高中數(shù)學人教A版 習題 必修二 章末綜合測評2 含答案

章末綜合測評（二）點、直線、平面之間的位

置關系

（時間120分鐘，滿分150分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題

給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）

1.若a,。是異面直線，直線da,則c與b的位置關系是（）

A.相交B.異面

C.平行D.異面或相交

【解析】根據(jù)空間兩條直線的位置關系和公理4可知c與6異

面或相交，但不可能平行.

【答案】D

2.下列說法不正確的是（）

A.空間中，一組對邊平行且相等的四邊形一定是平行四邊形

B.同一平面的兩條垂線一定共面

C.過直線上一點可以作無數(shù)條直線與這條直線垂直，且這些直線

都在同一個平面內

D.過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直

【解析】A、B、C顯然正確.易知過一條直線有無數(shù)個平面與

已知平面垂直.選D.

【答案】D

3.（2015?太原高二檢測％M4是空間三條不同的直線，則下列

命題正確的是（）

A.ZL_L〃,b工hnh\\h

B./L_L〃,h.IIk=>AJ-A

C.All^11A,h.,6共面

D.￡S分共點=4,b,占共面

【解析】對于A,通過常見的圖形正方體判斷,從同一個頂點出

發(fā)的三條棱兩兩垂直，故A錯；對于B,因為4_!_6,所以A,分所成

的角是90。，又因為,所以A,4所成的角是90。，所以/i±/3,

故B對；對于C,例如三棱柱中的三側棱平行，但不共面，故C錯；

對于D，例如三棱錐的三側棱共點，但不共面，故D錯.故選B.

【答案】B

4.設a、b為兩條直線，文/3為兩個平面，則正確的命題是（）

【導學號：09960089]

A.若a、b與a所成的角相等，則ailb

B.若alla,b\\p,a\\p,則a\\b

C.若aua,b^/3,a\\b,則aw0

D.若a_La,bA-P,a_l_夕，則a_Lb

【解析】A中，a、b可以平行、相交或異面；B中，義?？梢?/p>

平行或異面；C中，a￡可以平行或相交.

【答案】D

5.（2016?山西山大附中高二檢測）如圖1,在正方體

Z8S4員G2中，EF、G、〃分別為/Uh、AB.BB\、&G的中

點，則異面直線EF與G”所成的角等于（）

圖1

A.45°B.60°

C.90°D,120°

【解析】如圖，連接BQ、4G,則48=8G=4G,

且EG48、GH\\BG,

所以異面直線EF與G〃所成的角等于60°.

【答案】B

6.設/為直線,a邛是兩個不同的平面.下列命題中正確的是

）

A.若/Ila,力1夕,則all0

B.若/_La,/_!_/?,則all夕

C.若/_La,/IIq,則all￡

D.若al.￡,/iia,則/_1_￡

【解析】選項A,平行于同一條直線的兩個平面也可能相交，故

選項A錯誤；選項B,垂直于同一直線的兩個平面互相平行，選項B

正確；選項C,由條件應得a邛,故選項C錯誤；選項D,/與￡的

位置不確定，故選項D錯誤.故選B.

【答案】B

7.（2015?洛陽高一檢測）如圖2和都是以。為直角

頂點的等腰直角三角形，且N8/C=60°,下列說法中錯誤的是（）

A.平面BDC

B.平面ADC

C.Z?G_平面ABD

D.8CJL平面ABD

【解析】由題可知/。，8。/213',所以/。，平面BDC,

又“8。與均為以。為直角頂點的等腰直角三角形，所以28=

AC,BD=DC=^~AB.

又NMC=60°,所以△Z8C為等邊三角開鄉(xiāng)，故BC=AB=\f2BD,

所以N8OC=90°,即BD1DC.

所以8。_1_平面ADC,同理OC1平面ABD.

所以A、B、C項均正確.選D.

【答案】D

8.正四棱錐（頂點在底面的射影是底面正方形的中心）的體積為12,

底面對角線的長為2函,則側面與底面所成的二面角為（）

A.30°B,45°

C.60°D.90°

【解析】由棱錐體積公式可得底面邊長為21心，高為3,在底

面正方形的任一邊上，取其中點，連接棱錐的頂點及其在底面的射影，

根據(jù)二面角定義即可判定其平面角，在直角三角形中，因為tan

（設6為所求平面角），所以二面角為60°,選C.

