2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)講義第十二章12.4　二項(xiàng)分布與正態(tài)分布(學(xué)生版+解析)

§12.4二項(xiàng)分布與正態(tài)分布考試要求1.了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨(dú)立的概念.2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡單問題.3.借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．知識梳理1．條件概率及其性質(zhì)(1)一般地，設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝________________為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分別表示事件A和事件AB所包含的基本事件的個數(shù)，則P(B|A)＝________________.(2)條件概率具有的性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1.②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝______________________.2．相互獨(dú)立事件(1)設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)·P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝______.(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)?________________________________.3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝________________________________________，此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為________________________，并稱p為成功概率．4．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝________，D(X)＝________________.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝________，D(X)＝________________.5．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R)．我們稱函數(shù)φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交．②曲線是單峰的，它關(guān)于直線________對稱．③曲線在________處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).④曲線與x軸之間的面積為________．⑤當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示．⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ______，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ________，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．(3)正態(tài)分布的定義及表示一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作________．正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時的特殊情形．()(2)若X表示n次獨(dú)立重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布．()(3)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．()(4)當(dāng)μ取定值時，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”．()教材改編題1．在8件同一型號的產(chǎn)品中，有3件次品，5件合格品，現(xiàn)不放回地從中依次抽取2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是()A.eq\f(1,28)B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,9)D.eq\f(2,7)2．如果某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為eq\f(2,3)，那么播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率是()A.eq\f(80,243)B.eq\f(80,81)C.eq\f(163,243)D.eq\f(163,729)3．某班有48名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(80,102)，則理論上在80分到90分的人數(shù)約是()A．32B．16C．8D．20題型一條件概率例1(1)(2022·哈爾濱模擬)七巧板是中國民間流傳的智力玩具．據(jù)清代陸以湉《冷廬雜識》記載，七巧板是由宋代黃伯思設(shè)計(jì)的宴幾圖演變而來的，原為文人的一種室內(nèi)游戲，后在民間逐步演變?yōu)槠磮D版玩具．到明代，七巧板已基本定型為由如圖所示的七塊板組成：五塊等腰直角三角形(其中兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形，可以拼成人物、動物、植物、房亭、樓閣等1600種以上圖案．現(xiàn)從七巧板中取出兩塊，已知取出的是三角形，則兩塊板恰好是全等三角形的概率為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,7) D.eq\f(1,5)聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)逢年過節(jié)走親訪友，成年人喝酒是經(jīng)常的事，但是飲酒過度會影響健康，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了針對性的調(diào)查研究．據(jù)統(tǒng)計(jì)，一次性飲酒4.8兩，誘發(fā)某種疾病的頻率為0.04，一次性飲酒7.2兩，誘發(fā)這種疾病的頻率為0.16.將頻率視為概率，已知某人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，則他還能繼續(xù)飲酒2.4兩，不誘發(fā)這種疾病的概率為()A.eq\f(7,8) B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,4) D.eq\f(20,21)聽課記錄：_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華求條件概率的常用方法(1)定義法：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).(2)基本事件法：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023·六盤山模擬)已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回．