黃昆版固體物理學(xué)課后答案解析答案

《固體物理學(xué)》習(xí)題解答黃昆原著韓汝琦改編（陳志遠(yuǎn)解答，僅供參考）第一章晶體結(jié)構(gòu)1.1、解：實(shí)驗(yàn)表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。因此，可以把這些原子或離子構(gòu)成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個(gè)單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點(diǎn)陣排列堆積起來(lái)的。它的空間利用率就是這個(gè)晶體原胞所包含的點(diǎn)的數(shù)目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率，（1）對(duì)于簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)：（見(jiàn)教材P2圖1-1）a=2r，V=，Vc=a3，n=1∴（2）對(duì)于體心立方：晶胞的體對(duì)角線(xiàn)BG=n=2,Vc=a3∴（3）對(duì)于面心立方：晶胞面對(duì)角線(xiàn)BC=n=4，Vc=a3（4）對(duì)于六角密排：a=2r晶胞面積：S=6=晶胞的體積：V=n=12=6個(gè)（5）對(duì)于金剛石結(jié)構(gòu)，晶胞的體對(duì)角線(xiàn)BG=n=8,Vc=a31.2、試證：六方密排堆積結(jié)構(gòu)中證明：在六角密堆積結(jié)構(gòu)中，第一層硬球A、B、O的中心聯(lián)線(xiàn)形成一個(gè)邊長(zhǎng)a=2r的正三角形，第二層硬球N位于球ABO所圍間隙的正上方并與這三個(gè)球相切，于是：NA=NB=NO=a=2R.即圖中NABO構(gòu)成一個(gè)正四面體?！?.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。證明：（1）面心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。所以，面心立方的倒格子是體心立方。（2）體心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）：由倒格子基矢的定義：，同理可得：即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相同。所以，體心立方的倒格子是面心立方。1.5、證明倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。證明：因?yàn)椋?，容易證明所以，倒格子矢量垂直于密勒指數(shù)為的晶面系。1.6、對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶格，證明密勒指數(shù)為的晶面系，面間距滿(mǎn)足：，其中為立方邊長(zhǎng)；并說(shuō)明面指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面，其面密度較大，容易解理。解：簡(jiǎn)單立方晶格：，由倒格子基矢的定義：，，倒格子基矢：倒格子矢量：，晶面族的面間距：面指數(shù)越簡(jiǎn)單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點(diǎn)的密度越大，單位表面的能量越小，這樣的晶面越容易解理。1.9、畫(huà)出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面與（100）面、（111）面與（110）面的交線(xiàn)的晶向。解：1、(111)面與(100)面的交線(xiàn)的AB，AB平移，A與O點(diǎn)重合，B點(diǎn)位矢：，(111)面與(100)面的交線(xiàn)的晶向，晶向指數(shù)。2、(111)面與(110)面的交線(xiàn)的AB，將AB平移，A與原點(diǎn)O重合，B點(diǎn)位矢：，(111)面與(110)面的交線(xiàn)的晶向，晶向指數(shù)。第二章固體結(jié)合2.1、兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)（）和庫(kù)侖相互作用能，設(shè)離子的總數(shù)為。＜解＞設(shè)想一個(gè)由正負(fù)兩種離子相間排列的無(wú)限長(zhǎng)的離子鍵，取任一負(fù)離子作參考離子（這樣馬德隆常數(shù)中的正負(fù)號(hào)可以這樣取，即遇正離子取正號(hào)，遇負(fù)離子取負(fù)號(hào)），用r表示相鄰離子間的距離，于是有

