高中數(shù)學(xué)第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題 (17)(含答案解析)

第八章第1節(jié)《基本立體圖形》提高訓(xùn)練題（17）

一、單項選擇題（本大題共11小題，共55.0分）

1.在三棱錐S-ABC中，底面ABC為邊長為3的正三角形，側(cè)棱SAJ?底面ABC,若三棱錐的外接

球的體積為36兀，則S4=（）

A.26B.4V6C.6V6D.1276

2.一個各面均為直角三角形的四面體容器，有三條棱長為2,若四面體容器內(nèi)完全放進(jìn)一個球，

則該球的半徑最大值為（）

A.V2-1B.2-V2C.1D.2

3.已知正方體2BCD—4&GD1中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動（不含端點(diǎn)3,C），點(diǎn)。是線段CC1的

中點(diǎn)，若平面APQ截正方體ABCD—4B1C1D1所得的截面為四邊形，則線段段的取值范圍為

A.（0點(diǎn)B.（0,1]C.（0,1]D.（0,|]

4.下列命題中，真命題的個數(shù)是（）

①有兩個平面互相平行，其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱；

②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐；

③用一個面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺；

④側(cè)面都是長方形的棱柱叫長方體.

A.0個B.1個C.2個D.3個

5.在四面體4-BCD中，AB=AD=BC=BD=DC=2網(wǎng),AC=373.則該四面體的外接球半

徑為（）

A.7B.3C.V7D.V3

6.四棱錐P-4BCD的底面ABC。是邊長為6的正方形，且P4=PB=PC=PD,若一個半徑為1

的球與此四棱錐所有面都相切，則該四棱錐的高是

A.6B.5C.fD*

7.在三棱錐P-ABC中，二面角P-48-C、。一4。一8和2一8。-4的大小均等于半

AB：AC：BC=3：4：5,設(shè)三棱錐P-4BC外接球的球心為O,直線PO與平面ABC交于點(diǎn)Q,

C=（）

A.-B.2C.3D.4

4

8.正三棱錐P-HBC的底面邊長為1cm,高為hem,它在六條棱處的六個二面角（側(cè)面與側(cè)面或者

側(cè)面與底面）之和記為氏則在九.從小到大的變化過程中，。的變化情況是（）

A.一直增大B.一直減小

C.先增大后減小D.先減小后增大,

9.在△ABC中，已知L4B=2b，BC=2乃，AC=2回力是邊AC上的一點(diǎn)，將△ABC沿8。折

疊，得到三棱錐A-BCD,若該三棱錐的頂點(diǎn)A在底面BCD的射影M在線段BC上,設(shè)BM=X,

則x的取值范圍是（）

A.（0,2V3）B.（V3,V6）C.（76,273）D.（2V3,2V6）

10.如圖，P是正四面體V—ABC的面VBC上一點(diǎn)，點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等，則

動點(diǎn)尸的軌跡是（）

A.直線

C.離心率為這的橢圓D.離心率為3的雙曲線

3

11.已知點(diǎn)4B,C,D在同一個球面上,4B=2顯,AC=4,ABAC=30。.若四面體體積的最大值

為4,則這個球的表面積為（）.

二、多項選擇題（本大題共5小題，共20.0分）

12.對于四面體ABC￡>,以下命題中正確的是（）.

A.若48=AC=AD,則4B,AC,4。與底面所成的角相等

B.若ABLCD,ACLBD,則點(diǎn)A在底面BCD內(nèi)的射影是/BCD的內(nèi)心

C.四面體A8C。的四個面中最多有四個直角三角形

D.若四面體A8CQ的6條棱長都為1,則它的內(nèi)切球的表面積為?

O

13..如圖，矩形ABC。中，M為BC的中點(diǎn)，將團(tuán)4BM沿直線4M翻折成回力GM,連結(jié)B/,N

為&D的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法中所有正確的是（）

A.存在某個位置，使得CNL4B.

B.翻折過程中，CN的長是定值.

C.若AB=BM,貝MM1BXD.

D.若AB=BM=1,當(dāng)三棱錐&-AMD的體積最大時，三棱錐/一AMD的外接球的表面積是

14.下列命題錯誤的有（）

A.棱柱最多有4個面是矩形；

B.有兩個面平行且相似，其余面是梯形的幾何體是棱臺；

C.連結(jié)圓臺兩底面圓上各一點(diǎn)的線段是它的母線；

D.任意一個平面截球所得的圖形是小圓；

E.經(jīng)過三點(diǎn)確定一個平面

15.下列說法中錯誤的有（）.

A.在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線.

B.一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.

C.圓錐的所有軸截面都是全等的等腰三角形.

D.三棱錐的四個面中最多只有三個直角三角形.

