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高中數(shù)學必修1練習題集

第一章、集合與函數(shù)概念

1.1.1集合的含義與衣示

例1.用符號W和史填空。

⑴設集合A是正整數(shù)的集合，則0A,五A,(-1)°A；

⑵設集合B是小于而的所有實數(shù)的集合，則2百B,1+V2B；

⑶設A為所有亞洲國家組成的集合，則中國A,美國A,印度A,英國A

例2.判斷下列說法是否正確，并說明理山。

⑴某個單位里的年輕人組成一個集合；

(2)1,-11,［這些數(shù)組成的集合有五個元素：

24|2|2

(3)由a,b,c組成的集合與b,a,c組成的集合是同一個集合。

例3.用列舉法表示下列集合：

⑴小于10的所有自然數(shù)組成的集合A；

⑵方程/=x的所有實根組成的集合B；

⑶由1?20中的所有質數(shù)組成的集合Co

例4.用列舉法和描述法表示方程組《)的解集。

x-y=-1

典型例題精析

題型.集合中元素的確定性

例1.下列各組對象：①接近于0的數(shù)的全體；②比較小的正整數(shù)全體；③平面上

到點0的距離等于1的點的全體；④正三角形的全體；⑤血的近似值得全體，其中能構

成集合的組數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

題型二集合中元素的互異性與無序性

例2.已知/6{I,o,x},求實數(shù)x的值。

題型三元素與集合的關系問題

1.判斷某個元素是否在集合內

例3.設集合A={x|x-2k,AeZ},B={xIx=2k+1,"wZ}。若aeA,beB,

試判斷a+〃與A,B的關系。

2,求集合中的元素

例4.數(shù)集A滿足條件，若aeA,貝U匕A,(aW1),若工eA,求集合中的其

1-a3

他元素。

3.利用元素個數(shù)求參數(shù)取值問題

例5.已知集合A={x\ax1+2x+1=0,aeR},

⑴若A中只有一個元素，求。的取值。

⑵若A中至多有一個元素，求〃的取值范圍。

題型四列舉法表示集合

例6.用列舉法表示下列集合

⑴A={x||x|W2,xwZ}；(2)B={x[(x—I)2(x—2)=0}

⑶M={(x,y)|x+4,xeN*,yeN*}.

題型五描述法表示集合

A

例7.⑴已知集合乂={尤￡N|------eZ},求M；

l+x

A

（2）已知集合C={——eZ|xeN）,求C.

1+x

例&用描述發(fā)表示圖（圖-8）中陰影部分（含邊界）

的點的坐標的集合。

例9已知集合人=刀+2,(a+1)2,a2+3a+3),若1eA,求實數(shù)a的值。

例10.集合M的元素為自然數(shù)，且滿足：如果xwM,則8-xeM,試回答下列問題:

⑴寫出只有一個元素的集合M；

⑵寫出元素個數(shù)為2的所有集合M；

⑶滿足題設條件的集合M共有多少個？

創(chuàng)新、拓展、實踐

1、實際應用題

例11.一個筆記本的價格是2元，一本教輔書的價格是5元，小明拿9元錢到商店，如

果他可以把錢花光，也可以只買一種商品，請你將小明購買商品的所有情況一一列舉出來,

并用集合表示。

2、信息遷移題

例12.已知A={1,2,3},B={2,4},定義集合A、B間的運算A*B={xIXGA且

x紀B},則集合A*B等于（）

A.{1,2,3}B.{2,4}C.{1,3}D.{2}

3、開放探究題

例13.非空集合G關于運算十滿足：⑴對任意a、beG,都有a十beG；(2)存在

eeG,使得對一切aeG,都有a十e=e十a=a,則稱G關于運算十為“融洽集”?，F(xiàn)給

出下列集合與運算：

①G={非負整數(shù)},十為整數(shù)的加法。

②G={偶數(shù)},十為整數(shù)的乘法。

③G={二次三項式},十為多項式的加法。

其中G關于運算十為“融洽集”的是。(寫出所有“融洽集”的序號)

