為思維而教：高中數(shù)學(xué)教學(xué)的使命

為思維而教：高中數(shù)學(xué)教學(xué)的使命

作者：

李建軍/周序

作者簡(jiǎn)介：

李建軍，四川瀘州老窖天府中學(xué)正高級(jí)教師，數(shù)學(xué)學(xué)士，

主要從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究；周序，廈門大學(xué)教育研究院

助理教授，碩士生導(dǎo)師，教育學(xué)博士，主要從事課程與教

學(xué)論研究.

原發(fā)信息：

《新課程研究》（武漢）2015年第20151上期第79-82頁(yè)

內(nèi)容提要：

以邏輯性和理性為特征的數(shù)學(xué)思維對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)發(fā)展起著

重要作用，但受到傳統(tǒng)重視知識(shí)講授的思想影響，數(shù)學(xué)課

堂單一地重視知識(shí)內(nèi)容的傳遞而相對(duì)忽視了對(duì)學(xué)生思維的

培養(yǎng)，這與新課改理念相悖.要更好地培養(yǎng)學(xué)生的思維，需

要在打牢知識(shí)基礎(chǔ)的同時(shí)，更多地運(yùn)用直觀教學(xué)，鼓勵(lì)學(xué)

生自主思考，注意對(duì)解題方法和思路的總結(jié).

關(guān)鍵詞：

思維/數(shù)學(xué)課堂/知識(shí)

期刊名稱：《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》

復(fù)印期號(hào)：2015年06期

"為了每一個(gè)學(xué)生的發(fā)展"，這是新課改確立的基礎(chǔ)教育課程教學(xué)的

新使命.就高中數(shù)學(xué)課而言，其使命不僅限于讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基

本技能，更重要的在于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生成為一個(gè)會(huì)思

考、善于思考的人.

一、數(shù)學(xué)思維及其特征

思維是人腦對(duì)客觀現(xiàn)實(shí)概括的和間接的反映，它反映的是一類事物共

同的、本質(zhì)的屬性和事物間內(nèi)在的、必然的聯(lián)系.這些內(nèi)在的、必然的聯(lián)系

是看似紛繁蕪雜的事物間的共同因素.因此杜威認(rèn)為，"思維即是一種自覺(jué)

地理解共同因素的過(guò)程"，能夠敏銳地捕捉和把握這些共同因素，是有效

的分析和推理的前提.杜威指出："一個(gè)有思維的人，行動(dòng)取決于長(zhǎng)遠(yuǎn)的考

慮.它能做出有系統(tǒng)的準(zhǔn)備.它能使我們的行動(dòng)具有深思熟慮和自覺(jué)的方

式，以便達(dá)到未來(lái)的目的，或者說(shuō)指揮我們?nèi)バ袆?dòng)以達(dá)到現(xiàn)在看來(lái)還是遙

遠(yuǎn)的目的".可見(jiàn)，思維對(duì)人的生活以及發(fā)展而言，具有非常重要的意義.

因此，教育"應(yīng)當(dāng)使學(xué)生致力于培養(yǎng)思維的正確性，作為達(dá)到實(shí)際的智慧

即理智的行為的一種手段”.

在高中學(xué)習(xí)階段，文史類課程重在培養(yǎng)學(xué)生思維的靈動(dòng)性，而數(shù)學(xué)課

則更加注重培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性和理性.邏輯是探索、闡述和確立有效推

理原則的學(xué)科，最早由古希臘學(xué)者亞里士多德創(chuàng)建.用數(shù)學(xué)的方法思考關(guān)于

推理、證明等問(wèn)題的過(guò)程即數(shù)理邏輯思維過(guò)程，數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人萊布尼

茲提出建立"普遍的符號(hào)語(yǔ)言”、推理演算和思維機(jī)械化的思想，他認(rèn)為

經(jīng)典的傳統(tǒng)邏輯必須改造和發(fā)展，使其更為精確和便于演算.后人對(duì)數(shù)理邏

輯的發(fā)展基本上都是沿著萊布尼茨的方向前進(jìn).數(shù)理邏輯思維的特點(diǎn)就是采

用數(shù)學(xué)符號(hào)和公式作為思考的基礎(chǔ)和手段，講究證明，追求推理過(guò)程的完

善性.因而，邏輯、理性和講究證明是數(shù)學(xué)思維的顯著特征.