16.如圖，線段A8為圓。的直徑，點(diǎn)E,F在圓。上，EF//AB,

矩形ABCD所在平面和圓。所在平面垂直，且48=2,EF=

AD=1,則下述正確的是（

A.OF〃平面BCE

B.BF1平面尸

C.點(diǎn)A到平面CDFE的距離為每

D.三棱錐C-BEF外接球的體積為遙兀

三、填空題（本大題共9小題，共45.0分）

17.如圖，正方體ABCD-AiBiGDi的棱長為1,線段當(dāng)義上有兩個動點(diǎn)E,F,且EF=爭現(xiàn)有

如下四個結(jié)論：

①AC1BE;

②平面EFC〃平面4BD

③異面直線AE,2F所成的角為定值;

④三棱錐力-BEF的體積為定值，

其中正確結(jié)論的序號是

18.一個半徑為6的球內(nèi)切于一個正方體，則這個正方體的對角線長為__________.

19.如圖，在直三棱柱4BC-&B1G中，底面為直角三角形，AC=6,^ACB=90°,

BC=CG=V2-P是BCi上一動點(diǎn)，貝IJCP+P必的最小值是

20.某兒何體的三視圖如圖所示，正視圖為腰長為1的等腰直角三角形，側(cè)視圖、

俯視圖均為邊長為1的正方形，則該幾何體的表面積是.

裕視圖

21.點(diǎn)M,N分別為三棱柱ABC—4B1G的棱8C,的中點(diǎn)，設(shè)的面

積為S],平面&MN截三棱柱ABC-&BiCi所得截面面積為S,五棱錐&一

CC/iNM的體積為匕，三棱柱人"一月出口的體積為匕則?=,

也=________

22.已知棱長為2的正方體內(nèi)接于球0,點(diǎn)P是正方體的一個頂點(diǎn)，點(diǎn)。是正方體一條棱的中點(diǎn)，

則直線PQ被球。截得線段長的最大值為.

23.棱長為/的正四面體4BC。內(nèi)有一個內(nèi)切球。，M為CO中點(diǎn)，N為8M中點(diǎn)，連接AN交球。

于P,Q兩點(diǎn)，則球。的表面積為,PQ的長為.

24.如圖所示，在正四棱錐P—4BCC中，底面ABC。是邊長為4的正方形，E,尸分別是A8,CD

的中點(diǎn)，cos4PEF=立，若A,B,C,D,P在同一球面上，則此球的體積為.

2

p

25.在三棱錐P-ABC中，P4J■平面ABC,4B4C=120°,AP=VIaB=2,M是線段8c上動點(diǎn)，線

段尸”的長度最小值為百，則三棱錐P-力BC的外接球的表面積為.

四、多空題(本大題共1小題，共4.0分)

26.在三棱錐S-ABC中，AB=2,BC=2,AC=2y/2,SB=V2,SBiffiABC,則三棱錐S-ABC的

外接球半徑為_(1)_，三棱錐S-力BC的內(nèi)切球半徑為_(2)_.

五、解答題(本大題共4小題，共48.0分)

27.在直棱柱ABC-aB1G中，AC=BC=2,AAt=2衣，乙4cB=90°,M是441的中點(diǎn)，N是BC1

的中點(diǎn).

(1)求證：MN〃平面4/16.

(2)求點(diǎn)G到平面BMC的距離；

(3)求二面角B-GM-4的余弦值.

28.如圖，在直棱柱ZBC-AB'C'中，底面是邊長為3的等邊三角形，44'=4,M為44'的中點(diǎn)，P

是BC上一點(diǎn)，且由尸沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC'到M的最短路線長為內(nèi)，設(shè)這條最短路線與CC'的

交點(diǎn)為M求：

(1)該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長;

(2)PC與NC的長；

(3)三棱錐C—MNP的體積.

29.一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.

(1)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系.并證明你的結(jié)論；

(2)已知正方體棱長為2,P是EF的中點(diǎn)，在正方體中，過點(diǎn)E作與面P8G平行的截面，求此

截面的面積.

30.如圖，AABC中，4B=8,BC=10,AC=6,DBI5??ABC,Q.AE//FC//BD,

BD=3,FC=4,AE=5,求此幾何體的體積.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查三棱錐的外接球，球的體積公式及三棱錐、球的結(jié)構(gòu)特征，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，

注意空間思維能力的培養(yǎng).

求出三棱錐的外接球的半徑R=3,過A作4EJ.BC,交8c于E,過球心。作。01ABC于Q,則D64E,

且E是AABC的重心，三棱錐的外接球的半徑R=OS=04=3,AC=次，求出SA=2否.

解:如圖，

三棱錐的外接球的體積為*R'36TT,

???三棱錐的外接球的半徑R=0S=0A=3,

???在三棱錐S-ABC中，底面A8C為邊長為3的正三角形，側(cè)棱SA1底面4BC,

過4作4E1BC,交8c于E,過球心。作0。148C于O,

則D64E,且E是△ABC的重心，

22

???AD=-AE=-y/AB-BE=V3,

33

22

0D=-JOA-AD=V6>

。到SA的距離為4Z)=V3，

22

???SA=OD+yj0S-AD=2V6

故選A.