在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)(2)某射擊運(yùn)動員每次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(4,5)，現(xiàn)連續(xù)射擊兩次．①已知第一次擊中，則第二次擊中的概率是______；②在僅擊中一次的條件下，第二次擊中的概率是________．題型二相互獨(dú)立事件與二項(xiàng)分布命題點(diǎn)1相互獨(dú)立事件例2(1)(2021·新高考全國Ⅰ)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立(2)參加某科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯或不答均得零分．假設(shè)同學(xué)甲答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.6,0.5，且各題答對與否相互之間沒有影響，則同學(xué)甲得分不低于300分的概率是________．命題點(diǎn)2二項(xiàng)分布例3(2022·衡陽模擬)某地政府為鼓勵大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策．已知創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲成功的概率為eq\f(2,3)，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎金20萬元；創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙成功的概率為P0(0<P0<1)，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎金30萬元．項(xiàng)目沒有成功，則沒有獎勵，每個項(xiàng)目有且只有一次實(shí)施機(jī)會，兩個項(xiàng)目的實(shí)施是否成功互不影響，項(xiàng)目成功后當(dāng)?shù)卣畠冬F(xiàn)獎勵．(1)大學(xué)畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙，記他們獲得的獎金累計(jì)為X(單位：萬元)，若X≤30的概率為eq\f(7,9).求P0的大??；(2)若兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲或創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，問：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目，累計(jì)得到的獎金的均值更大？________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華二項(xiàng)分布問題的解題關(guān)鍵(1)定型：①在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同．②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的．③在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生．(2)定參：確定二項(xiàng)分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．跟蹤訓(xùn)練2某中學(xué)面向全校所有學(xué)生開展一項(xiàng)有關(guān)每天睡眠時間的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天睡眠時間少于7小時的學(xué)生占40%，而每天睡眠時間不少于8小時的學(xué)生只有30%.現(xiàn)從所有問卷中隨機(jī)抽取4份問卷進(jìn)行回訪(視頻率為概率)．(1)求抽取到的問卷中至少有2份調(diào)查結(jié)果為睡眠時間不少于7小時的概率；(2)記抽取到的問卷中調(diào)查結(jié)果為睡眠時間少于7小時的問卷份數(shù)為X，求X的分布列及均值E(X)．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三正態(tài)分布例4(1)(2023·赤峰模擬)某市有甲、乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()①甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值；②甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值；③甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性；④甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性．A．①③B．②④C．①④D．②③(2)(2022·合肥模擬)某市高三年級共有14000人參加教學(xué)質(zhì)量檢測，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績ξ近似服從正態(tài)分布N(90，σ2)(試卷滿分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，據(jù)此可以估計(jì)，這次檢測數(shù)學(xué)成績在80到90分之間的學(xué)生人數(shù)約為()A．2800B．4200C．5600D．7000思維升華解決正態(tài)分布問題的三個關(guān)鍵點(diǎn)(1)對稱軸為x＝μ.(2)標(biāo)準(zhǔn)差為σ.(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022·新高考全國Ⅱ)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________.(2)(2022·西安模擬)某中學(xué)開展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評活動，高一年級測評分值X近似服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線如圖①所示．為了調(diào)查參加測評的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與習(xí)慣差異，該中學(xué)決定在分?jǐn)?shù)段(m，n]內(nèi)抽取學(xué)生，并確定m＝67，且P(m<X≤n)＝0.8186.在某班用簡單隨機(jī)抽樣的方法得到20名學(xué)生的分值分布莖葉圖如圖②所示．若該班抽取學(xué)生分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)段(m，n]內(nèi)的人數(shù)為k，則k＝________；這k名學(xué)生的平均分為________．(附：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973)§12.4二項(xiàng)分布與正態(tài)分布考試要求1.了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨(dú)立的概念.2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡單問題.3.借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．知識梳理1．條件概率及其性質(zhì)(1)一般地，設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率．