數(shù)理邏輯思維對(duì)學(xué)生的發(fā)展具有獨(dú)特的價(jià)值.一個(gè)人的邏輯思維發(fā)展水

平越高，對(duì)事物的分析就越全面、越深入，得出正確判斷的可能性就越大.

通常而言，我們形容邏輯思維能力較強(qiáng)的人為一個(gè)理性的人，就在于邏輯

思維能夠幫助我們進(jìn)行更加準(zhǔn)確地分析和判斷.因此，中學(xué)數(shù)學(xué)課程雖然將

大量時(shí)間花在對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和解決上面，但分析和解決問(wèn)題不是教學(xué)

的目的而是手段.中學(xué)數(shù)學(xué)課的使命在于通過(guò)對(duì)題目的講解和練習(xí)來(lái)促進(jìn)學(xué)

生數(shù)學(xué)思維水平的提高.

我們可以根據(jù)學(xué)生分析和解決問(wèn)題的步驟將學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)劃分

為如下四個(gè)階段：一是審題階段，包括認(rèn)清問(wèn)題的條件和要求，深入分析

條件中的各個(gè)元素，在復(fù)雜的記憶系統(tǒng)中找出需要的知識(shí)信息，建立問(wèn)題

的條件、結(jié)論與知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，為解決問(wèn)題做好知識(shí)上的準(zhǔn)備，

這是思維活動(dòng)的開(kāi)始.二是尋求解題途徑階段，在這一階段中，學(xué)生有目的

地進(jìn)行各種組合試驗(yàn)，盡可能將習(xí)題化為已知類型，選擇最優(yōu)解法，選擇

解題方案，經(jīng)檢驗(yàn)后作修正，最后確定解題計(jì)劃.這一階段是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)

的核心，是探索解題方向和途徑的積極的嘗試發(fā)現(xiàn)過(guò)程，是思維策略的選

擇和調(diào)整.三是實(shí)施計(jì)劃階段，學(xué)生將計(jì)劃的所有細(xì)節(jié)實(shí)際地付諸實(shí)現(xiàn)，通

過(guò)與已知條件所選擇的根據(jù)進(jìn)行對(duì)比后修正計(jì)劃，然后著手?jǐn)⑹鼋獯疬^(guò)程

的方法，并且書(shū)寫(xiě)解答與結(jié)果.這個(gè)階段是解決問(wèn)題過(guò)程的實(shí)現(xiàn)，它包含著

一系列基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的靈活運(yùn)用和思維過(guò)程的具體表達(dá)，是思維活

動(dòng)的重要組成部分.四是檢查與總結(jié)階段，學(xué)生在求得最終結(jié)果以后，檢查

并分析結(jié)果，探討實(shí)現(xiàn)解題的各種方法，研究特殊情況與局部情況，找出

最重要的知識(shí)和技能，并將新知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)加以整理使之系統(tǒng)化.這一階段往

往容易為人們所忽視，但它卻是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，是一

個(gè)思維活動(dòng)過(guò)程的結(jié)束，同時(shí)又是另一個(gè)新的思維活動(dòng)過(guò)程的開(kāi)始.

二、思維培養(yǎng)意識(shí)的缺乏及其根源

數(shù)學(xué)思維并非一項(xiàng)完全天賦的能力，而是需要借助教育的指導(dǎo)才能充

分實(shí)現(xiàn)其機(jī)能.但在教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)卻長(zhǎng)期處在一個(gè)不

受重視的地位.在數(shù)學(xué)課堂中，出于某些功利性目的的需求，通過(guò)典型例題

教給學(xué)生某種技巧，或者通過(guò)大量訓(xùn)練讓學(xué)生總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，成為主流的

數(shù)學(xué)教學(xué)模式.正如有的理論研究者指出，"學(xué)生想要在考試中拿高分，不

得不依靠各種各樣的應(yīng)試技巧和針對(duì)各個(gè)考點(diǎn)進(jìn)行的反復(fù)練習(xí)"；實(shí)踐中

很多教師也認(rèn)為，學(xué)生只要記住幾種解題的套路，能夠在考試中取得高分

就代表了教學(xué)的成功.因此，一線教師的教學(xué)往往以內(nèi)容為中心，重在向?qū)W

生講解一道又一道的題目，解釋一種又一種的解題方法，而學(xué)生需要做的

就是記住這些方法，以便在今后的考試當(dāng)中能夠應(yīng)用.為了提高傳授內(nèi)容的

效率，教師不甚關(guān)心學(xué)生如何出錯(cuò)，更多的是直接告訴學(xué)生正確的答案和

解題過(guò)程，以節(jié)約時(shí)間.

