清華大學(xué)計(jì)算固體力學(xué)全套(部編)課件

清華大學(xué)計(jì)算固體力學(xué)

全套課件計(jì)算固體力學(xué)

第1章緒論

全面介紹非線性有限元的前沿性內(nèi)容，使學(xué)習(xí)者能進(jìn)入這一領(lǐng)域的前沿，應(yīng)用非線性有限元方法求解彈塑性材料、幾何大變形和接觸碰撞這些非線性力學(xué)的主要問(wèn)題，增強(qiáng)工程結(jié)構(gòu)中非線性計(jì)算和虛擬仿真的能力，提高非線性有限元的教學(xué)和科研水平。計(jì)算固體力學(xué)課程體系非線性有限元的內(nèi)容：三場(chǎng)變分原理（弱形式）：速度，變形率，應(yīng)力一種格式：Lagrangian格式（TL，UL，ALE）

TL－完全的L格式

UL－更新的L格式兩種解法：隱式和顯式求解器 隱式－Newton-Raphson迭代 顯式－中心差分三種非線性：材料，幾何，接觸 材料：彈塑性，超彈性，粘彈性 幾何：Jaumann率，弧長(zhǎng)法， 接觸：Lagrange乘子，罰函數(shù)計(jì)算固體力學(xué)課程體系緒論：非線性有限元的基本概念，發(fā)展歷史，工程應(yīng)用，標(biāo)記方法，網(wǎng)格表述和偏微分方程的分類。（2）一維L有限元：TL和UL格式的控制方程。E有限元：E公式的控制方程，弱形式與強(qiáng)形式。（4）連續(xù)介質(zhì)力學(xué)：變形和運(yùn)動(dòng)，應(yīng)力－應(yīng)變的度量，守恒方程，框架不變性。（4）L網(wǎng)格：UL有限元離散，編制程序，旋轉(zhuǎn)公式。（4）材料本構(gòu)模型：一維彈性，非線性彈性，如次彈性和超彈性。一維塑性，多軸塑性，超彈－塑性（橡膠和泡沫模型），粘彈性（蠕變和松弛等），經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型，如J-C方程等。應(yīng)變硬化和軟化。（4）求解方法：應(yīng)力更新算法，平衡解答和隱式時(shí)間積分（N-R求解等），顯示時(shí)間積分（中心差分等），波的傳播問(wèn)題。（4）教學(xué)內(nèi)容：計(jì)算固體力學(xué)課程體系7.穩(wěn)定性：穩(wěn)定性和連續(xù)化，平滑性，數(shù)值穩(wěn)定性，材料穩(wěn)定性。屈曲和后屈曲，弧長(zhǎng)法，模態(tài)分析。（4）8.ALE有限元：ALE連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，公式推導(dǎo)，率形式，弱形式，路徑相關(guān)材料，網(wǎng)格更新方法，Petrov-Galerkin公式的動(dòng)量方程，離散方程的線性化，整體ALE公式。（4）有限元單元性能：分片試驗(yàn)，完備性和再造條件，Hu-Washizu多場(chǎng)變分原理，多場(chǎng)弱形式。（4）單元穩(wěn)定性：體積自鎖，剪切自鎖，減積分，不完全積分，沙漏模式。（4）梁、殼和連續(xù)體單元：理論分析，基于連續(xù)體（CB）的梁。（4）基于連續(xù)體（CB）的殼，連續(xù)體單元，膜單元的性能，假設(shè)應(yīng)變單元，一點(diǎn)積分單元。（4）接觸和沖擊：接觸界面方程（主從接觸，從從接觸，多點(diǎn)約束，約束方程），摩擦模型（罰函數(shù)，庫(kù)侖等），接觸弱形式，有限元離散。（4）計(jì)算固體力學(xué)課程體系14.斷裂力學(xué)的有限元計(jì)算：K場(chǎng)計(jì)算，J積分，T積分，動(dòng)態(tài)裂紋擴(kuò)展計(jì)算（能量平衡、節(jié)點(diǎn)力釋放和XFEM）。（4）15.流固弱耦合算法。（2）16.材料本構(gòu)計(jì)算－陳震。（4）計(jì)算固體力學(xué)課程體系程序訓(xùn)練：1.顯式有限元程序－DYFRAC：大變形板殼結(jié)構(gòu)分析計(jì)算2.隱式有限元程序－ABAQUS/Standard：開(kāi)發(fā)UMAT或UEL接口程序，完成一個(gè)結(jié)構(gòu)的完整計(jì)算分析過(guò)程成績(jī)：1.期末考試：60％2.程序?qū)嵺`：20％3.課堂作業(yè)：20％