【答案】C

9.將正方形ABCD^8。折成直二面角，M為。的中點，則

N/例。的大小是（）

A.45°B.30°

C.60°D.90°

【解析】如圖，設正方形邊長為a,作AOYBD,則AM=

AO+OIVF=

又AD二a,DM=",:.Afy-=。必+AM2,;zAMD=90°.

【答案】D

10.在矩形中，若Z8=3,8c=4,必l_L平面/C,且外

=1,則點戶到對角線BD的距離為（）

【解析】如圖，過點力作AE1.8。于點E,連接PE.

??丹1"L平面ABCD,8Oc平面ABCD,

._L8。，平面PAE,

；.BD工PE.

AB-AD12

??4百二M，唉1,

【答案】B

11.（2016?大連高一檢測）已知三棱柱Z8C481G的側棱與底面

9r

垂直，體積為1,底面是邊長為的正三角形.若夕為底面4員G的

中心，則PA與平面/GC所成角的大小為（）

【導學號：09960090]

A.75°B.60°

C.45°D,30°

【解析】如圖所示，P為正三角形481G的中心，設。為&ABC

的中心，由題意知：/OJ?平面ABC,連接貝心外。即為勿與

平面/8U所成的角.

在正三角形Z8C中，AB=BC=AC=

9

\^\BC-AiBiCi=SxPO=-l:.PO=

a

又力-X=1,

3

PO

/.tanz.PAO=~~

AO

【答案】B

12.正方體ABCD-AiBiGDi中，過點力作平面48。的垂線,

垂足為點〃以下結論中，錯誤的是（）

A.點”是△48。的垂心

B.74/7_1_平面CB\Di

C.的延長線經(jīng)過點G

D.直線力〃和881所成的角為45°

【解析】因為4/J■平面48。,

80=平面AiBD,

所以BDLAH.又BDA.AAi,且AHT\AAi=A.

所以8OJ_平面又4%平面AAiH.

所以4和L8。，

同理可證BH工AiD,

所以點〃是“IS。的垂心，A正確.

因為平面48。11平面CB\Di,

所以4t<L平面CBiDi,B正確.

易證ZGJ_平面48,因為過一點有且只有一條直線與已知平面

垂直,所以/G和重合.故C正確.

因為Z4II881,所以為直線和88所成的角.

因為“4%45。，所以N/I/%45。，故D錯誤.

【答案】D

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填

在題中的橫線上）

13.設平面all平面￡,/、住a,8、。金￡,直線力8與。交

于點S,且點S位于平面a,￡之間，ZS=8,BS=6,C=12,則SD

/SCS

【解析】由面面平行的性質得力。1BD—=—,解得SD=9.

【答案】9

14.如圖3,四棱錐S-Z8C。中，底面為平行四邊形，E

是以上一點，當點S茜足條件：______時，SG平面EBD.

圖3

【解析】當￡是外的中點時,

連接￡8,ED,AC.

設ZC與8。的交點為O,連接EO.

?.四邊形28。是平行四邊形，

.?點。是/U的中點.

又￡■是力的中點，

.?QF是△以0的中位線.

:.OE\\SC.

'：SGl平面EBD,平面EBD,

」.SG平面EBD.

【答案】F是弱的中點

15.如圖4所示，在正方體ABCD-AiBiCiDi中，例，/V分別是

棱Z4和上的點，若N8I例/V是直角，則NG/V//V等于

圖4

【解析】?「81G-L平面4/881,

/V7/Vu平面4/881,

?,BQ1MN,又N81/W/V為直角,

,而B\MT\BC=81.

.,./V//V_L平面MBiCi,又/V/Gu平面MBC,

:.MN±MCi,..NGAy/V=90°.

【答案】90°

16.已知四棱錐2/8。的底面力8。是矩形，%_L底面

點￡尸分別是棱PC陽的中點，則

①棱力8與所在直線垂直；

②平面夕8C與平面垂直;

③△氣〃的面積大于△必18的面積；

④直線/￡與直線8尸是異面直線.

以上結論正確的是_______.（寫出所有正確結論的序號）

【解析】由條件可得ZA1平面PAD,

:.AB^PD,故①正確；

若平面在8d平面ABCD,由PB工BC,

得PB1.平面ABCD，從而外II戶8,這是不可能的，故②錯；S.PCD

11

-^CD-PD,S^PAB-^AB-PA,

由AB=CD,PD>PA知］③正確;

由￡尸分別是棱PC戶。的中點，

可得EF\\CD,又AB\\CD,

：.EF\\AB,故/￡?與8尸共面,④錯.