例14.已知集合人={0,1,2,3,a},當xwA時，若x-l￡A,則稱x為A的一個“孤

立”元素，現(xiàn)已知A中有一個“孤立”元素，是寫出符合題意的a值(若有多個a

值，則只寫出其中的一個即可)。

例15.數(shù)集A滿足條件；若awA,則」一GA(arl)。

1-6(

⑴若2eA,試求出A中其他所有元素；

⑵自己設計一個數(shù)屬于A,然后求出A中其他所有元素；

⑶從上面的解答過程中，你能悟出什么道理？并大膽證明你發(fā)現(xiàn)的“道理”。

高考中出現(xiàn)的題

例I.(2008?江西高考)定義集合運算：A*B={z|z=xy,xeA,yeB}?設A={1,

2},B={0,2},則集合A*B的所有元素之和為()

A.0B.2C.3D.6

例2.(2007?北京模擬)已知集合A={a(,a2,…，a*}(k22),其中a.eZ(i=l>2,…,

k),由A中的元素構成兩個相應的集合：S={(a,b)|aeA,beA,a+beA}；T={(a,

b)IaeA,beA,a-beA),其中(a,b)是有序數(shù)對。

若對于任意的awA,總有-aAeA,則稱集合A具有性質P。

試檢驗集合{0,1,2,3}與{-1,2,3}是否具有性質P,并對其中具有性質P的集合，

寫出相應的集合S和T。

1.1.2集合間的基本關系

例1用Venn圖表示下列集合之間的關系：A=｛xIx是平行四邊形｝,B=｛xIx是菱

形｝,C=｛x|x是矩形｝,D=｛x|x是正方形｝。

例2設集合A={1,3,a},B={1,a?-a+l},且A=B,求a的值

例3已知集合人=正，xy,x-y｝,集合B=｛0,y｝,A=B,求實數(shù)x,y的值。

例4寫出集合｛a、b、c｝的所有子集，并指出其中啪些是真子集，哪些是非空真子集。

例5判斷下列關系是否正確：(1)0e｛0｝；(2)｛0｝；(3)0=｛0｝；(4)0■｛。｝

題型一判斷集合間的關系問題

例1下列各式中，正確的個數(shù)是()

(1){0}€{0,1,2}；(2){0,1,2}G{2,1,0}；(3)0c{0,1,2}；(4)0={0}；

(5){0,1}={(0,1)}；(6)0={0}?

A.1B.2C.3D.4

題型二確定集合的個數(shù)問題

例2已知{1,2}cMc{l,2,3,4,5},則這樣的集合M有個。

題型三利用集合間的關系求字母參數(shù)問題

例3已知集合A={x門Vax<2},B={xI忖<1},求滿足AqB的實數(shù)a的范圍。

例4設集合A={x|x2+4x=0,xeR},B={xIx?+2(a+l)x+a?-l=O,xeR},若BqA,

求實數(shù)a的值。

一、數(shù)形結合思想：1.用Venn圖解題

例5設集合A={x|x是菱形},B={x|x是平行四邊形},C={x|x是正方形}，指出A、

B、C之間的關系。

例6（2.用數(shù)軸解題）已知A={xIx<-l或x>5},B={xeR|a<x<a+4},若AqB,

求實數(shù)a的取值范圍。

二、分類討論思想

例7已知集合人=s，a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}>A=B,求c的值。

創(chuàng)新、拓展、實踐

1.數(shù)學與生活

例8寫出集合{農夫，狼，羊}的所有子集，由此設計一個方案：農夫把狼、羊、菜從

河的一岸送到另一岸，農夫每次乘船只能運送一樣東西，并且農夫不在場的情況下，狼和羊

不能在一起，羊和菜不能在一起。

2.開放探究題

例9已知集合人=幽|,一。卜4},集合B={1,2,b}.