在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分別表示事件A和事件AB所包含的基本事件的個數(shù)，則P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(2)條件概率具有的性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1.②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．2．相互獨(dú)立事件(1)設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．(2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．(3)若A與B相互獨(dú)立，則A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也都相互獨(dú)立．(4)P(AB)＝P(A)P(B)?A與B相互獨(dú)立．3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)一般地，在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的．(2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為X～B(n，p)，并稱p為成功概率．4．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中實(shí)數(shù)μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R)．我們稱函數(shù)φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方，與x軸不相交．②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱．③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).④曲線與x軸之間的面積為1.⑤當(dāng)σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示．⑥當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．(3)正態(tài)分布的定義及表示一般地，如果對于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)＝，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布當(dāng)n＝1時的特殊情形．(√)(2)若X表示n次獨(dú)立重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項(xiàng)分布．(√)(3)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．(√)(4)當(dāng)μ取定值時，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”．(×)教材改編題1．在8件同一型號的產(chǎn)品中，有3件次品，5件合格品，現(xiàn)不放回地從中依次抽取2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是()A.eq\f(1,28)B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,9)D.eq\f(2,7)答案D解析當(dāng)?shù)谝淮纬榈酱纹泛?，還剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率為eq\f(2,7).2．如果某一批玉米種子中，每粒發(fā)芽的概率均為eq\f(2,3)，那么播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率是()A.eq\f(80,243)B.eq\f(80,81)C.eq\f(163,243)D.eq\f(163,729)答案A解析用X表示發(fā)芽的粒數(shù)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(2,3)))，則P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))2＝eq\f(80,243)，故播下5粒這樣的種子，恰有2粒不發(fā)芽的概率為eq\f(80,243).3．某班有48名同學(xué)，一次考試后的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(80,102)，則理論上在80分到90分的人數(shù)約是()A．32B．16C．8D．20答案B解析因?yàn)閿?shù)學(xué)成績近似地服從正態(tài)分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.6827.根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性可知，位于80分到90分之間的概率是位于70分到90分之間的概率的一半，所以理論上在80分到90分的人數(shù)是eq\f(1,2)×0.6827×48≈16.題型一條件概率例1(1)(2022·哈爾濱模擬)七巧板是中國民間流傳的智力玩具．據(jù)清代陸以湉《冷廬雜識》記載，七巧板是由宋代黃伯思設(shè)計(jì)的宴幾圖演變而來的，原為文人的一種室內(nèi)游戲，后在民間逐步演變?yōu)槠磮D版玩具．到明代，七巧板已基本定型為由如圖所示的七塊板組成：五塊等腰直角三角形(其中兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形，可以拼成人物、動物、植物、房亭、樓閣等1600種以上圖案．現(xiàn)從七巧板中取出兩塊，已知取出的是三角形，則兩塊板恰好是全等三角形的概率為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(2,7)D.eq\f(1,5)答案D解析設(shè)事件A為“從七巧板中取出兩塊，取出的是三角形”，事件B為“兩塊板恰好是全等三角形”，則P(AB)＝eq\f(2,C\o\al(2,7))＝eq\f(2,21)，P(A)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(2,21),\f(10,21))＝eq\f(1,5).(2)逢年過節(jié)走親訪友，成年人喝酒是經(jīng)常的事，但是飲酒過度會影響健康，某調(diào)查機(jī)構(gòu)進(jìn)行了針對性的調(diào)查研究．據(jù)統(tǒng)計(jì)，一次性飲酒4.8兩，誘發(fā)某種疾病的頻率為0.04，一次性飲酒7.2兩，誘發(fā)這種疾病的頻率為0.16.將頻率視為概率，已知某人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，則他還能繼續(xù)飲酒2.4兩，不誘發(fā)這種疾病的概率為()A.eq\f(7,8)B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,4)D.eq\f(20,21)答案A解析記事件A：這人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，事件B：這人一次性飲酒7.2兩未誘發(fā)這種疾病，則事件B|A：這人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，繼續(xù)飲酒2.4兩不誘發(fā)這種疾病，則B?A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(0.84,0.96)＝eq\f(7,8).