2.答案：A

解析：

本題考查簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，考查四面體的內(nèi)切球，屬于中檔題.

根據(jù)四面體的形狀通過等積法計算其內(nèi)切球的半徑的大小可得結(jié)果.

解：如圖，在四面體ABCD中，力。_1平面88,BO1BC時滿足各面均為直角三角形，

此時只能是4。=BD=BC=2,則ZB=CD=2或，AC=2g,

要滿足題意則當(dāng)球與四面體各面均相切時半徑最大，

此時設(shè)球心為0,則原四面體可看成以。為頂點(diǎn)，其余各面為底面的4個四面體組合而成,

且這4個四面體的高均為內(nèi)切球的半徑，

設(shè)內(nèi)切球半徑為廣，

由等積法有；x23=；r(2x2+2x2+2x2&+2x2夜)，

66

解得r=V2—1，

即滿足題意的內(nèi)切球的最大半徑為a-1.

故選A.

3.答案：B

解析：

本題考查線段的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是中檔

題.

當(dāng)點(diǎn)P為線段BC的中點(diǎn)時,截面為四邊形APQ0],從而當(dāng)0〈BPW1時,截面為四邊形，當(dāng)：<BP<1

時，截面為五邊形，由此能求出線段8尸的取值范圍，從而可得線段段的取值范圍.

解：設(shè)正方體4BCD-4B1GD1的棱長為1,點(diǎn)P在線段BC上(點(diǎn)P異于B,C兩點(diǎn)),

點(diǎn)Q為線段CG的中點(diǎn)，平面APQ截正方體ABCD-aB1GD1所得的截面為四邊形,

???依題意，當(dāng)點(diǎn)尸為線段BC的中點(diǎn)時，

截面為四邊形4PQD1，

從而當(dāng)0<BPwg時，截面為四邊形,

當(dāng):<BP<1時，截面為五邊形，

故線段BP的取值范圍為（0,勺,

線段案的取值范圍為（0,斗

DCZ

故選B.

4.答案：A

解析：

本題考查棱錐，棱柱，棱臺定義的應(yīng)用，考查空間想象能力，基本知識的考查，利用棱柱，棱錐，

樓臺的定義判斷選項的正誤即可.

解：①有兩個平面互相平行，其余各面都是四邊形的多面體一定是棱柱；不滿足棱柱的定義，所以

不正確；

②有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的多面體一定是棱錐；不滿足棱錐的定義，所以不正確；

③用一個面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫棱臺；沒有說明兩個平面平行，不滿足棱臺定義，

所以不正確；

④側(cè)面都是長方形的棱柱叫長方體.沒有說明底面形狀，不滿足長方體的定義，所以不正確；

正確命題為0個.

故選A.

5.答案：C

解析：

本題考查球體半徑的計算，解決本題的關(guān)鍵主要在于找出球心的位置，考查計算能力與推理能力，

屬于中檔題.

設(shè)。為四面體ABCO的外接球球心，易得=120。,易證平面AFCJL平面B尸C,過點(diǎn)。作OGJLAE

于點(diǎn)G,設(shè)球的半徑為R,可得久2+22=R2,(|+1)2+(手_X)2=RZ,解出即可.

解：如圖所示，設(shè)。為四面體A8CQ的外接球球心，等邊三角形BCC的中心為O,8。的中點(diǎn)為尸，

連接AF,CF,00',OB,O'B,OA,由48=AO=8C=BO=OC,得4R_LB。，CF1BD,

易求得4F=CF=3,而AC=3g，所以cos乙4FC=-%

則乙4FC=120。，又4尸。。尸=尸,4片。尸＜=平面4尸(7,；.8。1_平面4/(7,BDu平面BFC,

所以平面AFC1平面BFC,

所以點(diǎn)A在平面BFC上的射影E在直線CF上，

過點(diǎn)。作。G14E于點(diǎn)G,則四邊形。'EG。是矩形，

則O'B=8Csin60°x|=2,O'F=^0'B=1,

AE=4Fsin60°=EF=4Fsin30°=

22

設(shè)球的半徑為R,00-=x,

則由。。'2+042=0B2,AG2+GO2=0A2,

2

得/+22=R2,(|+i)+(當(dāng)一X)=R2,

解得x-V3,R-V7.

故選C.

6.答案：D

解析:

本題主要考查了學(xué)生對球和四棱錐、軸截面等有關(guān)知識的應(yīng)用能力，由球的球心在四棱錐P-ABCD

的高上，把空間問題平面化，作出過正四棱錐的高作組合體的軸截面，利用平面幾何知識即可求出

raj.

解：由題意，四棱錐P-4BC。是正四棱錐，球的球心。在四棱錐的高PH上；過正四棱錐的高作組

合體的軸截面如圖所示:

其中PE,P尸是斜高，M為球面與側(cè)面的切點(diǎn)，

設(shè)PH=九，由幾何體可知，Rt^PMO-Rt^PHF,

OM_P013tli_"I

""FH~'Pp'囚3-Vh2+32，

解得/I=；.

