高中數(shù)學(xué)-2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)

2.3.2雙曲線的幾何性質(zhì)

編制：；審核：全體

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

i.知識與技能：理解并掌握雙曲線的幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線），

能根據(jù)這些幾何性質(zhì)解決一些簡單問題。

2.過程與方法：在與橢圓的性質(zhì)類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合思想，掌握

利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法.

3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生進(jìn)一步體會曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，感受圓

錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。

重點(diǎn)、難點(diǎn)：

【重點(diǎn)】雙曲線的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用

【難點(diǎn)】雙曲線的漸近線、離心率的應(yīng)用

【復(fù)習(xí)回顧】

1、雙曲線的定義及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程?

2、焦點(diǎn)在x軸和y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)？我們是如何利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程研究橢圓的幾

何性質(zhì)的？

【預(yù)習(xí)反饋】

通過預(yù)習(xí)，你對本節(jié)課存在哪些疑惑？寫在下面！

【溫故知新，自我發(fā)現(xiàn)】

1、類比研究橢圓幾何性質(zhì)的方法，探究焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線￡—￡=1,(。＞()加＞0)

a2b2

的幾何性質(zhì)！

橢圓雙曲線

X2V2x2y2

7+%=l(a>b>0)--7V=1,(?>O,6>O)

標(biāo)準(zhǔn)方程a2b2

圖象

范圍

對稱性

頂點(diǎn)

離心率

應(yīng)用一：

1、求雙曲線16--9)，=144的實(shí)半軸長，虛半軸長，焦點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，離心率，并

畫出它的草圖。

【合作探究，共同提高】漸近線

(1)【小組合作】

要求：

(1)先獨(dú)立思考下面三個(gè)問題，2分鐘；

(2)前后四名同學(xué)組成一個(gè)小組，起立討論；討論完畢完善你的學(xué)案，并推選一名代表準(zhǔn)

備展示。

問題一：觀察下面的圖象，雙曲線的右支隨著x的增大，圖象有何變化？

問題二：觀察雙曲線在第一象限內(nèi)的圖象，求出其函數(shù)解析式?

問題三：觀察函數(shù)y=2序丁■與y=2%在第一象限的圖象，之間有什么關(guān)系？為什

aa

么？

通過以上分析，你的結(jié)論是___________________________________________________

(2)【師生合作】——雙曲線在第一象限內(nèi)的圖像無限趨向于直線y=2%：

a

小結(jié)：雙曲線2r=1,(。>0/>0)的漸近線方程：_____________________

ab

應(yīng)用二：

2、求下列雙曲線的實(shí)軸長、虛軸長、離心率及漸近線方程。

22

(l)x2-/=4(2)—V--^V-=1

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【自我完善，自我提升】

類比焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)，獨(dú)立探究焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

22

2__二=l(a>0/>0)的幾何性質(zhì)？并完成下表！

a2b2

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)2222

三一方=1(。>0,6>0)「一［=1(4>()*>0)

方程ab~

圖像

范圍

對稱性

頂點(diǎn)

離心率

漸近線

應(yīng)用三：

3、根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

己知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)。如果焦距是8,實(shí)軸長為6,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

程和離心率。

【課堂小結(jié)】：

知識方面：

數(shù)學(xué)思想：

【當(dāng)堂檢測】：

22

1.求雙曲線匕-二=1的漸近線方程.

925

2.求焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為6,焦距為10的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(5,0),一條漸近線方程為3x-4y=0,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率.