思維升華求條件概率的常用方法(1)定義法：P(B|A)＝eq\f(PAB,PA).(2)基本事件法：P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2023·六盤山模擬)已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回．在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)答案C解析設(shè)事件A＝“第1次抽到代數(shù)題”，事件B＝“第2次抽到幾何題”，所以P(A)＝eq\f(3,5)，P(AB)＝eq\f(3,10)，則P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(3,10),\f(3,5))＝eq\f(1,2).(2)某射擊運(yùn)動員每次擊中目標(biāo)的概率為eq\f(4,5)，現(xiàn)連續(xù)射擊兩次．①已知第一次擊中，則第二次擊中的概率是________；②在僅擊中一次的條件下，第二次擊中的概率是________．答案①eq\f(4,5)②eq\f(1,2)解析①設(shè)第一次擊中為事件A，第二次擊中為事件B，則P(A)＝eq\f(4,5)，由題意知，第一次擊中與否對第二次沒有影響，因此已知第一次擊中，則第二次擊中的概率是eq\f(4,5).②設(shè)僅擊中一次為事件C，則僅擊中一次的概率為P(C)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(8,25)，在僅擊中一次的條件下，第二次擊中的概率是P(B|C)＝eq\f(\f(1,5)×\f(4,5),\f(8,25))＝eq\f(1,2).題型二相互獨(dú)立事件與二項(xiàng)分布命題點(diǎn)1相互獨(dú)立事件例2(1)(2021·新高考全國Ⅰ)有6個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個球．甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則()A．甲與丙相互獨(dú)立 B．甲與丁相互獨(dú)立C．乙與丙相互獨(dú)立 D．丙與丁相互獨(dú)立答案B解析事件甲發(fā)生的概率P(甲)＝eq\f(1,6)，事件乙發(fā)生的概率P(乙)＝eq\f(1,6)，事件丙發(fā)生的概率P(丙)＝eq\f(5,6×6)＝eq\f(5,36)，事件丁發(fā)生的概率P(丁)＝eq\f(6,6×6)＝eq\f(1,6).事件甲與事件丙同時發(fā)生的概率為0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A錯誤；事件甲與事件丁同時發(fā)生的概率為eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正確；事件乙與事件丙同時發(fā)生的概率為eq\f(1,6×6)＝eq\f(1,36)，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C錯誤；事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨(dú)立事件，故D錯誤．(2)參加某科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯或不答均得零分．假設(shè)同學(xué)甲答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.6,0.5，且各題答對與否相互之間沒有影響，則同學(xué)甲得分不低于300分的概率是________．答案0.46解析設(shè)“同學(xué)甲答對第i個題”為事件Ai(i＝1,2,3)，則P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.6，P(A3)＝0.5，且A1，A2，A3相互獨(dú)立，同學(xué)甲得分不低于300分對應(yīng)于事件A1A2A3∪A1eq\x\to(A)2A3∪eq\x\to(A)1A2A3的發(fā)生，故所求概率P＝P(A1A2A3∪A1eq\x\to(A)2A3∪eq\x\to(A)1A2A3)＝P(A1A2A3)＋P(A1eq\x\to(A)2A3)＋P(eq\x\to(A)1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(eq\x\to(A)2)P(A3)＋P(eq\x\to(A)1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.命題點(diǎn)2二項(xiàng)分布例3(2022·衡陽模擬)某地政府為鼓勵大學(xué)生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策．已知創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲成功的概率為eq\f(2,3)，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎金20萬元；創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙成功的概率為P0(0<P0<1)，項(xiàng)目成功后可獲得政府獎金30萬元．項(xiàng)目沒有成功，則沒有獎勵，每個項(xiàng)目有且只有一次實(shí)施機(jī)會，兩個項(xiàng)目的實(shí)施是否成功互不影響，項(xiàng)目成功后當(dāng)?shù)卣畠冬F(xiàn)獎勵．(1)大學(xué)畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙，記他們獲得的獎金累計(jì)為X(單位：萬元)，若X≤30的概率為eq\f(7,9).求P0的大??；(2)若兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲或創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，問：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目，累計(jì)得到的獎金的均值更大？解(1)由已知得，張某創(chuàng)業(yè)成功的概率為eq\f(2,3)，李某創(chuàng)業(yè)成功的概率為P0，且兩人是否創(chuàng)業(yè)成功互不影響，記“這2人累計(jì)獲得的獎金X≤30”的事件為A，則事件A的對立事件為“X＝50”，∵P(X＝50)＝eq\f(2,3)P0，∴P(A)＝1－P(X＝50)＝1－eq\f(2,3)P0＝eq\f(7,9)，解得P0＝eq\f(1,3).(2)設(shè)兩位大學(xué)畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目甲且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X1，都選擇創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目乙且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X2，則這兩人選擇項(xiàng)目甲累計(jì)獲得的獎金的均值為E(20X1)，選擇項(xiàng)目乙累計(jì)獲得的獎金的均值為E(30X2)，由已知可得，X1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))，X2～B(2，P0)，∴E(X1)＝eq\f(4,3)，E(X2)＝2P0，∴E(20X1)＝20E(X1)＝20×eq\f(4,3)＝eq\f(80,3)，E(30X2)＝30E(X2)＝60P0，若E(20X1)>E(30X2)，即eq\f(80,3)>60P0，解得0<P0<eq\f(4,9)；若E(20X1)<E(30X2)，即eq\f(80,3)<60P0，解得eq\f(4,9)<P0<1；若E(20X1)＝E(30X2)，即eq\f(80,3)＝60P0，解得P0＝eq\f(4,9).