應(yīng)的統(tǒng)計量7；=-1之X,,T,=——1yM-Xl,+-1X?

nZ7n-\^n

(A)ET、>ET\,DT\>DT](B)ETt>ET2,DTt<DT2

(c)

ET{<ET2,DT,>DT2(D)ET,<ET2,DTX<DT2

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

X

⑼設(shè)/3=1攻/1+3。，，則f'(x)=_____.

(10)設(shè)函數(shù)z=(l+與"則dz[(]])=.

y

(11)曲線tan(x+y+工)="'在點(0,0)處的切線方程為.

4

(12)曲線y=V7二L直線x=2及x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)

體的體積.

(13)設(shè)二次型/(X“X2，X3)=x『Ar的秩為1,A中行元素之和為3,則/在正交

變換下X=Qy的標準型為.

(14)設(shè)二維隨機變量(x,y)服從陽〃,〃；〃,/；。)，則s(xy2)=.

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

求極限Hm上空忙』.

a。xln(l+x)

(16)(本題滿分10分)

已知函數(shù)/(u,v)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，/(1,1)=2是fM的極值，

z=f[(x+y),f(x,y)]o求

oxdy

(17)(本題滿分10分)

求carcsin?+Inx公

JVx

(18)(本題滿分10分)

證明4arctanx-x+儀一6=。恰有2實根。

3

(19)(本題滿分10分)

f(x)在[0,1]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，/(0。，且JJf(x+y^Ixdy=jjft(d)^dy，

o,?,

D]={(x,y)\0<x<t,0<y<t,Q<x+y<t}[0<t<I),求f{x}的表達式。

(20)(本題滿分11分)

設(shè)3維向量組4=(1,0,D\a2=(0,1,17,%=(1,3,雄丁不能由自=(1,a1>,/72=(1,2,37,

4=(1,3,5/■線性標出。

求：(I)求。；

a

(11)將自，/32,自由名，i>。3線性表出.

(21)(本題滿分11分)

71)(-\1'

已知4為三階實矩陣，R(A)=2,且A00=00,

、-iubL

求：(I)求A的特征值與特征向量；

(II)求A

(22)(本題滿分11分)

已知x,丫的概率分布如下：

X01Y-101

P1/32/3P1/31/31/3

且p(x2=y2)=],

求：(I)(X,丫)的分布；

(IDz=xr的分布；

(HI)PxY.

(23)(本題滿分11分)

設(shè)(x,y)在G上服從均勻分布，G由％-y=0,%+y=2與y=0圍成。

求：(1)邊緣密度人&)；

(ID/X|r(x|y)o

2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中,

只有一個選項是符合題目要求的，請把所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

(1)若lim--a)eA=1,貝等于

XX

(A)0(B)1(C)2(D)3

(2)設(shè)3,乃是一階線性非齊次微分方程y+〃(x)y=g(x)x的兩個特解，若常數(shù);I,

"使4X+〃%是該方程的解，-故2是該方程對應(yīng)的齊次方程的解，則O

(A)A=—,/-I——(B)A=——,//=——

2222

717?

(C)/I=—,〃=—(D)2=一,〃=一

3333

(3)設(shè)函數(shù)/(x),g(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，且g”(x)<0。若g(x0)=a是g(x)的極值，則

/[g(x)]在玉>取極大值的一個充分條件是()

(A)f'(a)<0(B)f'(a)>0

(C)f'(a)<0(D)f'(a)>0

(4)設(shè)八>)=1/°尤，g(x)=x,〃(x)=d。，則當(dāng)x充分大時有()

(A)g(x)</z(x)</(x)(B)h(x)<g(x)<f(x)

(C)/(x)<g(x)<h(x)(D)g(x)</(x)</?(x)

(5)設(shè)向量組I：%%,%可由向量組H：氏%氏線性表示，下列命題正

確的是

(A)若向量組I線性無關(guān)，貝。Ks(B)若向量組I線性相關(guān)，貝?！祍

(O若向量組n線性無關(guān)，貝。(D)若向量組n線性相關(guān)，貝。〉s

(6)設(shè)A為4階實對稱矩陣，且A2+A=0,若A的秩為3,則A相似于

(A)1(B)1

1-1

oj[0

1

-1

(C)(D)

