高中數(shù)學-2.3.2雙曲線的幾何性質

2.3.2雙曲線的幾何性質

編制：；審核：全體

學習目標：

i.知識與技能：理解并掌握雙曲線的幾何性質（范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線），

能根據(jù)這些幾何性質解決一些簡單問題。

2.過程與方法：在與橢圓的性質類比中獲得雙曲線的性質，進一步體會數(shù)形結合思想，掌握

利用方程研究曲線性質的基本方法.

3.情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習使學生進一步體會曲線與方程的對應關系，感受圓

錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。

重點、難點：

【重點】雙曲線的幾何性質及初步運用

【難點】雙曲線的漸近線、離心率的應用

【復習回顧】

1、雙曲線的定義及雙曲線的標準方程?

2、焦點在x軸和y軸上的橢圓的幾何性質？我們是如何利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾

何性質的？

【預習反饋】

通過預習，你對本節(jié)課存在哪些疑惑？寫在下面！

【溫故知新，自我發(fā)現(xiàn)】

1、類比研究橢圓幾何性質的方法，探究焦點在X軸上的雙曲線￡—￡=1,(。＞()加＞0)

a2b2

的幾何性質！

橢圓雙曲線

X2V2x2y2

7+%=l(a>b>0)--7V=1,(?>O,6>O)

標準方程a2b2

圖象

范圍

對稱性

頂點

離心率

應用一：

1、求雙曲線16--9)，=144的實半軸長，虛半軸長，焦點坐標，頂點坐標，離心率，并

畫出它的草圖。

【合作探究，共同提高】漸近線

(1)【小組合作】

要求：

(1)先獨立思考下面三個問題，2分鐘；

(2)前后四名同學組成一個小組，起立討論；討論完畢完善你的學案，并推選一名代表準

備展示。

問題一：觀察下面的圖象，雙曲線的右支隨著x的增大，圖象有何變化？

問題二：觀察雙曲線在第一象限內的圖象，求出其函數(shù)解析式?

問題三：觀察函數(shù)y=2序丁■與y=2%在第一象限的圖象，之間有什么關系？為什

aa

么？

通過以上分析，你的結論是___________________________________________________

(2)【師生合作】——雙曲線在第一象限內的圖像無限趨向于直線y=2%：

a

小結：雙曲線2r=1,(。>0/>0)的漸近線方程：_____________________

ab

應用二：

2、求下列雙曲線的實軸長、虛軸長、離心率及漸近線方程。

22

(l)x2-/=4(2)—V--^V-=1

259

【自我完善，自我提升】

類比焦點在X軸上的雙曲線的幾何性質，獨立探究焦點在y軸上的雙曲線

22

2__二=l(a>0/>0)的幾何性質？并完成下表！

a2b2

雙曲線的標準2222

三一方=1(。>0,6>0)「一［=1(4>()*>0)

方程ab~

圖像

范圍

對稱性

頂點

離心率

漸近線

應用三：

3、根據(jù)下列條件，求雙曲線的標準方程：

己知雙曲線的焦點在y軸上，中心在原點。如果焦距是8,實軸長為6,求雙曲線的標準方

程和離心率。

【課堂小結】：

知識方面：

數(shù)學思想：

【當堂檢測】：

22

1.求雙曲線匕-二=1的漸近線方程.

925

2.求焦點在x軸上，實軸長為6,焦距為10的雙曲線的標準方程.

3.已知雙曲線的一個焦點為(5,0),一條漸近線方程為3x-4y=0,求雙曲線的標準方程和離心率.