4

故選。.

7.答案：D

解析：

本題主要考查了三棱錐的外接球，考查了三棱錐的結(jié)構(gòu)，屬于難題.

解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出。點(diǎn)及。點(diǎn)的位置.

解：解：依題意，點(diǎn)P在平面A8C內(nèi)的射影為三角形4BC內(nèi)切圓的圓心N,

設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，

x3x4=|x(3+4+5)r,解得r=1,

又一面角P-AB-C,P-AC-B和P-BC-4的大小均等于；，

故PN=rxtang=1xV3=V3,

設(shè)4BC的外接圓圓心為M,易知0M1平面A8C,又PN，平面ABC,

故OM〃PN,則點(diǎn)O,M,P,N四點(diǎn)共面，且平面ABCn平面。MPN=MN,

又Q在平面ABC內(nèi)，且Q在平面OMPN內(nèi)，

所以。在MN上，即。，M,N三點(diǎn)共線；

現(xiàn)在研究的長度，如圖，

BE

M

易知，BE=2,EM=BM-BE=^-2=^,故MN=

故NM=OF=匹,設(shè)。M=x,由OP=。8,即，+。?2=70Mz+二“2可

解得x=立

PO4

=-=4

OQ1

8.答案：D

解析：

本題考察了多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

解：當(dāng)力趨近于0,有。趨近于3乃；

當(dāng)力趨近于正無窮，有。趨近于?；

當(dāng)?shù)膭偤檬沟谜忮F變?yōu)檎拿骟w時，二面角之和記為。2,則cosg=：

于是3包=二＞2,

2922

故選。.

9.答案：C

解析：

本題以平面圖形的折疊為載體，求線段8M的取值范圍.著重考查了空間垂直位置關(guān)系的判定與性質(zhì)、

余弦定理解三角形等知識，同時考查了空間想象能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

作圖，利用極限和余弦定理求解.

解：

因?yàn)閷ⅰ髁C沿B。折起，得到三棱錐A—BC，且點(diǎn)A在底面BCD的射影M在線段BC上，

所以在圖2中，4MJ■平面BCQ,MN、AN都與BO垂直

因此，折疊前在圖1中，AM1BD,垂足為N.

在圖1中過4作力Mi1BC于Mi，運(yùn)動點(diǎn)?？傻卯?dāng)。點(diǎn)與C點(diǎn)無限接近時，折痕BO接近BC,止匕時

M與點(diǎn)Mi無限接近；

在圖2中，由于AB是的斜邊，是直角邊，所以

由此可得：BMr<BM<AB,

因?yàn)樵凇鰽BC中，已知AB=2百，BC=2#,AC=2V3

由此可得RMAMiC中，BAfi.4/?<?vl5瓜,

：.y/6<BM<2>/3,由BM=x,可得x的取值范圍為（右,2⑹.

故選C.

10.答案：C

解析：

本題考查二面角、橢圓的定義、軌跡方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化

歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.

由題設(shè)條件將點(diǎn)p到平面4BC距離與到點(diǎn)丫的距離相等轉(zhuǎn)化成在面VBC中點(diǎn)尸到y(tǒng)的距離與到定

直線BC的距離比是一個常數(shù)，依據(jù)圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀.

解：?.?正四面體U-4BC

.?.面VBC不垂直面ABC,過P作P。1_面ABC于。，過。作OH1BC于H,連接PH,

nIWBC1?DPH,P”u面OPH,所以BC_LPH,

故4PHe為二面角V-BC-A的平面角，令其為0

則HtAPDH中,\PD\：|PH|=s譏火。為U-BC—4的二面角的大小）.

又點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等，即|PV|=\PD\

.-.\PV\：\PH\=sin9<1,即在平面VBC中，點(diǎn)P到定點(diǎn)V的距離與到定直線8c的距離之比是一

個常數(shù)sinJ,

又在正四面體V-ABC,U-BC-A的二面角的大小。滿足：sin。=速<1，

3

由橢圓定義知P點(diǎn)軌跡為橢圓在面Y8C內(nèi)的一部分.

故選：C.

11.答案：B

解析：

本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運(yùn)算求解能力，屬于中

等題.

由余弦定理求出BC,可得△ABC是直角三角形，于是得出△ABC外接圓的圓心為斜邊AC的中點(diǎn)E,

求出AZBC的面積，利用點(diǎn)。、球心、E三點(diǎn)共線且。、E位于球心的異側(cè)時，四面體ABC。的體積

取最大值，利用錐體體積公式可算出此時OE的值，然后可計算出三棱錐ABC的側(cè)棱長，射影定

理求出外接球的半徑，代入球的體積公式求解.