-1

0

0JC<0

]_

(7)設(shè)隨機變量的分布函數(shù)F(x)=0<x<1>則P{X=1}=

2

\-ex>\

(A)0(B)-(C)--e-'(D)1-e-'

22

(8)設(shè)力(x)為標準正態(tài)分布的概率密度，6。)為［T,3］上的均勻分布的概率密

2。)““為〉0/〉0)為概率密度，則a,b應(yīng)滿足

度，若y(x)=<

bf2(x)x>0

(A)2a+38=4(B)3a+2Z?=4

(C)a+b=\(D)a+b=2

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

⑼設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y=y(x)由方程=Jxsin?力確定，則立

0dx*=0

1

(10)設(shè)位于曲線y(e?x<+oo)下方，x軸上方的無界區(qū)域為G,則G

Jx(l+"X)

繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得空間區(qū)域的體積是

(11)設(shè)某商品的收益函數(shù)為R(p),收益彈性為1+p',其中〃為價格，且R⑴=1,

則R(p)=___

(12)若曲線、=丁+以2+區(qū)+i有拐點(一］,0),貝］」力=

(13)設(shè)A,8為3階矩陣，且同=3,忸|=2,*+@=2,貝！^+方卜

(14)設(shè)M,x2,x“為來自整體N(〃,/)。>0的簡單隨機樣本，記統(tǒng)計量

1〃

T=-YX^,則ET

n,=i

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)

寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

求極限lim(xA-l),nx

XT+OO

(16)(本題滿分10分)

計算二重積分JJ(x+?公cfy，其中。由曲線%=Jl+y2與直線x+夜y=0及

D

x-sfly=0圍成。

(17)(本題滿分10分)

求函數(shù)”=D+2yz在約束條件/+丁+z?=10下的最大值和最小值

(18)(本題滿分10分)

(I)比較+力與卜|ln伽(〃=1,2,)的大小，說明理由

(II)設(shè)q,=+力(”=1,2,),求極限limg

(19)(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(%)在［0,3］上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且

2/(0)=［"(幻小=八2%⑶，

J0

(I)證明：存在"(0,2),使/(〃)=/(0)

(II)證明：存在46。3),使/熊)=0

(20)(本題滿分11分)

'2111M

設(shè)4=0Z—10,b-1

「一Jbj

已知線性方程組存在2個不同的解

(I)求4,a

(II)求方程組Ar=Z?的通解

(21)(本題滿分11分)

0-14

1T

設(shè)A——13a，正交矩陣。使得Q’AQ為對角矩陣，若。的第1列為笈",

4a0

求。，Q

(22)(本題滿分11分)

設(shè)二維隨機變量(X,V)的概率密度為f(x,y)=Ae-2『+2所V,

YO<X<+CQ,-oo<y<+oo,求常數(shù)A及條件概率密度為x(y|x)

(23)(本題滿分11分)

箱內(nèi)有6個球，其中紅，白，黑球的個數(shù)分別為1,2,3,現(xiàn)在從箱中隨機的取

出2個球，設(shè)X為取出的紅球個數(shù)，丫為取出的白球個數(shù)，

(I)求隨機變量(X,丫)的概率分布

(II)求Cov(x,/)

2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一個選項是

符合題目要求的，請把所選項前的字母填在答題紙指定位置上.

Y—Y

(1)函數(shù)/(x)=——的可去間斷點的個數(shù)為

sin乃x

(A)l.(B)2.(03.(D)無窮多個.

(2)當(dāng)x-0時，/0)=》-$苗必與80)=/111(1-法)是等價無窮小，則

(A)iz=1,b=-■(B)a=\,b

66

(C)ci=—1,b——.(1))ci=-1,b——.

66

(3)使不等式J；干力＞lnx成立的x的范圍是

(A)(0,1)?(B)(1,—).(C)(—,兀).(D)(乃,+oo).