綜上所述，當(dāng)0<P0<eq\f(4,9)時，他們都選擇項(xiàng)目甲進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，累計(jì)得到的獎金的均值更大；當(dāng)eq\f(4,9)<P0<1時，他們都選擇項(xiàng)目乙進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，累計(jì)得到的獎金的均值更大；當(dāng)P0＝eq\f(4,9)時，他們選擇兩項(xiàng)目進(jìn)行創(chuàng)業(yè)，累計(jì)得到的獎金的均值相等．思維升華二項(xiàng)分布問題的解題關(guān)鍵(1)定型：①在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同．②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的．③在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生．(2)定參：確定二項(xiàng)分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗(yàn)發(fā)生的次數(shù)和試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率．跟蹤訓(xùn)練2某中學(xué)面向全校所有學(xué)生開展一項(xiàng)有關(guān)每天睡眠時間的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天睡眠時間少于7小時的學(xué)生占40%，而每天睡眠時間不少于8小時的學(xué)生只有30%.現(xiàn)從所有問卷中隨機(jī)抽取4份問卷進(jìn)行回訪(視頻率為概率)．(1)求抽取到的問卷中至少有2份調(diào)查結(jié)果為睡眠時間不少于7小時的概率；(2)記抽取到的問卷中調(diào)查結(jié)果為睡眠時間少于7小時的問卷份數(shù)為X，求X的分布列及均值E(X)．解(1)根據(jù)題意可知，每天睡眠時間少于7小時的學(xué)生的概率為eq\f(2,5)，每天睡眠時間不少于7小時的學(xué)生的概率為eq\f(3,5)，所以4份問卷中至少有2份結(jié)果為睡眠時間不少于7小時的概率為P＝1－Ceq\o\al(0,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))4－Ceq\o\al(1,4)×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3＝eq\f(513,625).(2)根據(jù)題意可知，X的所有可能取值為0,1,2,3,4，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,5)))，則P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))4＝eq\f(81,625)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(216,625)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＝eq\f(216,625)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625)，P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))4＝eq\f(16,625)，所以X的分布列為X01234Peq\f(81,625)eq\f(216,625)eq\f(216,625)eq\f(96,625)eq\f(16,625)所以E(X)＝4×eq\f(2,5)＝eq\f(8,5).題型三正態(tài)分布例4(1)(2023·赤峰模擬)某市有甲、乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是()①甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值；②甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值；③甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性；④甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性．A．①③ B．②④C．①④ D．②③答案A解析X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，結(jié)合正態(tài)曲線可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故①正確，②錯誤；甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故③正確，④錯誤．(2)(2022·合肥模擬)某市高三年級共有14000人參加教學(xué)質(zhì)量檢測，學(xué)生的數(shù)學(xué)成績ξ近似服從正態(tài)分布N(90，σ2)(試卷滿分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，據(jù)此可以估計(jì)，這次檢測數(shù)學(xué)成績在80到90分之間的學(xué)生人數(shù)約為()A．2800 B．4200C．5600 D．7000答案A解析∵ξ近似服從正態(tài)分布N(90，σ2)(試卷滿分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，∴P(ξ≤80)＝0.3，∴P(80≤ξ≤90)＝eq\f(1－0.3×2,2)＝0.2，∴估計(jì)這次檢測數(shù)學(xué)成績在80到90分之間的學(xué)生人數(shù)約為14000×0.2＝2800.思維升華解決正態(tài)分布問題的三個關(guān)鍵點(diǎn)(1)對稱軸為x＝μ.(2)標(biāo)準(zhǔn)差為σ.(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.跟蹤訓(xùn)練3(1)(2022·新高考全國Ⅱ)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________.答案0.14解析因?yàn)閄～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.(2)(2022·西安模擬)某中學(xué)開展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評活動，高一年級測評分值X近似服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線如圖①所示．為了調(diào)查參加測評的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與習(xí)慣差異，該中學(xué)決定在分?jǐn)?shù)段(m，n]內(nèi)抽取學(xué)生，并確定m＝67，且P(m<X≤n)＝0.8186.在某班用簡單隨機(jī)抽樣的方法得到20名學(xué)生的分值分布莖葉圖如圖②所示．若該班抽取學(xué)生分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)段(m，n]內(nèi)的人數(shù)為k，則k＝________；這k名學(xué)生的平均分為________．