教師對(duì)答案正確與錯(cuò)誤的關(guān)注，帶給學(xué)生一種認(rèn)識(shí)，即學(xué)習(xí)的內(nèi)容比

發(fā)展和運(yùn)用思維更重要，學(xué)習(xí)的結(jié)果比過(guò)程更重要.這就助長(zhǎng)了學(xué)生思維的

被動(dòng)性：只需要被動(dòng)地記住答案即可，而不需要主動(dòng)地進(jìn)行思考.被動(dòng)性和

思維是對(duì)立的，它不僅表示缺少判斷和理解，也表示好奇心的減弱，使學(xué)

習(xí)成為一樁索然無(wú)味的苦差事.我們?cè)趯?shí)踐中經(jīng)常可以看到這種重學(xué)習(xí)結(jié)果

輕思維過(guò)程的情況：教師在評(píng)講習(xí)題的時(shí)候，如果學(xué)生遇到某道題目沒(méi)有

聽(tīng)懂，他們往往都會(huì)記下這道題目的正確答案是什么，卻很少在課后去追

問(wèn)為什么，也很少思考正確答案是怎么得出來(lái)的，因而他們記錄的正確答

案實(shí)際上淪為一個(gè)個(gè)毫無(wú)意義的符號(hào).

發(fā)展思維意味著將課堂的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，學(xué)生需要多進(jìn)行思考、探

索和嘗試錯(cuò)誤；而重視內(nèi)容傳授則意味著教師應(yīng)該多講，而學(xué)生要做的是

認(rèn)真聽(tīng)，認(rèn)真記憶.我們必須看到，教學(xué)實(shí)踐中這種重內(nèi)容而輕思維的現(xiàn)象

并非廣大教師的自發(fā)選擇，而是有著深刻的理論根源.在國(guó)外，早有專家對(duì)

學(xué)生的認(rèn)真"聽(tīng)講"進(jìn)行了積極的肯定："當(dāng)學(xué)生聽(tīng)某種講解時(shí)，他的內(nèi)

心是積極活動(dòng)的，雖然表面上他一點(diǎn)不動(dòng).如果他的內(nèi)心是消極的，不活動(dòng)

的，那他什么也聽(tīng)不懂，什么也進(jìn)不了他的意識(shí)中去”.而在國(guó)內(nèi)也長(zhǎng)期存

在類似的觀點(diǎn)，甚至將學(xué)生"靜聽(tīng)”的過(guò)程也視作一個(gè)主動(dòng)學(xué)習(xí)的過(guò)程：

"人的聽(tīng)話過(guò)程包含著極其復(fù)雜的心理活動(dòng)，他必須快速地將一連串聲音

轉(zhuǎn)變?yōu)榭梢岳斫獾男畔?在從聲音到語(yǔ)義的各個(gè)層次上，聽(tīng)話人都參與了從

無(wú)意義的聲音中建立意義單位的活動(dòng)，可以說(shuō)，言語(yǔ)的理解是一系列積極

的、在經(jīng)驗(yàn)知識(shí)指導(dǎo)下的操作活動(dòng)"；"一個(gè)擺弄著玩具或者實(shí)物的兒童

是在積極地建構(gòu)，而一個(gè)認(rèn)真地聽(tīng)取教師‘講授’的學(xué)生同樣可以是在積

極地建構(gòu)：內(nèi)隱的、無(wú)形的、無(wú)聲的建構(gòu)"，這種說(shuō)法雖在理論上有一定

的道理和深刻性，卻被長(zhǎng)期的實(shí)踐結(jié)果所否定：廣大通過(guò)認(rèn)真"聽(tīng)講"進(jìn)

行學(xué)習(xí)的學(xué)生往往缺乏創(chuàng)新能力，"高分低能"現(xiàn)象突出，就是最好的明

證.但是，這種主張教學(xué)應(yīng)以內(nèi)容為主而忽視思維培養(yǎng)的觀點(diǎn)在課堂教學(xué)中

有著長(zhǎng)期而深刻的影響，"知識(shí)掌握"長(zhǎng)期成為最主要的教學(xué)目標(biāo)，"講

授法”成為最重要的教學(xué)方法；反之，思維的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)課堂中則一直處