學情分析

知識結構：在本節(jié)課之前學生已經(jīng)學習了橢圓的幾何性質，雙

曲線的標準方程，在此基礎之上，雙曲線的幾何性質是通過類比橢圓

的幾何性質而獲得的幾何性質，在推導性質的過程中，利用類比的思

想進一步探索雙曲線的幾何性質，本節(jié)課的重點要求學生掌握雙曲線

的幾何性質及初步運用，難點是雙曲線的漸進線的推導，漸近線及離

心率的應用，但是通過師生、生生的合作交流，就能解決所有的疑難

問題，從而激發(fā)學生的求知欲，培養(yǎng)探索精神。

心理特征：學生為高二年級的的學生，學生基礎普遍比較好，

形成了是非觀，具備了分辨是非的能力及語言表達能力。能夠通過討

論、合作交流、辯論得到正確的知識。但在處理問題時學生很容易“想

當然”用事，考慮問題不深入，往往會造成錯誤的結果。

效果分析

學生能夠在教師設計問題的引領下，學生通過觀察、分析、探究

式自主學習，通過類比橢圓的幾何性質來獲取得到雙曲線的幾何性質,

同時利用焦點在X軸上雙曲線的幾何性質通過類比得到焦點在y軸上

雙曲線的幾何性質，通過設置問題，引領學生一步一步獲得漸近線的

方程，通過教師的提示，學生的講解，學生的合作交流，解決了疑難

問題，從中讓學生體驗到探索的樂趣，增強了學習數(shù)學的興趣。通過

例題、變式訓練，鞏固了雙曲線幾何性質的應用，，進一步體驗學生

計算能力，發(fā)揮了學生的能動性，增強動腦的能力。

同時在課堂教學中，學生在推導雙曲線的漸近線時'，通過展臺展

示學生邏輯思維能力及表達能力，體現(xiàn)了多媒體在現(xiàn)代教學中的應用,

展現(xiàn)了現(xiàn)代高中生應具備的素質，體現(xiàn)了學生在課堂中的主體地位。

在講解完例題后，相應的變式訓練，學生掌握的還不錯，學生對

當堂檢測掌握的不錯，達到了我預期的效果。

教材分析

雙曲線的幾何性質是人教B版《數(shù)學》選修2-1第二章的內容。

在學習本節(jié)課之前學生已經(jīng)學習了橢圓的標準方程及橢圓的幾何性

質及雙曲線的標準方程，在此基礎上有了一定的感性和理性的認識,

在推導雙曲線的幾何性質，類比橢圓的幾何性質，這樣對理解雙曲線

的幾何性質又進一步奠定了基礎，加深了學生對雙曲線幾何性質的的

深刻理解，因此，學生有了一定的知識儲備。

雙曲線的幾何性質高中數(shù)學中圓錐曲線的重要的一個知識點，

本節(jié)內容是在學習了曲線與方程、橢圓及其標準方程和幾何性質、雙

曲線及其標準方程的基礎上，進一步通過橢圓的幾何性質來推導研究

雙曲線的幾何性質。（可以類比橢圓的幾何性質得到雙曲線的幾何性

質。）通過本節(jié)課的學習，使學生深刻理解雙曲線的幾何性質，體驗

數(shù)學中的類比、聯(lián)想、數(shù)形結合、轉化等思想方法。雙曲線的幾何性

質是圓錐曲線這一章的基本的工具，對進一步解決圓錐曲線的應用奠

定了堅實的基礎。

知識的形成，是一個循序漸進的過程，不能一蹴而就。因此設

計課程時，是在學習橢圓的幾何性質，雙曲線的標準方程的定已有的

認知基礎上，我采用以類比的方法，讓學生進一步探究雙曲線的幾何

性質，同樣通過類比焦點在X軸雙曲線的幾何性質，進而啟發(fā)、引導

學生探究，進一步獲取焦點在y軸雙曲線的幾何性質，然后，通過設

置階梯型問題讓學生合作探究推導雙曲線的漸近線方程，進而培養(yǎng)學

生的求知欲，觀察分析能力。

評測練習

22

1.求雙曲線匕-—=1的漸近線方程.

925

2.求焦點在x軸上，實軸長為6,焦距為10的雙曲線的標準方程.

3.已知雙曲線的一個焦點為（5,0）,一條漸進線的方程為3x-4y=0,求雙曲線的標準方程和離心率

答案：

3

1.漸近線方程為尸土(x.

22

2.雙曲線的標準方程為二-二=1.

916

Y~5

3.雙曲線的標準方程為L-L=1；離心率為3.

