2024年高考指導(dǎo)數(shù)學(xué)(人教A版理科第一輪復(fù)習(xí))課時(shí)規(guī)范練44　空間幾何中的向量方法

課時(shí)規(guī)范練44空間幾何中的向量方法1.如圖,空間幾何體由兩部分構(gòu)成,上部是一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓錐,下部是一個(gè)底面半徑為1,高為2的圓柱,圓錐和圓柱的軸在同一直線上,圓錐的下底面與圓柱的上底面重合,點(diǎn)P是圓錐的頂點(diǎn),AB是圓柱下底面圓的一條直徑,點(diǎn)O是圓心,AA1,BB1是圓柱的兩條母線,C是弧AB的中點(diǎn).(1)求異面直線PA1與BC所成角的余弦值;(2)求點(diǎn)B1到平面PAC的距離.2.(2021全國(guó)甲,理19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn),BF⊥A1B1.(1)證明:BF⊥DE;(2)當(dāng)B1D為何值時(shí),平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?3.如圖所示的幾何體是由等高的半個(gè)圓柱和14個(gè)圓柱拼接而成,點(diǎn)G為弧CD的中點(diǎn),且C,E,D,G四點(diǎn)共面(1)證明:平面BFD⊥平面BCG;(2)若平面BDF與平面ABG所成銳二面角的余弦值為155,求直線DF與平面ABF所成角的大小4.如圖,在三棱錐A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.(1)求證:AC⊥BD.(2)有三個(gè)條件:①θ=60°;②直線AC與平面BCD所成的角為45°;③二面角A-CD-B的余弦值為33.請(qǐng)你從中選擇一個(gè)作為條件,求直線BC與平面ACD答案：課時(shí)規(guī)范練44空間幾何中的向量方法1.解(1)根據(jù)題意可得OP⊥平面ABC,∵C是弧AB的中點(diǎn),∴OC⊥AB,則以O(shè)為原點(diǎn),OC為x軸,OB為y軸,OP為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.則P(0,0,4),A1(0,-1,2),B(0,1,0),C(1,0,0),PA1=(0,-1,-2),BC=(1,-1,0),cos<PA∴異面直線PA1與BC所成角的余弦值為10(2)B1(0,1,2),A(0,-1,0),PB1=(0,1,-2),PA=(0,-1,-4),PC=(1,0,設(shè)平面PAC的法向量n=(x,y,z),則n取z=1,得n=(4,-4,1),∴點(diǎn)B1到平面PAC的距離為d=|2.證明(1)如圖,連接A1E,取BC中點(diǎn)M,連接B1M,EM.∵E,M分別為AC,BC中點(diǎn),∴EM∥AB.又AB∥A1B1,∴A1B1∥EM,則點(diǎn)A1,B1,M,E四點(diǎn)共面,故DE?平面A1B1ME.又在側(cè)面BCC1B1中,△FCB≌△MBB1,∴∠FBM=∠MB1B.又∠MB1B+∠B1MB=90°,∴∠FBM+∠B1MB=90°,∴BF⊥MB1.又BF⊥A1B1,MB1∩A1B1=B1,MB1,A1B1?平面A1B1ME,∴BF⊥平面A1B1ME,∴BF⊥DE.(2)∵BF⊥A1B1,∴BF⊥AB,∴AF2=BF2+AB2=CF2+BC2+AB2=9.又AF2=FC2+AC2,∴AC2=8,則AB⊥BC.如圖,以B為原點(diǎn),BC,BA,BB1為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),F(2,0,1).則EF=(1,-1,1),ED=(-1,t-1,2),設(shè)DB1=t,則D(0,t,2),0≤t≤2.則平面BB1C1C的法向量為m=(0,1,0),設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z),∴EF即x∴n=(1+t,3,2-t).