（1）是否存在實數(shù)a,使得對于任意實數(shù)b都有A^B?若存在，求出對應的a值,

若不存在，說明理由。

（2）若AqB成立，求出對應的實數(shù)對（a,b）

高考要點闡釋

b

例1（山東模擬）設a、beR,集合{1,a+b,a}={0,一，b},則b-4=（）

a

（請寫出解題過程）

A.1B.-1C.2D.-2

例2（湖北模擬）已知集合人={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B=A,則實數(shù)

m=.

例3（2008?福建高考）設P是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若任意a、beP,都

有a+b、ab、（除數(shù)b#0）,則稱P是一個數(shù)域，例如有理數(shù)集Q是數(shù)域；數(shù)集F={“

h

+bV2Ia、6eQ}也是數(shù)域。有下列命題：①整數(shù)集是數(shù)域；②若有理數(shù)Q±M,則數(shù)集

M必為數(shù)域；③數(shù)域必為無限集；④存在無窮多個數(shù)域。

其中正確的命題的序號是.（把你認為正確的命題的序號都填上）

〈名師專家專輯1?空集〉

1.空集的概念及性質

例1在（1）{0}；（2）{0}；（3）{xI3m<x<m}；（4）{xIa+2<x<a}；（5）{xIx2+1=0,

XGR}中表示空集的是.

2.空集性質的應用

例2已知集合A={xIx>0,xeR},B={xIx2-x+p=0},且BqA,求實數(shù)p的范圍。

例3已知A={xIx?-3x+2=0},B={xIax-2=0},且BqA,求實數(shù)a組成的集合

C.

1.1.3集合的基本運算

例1設集合A={x|-l<x<2},集合B={x|l<x<3},求AIIB.

例2A={xIT<xW4},B={xI2<xW5},求Ap|B.

例3若A、B、C為三個集合，AUB=BAC,貝IJ?定有（）

A.A=CB.CcAC.A，CD.A=0

例4不等式組的解為A,U=R,試求A及C°A,并把它們分別表示

在數(shù)軸上。

題型一基本概念

例1設集合A={(x,y)IQ[X+/?]y+C]=O},B={(x,y)I?2x+Z?2y+c2=0},

{ax+b.y+c=0,

則方程組《]}的解集是__________;方程(a/+/y+(gx++

[a2x-^-b2y+c2=0

c2)=0的解集是.

題型二集合的并集運算

例2若集合A={1,3,x},B={1,x2},AUB={1,3,x},則滿足條件的實數(shù)有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