前邊的因子2是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€(gè)相等距離的離子，一個(gè)在參考離子左面，一個(gè)在其右面，故對(duì)一邊求和后要乘2，馬德隆常數(shù)為

當(dāng)X=1時(shí)，有2.3、若一晶體的相互作用能可以表示為試求：（1）平衡間距；（2）結(jié)合能（單個(gè)原子的）；（3）體彈性模量；（4）若取，計(jì)算及的值。解：（1）求平衡間距r0由，有：結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子（離子或分子）結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來(lái)，這個(gè)能量稱(chēng)為結(jié)合能（用w表示）（2）求結(jié)合能w（單個(gè)原子的）題中標(biāo)明單個(gè)原子是為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，說(shuō)明組成晶體的基本單元是單個(gè)原子，而非原子團(tuán)、離子基團(tuán)，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時(shí)，晶體的勢(shì)能，即Umin即：（可代入r0值，也可不代入）（3）體彈性模量由體彈性模量公式：（4）m=2，n=10，，w=4eV，求α、β①②將，代入①②（1）平衡間距r0的計(jì)算晶體內(nèi)能平衡條件，，（2）單個(gè)原子的結(jié)合能，，（3）體彈性模量晶體的體積，A為常數(shù)，N為原胞數(shù)目晶體內(nèi)能由平衡條件，得體彈性模量（4）若取，，，2.6、bcc和fccNe的結(jié)合能，用林納德—瓊斯(Lennard—Jones)勢(shì)計(jì)算Ne在bcc和fcc結(jié)構(gòu)中的結(jié)合能之比值．＜解＞2.7、對(duì)于，從氣體的測(cè)量得到Lennard—Jones參數(shù)為計(jì)算fcc結(jié)構(gòu)的的結(jié)合能[以KJ/mol單位)，每個(gè)氫分子可當(dāng)做球形來(lái)處理．結(jié)合能的實(shí)驗(yàn)值為0.751kJ／mo1，試與計(jì)算值比較．＜解＞以為基團(tuán)，組成fcc結(jié)構(gòu)的晶體，如略去動(dòng)能，分子間按Lennard—Jones勢(shì)相互作用，則晶體的總相互作用能為：因此，計(jì)算得到的晶體的結(jié)合能為2．55KJ／mol，遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)觀察值0.75lKJ／mo1．對(duì)于的晶體，量子修正是很重要的，我們計(jì)算中沒(méi)有考慮零點(diǎn)能的量子修正，這正是造成理論和實(shí)驗(yàn)值之間巨大差別的原因．第三章固格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.1、已知一維單原子鏈，其中第個(gè)格波，在第個(gè)格點(diǎn)引起的位移為，，為任意個(gè)相位因子，并已知在較高溫度下每個(gè)格波的平均能量為，具體計(jì)算每個(gè)原子的平方平均位移。＜解＞任意一個(gè)原子的位移是所有格波引起的位移的疊加，即（1）由于數(shù)目非常大為數(shù)量級(jí)，而且取正或取負(fù)幾率相等，因此上式得第2項(xiàng)與第一項(xiàng)相比是一小量，可以忽略不計(jì)。所以由于是時(shí)間的周期性函數(shù)，其長(zhǎng)時(shí)間平均等于一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間平均值為（2）已知較高溫度下的每個(gè)格波的能量為KT，的動(dòng)能時(shí)間平均值為其中L是原子鏈的長(zhǎng)度，使質(zhì)量密度，為周期。所以（3）因此將此式代入（2）式有所以每個(gè)原子的平均位移為3.2、討論N個(gè)原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N個(gè)格波解，當(dāng)=時(shí)與一維單原子鏈的結(jié)果一一對(duì)應(yīng)。解：質(zhì)量為的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……；質(zhì)量為的原子位于2n，2n+2，2n+4……。牛頓運(yùn)動(dòng)方程N(yùn)個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程設(shè)方程的解，代回方程中得到A、B有非零解，，則兩種不同的格波的色散關(guān)系一個(gè)q對(duì)應(yīng)有兩支格波：一支聲學(xué)波和一支光學(xué)波.