新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6.2第1課時直線與平面垂直的判定定理課件

8.6.2

直線與平面垂直第1課時

直線與平面垂直的判定定理課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.理解及掌握直線與平面互相垂直的定義.2.掌握直線與平面垂直的判定定理,并能運用定理進(jìn)行合理邏輯推理.3.理解及掌握點到平面的距離、直線與平面所成角的概念.4.在直觀感知直線與平面互相垂直、直線與平面所成角過程中,應(yīng)學(xué)會歸納與總結(jié).自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習(xí)

自主預(yù)習(xí)·新知導(dǎo)學(xué)一、直線與平面互相垂直的定義【問題思考】1.過平面上一點,是否有無數(shù)條直線垂直于平面呢?提示:不是,有且只有一條.2.填空:(1)一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作

l⊥α.直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時,它們唯一的公共點P叫做垂足.(2)如圖,畫直線l與平面α垂直時,通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直.(3)任意a?α,都有l(wèi)⊥a?l⊥α.(4)過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條.過一點作垂直于已知平面的直線,則該點與垂足間的線段,叫做這個點到該平面的垂線段,垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離.3.做一做:已知直線l⊥平面α,直線m?α,則l與m不可能(

)A.平行 B.相交

C.異面 D.垂直答案:A二、直線與平面垂直的判定定理【問題思考】1.魯班是我國古代一位出色的發(fā)明家,他在做木匠活時,常常遇到有關(guān)直角的問題.雖然他手頭有畫直角的矩,但用起來很費事.于是,魯班對矩進(jìn)行改進(jìn),做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.現(xiàn)在木工要檢查一根木棒是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)檢查兩次,如上圖.如果兩次檢查時,曲尺的兩邊都分別與木棒和板面密合,便可以判定木棒與板面垂直.用“L”形木尺檢查一次能判定木棒與板面垂直嗎?提示:不能.2.填空:3.做一做:一條直線垂直于一個平面內(nèi)的下列各種情況,不能保證該直線與平面垂直的是

(填序號).

①平行四邊形的兩條對角線;②梯形的兩條邊;③圓的兩條直徑;④正六邊形的兩條邊.答案:②④三、直線與平面所成的角【問題思考】1.類比用異面直線所成角刻畫異面直線不同的傾斜程度,能用角來表示直線與平面相交時不同的傾斜程度嗎?提示:能.2.填空:(1)一條直線l與一個平面α相交,但不與這個平面垂直,這條直線叫做這個平面的斜線,斜線和平面的交點A叫做斜足.過斜線上斜足以外的一點P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個平面所成的角.

如圖,∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角.(2)當(dāng)直線AP與平面垂直時,我們說它們所成的角是

90°.(3)當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時,我們說它們所成的角是0°.(4)直線與平面所成的角θ的取值范圍是:0°≤θ≤90°.3.做一做:(1)若AB是平面α的斜線段,其長為a,它在平面α內(nèi)的射影A'B的長為b,則垂線A'A的長為

.

(2)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,則直線PB與平面ABC所成的角為

.

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則直線與平面垂直.(

×

)(2)如果一條直線與一個平面內(nèi)的某一條直線不垂直,那么這條直線一定不與這個平面垂直.(

√

)(3)若直線與平面所成的角為0°,則直線與平面平行.(

×

)(4)如果一條直線與一個平面不垂直,那么這條直線一定不與這個平面內(nèi)任何一條直線垂直.(

×

)

合作探究·釋疑解惑探究一探究二探究三探究一

直線與平面垂直的定義【例1】

下列命題中正確的個數(shù)是(

)①若直線l與平面α內(nèi)的兩條平行的直線垂直,則l⊥α;②若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直,則l⊥α;③若直線l不垂直于α,則α內(nèi)沒有與l垂直的直線;④若直線l不垂直于α,則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直.A.0 解析:當(dāng)l與α內(nèi)的兩條平行的直線垂直時,l與α不一定垂直,故①不對;當(dāng)l與α內(nèi)的兩條直線垂直時,不能保證l與α垂直,故②不對;當(dāng)l與α不垂直時,l可能與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,故③不對;④正確.故選B.答案:B直線與平面垂直的定義的理解(1)直線與平面垂直的定義具有兩重性,既是判定又是性質(zhì);(2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線;(3)直線與平面內(nèi)任意直線都垂直,不是有限條,也不是無數(shù)條;(4)與平面不垂直,也可能與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直.【變式訓(xùn)練1】