學(xué)情分析

知識結(jié)構(gòu)：在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的幾何性質(zhì)，雙

曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在此基礎(chǔ)之上，雙曲線的幾何性質(zhì)是通過類比橢圓

的幾何性質(zhì)而獲得的幾何性質(zhì)，在推導(dǎo)性質(zhì)的過程中，利用類比的思

想進(jìn)一步探索雙曲線的幾何性質(zhì)，本節(jié)課的重點(diǎn)要求學(xué)生掌握雙曲線

的幾何性質(zhì)及初步運(yùn)用，難點(diǎn)是雙曲線的漸進(jìn)線的推導(dǎo)，漸近線及離

心率的應(yīng)用，但是通過師生、生生的合作交流，就能解決所有的疑難

問題，從而激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)探索精神。

心理特征：學(xué)生為高二年級的的學(xué)生，學(xué)生基礎(chǔ)普遍比較好，

形成了是非觀，具備了分辨是非的能力及語言表達(dá)能力。能夠通過討

論、合作交流、辯論得到正確的知識。但在處理問題時(shí)學(xué)生很容易“想

當(dāng)然”用事，考慮問題不深入，往往會造成錯(cuò)誤的結(jié)果。

效果分析

學(xué)生能夠在教師設(shè)計(jì)問題的引領(lǐng)下，學(xué)生通過觀察、分析、探究

式自主學(xué)習(xí)，通過類比橢圓的幾何性質(zhì)來獲取得到雙曲線的幾何性質(zhì),

同時(shí)利用焦點(diǎn)在X軸上雙曲線的幾何性質(zhì)通過類比得到焦點(diǎn)在y軸上

雙曲線的幾何性質(zhì)，通過設(shè)置問題，引領(lǐng)學(xué)生一步一步獲得漸近線的

方程，通過教師的提示，學(xué)生的講解，學(xué)生的合作交流，解決了疑難

問題，從中讓學(xué)生體驗(yàn)到探索的樂趣，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。通過

例題、變式訓(xùn)練，鞏固了雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，，進(jìn)一步體驗(yàn)學(xué)生

計(jì)算能力，發(fā)揮了學(xué)生的能動(dòng)性，增強(qiáng)動(dòng)腦的能力。

同時(shí)在課堂教學(xué)中，學(xué)生在推導(dǎo)雙曲線的漸近線時(shí)'，通過展臺展

示學(xué)生邏輯思維能力及表達(dá)能力，體現(xiàn)了多媒體在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用,

展現(xiàn)了現(xiàn)代高中生應(yīng)具備的素質(zhì)，體現(xiàn)了學(xué)生在課堂中的主體地位。

在講解完例題后，相應(yīng)的變式訓(xùn)練，學(xué)生掌握的還不錯(cuò)，學(xué)生對

當(dāng)堂檢測掌握的不錯(cuò)，達(dá)到了我預(yù)期的效果。

教材分析

雙曲線的幾何性質(zhì)是人教B版《數(shù)學(xué)》選修2-1第二章的內(nèi)容。

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的幾何性

質(zhì)及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，在此基礎(chǔ)上有了一定的感性和理性的認(rèn)識,

在推導(dǎo)雙曲線的幾何性質(zhì)，類比橢圓的幾何性質(zhì)，這樣對理解雙曲線

的幾何性質(zhì)又進(jìn)一步奠定了基礎(chǔ)，加深了學(xué)生對雙曲線幾何性質(zhì)的的

深刻理解，因此，學(xué)生有了一定的知識儲備。

雙曲線的幾何性質(zhì)高中數(shù)學(xué)中圓錐曲線的重要的一個(gè)知識點(diǎn)，

本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了曲線與方程、橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、雙

曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步通過橢圓的幾何性質(zhì)來推導(dǎo)研究

雙曲線的幾何性質(zhì)。（可以類比橢圓的幾何性質(zhì)得到雙曲線的幾何性

質(zhì)。）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生深刻理解雙曲線的幾何性質(zhì)，體驗(yàn)

數(shù)學(xué)中的類比、聯(lián)想、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化等思想方法。雙曲線的幾何性

質(zhì)是圓錐曲線這一章的基本的工具，對進(jìn)一步解決圓錐曲線的應(yīng)用奠

定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

知識的形成，是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，不能一蹴而就。因此設(shè)

計(jì)課程時(shí)，是在學(xué)習(xí)橢圓的幾何性質(zhì)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的定已有的