題型三集合的交集運算

例3若集合A={x|x2-ax+a2-19=0},B={xIx2-5x+6=0},C={xIx2+2x

-8=0},求a的值使得0q(AnB)與Af1C=0同時成立。

例4集合A={1,2,3,4},B=A,且1e（A「B）,但4史（A「B）,則滿足上述條件

的集合B的個數(shù)是（）

A.1B.2C.4D.8

題型四集合的補集運算

例5設全集U={1,2,X2-2},A={1,X},求C〃A

例6設全集U為R,A={xIx2-x-2=0},B={xI|x|=y+1,yeA},求C?B

題型五集合運算性質的簡單應用

例7已知集合人=3|x?+ax+12b=0}和B={xIx?-ax+b=0},滿足（C。A）C|B=2,

An（C°B尸{4},U=R,求實數(shù)a、b的值。

例8已知A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0}>且AUB={-2,1,5},AfiB

={-2},求實數(shù)p、q、r的值。

數(shù)學思想方法

—?、數(shù)形結合思想

例9（用數(shù)軸解題）已知全集U={x|xW4},集合A={x|-2<x<3},集合B={xI

-3<x<3},求C^A,Ap|B,CytApB）,（CyA）riB

例10（用Venn圖解題）設全集U和集合A、B、P滿足A=CuB,B=CuP,則A與P

的關系是（）

A.A=C,u,PB.A=PC.Ao----PD.A-u---P

二、分類討論思想

例11設集合A={|a+1,3,5},集合B={2o+1,a2+2a,a2+2a-\},當AAB={2,

3}時，求AUB

三、“正難則反”策略與“補集”思想

例12已知方程x?+ax+1=0,x2+2x-a=0,x2+2ax+2=0,若三個方程至少有一

個方程有實根，求實數(shù)a的取值范圍。

四、方程思想

例13設集合A={x|X2+4X=0,xeR},B={xIx2+2(a+l)x+a2-1=0,xeR},

若B[A,求實數(shù)a的值。

創(chuàng)新、拓展、實踐

例14（實際應用題）在開秋季運動會時，某班共有28名同學參加比賽，其中有15人

參加徑賽，有8人參加田賽，有14人參加球類比賽，同時參加田賽和徑賽的有3人，同時

參加徑賽和球類比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，問同時參加田賽和球類比賽的

有多少人？只參加徑賽的同學有多少人？

例15（開放探究題）定義集合A和B的運算為A*B={x|xeA且xeB},試寫出含

有幾何運算符號“*“u”、“n”，并對任意集合A和B都成立的一個式子

例16我們知道，如果集合A[U,那么U的子集A的補集為C"A={xIxeU,且x￡A},

類似地，對于集合A、B,我們把集合{xlxeA,且x紀B}叫做A與B的差集，記作A-B,

例如A={1,2,3,5,8},B={4,5,6,7,8},則A-B={1,2,3,},B-A={4,6,7}。

據此，回答以下問題：

(1)補集與差集有什么異同點？

⑵若U是高?⑴班全體同學的集合，A是高⑴班全體女同學組成的集合，求U-A

及CQA.

⑶在圖1-1-24所示的各圖中，用陰影

表示集合A-B

圖1-1-24

(4)如果A-B=0,那么A與B之間具

有怎樣的關系。

高考要點闡釋

例1（2008?陜西高考）已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={xIx?-3x+2=0},

B={x|x=2a,aeA},則集合C。（AUB）中元素的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

例2（2008?上海高考）若集合A={xIxW2},B={x|x2a},滿足Ap|B={2},則實

數(shù)a=.

例3（2008?北京高考）已知集合A={x|-2WxW3},B={x|xV-1或x>4},則集合

A「B等于（）

A.{x|x<3或x>4}B.{x|-1<x<3}C.{x|3<x<4}D.{x|-2<x<-l}

1.2函數(shù)及其表示

例1判斷下列對應是否為函數(shù)

2

（Dx——,x#0,XGR；（2）x—>y,這里y2=x,XGN,yeR

x

2.1指數(shù)函數(shù)

例1求下列各式的值

(1)#(-2)3=(2)#(-2)4=(3)J(3-萬>=(4)舊+2xy+y2=

例2⑴把下列各式中的a寫成分數(shù)指數(shù)嘉的形式(a>0)；

①a5=256②a-4=28③a-7=56④a-3n=35m(m,neN*)

3

⑵計算：①9^

3

②162

例4化簡(式中字母都是正數(shù))

⑴(x&y。)口

⑵(2x^+3廠6)(2x6-3廠6)

ii

⑶4x&-3x75(-y75)?yF

例化簡下列各式

_2_2_2_2

x3+y3x3-y3

41

a3.2『)XVa

⑵------------(1

”+2\[ab+4/?3

典型例題

題型一、根式的性質

2

例1求值l~7=(a>0).

行.它

例2計算：⑴)5-2而+)5+2新

(2)^2+75+^2-75

題型二、分數(shù)指數(shù)嘉及運算性質

1.計算問題：例3計算：以后+跖司

2.化簡問題：例4化筒下列各式：⑴//2后7+瓦可方+收手亭

」1

(2)(x-'+x+x0)(x-1-x1)

3.帶附加條件的求值問題

1_1

例5已知a?+a2=3,求下列各式的值:

⑴a+a”

(2)a2+a-2

3_3

(3)°22

i_」

a^-a^

數(shù)學思想方法

一、化歸與轉化思想

例6化簡:(a>0,b>0).