解：由AB=2V3

,AC=4,/.BAC=30°,

D

得BC=yjAB2+AC2-2AB-AC-cos^BAC=2)

.-.AB2+BC2=AC2,二乙4BC=90。，

則△ABC的外接圓的直徑為2r=AC=4,外接圓圓心為線段AC的中點(diǎn)E,

如下圖所示，

當(dāng)點(diǎn)。、球心。、E三點(diǎn)共線且當(dāng)。、E位于球心的異側(cè)時，

四面體A8CD的體積取最大值，此時，OEJ?平面ABC,

SMBC=-BC=|x2V3X2=2V5,,

四面體ABCD的體積為與比TBC=^SAABC?DE=4,

解得DE=2V3.

由勾股定理得D4=DB=DC=\IDE2+EA2=4，

???四面體ABCD的外接球的直徑為2R=延=華=隨，

DE2V33

則四面體ABCD的外接球的半徑為史I

3

因此，四面體ABC。的外接球的表面積為4兀/?2=4兀x(公產(chǎn)=絲兀.

k373

故選B.

12.答案：ACD

解析：

本題考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，球的表面積，空間中線線，線面的位置關(guān)系，屬于中檔題.

對于A,根據(jù)線面角的定義即可判斷；對于B,根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)可知，0是4BCD的垂心，

對于C在正方體中，找出滿足題意的四面體，即可得到直角三角形的個數(shù)，對于。作出正四面體的

圖形，找到球的球心位置，說明0E是內(nèi)切球的半徑，利用直角三角形，逐步求出內(nèi)切球的表面積.

對于A選項，因?yàn)?8=AC=4。，設(shè)點(diǎn)A在平面BC。內(nèi)的射影是0,

因?yàn)閟in"B。=—,sin〃CO=—,sinzXDO=—,

ABACAD

所以sinz_4B0=sin/AC。=sin/.ADO,

則AB,AC,AO與底面所成的角相等，故A正確；

對于2選項，設(shè)點(diǎn)A在平面88內(nèi)的射影是O,

則AO_L平面BCD,CDu平面BCD,

故A。JLCD,乂4B1CD,

AOHAB=A,AO,48u平面AB。，

故CZ1L平面ABO,又OBu平面ABO,

則CD1OB,

同理可證BDIOC,所以。是△BCD的垂心，故B不正確：

如圖：直角三角形的直角頂點(diǎn)己經(jīng)標(biāo)出，直角三角形的個數(shù)是4.故C正確;

所以AE=匹,

\33

因?yàn)锽O?-0E2=BE2,所以(9-0E)2-0E2=(y)2,

所以。E=漁，所以球的表面積為47r-0E2故。正確.

126

故選：ACD.

13.答案:BD

解析：

本題考查幾何體的翻折問題，考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，球的表面積計算，考查空間想象

能力，屬于中檔題，對選項逐一判斷其正確性即可.

解：對于A,取4。的中點(diǎn)為E,連接CE交于點(diǎn)F,如圖1,

圖1

貝UNE///!%,NF"MB\

如果CNIABi，則EN_L.CN,

由于力/1MB1，則EN1NF,

由于三線NE,NF,NC共面且共點(diǎn)，

故這是不可能的，故不正確；

對于B,如圖1,由4NEC=4MABi,

UNE=^ABltAM=EC,

.?.在△CEN中，由余弦定理得：

NC2=NE2+EC2-2NE-EC?cos乙NEC,也是定值,

故NC是定值，故正確；

對于C,如圖2

M

圖2

取AM中點(diǎn)為0,-：AB=BM,即力Bi=則AM1B10

若AMIB】D,由于當(dāng)0nBi。=B],

且u平面ODB「

AM_L平面OOB「ODu平面OOBi，

ODLAM,則AD=MD,

由于/WKMD,故AM1&D不成立，故不正確：

對于D，根據(jù)題意知，只有當(dāng)平面BiAM，平面AMQ時，

三棱錐當(dāng)一4”。的體積最大，取AO的中點(diǎn)為E,

連接。E,B】E,ME,如圖2

???4B=BM=1,則佃==1,

且AB[1B]M,平面BiAMCI平面AMD=AM

：.當(dāng)。1AM,Bi。u平面B遇”

Bi。_L平面AMD,OEu平面AMD

B101OE,

則4M=&,BiO=14M=/，

OE=-DM=-AM=—，

222

從而颯=J囹+囹=],

易知EA=ED=EM=1,

.?.4。的中點(diǎn)E就是三棱錐&-AMO的外接球的球心，球的半徑為1,表面積是4乃，故。正確;

故答案為：BD.

14.答案：ABCDE

解析：

本題考查了簡單多面體、旋轉(zhuǎn)體及其結(jié)構(gòu)特征和平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用，根據(jù)題意逐一判定即可得

出結(jié)論.