認(rèn)知基礎(chǔ)上，我采用以類比的方法，讓學(xué)生進(jìn)一步探究雙曲線的幾何

性質(zhì)，同樣通過類比焦點(diǎn)在X軸雙曲線的幾何性質(zhì)，進(jìn)而啟發(fā)、引導(dǎo)

學(xué)生探究，進(jìn)一步獲取焦點(diǎn)在y軸雙曲線的幾何性質(zhì)，然后，通過設(shè)

置階梯型問題讓學(xué)生合作探究推導(dǎo)雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)

生的求知欲，觀察分析能力。

評測練習(xí)

22

1.求雙曲線匕-—=1的漸近線方程.

925

2.求焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長為6,焦距為10的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為（5,0）,一條漸進(jìn)線的方程為3x-4y=0,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率

答案：

3

1.漸近線方程為尸土(x.

22

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-二=1.

916

Y~5

3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為L-L=1；離心率為3.

1694

課后反思

本節(jié)課是人教B版的選修2-1第二章圓錐曲線與方程第三部分第

二節(jié)節(jié)，主要闡述了雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，我根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)對

本節(jié)課的要求和學(xué)生的實(shí)際情況，制定出本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和重點(diǎn)難

點(diǎn)。教會學(xué)生利用已有的橢圓的幾何性質(zhì)知識，利用類比思想獲取雙

曲線的幾何性質(zhì)，并且運(yùn)用運(yùn)用幾何性質(zhì)解決一些簡單的問題，從而

培養(yǎng)了學(xué)生觀察、類比、分析能力。

我設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)程序是：溫故-一新的學(xué)習(xí)對象與舊知識的聯(lián)系--

觀察分析、類比探究解決問題應(yīng)用成果歸納總結(jié)—進(jìn)

一步的發(fā)散思考--探索提高。

在學(xué)完橢圓的幾何性質(zhì)之后，我始終抓住類比思想、橢圓的幾何

性質(zhì)這個(gè)主線，讓學(xué)生在鞏固原有的知識的基礎(chǔ)上，通過類比，由學(xué)

生自己來對新知識進(jìn)行分析、探究、猜想，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識上,

有的放矢。從而讓學(xué)生體會“類比”的學(xué)習(xí)方法。

我認(rèn)為，有效教學(xué)要促使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及意義。就整個(gè)

數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的目標(biāo)和意義而言，這顯然不是一節(jié)課或短時(shí)期能夠?qū)?/p>

現(xiàn)的，它需要一個(gè)長期過程，比如，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅僅是獲得數(shù)學(xué)的概

念和結(jié)論，也不是用這些結(jié)論學(xué)會解考試題，從大的角度來講，是學(xué)

會學(xué)習(xí)，從數(shù)學(xué)學(xué)科來講，除了獲取必要數(shù)學(xué)知識，還要感悟數(shù)學(xué)的

思考方式，掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)說理、批判、質(zhì)疑、求真求實(shí)的

理性思維和理性精神。但是就一節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)而言，在學(xué)生學(xué)習(xí)活

動(dòng)之前應(yīng)該是讓學(xué)生明確的，就學(xué)習(xí)意義而言，需要經(jīng)歷學(xué)習(xí)活動(dòng)之

后才能有所認(rèn)識。本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)“類比橢圓幾何性質(zhì)的研究過程

和方法，由雙曲線方程研究其幾何性質(zhì)”，是通過課前的預(yù)習(xí)探究作

業(yè)讓學(xué)生明確的，在課堂活動(dòng)之前教師又再次明示給學(xué)生的。

有效教學(xué)要在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上，尋找學(xué)生最近發(fā)展區(qū)促進(jìn)學(xué)

生更深層面上思維和理解。本節(jié)課學(xué)習(xí)活動(dòng)是以學(xué)生對橢圓幾何性質(zhì)

的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行的，如果從認(rèn)知的思想和方法來講，并不僅限于此,