22

(4)設(shè)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［一1,3］上的圖形為

則函數(shù)尸=流的圖形為

(A)(B)

(5)設(shè)A,8均為2階矩陣，A*,B*分別為的伴隨矩陣，若|A|=2,|例=3,則分塊矩陣

的伴隨矩陣為

O35O

(A)(B)

2AO)13A

(O341O

(0(D)

2BO)3B

'100、

(6)設(shè)A,P均為3階矩陣，P'為P的轉(zhuǎn)置矩陣，且P'AP=010

、。02,

若尸=(?,。2，%)，。=(匈+。2，%，。3)，則Q'AQ為

10、'1i0、

(A)110.(B)120

、o02,*02,

"200、q00、

(0010.(D)020

、o02,、°02,

(7)設(shè)事件A與事件B互不相容，則

(A)P(AB)=0.(B)P(AB)=P(A)尸(8).

(C)P以)=1一P(5).(D)=

(8)設(shè)隨機變量x與y相互獨立，且x服從標準正態(tài)分布N(O,I),y的概率分布為

p{y=O}=P{y=l}=g,記￡(Z)為隨機變量z=xy的分布函數(shù)，則函數(shù)與(Z)的間斷點個數(shù)為

(A)0.(B)l.(02.(D)3.

二、填空題：9~14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

八COSA

。一P

(9)lim——=______________.

7%+-―1

(10)設(shè)z=(x+e')*,則Qz匕=_______.

全(1,0)

(11)幕級數(shù)fe"—(―1)"

￡的收斂半徑為

71=1

(12)設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為。=Q(P),其對應(yīng)價格P的彈性媒=0.2,則當(dāng)需求量為10000件時,

價格增加1元會使產(chǎn)品收益增加元.

’300、

(13)設(shè)。=(1,1,1尸，尸=(1,0,左尸，若矩陣a/尹相似于000,貝必=

、000,

(14)設(shè)X-X2,…，X”,為來自二項分布總體B(〃,p)的簡單隨機樣本，刀和父分別為樣本均值

和樣本方差，記統(tǒng)計量7=5一§2,則￡丁=

三、解答題：15?23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分9分)

求二元函數(shù)/(x,y)=x2(2+y2)+y]ny的極值.

(16)(本題滿分10分)

計算不定積分Jln(l+舊*心(x>0).

(17)(本題滿分10分)

計算二重積分“(x-y)如(y，其中￡>={(%,y)|(x-l)2+(^-1)2<2,y>x}.

D

(18)(本題滿分11分)

(I)證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)/(x)在可上連續(xù)，在(。力)上可導(dǎo)，則h)，得

證/S)-/(a)=/C)(。一。).

(H)證明：若函數(shù)在x=0處連續(xù)，在(0,cr),(b>0)內(nèi)可導(dǎo)，且lirji/(x)=A,則6。

存在，且/'+(0)=A.

(19)(本題滿分10分)

設(shè)曲線y=/(x),其中/(x)是可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)>0.已知曲線y=/(x)與直線y=O,x=l及

x=t(t>1)所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是該曲邊梯形面積值的m倍，求該曲線

的方程.

(20)(本題滿分11分)

設(shè)

r-1叫(-1、

A=-111,0=1.

、0-4-2)1一2)

(I)求滿足A&=A2^=。的所有向量乙，&?

(II)對(I)中的任意向量芍，右，證明^2,々線性無關(guān).

(21)(本題滿分11分)

設(shè)二次型

22

/(xpx2,x3)=ax^+ax2+(tz-l)x3+2為工3-2x2x3.

(I)求二次型/的矩陣的所有特征值.

(II)若二次型f的規(guī)范形為凹2+為？，求a的值.

(22)(本題滿分11分)

設(shè)二維隨機變量(x,y)的概率密度為

(I)求條件概率密度為x(yk)；

(II)求條件概率p{x

(23)(本題滿分11分)

袋中有一個紅球，兩個黑球，三個白球，現(xiàn)在放回的從袋中取兩次，每次取一個，求以X、y、Z

分別表示兩次取球所取得的紅、黑與白球的個數(shù).

(I)求尸{x=i|z=o卜

di)求二維隨機變量(x,y)的概率分布.

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).