二、整體代換思想

例7⑴已知2、+2-*=。（常數(shù)），求8*+8-*的值。

??

j-2_,,2

(2)已知x+y=12,xy=9,且x<y,求一j~十的值。

X2+y2

創(chuàng)新、拓展、實踐

1.數(shù)學與科技

例8已知某兩星球間的距離d|=3.12X1034千米，某兩分子間的距離d?=3.12X10-32

米，清問兩星球間距離是兩分子間距離的多少倍？

2.創(chuàng)新應用題

例9已知a、b是方程x?-6x+4=0的兩根，且a>b>0,求干一班的值。

Na+

3.開放探究題

例10已知a>0,對于0W《8,reN*,式子（上丁能化為關于a的整數(shù)指

數(shù)幕的可能情形有幾種？

高考要點闡釋（寫出解題的過程）

312_11

例1（2008?重慶文高考）若x>0,則（2x"+3i）（2x“-31）-4x~2-（x-xi）

I一+i

例2（上海高考）若xrX2為方程2'=（萬）X的兩個實數(shù)解，則X1+X

例3（北京高考改編）函數(shù)f（x）=a?a>0,且存1）對于任意的實數(shù)X、y都有（）

A.f(x?y)=f(x)?f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)

C.f(x+y)=f(x)?f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)

名師專家點穴

引入負指數(shù)累及分數(shù)指數(shù)基后，初中的平方差、立方差、完全平方公式有了新的特征；如:

(a±a-1)2=a2±2+a-2；a-b=(a^+b2)(a^-b2)；a+b=(a^+b^)*(a3-a3b3+b3)

例1化簡下列各式

_11

(1)(x~+X+1)(xx，)

二、整體帶入

2-2

X+-X2

的

直

求

知

例

2已

3

-

X2+

三、根式、小數(shù)化為指數(shù)基

_173----

例4計算(0.0081)4-[3X(-)0]-'?[8r025+(3-)3]2

88

2.1.2指數(shù)函數(shù)及其性質

例1指出下列函數(shù)哪些是指數(shù)函數(shù)

(1)y=4'；(2)y=x4；(3)y=-4'；(4)y=(-4)v；(5)y-兀，；(6)y=4x2；

(7)y=x*；⑻y=(2a-且aW1)

例2比較下列各題中兩個值的大小。

(1)1,72\1.73；⑵0.8?,0,8-<),2；⑶1.7°3,0.911

例3求下列函數(shù)的定義域和值域：

_________1_

(1)y=J1-2*；(2)y=2百⑶y=

2

教材問題探究

1.函數(shù)圖像的變換

例1畫出下列函數(shù)的圖像，并說明他們是由函數(shù)f(x)=2'的圖像經過怎樣的變換得

到的。

(1)y=2X-1；(2)y=2x+,；⑶y=2e；(4)y=|2V-1|：

(5)y=-2*；(6)y=-2-x

2.圖像變換的應用

例2設f(x)=1|，c<b〈a且f(c)>f(a)>f(b),則下列關系式中一定成立的

是()

A.3c<3ftB.3c>3fcC.3c+3fl>2D.3'+3a<2

探究學習

例3選取底數(shù)a(a>0,且aW1)的若干個不同的值，在同一平面直角坐標系內作出

相應的指數(shù)函數(shù)的圖像.觀察圖像，你能發(fā)現(xiàn)他們有哪些共同特征？

典型例題精析

題型一指數(shù)函數(shù)的定義

例1函數(shù)丫=包2+32+3)@'是指數(shù)函數(shù)，則a的值為

題型二指數(shù)函數(shù)的圖像和性質

1.過定點問題

例2函數(shù)y=2"3+3恒過定點.