若直線a⊥平面α,b∥α,則a與b的關(guān)系為(

)A.a⊥b,且a與b相交 B.a⊥b,且a與b不相交C.a⊥b

D.a與b不一定垂直解析:空間想象,a,b有相交垂直和異面垂直兩種情況.答案:C探究二

直線與平面垂直的判定定理【例2】

如圖,直角三角形ABC所在平面外有一點S,且SA=SB=SC,點D為斜邊AC的中點.求證:SD⊥平面ABC.證明:因為SA=SC,D為AC的中點,所以SD⊥AC.在Rt△ABC中,有AD=DC=BD,已知SA=SB,SD=SD,所以△ADS≌△BDS.所以∠BDS=∠ADS=90°,即SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC,BD?平面ABC,所以SD⊥平面ABC.若本例中添加條件“AB=BC”,此時BD⊥平面SAC又如何證明?證明:因為AB=BC,D為AC的中點,所以BD⊥AC.又由上題可知SD⊥BD,于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線,所以BD⊥平面SAC.應(yīng)用線面垂直的判定定理注意事項(1)要判定一條直線和一個平面是否垂直,取決于在這個平面內(nèi)能否找到兩條相交直線和已知直線垂直,至于這兩條相交直線是否和已知直線有公共點,這是無關(guān)緊要的.(2)判定定理在應(yīng)用時,切實要抓住“相交”二字,它把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直.即“l(fā)⊥a,l⊥b,a?α,b?α,a∩b=A?l⊥α”.探究三

直線與平面所成的角【例3】

如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中點.求直線BE與平面ABB1A1所成的角的正弦值.解:取AA1的中點M,連接EM,BM,因為E是DD1的中點,四邊形ADD1A1為正方形,所以EM∥AD.又在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1,所以EM⊥平面ABB1A1,從而BM為直線BE在平面ABB1A1上的射影,∠EBM即為直線BE與平面ABB1A1所成的角.求斜線與平面所成角的步驟(1)作圖:作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影,作射影要過斜線上斜足以外的一點作平面的垂線,再過垂足和斜足作直線,注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān),才能便于計算;(2)證明:證明某平面角就是斜線與平面所成的角;(3)計算:通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.【變式訓(xùn)練2】

在正方體ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角.解:(1)∵直線A1A⊥平面ABCD,∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角,(2)連接A1C1交B1D1于點O,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1?平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.又BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足為O.∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角.∴∠A1BO=30°.即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.易

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析運用直線與平面垂直的判定定理解題時表達(dá)不嚴(yán)密【典例】

如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是BB1的中點,O是底面正方形ABCD的中心,求證:OE⊥平面ACD1.錯解:證明:如圖,連接AE,CE,D1O,D1E,D1B1.設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,易證AE=CE.因為AO=OC,所以O(shè)E⊥AC.在正方體中易求出:以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:易漏掉D1O∩AC=O,D1O?平面ACD1和AC?平面ACD1的條件,而直接證明出線面垂直,定理運用不嚴(yán)密,易失分.正解:在“所以O(shè)E⊥平面ACD1.”前面增加“因為D1O∩AC=O,D1O?平面ACD1,AC?平面ACD1”,其余不變.判定定理的條件中,“平面內(nèi)兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語,此處強調(diào)相交,若兩條直線不相交(即平行),即使直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線也不能判斷直線與平面垂直.【變式訓(xùn)練】

如圖,已知PA⊥BC,AB是☉O的直徑,C是☉O上不同于點A,B的任意一點,過點A作AE⊥PC于點E.求證:AE⊥平面PBC.證明:因為AB是☉O的直徑,所以BC⊥AC.因為PA⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.因為AE?平面PAC,所以BC⊥AE.因為PC⊥AE,且PC∩BC=C,所以AE⊥平面PBC.隨

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習(xí)1.下面條件中,能判定直線l⊥α的是(

)A.l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直B.l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直C.l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直D.l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直答案:D2.若a,b是兩條異面直線,則下列說法錯誤的是(

)A.過直線a可以作一個平面并且只可以作一個平面α與直線b平行B.過直線a至多可以作一個平面α與直線b垂直C.存在唯一一個平面α與直線a,b等距D.可能存在平面α與直線a,b都垂直解析:a,b是兩條異面直線,把直線b平移,與直線a相交,確定一個平面,因此經(jīng)過直線a只能作出一個平面平行于直線b,故A正確;只有a,b垂直時才能作出一個平面α與直線b垂直,否則過直線a不可能作出一個平面α與直線b垂直,故B正確;C顯然正確;若存在平面α與直線a,b都垂直,則可得出a∥b,與a,b