解：對于A,正六棱柱，有6側(cè)面是矩形，故A錯誤；

在8中，有兩個面平行，其余各面都是梯形，且側(cè)棱的延長線交于一點(diǎn)的幾何體叫棱臺，故8錯誤；

對于C,在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，這兩點(diǎn)的連線不一定是圓臺的母線，故C錯誤；

對于。，經(jīng)過球心的截面得到是大圓，故。錯誤；

對于E,只有經(jīng)過不共線的三點(diǎn)才能確定一個平面，故E錯誤，

故選ABCDE.

15.答案：ABD

解析：

本題主要考查圓柱、圓錐及三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)圓柱、圓錐及三棱錐的結(jié)構(gòu)特征對選項一一判斷即可.

解：A不正確，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時才是母線；

B不正確，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺；

C正確，因?yàn)槟妇€長相等，得到圓鏈的軸截面是一個等腰三角形；

。不正確，三棱錐的四個面中可以有四個直角三角形.

故選ABD.

16.答案：ABC

解析：

本題考查簡單多面體（棱柱、棱錐、棱臺）及其結(jié)構(gòu)特征，棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積、表面積和體

積，球的表面積和體積，

線面平行的判定，線面垂直的判定，考查邏輯推理能力和空間想象能力，屬于中檔題.

由線面平行與垂直的判定定理，等體積轉(zhuǎn)化，球的體積公式對選項逐一判定可得結(jié)論.

解：

對于4,連接OF,???EF//AB,AB=2,EF=1,...EF=OB'

則四邊形。BEF是平行四邊形，:OF〃BE,rBEu平面BCE,

OF仁平面BCE,OF〃平面BCE,故A正確；

對于B,由題意，平面ABC。J_平面ABEF,平面ABC。n平面4BEF=AB,

ADLAB,ADABCD,ADABEF,BFu平面ABEF,二AD1BF,

又???AB是圓O的直徑，BFLAF,4FC4。=A,AF,ADu平面ADF,

BF1平面4DF,故B正確；

對于C,設(shè)點(diǎn)A到平面CDFE的距離為h,即點(diǎn)A到平面CDF的距離為h,

???由A可得，四邊形A8EF是等腰梯形，AB=2,BE=AF=EF=1,取AO的中點(diǎn)G,

過點(diǎn)G作GM〃AD,與CD交于點(diǎn)M,連接GF,MF,則GFJ.40,

又平面ABC。1平面ABEF,平面ABCDC平面4BEF=48,GFu平面ABEF,

：.GF，平面ABCD,且易得G尸=—，

2

-AD1A0,..MGLAO,MGnGF=G,MG、GFu平面MGR

???AOL平面MGRMFu平面MGR???4。1MF,則CO1MF,

且MF=、MG2+GF2==

,:匕-CDF=VF-ACD9,*3x2CD,MF。h=-x-CD-ADaGF,

AMF-h=AD-GF解得h=號/=叵，故。正確；

fv77

V

對于。，VB.E,尸在圓。上，則圓。是ABEF的外接圓，

則aBEF的外接圓為r=1,

則三棱錐C-BEF外接球的半徑為/?=J(y)2+r2=Ji+1=y.

???三棱錐C-BEF外接球的體積為37rx(遺戶:也7T，故。錯誤.

故選ABC.

17.答案：①②④

解析：

本小題主要考查線線、面面的位置關(guān)系，考查錐體體積計算，屬于中檔題.

通過證明異面直線垂直證得①成立，通過證明面面平行證得②成立，作出異面直線力民3歹所成的

角，由此判斷異面直線4民8斤所成的角是否為定值，利用錐體體積公式計算出三棱錐力-的

體積.

解：①設(shè)力。與8。相交與G根據(jù)正方體的性質(zhì)可知AC1BD,AC1BB1,

而BDcBB]=B,BD,SB】u平面BDD/i，所以4CJ_平面3￡>￡）固，

BEu平面BDD/i，所以/C_L3從故①正確.

②根據(jù)正方體的性質(zhì)可知A.BHD.C,//仁平面Bg,

D￡u面B]CD「所以％BH平面BQ、.

同理可證BO〃平面4cA，而4BcBD=B,&B,BDU平面A/D,

所以平面平面B,CD,,也即平面EFC〃平面/田。.故②正確.

③由于正方體的邊長為1，所以BD=BQ】=y/i,BG=也，而即=也,

1122

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知EF//BG.所以四邊形8GER是平行四邊形，

所以BF//GE，所以4EG是異面直線4耳3尸所成的角，

所以tanN/￡G=—色，其中/G為定值，GE長度不固定，

GE

所以4EG不是定值，所以③錯誤.

④由①可知AC_L平面BDDtBt,

ii(i)/o1

所以匕=§xS,破,x/G=§x-x—xlx/~=w?為定值,

所以④正確.

故答案為：①②④

Di

DA

18.答案：12V3

解析：解：一個半徑為6的球內(nèi)切于一個正方體，

可得正方體的棱長為：12,

這個正方體的對角線長為：V122+122+122=12V3.

給答案為：12遍.

求出正方體的棱長，然后求解正方體的對角線長即可.

本題考查幾何體的內(nèi)切球，幾何體的空間距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力.