2.指數(shù)函數(shù)的單調性

例3討論函數(shù)f(x)=的單調性，并求其值域。

3

,,'-1

例4已知函數(shù)f（X）=-a----（6T>1）

ax+1

⑴求該函數(shù)的值域；⑵證明f（x）是R上的增函數(shù)

3.指數(shù)函數(shù)的圖像

例5若函數(shù)y=a'+b-l（a>0,且aWl）的圖象經過第一、三、四象限，則一定

有（）

A.a>l,且bVlB.O<a<l,且bVO

C.0<a<l,且b>0D.a>l,且b<l

變試訓練1：當aWO時，函數(shù)y=ax+b和y=b。*的圖象只可能是下列中的（）

題型三指數(shù)函數(shù)圖像和性質的綜合應用

1.比較大小

例6右圖是指數(shù)函數(shù)：①y=a',②y=b',③

④y=d*的圖象，則a、b、c、d與1的大小關系是（

A.a<b<l<c<dB.b<a<l<d<c

C.l<a<b<c<dD.a<b<l<d<c

2.解不等式

(1丫"2

例7⑴解不等式一W2.

\2J

⑵(a2+a+2)x>(a2+a+2)'"',則x的取值范圍是.

2T-l(x<0),

⑶設函數(shù)f(x)="I若f(X0)>l,則X。的取值范圍是(

/(x>0),

-2x

變試訓練2：設y]=a3"i,y2=a,其中a>0,a#L確定x為何值時,

有：⑴丫]=丫2；⑵y,>y2-

3.定義域和值域

例8求下列函數(shù)的定義域與值域

I

(1)y=2一；⑵廠EL

例10已知7WxW2,求函數(shù)f(x)=3+2?一9、的值域

4.指數(shù)方程

例10解方程：3X+2-32-X=80

例H若方程+4=0有正數(shù)解，則實數(shù)”的取值范圍是()

A.(-oo,1)B.(-00,2)C.(-3,-2)D.(-3,0)

5.單調性問題

例12已知a>0且a￥l,討論f(x)=a4+3'+2的單調性

例13設〃>0,f(x)=---1---在R上滿足f(-x)=f(x)。

aex

⑴求。的值⑵證明：f(x)在(0,+oo)上是增函數(shù)

6.奇偶性問題

例14已知函數(shù)f(x)=1」一+口?1,

U'-l2)

(1)求f(x)的定義域

⑵討論f(x)的奇偶性

⑶證明f(x)>0

題型四指數(shù)函數(shù)的實際應用

例15截止到1999年底，我國人口約13億。如果今后能將人口平均增長率控制在

1臨那么經過20年后，我國人口約為多少？(精確到億)

數(shù)學思想方法

一、數(shù)形結合思想

1.比較大小

例16比較3T5和4T7

2.求參數(shù)的取值范圍

關于X的方程=細士2有負根，求。的取值范圍。

例17

⑷5-a

3.研究函數(shù)的單調性

例18求函數(shù)y=J1—2e+22、的單調區(qū)間

二、分類討論思想

/1\,-2x

例19根據下列條件確定實數(shù)x的取值范圍：y/a<\-（a>0且aWl）

3

三、函數(shù)與方程思想

例20已知x,yeR,且3*+5'>37+5-\求證x+y>0.

創(chuàng)新、拓展、實踐

1.數(shù)學與科技

例21家用電器（如冰箱等）使用的氟化物的釋放破壞了大氣中的臭氧層。臭氧含量

Q呈指數(shù)函數(shù)型變化，滿足關系式Q=Qoe-a°02”,其中Q0是臭氧的初始量，t為時間。

⑴隨著時間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？

⑵多少年以后將會有一半的臭氧消失？

例22某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定

的劑量服用，據監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）

與時間t（小時D之間近似滿足右圖所示的曲線。

（1）寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關系式y(tǒng)=f