總的格波數(shù)目為2N.當(dāng)時(shí)，兩種色散關(guān)系如圖所示：長(zhǎng)波極限情況下，，與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致.3.3、考慮一雙子鏈的晶格振動(dòng)，鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)地為和，兩種原子質(zhì)量相等，且最近鄰原子間距為。試求在處的，并粗略畫(huà)出色散關(guān)系曲線(xiàn)。此問(wèn)題模擬如這樣的雙原子分子晶體。答：（1）淺色標(biāo)記的原子位于2n-1，2n+1，2n+3……；深色標(biāo)記原子位于2n，2n+2，2n+4……。第2n個(gè)原子和第2n＋1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：體系N個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程方程的解：，令，將解代入上述方程得：A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿(mǎn)足：因?yàn)?、，令得到兩種色散關(guān)系：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，（2）色散關(guān)系圖：3.7、設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長(zhǎng)波極限有求證：;.＜解＞依據(jù)，并帶入上邊結(jié)果有3.8、有N個(gè)相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱，并論述在低溫極限比熱正比與。證明：在到間的獨(dú)立振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)于平面中半徑到間圓環(huán)的面積，且則，3.9、寫(xiě)出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為證明:量子諧振子的自由能為經(jīng)典極限意味著（溫度較高）應(yīng)用所以因此其中3.10、設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為，使用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。證明:根據(jù)量子力學(xué)零點(diǎn)能是諧振子所固有的，與溫度無(wú)關(guān)，故T=0K時(shí)振動(dòng)能就是各振動(dòng)模零點(diǎn)能之和。和代入積分有，由于一股晶體德拜溫度為~，可見(jiàn)零點(diǎn)振動(dòng)能是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比擬．3.11、一維復(fù)式格子求（1），光學(xué)波，聲學(xué)波。（2）相應(yīng)聲子能量是多少電子伏。（3）在300k時(shí)的平均聲子數(shù)。（4）與相對(duì)應(yīng)的電磁波波長(zhǎng)在什么波段。＜解＞（1），（2）（3）（4）第四章能帶理論4.1、根據(jù)狀態(tài)簡(jiǎn)并微擾結(jié)果，求出與及相應(yīng)的波函數(shù)及?，并說(shuō)明它們的特性．說(shuō)明它們都代表駐波，并比較兩個(gè)電子云分布說(shuō)明能隙的來(lái)源(假設(shè)=)。＜解＞令，，簡(jiǎn)并微擾波函數(shù)為取帶入上式，其中V(x)<0,,從上式得到B=-A,于是=取，=由教材可知，及均為駐波．在駐波狀態(tài)下，電子的平均速度為零．產(chǎn)生駐波因?yàn)殡娮硬ㄊ笗r(shí)，電子波的波長(zhǎng)，恰好滿(mǎn)足布拉格發(fā)射條件，這時(shí)電子波發(fā)生全反射，并與反射波形成駐波由于兩駐波的電子分布不同，所以對(duì)應(yīng)不同代入能量。4.2、寫(xiě)出一維近自由電子近似，第n個(gè)能帶(n=1，2，3)中，簡(jiǎn)約波數(shù)的0級(jí)波函數(shù)。＜解＞第一能帶：第二能帶：第三能帶：4.3、電子在周期場(chǎng)中的勢(shì)能．0，其中d＝4b，是常數(shù)．試畫(huà)出此勢(shì)能曲線(xiàn)，求其平均值及此晶體的第一個(gè)和第二個(gè)禁帶度．＜解＞(I)題設(shè)勢(shì)能曲線(xiàn)如下圖所示．