1694

課后反思

本節(jié)課是人教B版的選修2-1第二章圓錐曲線與方程第三部分第

二節(jié)節(jié)，主要闡述了雙曲線的幾何性質的應用，我根據(jù)新課程標準對

本節(jié)課的要求和學生的實際情況，制定出本節(jié)課的教學目標和重點難

點。教會學生利用已有的橢圓的幾何性質知識，利用類比思想獲取雙

曲線的幾何性質，并且運用運用幾何性質解決一些簡單的問題，從而

培養(yǎng)了學生觀察、類比、分析能力。

我設計的學習程序是：溫故-一新的學習對象與舊知識的聯(lián)系--

觀察分析、類比探究解決問題應用成果歸納總結—進

一步的發(fā)散思考--探索提高。

在學完橢圓的幾何性質之后，我始終抓住類比思想、橢圓的幾何

性質這個主線，讓學生在鞏固原有的知識的基礎上，通過類比，由學

生自己來對新知識進行分析、探究、猜想，讓學生在學習新知識上,

有的放矢。從而讓學生體會“類比”的學習方法。

我認為，有效教學要促使學生明確學習目標及意義。就整個

數(shù)學學科學習的目標和意義而言，這顯然不是一節(jié)課或短時期能夠實

現(xiàn)的，它需要一個長期過程，比如，學習數(shù)學不僅僅是獲得數(shù)學的概

念和結論，也不是用這些結論學會解考試題，從大的角度來講，是學

會學習，從數(shù)學學科來講，除了獲取必要數(shù)學知識，還要感悟數(shù)學的

思考方式，掌握數(shù)學思想方法，培養(yǎng)說理、批判、質疑、求真求實的

理性思維和理性精神。但是就一節(jié)課的學習目標而言，在學生學習活

動之前應該是讓學生明確的，就學習意義而言，需要經(jīng)歷學習活動之

后才能有所認識。本節(jié)課的學習目標“類比橢圓幾何性質的研究過程

和方法，由雙曲線方程研究其幾何性質”，是通過課前的預習探究作

業(yè)讓學生明確的，在課堂活動之前教師又再次明示給學生的。

有效教學要在學生已有認知基礎上，尋找學生最近發(fā)展區(qū)促進學

生更深層面上思維和理解。本節(jié)課學習活動是以學生對橢圓幾何性質

的認知基礎上進行的，如果從認知的思想和方法來講，并不僅限于此,

實際上，對代數(shù)特征與幾何特征之間的聯(lián)系的認知，從函數(shù)的學習就

已經(jīng)在逐步建立，函數(shù)的單調性、奇偶性、周期性的刻畫，都是從函

數(shù)解析式具有的代數(shù)特征來描述的，還有函數(shù)圖象變換與解析式中變

化的聯(lián)系的研究等，這些構成了解析幾何學習的認知基礎，這種認知

在解析幾何初步和橢圓幾何性質的研究過程中得到了進一步的提升

和強化。正是有了這樣一個認知基礎，才使得本課中學生類比橢圓幾

何性質的研究，自主探究獲得雙曲線的范圍和對稱性等幾何性質，具

備了實現(xiàn)的可能性。盡管如此，學生的這種認知還處于較低層面上,

這既造成了本課發(fā)現(xiàn)雙曲線的漸近線的障礙，同時也為進一步提升該

認知水平提供了很好的學習素材，教師通過精心設計、啟發(fā)誘思，引

導學生有效突破了難點。從學生的課后探究作業(yè)看，大多數(shù)同學獲得

了認知的提升。

在推導雙曲線的漸進線時，設置以下問題：

問題一：觀察下面的圖象，雙曲線的右支隨著X的增大，圖象有何變

化？

問題二：觀察雙曲線在第一象限內的圖象，求出其函數(shù)解析式？

問題三：觀察函數(shù)y=24r二7與y=在第一象限的圖象，之間有

aa

什么關系？為什么？

通過以上分析，你的結論是.

通過問題的遞進設置，讓學生充分理解雙曲線的漸近線，然后通過

師生合作、探究得到雙曲線在第一象限內的圖像無限趨向于直線

b

y=-x：

a

在講解應用三時，教師規(guī)范學生的解題步驟，同時展示學生的解

答情況，指出學生的計算錯誤，要求學生仔細解題，規(guī)范答題，為以

后高考步驟的書寫奠定良好的基礎，，努力營造一個寬松、和諧、生

動的學生氣氛，以更好地提高教育教學的質量，達到師生共同學習，

共同進步的目的。有一點不足就是給學生獨立思考的時間不足，個別

細節(jié)處理的不夠完美。這就是我對本節(jié)課講法的一些認識，不足之處

請各位老師批評指正。

總之，教師時刻以培養(yǎng)學生的思維為出發(fā)點的教學，才是真正的

數(shù)學教學，才能承載中學數(shù)學課堂的使命一一培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和

數(shù)學素養(yǎng).

課標分析

在《數(shù)學課程標準解讀》中，指出“有效的教學是引導學生的學

習，激發(fā)學生自己去學，幫助學生通過自己的思考建立起自己對數(shù)學

的理解力，幫助學生建構和發(fā)展認知結構，使學生學會該如何學習，

不僅要為當前的學習，而且要為今后的終身學習和終身發(fā)展奠定良好

的基礎。”顯然課標中的有效教學的“效”突出強調了