(附：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973)答案1074解析由圖①可知，μ＝72，σ＝5，∴隨機(jī)變量X～N(72,25)，∴P(67<X≤77)≈0.6827，P(62<X≤82)≈0.9545，∵P(67<X≤n)＝0.8186＝0.9545－eq\f(0.9545－0.6827,2)，∴n＝82，由圖②可知，該班在(67,82]內(nèi)抽取了10人，即k＝10，∴平均分為eq\f(68＋70＋73＋75＋72＋71＋76＋78＋76＋81,10)＝74.課時精練1．甲、乙兩人獨(dú)立地破解同一個謎題，破解出謎題的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，則謎題沒被破解出的概率為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,6)D．1答案A解析設(shè)“甲獨(dú)立地破解出謎題”為事件A，“乙獨(dú)立地破解出謎題”為事件B，則P(A)＝eq\f(1,2)，P(B)＝eq\f(2,3)，故P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,3)，所以P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，即謎題沒被破解出的概率為eq\f(1,6).2．(2023·昆明模擬)同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，設(shè)2枚硬幣均正面向上的次數(shù)為X，則X的均值為()A．1B.eq\f(3,2)C．2D.eq\f(5,2)答案A解析同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，每次兩枚硬幣均正面向上的概率p＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,4)))，X的均值為E(X)＝4×eq\f(1,4)＝1.3．(2023·西寧模擬)已知某批零件的長度X(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(100,32)，從中隨機(jī)抽取一件，其長度恰好落在區(qū)間(103,106]內(nèi)的概率約為()(附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545)A．0.0456B．0.1359C．0.2718D．0.3174答案B解析P(103<X≤106)＝P(μ＋σ<X≤μ＋2σ)≈eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359.4．下列說法不正確的是()A．設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)＝eq\f(5,16)B．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，則P(0<X<2)＝0.4C．甲、乙、丙三人均準(zhǔn)備在3個旅游景點(diǎn)中任選一處去游玩，則在至少有1個景點(diǎn)未被選擇的條件下，恰有2個景點(diǎn)未被選擇的概率是eq\f(1,9)D．E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)答案C解析對于A，若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))3＝eq\f(5,16)，故A正確；對于B，因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，所以正態(tài)曲線的對稱軸是直線x＝2.因?yàn)镻(X<4)＝0.9，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，所以P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故B正確；對于C，設(shè)事件A為至少有1個景點(diǎn)未被選擇，事件B為恰有2個景點(diǎn)未被選擇，則P(AB)＝eq\f(3,33)＝eq\f(1,9)，P(A)＝1－eq\f(A\o\al(3,3),33)＝eq\f(7,9)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,7)，故C不正確；對于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D正確．5．(2022·安慶模擬)高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形小木塊(如圖所示)，并且每一排小木塊數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個小木塊正好對準(zhǔn)上面一排兩個相鄰小木塊的正中央，從入口處放入一個直徑略小于兩個小木塊間隔的小球，當(dāng)小球從之間的間隙下落時，碰到下一排小木塊，它將以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通過間隙，又碰到下一排小木塊．如此繼續(xù)下去，小球最后落入下方條狀的格子內(nèi)，則小球落到第⑤個格子的概率是()A.eq\f(5,32)B.eq\f(5,16)C.eq\f(3,16)D.eq\f(3,32)答案A解析由題意知，小球下落過程中共碰撞小木塊5次，小球落到第⑤個格子需向左落下1次，向右落下4次，又小球向左、向右落下的概率均為eq\f(1,2)，故小球落到第⑤個格子的概率P＝Ceq\o\al(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1＝eq\f(5,32).6．將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機(jī)派往①，②，③三個村莊進(jìn)行義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則()A．事件A與B相互獨(dú)立B．事件A與C相互獨(dú)立C．P(B|A)＝eq\f(5,12)D．P(C|A)＝eq\f(5,12)答案D解析將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生派往①，②，③三個村莊進(jìn)行義診包含Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(個)基本事件，它們等可能，事件A含有的基本事件個數(shù)為Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝12，則P(A)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3)，同理P(B)＝P(C)＝eq\f(1,3)，事件AB含有的基本事件個數(shù)為Aeq\o\al(2,2)＝2，則P(AB)＝eq\f(2,36)＝eq\f(1,18)，事件AC含有的基本事件個數(shù)為Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)＝5，則P(AC)＝eq\f(5,36)，對于A，P(A)P(B)＝eq\f(1,9)≠P(AB)，即事件A與B不相互獨(dú)立，故A不正確；對于B，P(A)P(C)＝eq\f(1,9)≠P(AC)，即事件A與C不相互獨(dú)立，故B不正確；對于C，P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,6)，故C不正確；對于D，P(C|A)＝eq\f(PAC,PA)＝eq\f(5,12)，故D正確．7．(2023·泰安模擬)隨著時代發(fā)展和社會進(jìn)步，教師職業(yè)越來越受青睞，考取教師資格證成為不少人的職業(yè)規(guī)劃之一．