(2)勢(shì)能的平均值：由圖可見(jiàn)，是個(gè)以為周期的周期函數(shù)，所以題設(shè)，故積分上限應(yīng)為，但由于在區(qū)間內(nèi)，故只需在區(qū)間內(nèi)積分．這時(shí)，，于是。（3），勢(shì)能在[-2b,2b]區(qū)間是個(gè)偶函數(shù)，可以展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)利用積分公式得第二個(gè)禁帶寬度代入上式再次利用積分公式有4.4、解：我們求解面心立方，同學(xué)們做體心立方。（1）如只計(jì)及最近鄰的相互作用，按照緊束縛近似的結(jié)果，晶體中S態(tài)電子的能量可表示成：在面心立方中，有12個(gè)最近鄰，若取，則這12個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是：①②③由于S態(tài)波函數(shù)是球?qū)ΨQ(chēng)的，在各個(gè)方向重疊積分相同，因此有相同的值，簡(jiǎn)單表示為J1=。又由于s態(tài)波函數(shù)為偶宇稱(chēng)，即∴在近鄰重疊積分中，波函數(shù)的貢獻(xiàn)為正∴J1＞0。于是，把近鄰格矢代入表達(dá)式得到：=+==（2）對(duì)于體心立方：有8個(gè)最近鄰，這8個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是：4.7、有一一維單原子鏈，間距為a，總長(zhǎng)度為Na。求（1）用緊束縛近似求出原子s態(tài)能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶E(k)函數(shù)。（2）求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式。（3）如果每個(gè)原子s態(tài)只有一個(gè)電子，求等于T=0K的費(fèi)米能級(jí)及處的能態(tài)密度。＜解＞(2),(3),4.8、證明一個(gè)自由簡(jiǎn)單晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個(gè)自由電子動(dòng)能比該區(qū)一邊中點(diǎn)大2倍．(b)對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單立力晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個(gè)自由電子動(dòng)能比該區(qū)面心上大多少？(c)(b)的結(jié)果對(duì)于二價(jià)金屬的電導(dǎo)率可能會(huì)產(chǎn)生什么影響7＜解＞（a）二維簡(jiǎn)單正方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子晶格基矢第一布里淵區(qū)如圖所示00所以b)簡(jiǎn)單立方晶格的晶格常數(shù)為a，倒格子基矢為第一布里淵區(qū)如圖7—2所示．所以(c)如果二價(jià)金屬具有簡(jiǎn)單立方品格結(jié)構(gòu)，布里淵區(qū)如圖7—2所示．根據(jù)自由電子理論，自由電子的能量為，F(xiàn)erM面應(yīng)為球面．由(b)可知，內(nèi)切于4點(diǎn)的內(nèi)切球的體積，于是在K空間中，內(nèi)切球內(nèi)能容納的電子數(shù)為其中二價(jià)金屬每個(gè)原子可以提供2個(gè)自由電子，內(nèi)切球內(nèi)只能裝下每原子1.047個(gè)電子，余下的0.953個(gè)電子可填入其它狀態(tài)中．如果布里淵區(qū)邊界上存在大的能量間隙，則余下的電子只能填滿(mǎn)第一區(qū)內(nèi)余下的所有狀態(tài)(包括B點(diǎn))．這樣，晶體將只有絕緣體性質(zhì)．然而由(b)可知，B點(diǎn)的能員比A點(diǎn)高很多，從能量上看，這種電子排列是不利的．事實(shí)上，對(duì)于二價(jià)金屬，布里淵區(qū)邊界上的能隙很小，對(duì)于三維晶體，可出現(xiàn)一區(qū)、二區(qū)能帶重迭．這樣，處于第一區(qū)角頂附近的高能態(tài)的電子可以“流向”第二區(qū)中的能量較低的狀態(tài)，并形成橫跨一、二區(qū)的球形Ferm面．因此，一區(qū)中有空態(tài)存在，而二區(qū)中有電子存在，從而具有導(dǎo)電功能．實(shí)際上，多數(shù)的二價(jià)金屆具有六角密堆和面心立方結(jié)構(gòu)，能帶出現(xiàn)重達(dá)，所以可以導(dǎo)電．4.10、解：設(shè)晶體中有N個(gè)Cu原子，向其中摻入x個(gè)鋅原子。則晶體中電子的總數(shù)為：(N-x)+2x=N+x由于Cu是面心立方，每一個(gè)原胞中含4個(gè)電子。