2025屆新教材高中數(shù)學(xué)第3章圓錐曲線的方程3.3拋物線3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第2課時直線與拋物線的位置關(guān)系題型探究新人教A屆選擇性必修第一冊

3.3拋物線3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)第2課時直線與拋物線的位置關(guān)系題型探究題型一和拋物線有關(guān)的軌跡問題1．設(shè)點P(x，y)(y≥0)為平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的一個動點(其中O為坐標(biāo)原點)，點P到定點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))的距離比點P到x軸的距離大eq\f(1,2).(1)求點P的軌跡方程；(2)若直線l：y＝kx＋1與點P的軌跡相交于A，B兩點，且|AB|＝2eq\r(6)，求實數(shù)k的值．[解析](1)方法一：(直接法)過點P作x軸的垂線且垂足為點N，則|PN|＝y(tǒng)，由題意知|PM|－|PN|＝eq\f(1,2)，∴eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2)＝y(tǒng)＋eq\f(1,2)，化簡得x2＝2y.故點P的軌跡方程為x2＝2y.方法二：(定義法)由題意知，點P到定點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))與直線y＝－eq\f(1,2)的距離相等，則點P的軌跡是以點M為焦點，以直線y＝－eq\f(1,2)為準(zhǔn)線的拋物線，且p＝1.∴點P的軌跡方程為x2＝2y.(2)由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝2y，))消去y化簡得x2－2kx－2＝0，∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.∵|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2))2－4x1x2)＝eq\r(1＋k2)·eq\r(4k2＋8)＝2eq\r(6)，∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.[規(guī)律方法]求軌跡問題的兩種方法(1)直接法：按照動點適合條件直接代入求方程．(2)定義法：若動點滿足某種曲線定義，可按待定系數(shù)法列方程(組)求解曲線方程．對點訓(xùn)練?若動圓M與圓C：(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，求動圓圓心的軌跡方程．[解析]設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，由已知可得定圓圓心為C(2,0)，半徑r＝1.因為兩圓外切，所以|MC|＝R＋1.又動圓M與已知直線x＋1＝0相切，所以圓心M到直線x＋1＝0的距離d＝R.所以|MC|＝d＋1.即動點M到定點C(2,0)的距離等于它到定直線x＋2＝0的距離．由拋物線的定義可知，點M的軌跡是以C為焦點，x＋2＝0為準(zhǔn)線的拋物線，且eq\f(p,2)＝2，p＝4，故其方程為y2＝8x.題型二中點弦問題2．過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點Q所平分，求AB所在直線的方程．[解析]方法一：(點差法)設(shè)以Q為中點的弦AB的端點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有yeq\o\al(2,1)＝8x1，yeq\o\al(2,2)＝8x2，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝4，∴kAB＝4.∴AB所在直線的方程為y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.方法二：(傳統(tǒng)法)由題意知AB所在直線斜率存在，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直線的方程為y＝k(x－4)＋1.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝kx－4＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，此方程的兩根就是線段端點A，B兩點的縱坐標(biāo)．由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝eq\f(8,k).又y1＋y2＝2，∴k＝4.∴AB所在直線的方程為4x－y－15＝0.[規(guī)律方法]涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系運用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法．注意：涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解．對點訓(xùn)練?已知A、B為拋物線E上不同的兩點，若拋物線E的焦點為(1,0)，線段AB恰被M(2,1)所平分．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求直線AB的方程．[解析](1)由于拋物線的焦點為(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，p＝2，所求拋物線方程為y2＝4x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝4x1①，yeq\o\al(2,2)＝4x2②，且x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，由②－①得(y1＋y2)(y2－y1)＝4(x2－x1)，所以eq\f(y2－y1,x2－x1)＝2，所以所求直線AB的方程為y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.題型三拋物線性質(zhì)的綜合應(yīng)用3．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F(1,0)，O為坐標(biāo)原點，A，B是拋物線C上異于O的兩點．(1)求拋物線C的方程；(2)若直線OA，OB的斜率之積為－eq\f(1,2)，求證：直線AB過定點．[解析](1)因為拋物線y2＝2px(p>0)的焦點坐標(biāo)為(1,0)，所以eq\f(p,2)＝1，所以p＝2.所以拋物線C的方程為y2＝4x.(2)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)，t))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t2,4)，－t))，因為直線OA，OB的斜率之積為－eq\f(1,2)，所以eq\f(t,\f(t2,4))·eq\f(－t,\f(t2,4))＝－eq\f(1,2)，化簡得t2＝32.所以A(8，t)，B(8，－t)，此時直線AB的方程為x＝8.②當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)其方程為y＝kx＋b(k≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝kx＋b，))化簡得ky2－4y＋4b＝0.根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得yAyB＝eq\f(4b,k)，因為直線OA，OB的斜率之積為－eq\f(1,2)，所以eq\f(yA,xA)·eq\f(yB,xB)＝－eq\f(1,2)，即xAxB＋2yAyB＝0，即eq\f(y\o\al(2,A),4)·eq\f(y\o\al(2,B),4)＋2yAyB＝0，解得yAyB＝0(舍去)或yAyB＝－32，所以yAyB＝eq\f(4b,k)＝－32，即b＝－8k，所以y＝kx－8k，即y＝k(x－8)，綜上所述，直線AB過x軸上一定點(8,0)．[規(guī)律方法]1.在直線和拋物線的綜合題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點問題．解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等．解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化．2．圓錐曲線中的定點、定值問題，常選擇一參數(shù)來表示要研究問題中的幾何量，通過運算找到定點、定值，說明與參數(shù)無關(guān)，也常用特值探路法找定點、定值．對點訓(xùn)練?已知動圓經(jīng)過定點D(1,0)，且與直線x＝－1相切，設(shè)動圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程；(2)設(shè)過點P(1,2)的直線l1，l2分別與曲線C交于A，B兩點，直線l1，l2的斜率存在，且傾斜角互補．證明：直線AB的斜率為定值．[解析](1)∵動圓經(jīng)過定點D(1,0)，且與直線x＝－1相切，∴E到點D(1,0)的距離等于E到直線x＝－1的距離，∴E的軌跡是以D(1,0)為焦點，以直線x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線．∴曲線C的方程為y2＝4x.(2)證明：設(shè)直線l1的方程為y＝k(x－1)＋2.∵直線l1，l2的斜率存在，且傾斜角互補，∴l(xiāng)2的方程為y＝－k(x－1)＋2.聯(lián)立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1＋2，,y2＝4x，))消元得k2x2－(2k2－4k＋4)x＋(k－2)2＝0.設(shè)A(x1，y1)，則x1＝eq\f(k－22,k2)＝eq\f(k2－4k＋4,k2).同理，設(shè)B(x2，y2)，可得x2＝eq\f(k2＋4k＋4,