19.答案：5V2

解析：

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征及兩點(diǎn)之間的距離，屬于基礎(chǔ)題，沿BG將ACBG展開與△&BC1在同一個

平面內(nèi)，不難看出CP+P4的最小值是&C的連線.

解：由題意，不難驗(yàn)證AaGB是直角三角形，沿BG展開，ACGB是等腰直角三角形，

作CEJLAiG，CE=CIE=1,

2

ArP+PC=41c=V7+1=5V2.

故答案為5位.

20.答案：&+|+日

解析：

本題考查幾何體的三視圖和棱錐的表面積與體積問題，根據(jù)三視圖復(fù)原幾何體的形狀是本題的關(guān)鍵

難點(diǎn)，屬中檔題，難度較大，解決此類問題，常?？梢栽谡襟w（或長方體）中根據(jù)三視圖探究幾何

體的形狀，然后根據(jù)面積和體積公式計算即可.

解：在正方體中探究可知幾何體的形狀是如圖所示的四棱錐4-BCD.A,.

5

全面積S=SZUBC+S^ABAi+Szuag+SzUCDi+S矩彩BgA

1111Lr~痘L

=-xlxl+-xlxH--xlxH--xV2xV2x—+V2xl

22222

/5,3V3

=V2+-+y,

故答案為企+三+更.

22

21.答案：g|

解析：

本題考查平面的性質(zhì)、棱柱、棱鏈的結(jié)構(gòu)特征和面積、體積的計算，考查空間想象能力和計算能力，

屬中檔題.

設(shè)四邊形BCGa的面積為S',A到面BCG&的距離為兒，根據(jù)已知利用平面幾何易得五邊形

CGBiNM的面積&C出NM=沁?出=甜，利用體積轉(zhuǎn)化得到三棱柱ABC-41B1G的體積為，=

1S'h,求出五棱錐的體積即可求孑；延長NM與GC的延長線交于P,連接P4,交AC于Q,截面為

A.MNQ,利用棱柱的上下對應(yīng)的棱平行得|=券=/即可求出SMMQ皆SMMP=：SI，進(jìn)一步

即可求出截面4MNQ的面積得到答案.

解：因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別為三棱柱48。一力中傳1的棱8C,的中點(diǎn)，

設(shè)四邊形BCG/的面積為S',A到面BCC1B1的距離為h,

則五邊形CC】BiNM的面.積SCQ/NM=g^BCCjBj=,

三棱柱ABC-的體積為V=應(yīng)7=3匕L%qc=3X[XisBCC1Bi-h=\s'h,

又五棱錐為-CGBiNM的體積為匕=-xSCJBNM?九=，x-Srh=-S'/i,

延長NM與GC的延長線交于P，連接交AC于0,如圖:

p

則四邊形ANMQ為平面4MN截三棱柱ABC-4181cl所得截面，

因?yàn)镸,N分別為BC,BBi的中點(diǎn)，則CP=BN,PM=MN,

所以M是NP的中點(diǎn)，則S/AiMP=SAA[MN=S],

因?yàn)镃P=BN=；BBi，?=

2"J，

由4C//4Q則喘=詈=?

所以Sg]MQ=gS-iMP=

故平面4/八截三棱柱48。一48心所得截面面積為5=5沙W川+5./畋=51+|1=|51，

則”

故答案為V;|.

22.答案:y

解析:

本題考查空間幾何體的特征，球與多面體的問題.

解：要使直線PQ被球。截得的線段長最大，則需要P。到球心0的距離最小，則P,。應(yīng)該在如圖

所示的相對位置.

作OM1PQ于點(diǎn)M,易知OIQ=品PQ=3,OP=V3,AOPQ的面積為；xOQx1=OMxPQ,

所以0M=4如=析而="

所以此時PQ被球。截得的線段長為2Mp=學(xué).

故答案為弓.

772聞

23.答案:6'-

解析:

本題考查了等體積法的應(yīng)用，正四面體特征，幾何體內(nèi)切球的性質(zhì)，屬于中檔題.

先求出正四面體的高，再用等體積法求出內(nèi)切圓的半徑，即求球的體積，解直角三角形AOE可求內(nèi)

切球O至必N（即PQ）的距離d,利用球的弦長公式可求PQ的長.

解：設(shè)內(nèi)由題意可知，正四面體的高為A。,=h=jp-（/j

設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為。0'=r,由等積法可知：

Lr-4x立x/=）.立xN解得「=4=在，

3434412

則球。的表面積S47rr-47rx]—

如下圖OEJ.AN于E,在三角形4N。'中，A0,=立,AO=-A0r

344

O'N=MN—O'M=-x—--x—=—,

223212

V3

故tanZ_O'AN=券=全，則sinNO'AN=南，

3

在直角三角形AOE中OE=A0xsin匕O'AN=乎x盍=焉，即內(nèi)切球O到4V（即PQ）的距離d=

V2

4Vii

則PQ=2萬胃=2J（令一（編》=善=蜜.