于弱勢(shì)地位.雖然新一輪課程改革提出的一條重要理念就是"改變課程過(guò)于

注重知識(shí)傳授的影響"，但是，片面重視知識(shí)傳授而忽視思維訓(xùn)練的情況

至今未能得到顯著的改善.究其原因，不少教師長(zhǎng)期形成的教學(xué)習(xí)慣和根深

蒂固的傳統(tǒng)教學(xué)觀念便是最大障礙.

三、為思維而教：可能的教學(xué)策略

要真正實(shí)現(xiàn)新課程改革關(guān)于打破"知識(shí)和技能這一單一維度‘一統(tǒng)天

下’的格局"，將學(xué)生思維能力、創(chuàng)新能力的發(fā)展推上前臺(tái)這一目標(biāo)，不

宜過(guò)多地進(jìn)行理論上的糾纏，需要打破教師們習(xí)以為常的教學(xué)方式和觀

念，讓教師在教學(xué)實(shí)踐中自覺(jué)探索培養(yǎng)學(xué)生思維的教學(xué)策略.從自身教學(xué)經(jīng)

驗(yàn)出發(fā)，課堂上培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方法應(yīng)該與學(xué)生思考數(shù)學(xué)問(wèn)題的四個(gè)

階段相適應(yīng).據(jù)此，我們擬提出如下一些有助于提高學(xué)生思維能力的教學(xué)策

略：

1.精講基礎(chǔ)：幫助學(xué)生找到問(wèn)題的突破點(diǎn)

通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析培養(yǎng)學(xué)生的思維，審題是起點(diǎn).審題要求學(xué)生能

夠看懂題目，分析清楚已知條件之間的關(guān)系，并能聯(lián)系到學(xué)過(guò)的知識(shí)點(diǎn)，

因而，相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的掌握就成為思維培養(yǎng)的基礎(chǔ)，如果不能準(zhǔn)確

地把握基礎(chǔ)知識(shí)與方法，思維培養(yǎng)便無(wú)從談起.在數(shù)學(xué)課堂中，所謂基礎(chǔ)知

識(shí)包括公理、定理、公式，以及一些主要的推論等.而基本方法包括兩大

類，一是解題方法，如配方法、反證法、綜合分析法、換元法、類比法

等；二是思想方法，如函數(shù)思想、方程思想之類，對(duì)于涉及變量問(wèn)題的題

目，需要學(xué)生運(yùn)用函數(shù)思想進(jìn)行思考，而對(duì)于涉及等量問(wèn)題的題目，則要

求學(xué)生具有方程思想.基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法都是數(shù)學(xué)課堂的基本教學(xué)內(nèi)容.

這些內(nèi)容量少，難度小，但很重要，可以通過(guò)教師"精講”的方式讓學(xué)生

掌握.培養(yǎng)學(xué)生的思維不能輕視基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容的掌握.沒(méi)有內(nèi)容，思維就淪

為無(wú)本之木，無(wú)源之水，失去了根基；但如果只有內(nèi)容而忽視思維,內(nèi)容

也就失去了生命力.因此，在改革課堂教學(xué)的時(shí)候，教師需要合理地分配內(nèi)

容和思維在教學(xué)中的比重，絕不能矯枉過(guò)正.

2.直觀教學(xué)：讓學(xué)生盡快找出解題途徑

學(xué)生思維的第二個(gè)階段是尋求解題途徑.思維雖然是一種思辨性的活

動(dòng)，但并不排斥用實(shí)物或圖像作為輔助思維的工具，以便使學(xué)生能夠更快

地找出解題途徑.例如，在培養(yǎng)學(xué)生空間思維的時(shí)候，若能借助實(shí)物則能極

大地提高學(xué)生理解知識(shí)的效率.如：可用兩根粉筆演示異面直線即"不平行

且不相交的兩條直線"，以幫助學(xué)生盡快跳出平面幾何的思考方式；可讓

學(xué)生觀察教室的任意一個(gè)墻角，以理解"三個(gè)平面兩兩垂直"，等等.因此

在數(shù)學(xué)課堂當(dāng)中，可多采用演示、觀察等方式讓學(xué)生逐漸形成空間思維，

這比單純地通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)去證明兩條直線是否平行、兩個(gè)面是否垂直更容