實(shí)際上，對代數(shù)特征與幾何特征之間的聯(lián)系的認(rèn)知，從函數(shù)的學(xué)習(xí)就

已經(jīng)在逐步建立，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性的刻畫，都是從函

數(shù)解析式具有的代數(shù)特征來描述的，還有函數(shù)圖象變換與解析式中變

化的聯(lián)系的研究等，這些構(gòu)成了解析幾何學(xué)習(xí)的認(rèn)知基礎(chǔ)，這種認(rèn)知

在解析幾何初步和橢圓幾何性質(zhì)的研究過程中得到了進(jìn)一步的提升

和強(qiáng)化。正是有了這樣一個(gè)認(rèn)知基礎(chǔ)，才使得本課中學(xué)生類比橢圓幾

何性質(zhì)的研究，自主探究獲得雙曲線的范圍和對稱性等幾何性質(zhì)，具

備了實(shí)現(xiàn)的可能性。盡管如此，學(xué)生的這種認(rèn)知還處于較低層面上,

這既造成了本課發(fā)現(xiàn)雙曲線的漸近線的障礙，同時(shí)也為進(jìn)一步提升該

認(rèn)知水平提供了很好的學(xué)習(xí)素材，教師通過精心設(shè)計(jì)、啟發(fā)誘思，引

導(dǎo)學(xué)生有效突破了難點(diǎn)。從學(xué)生的課后探究作業(yè)看，大多數(shù)同學(xué)獲得

了認(rèn)知的提升。

在推導(dǎo)雙曲線的漸進(jìn)線時(shí)，設(shè)置以下問題：

問題一：觀察下面的圖象，雙曲線的右支隨著X的增大，圖象有何變

化？

問題二：觀察雙曲線在第一象限內(nèi)的圖象，求出其函數(shù)解析式？

問題三：觀察函數(shù)y=24r二7與y=在第一象限的圖象，之間有

aa

什么關(guān)系？為什么？

通過以上分析，你的結(jié)論是.

通過問題的遞進(jìn)設(shè)置，讓學(xué)生充分理解雙曲線的漸近線，然后通過

師生合作、探究得到雙曲線在第一象限內(nèi)的圖像無限趨向于直線

b

y=-x：

a

在講解應(yīng)用三時(shí)，教師規(guī)范學(xué)生的解題步驟，同時(shí)展示學(xué)生的解

答情況，指出學(xué)生的計(jì)算錯(cuò)誤，要求學(xué)生仔細(xì)解題，規(guī)范答題，為以

后高考步驟的書寫奠定良好的基礎(chǔ)，，努力營造一個(gè)寬松、和諧、生

動(dòng)的學(xué)生氣氛，以更好地提高教育教學(xué)的質(zhì)量，達(dá)到師生共同學(xué)習(xí)，

共同進(jìn)步的目的。有一點(diǎn)不足就是給學(xué)生獨(dú)立思考的時(shí)間不足，個(gè)別

細(xì)節(jié)處理的不夠完美。這就是我對本節(jié)課講法的一些認(rèn)識，不足之處

請各位老師批評指正。

總之，教師時(shí)刻以培養(yǎng)學(xué)生的思維為出發(fā)點(diǎn)的教學(xué)，才是真正的

數(shù)學(xué)教學(xué)，才能承載中學(xué)數(shù)學(xué)課堂的使命一一培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和

數(shù)學(xué)素養(yǎng).

課標(biāo)分析

在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》中，指出“有效的教學(xué)是引導(dǎo)學(xué)生的學(xué)

習(xí)，激發(fā)學(xué)生自己去學(xué)，幫助學(xué)生通過自己的思考建立起自己對數(shù)學(xué)

的理解力，幫助學(xué)生建構(gòu)和發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生學(xué)會該如何學(xué)習(xí)，

不僅要為當(dāng)前的學(xué)習(xí)，而且要為今后的終身學(xué)習(xí)和終身發(fā)展奠定良好

的基礎(chǔ)?！憋@然課標(biāo)中的有效教學(xué)的“效”突出強(qiáng)調(diào)了