因此：晶體中包含的原胞數(shù)為：其倒格子為體心立方，倒格子的邊長(zhǎng)為：，對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為：于是：布里淵區(qū)邊界到原點(diǎn)的距離為：即：當(dāng)Fermi球與第一布里淵區(qū)邊界相切時(shí)，又由：于是有：即：當(dāng)鋅原子與銅原子之比為0.56時(shí)，F(xiàn)ermi球與第一布里淵區(qū)邊界相接觸。4.12、正方晶格．設(shè)有二維正方晶格，晶體勢(shì)為用基本方程，近似求出布里淵區(qū)角處的能隙．＜解＞以表示位置矢量的單位矢量，以表示倒易矢量的單位矢量，則有，晶體勢(shì)能。這樣基本方程求布里淵區(qū)角頂，即處的能隙，可利用雙項(xiàng)平面波近似來(lái)處理。當(dāng)時(shí)依次有而其他的，，所以在雙項(xiàng)平面波近似下上式中只有=0，因?yàn)榈谖逭戮w中電子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)5.1、設(shè)有一維晶體的電子能帶可寫(xiě)成，其中為晶格常數(shù)，是電子的質(zhì)量。試求（1）能帶寬度；（2）電子在波矢k狀態(tài)的速度；（3）帶頂和帶底的電子有效質(zhì)量。解：（1）=－coska+(2cos2ka－1)]＝(coska－2)2－1當(dāng)ka＝(2n+1)時(shí),n=0,1,2…當(dāng)ka=2n時(shí),能帶寬度＝ （2）(3)當(dāng)時(shí),帶底，當(dāng)時(shí),帶頂，5.5、解：（1）電子的運(yùn)動(dòng)速度：∴加速度：由于單位時(shí)間內(nèi)能量的增加=力在單位時(shí)間內(nèi)作的功即：∴寫(xiě)成分量的形式：其中：（i,j=1,2,3）由題知：容易得出：同理：同理：故運(yùn)動(dòng)方程為：（2）當(dāng)存在磁場(chǎng)作用時(shí)，電子將受到洛侖茲力作用當(dāng)相對(duì)于橢球主軸的方向余弦為時(shí)，電子的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成：∴電子的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成：∴其中：由于電子在磁場(chǎng)作用下作周期性運(yùn)動(dòng)，故可設(shè)試探解：代入上述方程組可得：即有非零解的條件是即：=e2B2∴2=即：其中：證畢第六章金屬電子論第七章半導(dǎo)體電子論7.1、InSb電子有效質(zhì)量，介電常數(shù)，晶格常數(shù)。試計(jì)算；(1)施主的電離能；(2)基態(tài)軌道的半徑；(3)施主均勻分布，相鄰雜質(zhì)原于的軌道之間將產(chǎn)生交疊時(shí)摻有的施主濃度應(yīng)該高于多少？＜解＞（1）由于施主電離能是氫原子電離能的（2），（3），如果施主的電子與類(lèi)氫基態(tài)軌道發(fā)生重疊，則均勻分布于中施主雜質(zhì)濃度就一定滿(mǎn)足第十二章晶體中的缺陷和擴(kuò)散例1．假設(shè)把一個(gè)鈉原子從鈉晶體內(nèi)部移到邊界上所需要的能量為1ev(1)，試計(jì)算室溫（300k）時(shí)，sckottky空位的濃度？（已知：=0.97克/原米3，原子量為23）解：（1）設(shè)N為單位體積內(nèi)的Na原子數(shù)，則在溫度T時(shí)，schottky定位的濃度n可寫(xiě)成：由題知：u=1ev=1.602×10-19J=0.97克/厘米3每cm3含Na的mol數(shù)為：每cm3Na中所含的原子數(shù)為：N=于是：例2.如果u代表形成一個(gè)Frenkel缺陷所需的能量，證明在溫度T時(shí)，達(dá)到熱平衡的晶體中，F(xiàn)renkel缺陷的數(shù)目為：解：達(dá)到熱平衡時(shí)，在N個(gè)原子的晶體中形成n個(gè)空位的可能方式數(shù)為：這n個(gè)原子排列在N＇個(gè)間隙位置上的可能方式數(shù)為：這樣，從N個(gè)原子中取出n個(gè)原子并把它們排n＇個(gè)間隙位置上的總方式數(shù)為：==由此引起的熵的增量為：利用斯特令公式:luN!=NlnN-N得系統(tǒng)的自由能改變：U為形成一個(gè)Frenkel缺陷所需的能量。由熱平衡條件：即：證畢例3．鐵一碳合金是面心立方結(jié)構(gòu)，晶體常數(shù)為3.61，設(shè)碳占的比重為1.7%試計(jì)算當(dāng)碳是填隙式或替代式滲入時(shí)，合金的密度各等于多少？解：C的mol質(zhì)量：12g，C：含量為：1.7%Fe的mol質(zhì)量：55.85g,F