【答案】①③

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，

證明過程或演算步驟）

17.（本小題滿分10分）如圖5所示，已知心8。中/ACB=90°,

S4JL平面ABC,ADA.SC,求證：/Z7JL平面SBC.

圖5

【證明】??2/108=90°,

:.BC^AC.

又「弘，平面ABC,

:.SAA.BC,:SM\AC-A,

.?.8C1平面SAC,:.BCA.AD.

5L：SCA.AD,SC^BC^C,

..OL平面SBC.

18.(本小題滿分12分)如圖6,三棱柱Z8C481G的側棱與底

面垂直，ZC=9,BC=12,AB=15,Z4=12,點。是Z8的中點.

圖6

⑴求證：AC^BiC]

(2)求證：ZGll平面CDBl.

【證明】Q)?「GC_平面Z8U,??.GCL/C

\AC=9,BC=12,AB=15,

:.AG+BC=AB^,

..AC^BC.

又BCX\CxC-C,「./4UL平面BCCiB\,

而8i比平面BCQBl,

:.ACA.B\C.

（2）連接8G交BiC于。點，連接OA如圖”。，。分別為BQ,

力夕的中點，「QOll/a又。比平面CDB1,ACid平面CDB1..-.AC1W

平面CDBi.

19.（本小題滿分12分）（2016德州高一檢測）某幾何體的三視圖如

圖7所示，戶是正方形對角線的交點，G是戶8的中點.

Q）根據(jù)三視圖，畫出該幾何體的直觀圖；

（2）在直觀圖中，①證明：PDW^AGC]

②證明：面戶8。，面AGC.

圖7

【解】Q）該幾何體的直觀圖如圖所示:

（2）證明：①連接ZU,8。交于點。，連接OG,因為G為戶8的

中點，。為8。的中點，所以OGWPD.

②連接PO,由三視圖知，POJ_平面ABCD,所以AO±PO.

又AO1.BO,所以/O_L平面PBD.

因為/Oc平面AGC,

所以平面280_L平面AGC.

20.體小題滿分12分）（2016?濟寧高一檢測）如圖8正方形

和四邊形力?！鍪诘钠矫婊ハ啻怪?，EFWAC,AB=yf2,CE=EF;

1.

圖8

Q）求證:力尸11平面

⑵求證："J_平面BDE.

【導學號：09960091】

【證明】(1)如圖，設ZC與8。交于點G.

E

因為EFWAG,且￡尸二1,

1

AG^^AC=1,

所以四邊形ZG所為平行四邊形.

所以ZGfG

因為￡比平面BDE,/尺平面BDE,

所以力尸11平面8?！?/p>

(2)連接FG,

■：EF\\CG,EF=CG=1,

二?四邊形GFG為平行四邊形，

文：CE二EF=1，，口CEFG為菱形,

：.EGrCF.

在正方形28。中，AC1.BD.

???正方形和四邊形2%尸所在的平面互相垂直,

」.8OJL平面CEFG...BDA.CF.

又：EGCBD:G,「.CEL平面BDE.

21.（本小題滿分12分）（2015?山東高考）如圖9，三棱臺DEF-ABC

中，AB=2DE,G,“分別為/C,8c的中點.

圖9

（1）求證：8011平面尸GA;

（2）若CF1BC,AB1.BC,求證：平面8。，平面EGH.

【解】Q）證法一：連接。G,8,設CMGF二M,連接MH.

在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,G為的中點，可得DF\\GC,

DF=GC,所以四邊形小CG為平行四邊形，則M為。的中點.又

H為80的中點，所以MH\\BD又/W/u平面FGH,BE平面FGH,

所以8。11平面尸G”

證法二：在三棱臺DEF-ABC中,由BC=2EF,H為8c的中點，

可得BHWEF,BH=￡尸,所以四邊形84任為平行四邊形，可得BE\\HF.

在△/水；中石為ZU的中點H為8c的中點所以GMI/8.又GH^HF

=H,所以平面FGHW平面/8￡Z?.因為8比平面ABED,所以BD\\平

畫FGH.

（2）連接HE.

因為G,“分別為AC,8c的中點,

所以G/llZ8.

由/8_L8C,得GHJLBC.

又H為8c的中點，

所以用11*7,EF=HC,