故答案為:，旭.

633

A

D

B

24.答案:367r

解析:

本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題.由

已知求得正四棱錐P—ABC。的高，可知正四棱錐P--48CD的外接球的球心在它的高POi上，記球心

為0,利用勾股定理列式求得四棱錐外接球的半徑,再由球的體積公式求解.

解：由題意得，底面A8C。是邊長為4的正方形，cOSZ.-nPErFr=——.，

2

;2A

COSZ.PE0=孝，:40EP=45°,故高P。I=E01

正四棱錐P-的外接球的球心在它的高POi上,

記球心為0,A：

則4。1=2^2,P0—AO=R,P0]=2,。。1=2—R或。?！浮?(絲二噸;叱

A---------------------

此時。在POi的延長線上)，

在直角△力Oi。中，R2=AOl+00f=(2V2)2+(2-R)2,解得R=3,

球的體積為V=x33=367r.

故答案為：367r.

25.答案：18%

解析:

本題考查三棱錐的外接球的球心的確定及球的表面積公式，屬于較難題.

首先確定三角形ABC為等腰三角形，進(jìn)一步確定球的球心，再求出球的半徑，最后確定球的表面積.

解：如圖所示，

在三棱錐尸中，P4上平面4BC,4P=也,4B=2，

在M是線段3C上一動點(diǎn)，線段0A/的長度最小值為

則當(dāng)PM1BC時，線段PM達(dá)到最小值，

由于尸/_1_平面43。，AM、BCu平面ABC,

所以PA_LAM,PA1BC,

所以夕才+/知2=。例2,解得力〃=i，

又因?yàn)镻MnP4=P,PM、PAu平面APM,

所以8c1平面APM,又AMu平面APM,

所以BC14M,

所以Z?"=x/J，貝i」NB4M=60°，

由于NB/C=120°，

所以NM4C=60°，

則△/z?c為等腰三角形，

所以8c=2百，

在A/Z?。中，設(shè)外接圓圓心為O1,外接圓的直徑為2r=26=4,則r=2,

sin120°

即。/=2,

過。作Q°///P，aO=/0=；/P，其中Q為AP中點(diǎn),

則O/=O4=OC=OP,

即O為棱錐外接球球心，

丫

(519

所以外接球的半徑R=22+—

I2J

9

即S=4?%?一=18%.

2

故答案為：18%.

26.答案:早

4—V2

~7~

解析：

本題考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，三棱錐的體積及其外接球和內(nèi)切球，考查分析能力，空間想象能力，

屬于中檔題.

借助長方體，三棱錐S-4BC的外接球即為底面邊長為2,高為魚的長方體的外接球，由此可得外接

球的半徑；設(shè)內(nèi)切球的球心為0,半徑為廣，根據(jù)等體積法，將三棱錐S-ABC的體積分成四個小三

棱錐的體積和，建立方程即可求解.

解：借助如圖所示的長方體，三棱錐S-ABC的外接球

即為底面邊長為2,高為近的長方體的外接球，根據(jù)

長方體的體對角線長為外接圓的直徑，

設(shè)外接球的半徑為七則

2R=卜+22+(V2)2=V10-

R0

2

設(shè)內(nèi)切球的球心為。，半徑為八則由%=

^O-SAB+^O-SAC+^O-SBC+得1,1x2x2-V2=1-r-^2-1x2xV2+1x2x2+^x

2V2xJ22+(V2)2-(V2)2^

整理得(4位+2)r=2V2,解得r=學(xué),

故答案為叵，絲?

27

27.答案：解：(1)如圖a所示，取占6的中點(diǎn)。，連接ND,AXD,

???DN11BBi〃AAlt

又DN=3BBi=^AAX=力iM,

???四邊形&MND為平行四邊形，

???MN//AXD,

乂MN<t平面&BiG，&Du平面&BiG，

???MN〃平面&BiG；

(2)如圖b所示如圖建立直角坐標(biāo)系，8(2,0,0),4(0,2,0),。式0,0,2/)，”(0,2,e),

設(shè)記=(x,y,z)是平面BMC的法向量，點(diǎn)G到平面BMC的距離為/?.

由于麗=(0,2,V2)，CB=(2,0,0)，且｛4,，二］,

叱:+V2Z=0T取y=1,得記=(o,l,-V2)，

由于領(lǐng)=(0,2,-V2).

.??點(diǎn)G到平面BMC的距離八=隼現(xiàn)=出等=晅.

|n|V33

(3)可知方=(2,0,0)是平面G&M的一個法向量.

設(shè)沆=Oi，yi，Zi)是平面BMG的法向量，

由于直耳=(2,0,—2魚)，C\M=(0,2,一魚)，

由露窗:。取…得肉

設(shè)。是為二面角B--4的平面角，

則際。|=卑=里

11|CF||7n|7

又因?yàn)槎娼荁-GM-①的平面角是鈍角,所以co