⑺山

(1)設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間上連續(xù)，則％=0是函數(shù)g(x)=^---------的()

X

(A)跳躍間斷點.(B)可去間斷點.

(C)無窮間斷點.(D)振蕩間斷點.

(2)如圖，曲線段方程為y=/(x),函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,0上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則定積分公等

于()

(A)曲邊梯形48。。面積.(B)梯形AB。。面積.

(C)曲邊三角形ACD面積.(D)三角形ACD面積.

(3)已矢口貝U

(A)<'(0,0),(0,0)都存在

(B)(0,0)不存在，4'(0,0)存在

(C)￡'(0,0)存在，(0,0)不存在

(D)￡'(0,0),(0,0)都不存在

(4)設(shè)函數(shù)/連續(xù)，若F(u,v)=H/1至)dxdy,其中以，為圖中陰影部分，則竺=()

"￡+y2du

(A)vf(u2)(B)-/(w2)(C)vf(u)(D)-/(?)

uu

(5)設(shè)A為階非0矩陣，E為n階單位矩陣，若T=0,則()

(A)E—A不可逆，E+A不可逆.

(B)E—A不可逆，E+A可逆.

(C)E—A可逆，E+A可逆.

(D)E-A可逆，E+A不可逆.

(12\

(6)設(shè)人=則在實數(shù)域上域與A合同的矩陣為()

21

(7)隨機變量X,y獨立同分布，且X分布函數(shù)為E(x),則2=儂乂{乂,丫}分布函數(shù)為()

(A)尸(x).(B)產(chǎn)(x)E(y).

(C)1-[1-F(x)]2.(D)[1-F(x)][l-F(y)].

(8)隨機變量X~N(O,1),Y~N(1,4)且相關(guān)系數(shù)0a=1，則()

(A)p{y=-2x-i}=i.(B)p{y=2x-i}=i.

(op{y=-2x+i}=i.(D)p{y=2x+i}=i.

二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.

X2+1,|x|<c

(9)設(shè)函數(shù)/(x)=<2??在(一oo,+oo)內(nèi)連續(xù)，貝!]c=

同，|x|>C

3廣2&

(10)設(shè)/(x+—i)=Y-|-V^，則j,f(x)dx=.

(11)設(shè)。={(羽丁)卜2+),2<]},則“(V_y加心=.

D

(12)微分方程盯'+y=0滿足條件XD=1的解是y=.

(13)設(shè)3階矩陣A的特征值為1,2,2,E為3階單位矩陣，則日=.

(14)設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的泊松分布，則P{X=EX2}=.

三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證

明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

求極限lim4I1n把ein土r.

Xf0XX

(16)(本題滿分10分)

設(shè)z=z(x,y)是由方程f+y2-z=°(x+y+z)所確定的函數(shù)，其中。具有2階導(dǎo)數(shù)且夕'聲—1吐

(I)求dz

(1[)記M(X,)，)=—!—(告一告],求導(dǎo).

x—yydxdyJox

(17)(本題滿分11分)

計算，max(xy,V)dxdy,其中。={(x,y)|()WxW2,()WyW2}.

D

(18)(本題滿分10分)

設(shè)〃x)是周期為2的連續(xù)函數(shù)，

(1)證明對任意的實數(shù)f,有公=j；/(x)公；

(II)證明G(x)=J；2〃/)一「2/(s)為力是周期為2的周期函數(shù).

(19)(本題滿分10分)

設(shè)銀行存款的年利率為r=0.05,并依年復(fù)利計算，某基金會希望通過存款A(yù)萬元，實現(xiàn)第一年提

取19萬元，第二年提取28萬元，…，第n年提取(10+9n)萬元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問A至

少應(yīng)為多少萬元？

(20)(本題滿分12分)

設(shè)〃元線性方程組Ax=b,其中

(I)求證行列式同=(〃+1)";

(II)。為何值時，該方程組有唯一解，并求尤

(JII)a為何值時，方程組有無窮多解，并求通解。

(21)(本題滿分10分)

設(shè)A為3階矩陣，a1,為為A的分別屬于特征值一1」的特征向量，向量%滿足A%=。2+4，

(I)證明線性無關(guān)；

(II)令夕式。］,名,%),P'AP.