當(dāng)前，中小學(xué)教師資格考試分筆試和面試兩部分．已知某市2022年共有10000人參加了中小學(xué)教師資格考試的筆試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100人的筆試成績(滿分100分)作為樣本，整理得到如下頻數(shù)分布表：筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)51025302010由頻數(shù)分布表可認(rèn)為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中，μ近似為100名樣本考生筆試成績的平均值(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)，則μ＝________.若σ＝12.9，據(jù)此估計(jì)該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)約為________.(結(jié)果四舍五入精確到個位)參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.答案731587解析由題意知，μ≈eq\f(45×5＋55×10＋65×25＋75×30＋85×20＋95×10,100)＝73.易知P(X>85.9)＝P(X>73＋12.9)≈eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865，故估計(jì)該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)大約為10000×0.15865≈1587.8．某醫(yī)生一周(7天)晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的條件下，他在周三晚上值班的概率為________．答案eq\f(1,6)解析設(shè)事件A為“周二晚上值班”，事件B為“周三晚上值班”，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,6),C\o\al(2,7))＝eq\f(2,7)，P(AB)＝eq\f(1,C\o\al(2,7))＝eq\f(1,21)，故P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,6).9．(2022·襄陽模擬)某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進(jìn)行試生產(chǎn)．在試產(chǎn)初期，該款芯片的生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢．已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為P1＝eq\f(1,10)，P2＝eq\f(1,9)，P3＝eq\f(1,8).(1)求該款芯片生產(chǎn)在進(jìn)入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行人工抽查檢驗(yàn)．在芯片智能自動檢測顯示合格率為90%的條件下，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率．解(1)該款芯片生產(chǎn)在進(jìn)入第四道工序前的次品率P＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,9)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,8)))＝eq\f(3,10).(2)設(shè)“該款智能自動檢測合格”為事件A，“人工抽檢合格”為事件B，則P(A)＝eq\f(9,10)，P(AB)＝1－eq\f(3,10)＝eq\f(7,10)，則工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(7,10),\f(9,10))＝eq\f(7,9).10．“雙減”政策，即有效減輕義務(wù)教育階段學(xué)生過重作業(yè)負(fù)擔(dān)和校外培訓(xùn)負(fù)擔(dān)的政策，“雙減”政策的出臺對校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的經(jīng)濟(jì)效益產(chǎn)生了嚴(yán)重影響．某大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了降低風(fēng)險，尋求發(fā)展制定科學(xué)方案，工作人員對2022年前200名報(bào)名學(xué)員的消費(fèi)金額進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，其中數(shù)據(jù)如表所示.消費(fèi)金額(千元)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)[13,15]人數(shù)305060203010(1)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導(dǎo)培訓(xùn)向音體美等興趣愛好培訓(xùn)轉(zhuǎn)移，為了深入了解當(dāng)前學(xué)生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費(fèi)金額在區(qū)間[9,11)和[11,13)內(nèi)的學(xué)員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進(jìn)行有獎問卷調(diào)查，求抽取的3人中消費(fèi)金額為[11,13)的人數(shù)的分布列和均值；(2)將頻率視為概率，假設(shè)該大型校外培訓(xùn)機(jī)構(gòu)2022年所有學(xué)員的消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ，σ2分別為前200名報(bào)名學(xué)員消費(fèi)的平均數(shù)eq\x\to(x)以及方差s2(同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值替代)．①試估計(jì)該機(jī)構(gòu)學(xué)員2022年消費(fèi)金額ε在區(qū)間[5.2,13.6)內(nèi)的概率(保留一位小數(shù))；②若從該機(jī)構(gòu)2022年所有學(xué)員中隨機(jī)抽取4人，記消費(fèi)金額在區(qū)間[5.2,13.6)內(nèi)的人數(shù)為η，求η的方差．參考數(shù)據(jù)：eq\r(2)≈1.4；若隨機(jī)變量ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.9973.解(1)由題意得，抽取的5人中消費(fèi)金額在區(qū)間[9,11)內(nèi)的人數(shù)為eq\f(2,5)×5＝2，消費(fèi)金額在區(qū)間[11,13)內(nèi)的人數(shù)為eq\f(3,5)×5＝3，設(shè)抽取的3人中消費(fèi)金額在區(qū)間[11,13)內(nèi)的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為1,2,3，所以P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，所以X的分布列為X123Peq\f(3,10)eq\f(3,5)eq\f(1,10)則E(X)＝1×eq\f(3,10)＋2×eq\f(3,5)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(9,5).(2)①由題意得，μ＝eq\x\to(x)＝4×0.15＋6×0.25＋8×0.3＋10×0.1＋12×0.15＋14×0.05＝8，σ2＝(4－8)2×0.15＋