易讓學(xué)生理解和接受，也能讓學(xué)生建立在直觀感受基礎(chǔ)之上的空間思維能

力更加牢固和可靠.又如，數(shù)形結(jié)合思想也是一種很重要的數(shù)學(xué)思維方式，

在曲線與方程、函數(shù)解析式與函數(shù)圖象等內(nèi)容當(dāng)中具有非常重要的價(jià)值.例

如一元二次方程根的分布問(wèn)題、一些特殊方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題等，都可以利

用函數(shù)圖象進(jìn)行解決.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，需要教師多采用畫(huà)圖的方

式進(jìn)行，以提高學(xué)生思維的靈活性和準(zhǔn)確性，讓學(xué)生更快速、更準(zhǔn)確地找

到問(wèn)題解決的途徑.

3.自主思考：讓學(xué)生成為問(wèn)題解決的主體

在數(shù)學(xué)課上，分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是培養(yǎng)學(xué)生思維的主要手段.聽(tīng)講可

以讓學(xué)生了解和理解一種問(wèn)題解決方法，卻無(wú)益于他們進(jìn)行自主的思考和

探索.對(duì)于學(xué)生思維的培養(yǎng)而言，讓他們擁有一個(gè)自己獨(dú)立思考問(wèn)題、探索

解決方案的機(jī)會(huì)，比單一的理解、解題過(guò)程更為重要.因此,從培養(yǎng)數(shù)學(xué)思

維的目的出發(fā)，教師應(yīng)該給學(xué)生留足自主思考的空間，鼓勵(lì)學(xué)生互相探討

和交流他們對(duì)問(wèn)題的理解，從而提高學(xué)生的自主思考能力.笛卡兒說(shuō)“我

思，故我在"，要有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，就必須讓學(xué)生時(shí)常處于一

種積極的"我思"狀態(tài)；而另一方面，教師的講解不能代替學(xué)生的自主思

考，因此應(yīng)把教師的角色定位為"發(fā)展學(xué)生思維的‘他者’"，絕不能越

俎代庖.

當(dāng)然，鼓勵(lì)學(xué)生的自主思考并不意味著對(duì)教師作用的忽視，在學(xué)生思

考和探討的過(guò)程中，教師需要做好介入的準(zhǔn)備，因?yàn)閷W(xué)生的思考不可能總

是沿著正確的方向前行，他們的討論也可能偏離了問(wèn)題的關(guān)鍵所在，如果

沒(méi)有教師的介入和引導(dǎo)，學(xué)生的思維就可能產(chǎn)生大的偏差，脫離教學(xué)方

向，甚至走向反面.為了保證學(xué)生思維的連貫性和合理性，教師在如下一些

時(shí)刻必須介入：當(dāng)學(xué)生的討論得不出結(jié)果的時(shí)候，教師需要指引學(xué)生走向

正確的方向；當(dāng)學(xué)生之間產(chǎn)生較大爭(zhēng)執(zhí)的時(shí)候，教師需要進(jìn)行分析和判

別，以避免一些不必要的錯(cuò)誤；當(dāng)學(xué)生得出了結(jié)論的時(shí)候，教師需要進(jìn)行

總結(jié)和點(diǎn)評(píng)；當(dāng)學(xué)生用不同方法都得出了結(jié)論的時(shí)候，教師需要進(jìn)行歸納

和比較.這樣，學(xué)生的自主思考和老師的幫助就能較合理地結(jié)合起來(lái)，真正

促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)步.

4.求"精"而非求"多"：恰當(dāng)?shù)目偨Y(jié)比大量練題更加重要

無(wú)論何種教學(xué)都必然重視對(duì)效率的追求，但對(duì)于學(xué)生的思維培養(yǎng)而

言，高效率的思維培養(yǎng)并不意味著在同一時(shí)間里帶領(lǐng)學(xué)生分析更多的數(shù)學(xué)

命題，或者讓學(xué)生完成更多的數(shù)學(xué)練習(xí)；效率提高的關(guān)鍵在于教師的課堂

設(shè)計(jì)：將同一類型的題目集中起來(lái)引導(dǎo)學(xué)生去分析、思