(22)(本題滿分11分)

設(shè)隨機變量x與y相互獨立，x的概率分布為p{x=，}=；?=—1,0,1),y的概率密度為

..10<y<1

/r(y)=《-二,^Z=X+Y

[o其它

(i)求pjzw，x=o1；

2

(ID求Z的概率密度/z(z).

(23)(本題滿分11分)

_1?1n_

設(shè)X1,X,,,X“是總體為N(〃,〃)的簡單隨機樣本.記x=±￡x,,52=—y(x,.-x)2,

n,=in-\;=,

T^X2--S2.

n

(I)證明T是〃2的無偏估計量.

(II)當(dāng)〃=o,b=l時，求DT.

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)三試題

一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中,

只有一個選項是符合題目要求的，請把所選項前的字母填在答題紙指定位置上

(1)當(dāng)x->0+時，與五等價的無窮小量是()

(A)1-e'、(B)ln(l+y/x)(C)-\/1+\fx-1(D)1-cos\[x

(2)設(shè)函數(shù)/(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯誤的是()

(A)若lim&D存在，則/(0)=0

iox

(B)若lim存在,則/(0)=0

*f0x

(C)若lim/@存在，則尸(0)存在

?SOX

(D)若linr"")一/(一“)存在,則尸(0)存在

?10x

(3)如圖，連續(xù)函數(shù)y=/(x)在區(qū)間[一3,—2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在

區(qū)間[—2,0],[0,2]上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設(shè)尸(%)=5/?誡,則下列結(jié)論正確的是()

35

(A)23)=—二F(—2)(B)F(3)=-F(2)

44

35

(C)F(—3)=二F(2)(D)F(-3)=--F(-2)

44

(4)設(shè)函數(shù)/(x,y)連續(xù)，則二次積分口辦「/(x,y)辦等于()

J—Jsinx

2

(A)f(x,y)dx

JOJ/r+arcsiny

flc^+arcsiny>iny

(C)f(x,y)dxf(x,y)dx

2

(5)設(shè)某商品的需求函數(shù)為。=160-2夕，其中Q，夕分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈

性的絕對值等于1,則商品的價格是()

(A)10(B)20(C)30(D)40

(6)曲線丁=，+11(1+#),漸近線的條數(shù)為

1()

X

(A)0(B)1(C)2(D)3

(7)設(shè)向量組四,%，線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是()

(A)a,-cz2,a2-a3,a3-at(B)ax+a2,a2+a3,a3+at

(C)a,-2a2,a2-2a3,a3-2a,(DJcZj+2a2,a2+2a3,a3+2a.

2-1-1'i0o'

(8)設(shè)矩陣A=!-12-1*,B—<010>,則A與B()

-1-12000

(A)合同，且相似(B)合同，但不相似

(C)不合同，但相似(D)既不合同，也不相似

(9)某人向同一目標獨立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標的概率為，則此人第4次射擊恰好第2次命

中目標的概率為()

(A)3p(l-p)2(B)6p(l-p)2

(C)3p2(l-p)2(D)6p2(l-p)2

(10)設(shè)隨機變量(X,y)服從二維正態(tài)分布，且X與y不相關(guān)，＜(x)"v(y)分別表示X,Y的概率密

度,則在y=y條件下，X的條件概率密度&y(x|y)為()

)

(A)fx(X(B)fy(y)

/x(x)

(c"x(x)加y)(D)

fy(y)

二、填空題：11-16小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上

Y34-Y24-]

(11)lim--------(sinx+cosx)=

…2'+X

(12)設(shè)函數(shù)y=」一，則y(">(0)=.

2x+3

(13)設(shè)/(〃/)是二元可微函數(shù)，z=/(-,-),WU--y—________.

xyoxoy

(14)微分方程包=2一工(馬3滿足引I=1的特解為y=__________?.

axx2x

’0100、

0010、

15)設(shè)距陣A=，則工的秩為

0001-----------

、0000,

(16)在區(qū)間(0,1)中隨機地取兩個數(shù)，這兩數(shù)之差的絕對值小于』