則cos<m,n>=3(1+要求最小正弦值,則求最大余弦值.當(dāng)t=12時(shí)二面角的余弦值最大則B1D=12時(shí)二面角正弦值最小3.(1)證明如圖,連接CE,由題意得∠ECD=∠DCG=45°,所以∠ECG=90°,CE⊥CG,因?yàn)锽C∥EF,BC=EF,所以四邊形BCEF為平行四邊形,BF∥EC,BF⊥CG,因?yàn)锽C⊥平面ABF,BF?平面ABF,所以BC⊥BF,因?yàn)锽C∩CG=C,所以BF⊥平面BCG,因?yàn)锽F?平面BFD,所以平面BFD⊥平面BCG.(2)解如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AF=2,AD=t,則A(0,0,0),B(0,2,0),F(2,0,0),D(0,0,t),G(-1,1,t),AB=(0,2,0),AG=(-1,1,t),FB=(-2,2,0),FD=(-2,0,t),設(shè)平面BDF的法向量為n=(x,y,z),則n令z=2,則n=(t,t,2),設(shè)平面ABG的一個(gè)法向量為m=(x',y',z'),則m即y'=0,則m=(t,0,1),因?yàn)槠矫鍮DF與平面ABG所成銳二面角的余弦值為155所以|cos<m,n>|=|m解得t=2,即AD=2,因?yàn)镈A⊥平面ABF,所以∠DFA即直線DF與平面ABF所成的角,在△ADF中,因?yàn)椤螪AF=90°,AD=AF=2,所以∠DFA=45°,故直線DF與平面ABF所成的角為45°.4.(1)證明如圖,取BD的中點(diǎn)O,連接OA,OC,則OC⊥BD.因?yàn)锽C=DC,∠ACB=∠ACD=θ.AC=AC,所以△ABC≌△ADC,所以AB=AD,所以O(shè)A⊥BD.又OA∩OC=O,所以BD⊥平面AOC.又AC?平面AOC,所以AC⊥BD.(2)解在直線AC上取點(diǎn)P,使得∠POC=90°,連接PB,PD,由(1)知BD⊥平面AOC,PO?平面AOC,所以BD⊥PO.又OC∩BD=O,所以PO⊥平面BCD.由(1)知OC⊥BD,所以O(shè)C,OD,OP兩兩互相垂直.以O(shè)為原點(diǎn),OC,OD,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示.因?yàn)椤螧CD=90°,BC=CD=1,所以O(shè)C=OB=OD=2又PO⊥平面BCD,所以PB=PC=PD.選①,由θ=60°,可知△PCD是等邊三角形,所以PD=CD=1,OP=2所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0,所以BC=22,22,0,DC設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,則y=z=1,所以n=(1,1,1)為平面PCD的一個(gè)法向量.設(shè)直線BC與平面PCD所成的角為α,則sinα=|cos<BC,n>|=|因?yàn)槠矫鍭CD與平面PCD為同一個(gè)平面,所以直線BC與平面ACD所成角的正弦值為6選②,由PO⊥平面BCD,可知∠PCO為直線AC與平面BCD所成的角,所以∠PCO=45°,所以O(shè)P=OC=2所以P0,0,22,C22,0,0,D所以BC=22,22,設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n取x=1,則y=z=1,所以n=(1,1,1)為平面PCD的一個(gè)法向量.設(shè)直線BC與平面PCD所成的角為α,則sinα=|cos<BC,n>|=|因?yàn)槠矫鍭CD與平面PCD為同一個(gè)平面,所以直線BC與平面ACD所成角的正弦值為6選③,作PM⊥CD,垂足為M,連接OM.由PO⊥平面BCD,CD?平面BCD,可知PO⊥CD.又PO∩PM=P,所以CD⊥平面POM,所以CD⊥OM,所以∠PMO為二面角A-CD-B的平面角.所以cos∠PMO=33所以tan∠PMO=2因?yàn)镺M=22所以O(shè)P=OMtan∠PMO=2所以P0,0,22