緒論

虛擬科學(xué)與工程有限元的發(fā)展和相關(guān)著作有限元軟件的發(fā)展非線性有限元的分類非線性有限元的應(yīng)用網(wǎng)格和標(biāo)記偏微分方程分類1虛擬科學(xué)與工程(Simulation-basedEngineeringandScience，SBES)

人類需要借助各種工具來(lái)增強(qiáng)、延伸和擴(kuò)大自己認(rèn)識(shí)世界的能力，虛擬科學(xué)與工程(VirtualScience

andEngineering)正是用高科技手段構(gòu)造出一種人工環(huán)境，幫助工程師和科學(xué)家創(chuàng)造一個(gè)時(shí)域和空域可變的虛擬世界，使人們能夠在這個(gè)虛擬世界中縱觀古今，瞬扶四海，實(shí)現(xiàn)從必然王國(guó)到自由王國(guó)的認(rèn)識(shí)過(guò)程。

CAD/CAE/CAM，伴隨著計(jì)算機(jī)硬件和軟件的發(fā)展而發(fā)展，適應(yīng)工業(yè)與科技的需求。

在國(guó)家十一、五發(fā)展規(guī)劃中，提出自主創(chuàng)新、集成創(chuàng)新、引進(jìn)吸收再創(chuàng)新，發(fā)展CAE技術(shù)，是工業(yè)和科技提高創(chuàng)新能力的手段之一。1虛擬科學(xué)與工程

縱觀古今，瞬扶四海：源于我國(guó)晉代的儒學(xué)家陸機(jī)（261－303）在他的《文賦》中談及文學(xué)創(chuàng)作的思維活動(dòng)時(shí)說(shuō)，應(yīng)“觀古今于須臾，扶四海于一瞬”。1虛擬科學(xué)與工程

實(shí)現(xiàn)從必然王國(guó)到自由王國(guó)的認(rèn)識(shí)過(guò)程：源于毛澤東（1893－1976）的《實(shí)踐論》。虛擬科學(xué)與工程是指對(duì)科學(xué)現(xiàn)象、工程／產(chǎn)品的功能、性能和運(yùn)行行為實(shí)施計(jì)算機(jī)模擬的方法體系，尤其對(duì)：難以或耗資昂貴的科學(xué)現(xiàn)象的物理實(shí)驗(yàn)，如受控?zé)岷朔磻?yīng)、核聚變、環(huán)境污染等;重大工程／復(fù)雜產(chǎn)品的功能、性能和極端行為的模擬仿真、科學(xué)本質(zhì)的顯現(xiàn)，如潰壩，車輛、船舶或飛機(jī)的碰撞等。1虛擬科學(xué)與工程

虛擬科學(xué)與工程是迅速發(fā)展中的計(jì)算力學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、計(jì)算物理、計(jì)算材料科學(xué)以及相關(guān)的計(jì)算工程科學(xué)，與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)和技術(shù)相結(jié)合，而形成的一種綜合性、集成化、網(wǎng)絡(luò)化與智能化的信息處理方法、技術(shù)和產(chǎn)品?？茖W(xué)與工程計(jì)算＝》科學(xué)與工程仿真＝》虛擬科學(xué)與工程1虛擬科學(xué)與工程

力學(xué)的分支計(jì)算力學(xué)，發(fā)展了有限元、有限差分等理論和方法，為虛擬科學(xué)與工程仿真提供了工具。有限元分析是虛擬設(shè)計(jì)的基本組成部分。它提供了更快捷和低成本的方式評(píng)估設(shè)計(jì)的概念和細(xì)節(jié)，因此，人們?cè)絹?lái)越多地應(yīng)用仿真的方法代替樣品原型的試驗(yàn)(VirtualPrototyping)。1虛擬科學(xué)與工程

1997年9月，錢(qián)學(xué)森院士已經(jīng)預(yù)見(jiàn)到了虛擬工程與科學(xué)在未來(lái)世紀(jì)的重要性，他在為清華大學(xué)工程力學(xué)系建系40周年的賀信中寫(xiě)道：“隨著力學(xué)計(jì)算能力的提高，用力學(xué)理論解決設(shè)計(jì)問(wèn)題成為主要途徑，而試驗(yàn)手段成為次要的了。由此展望21世紀(jì)，力學(xué)加電子計(jì)算機(jī)將成為工程設(shè)計(jì)的主要手段，就連工程型號(hào)研制也只用電子計(jì)算機(jī)加形象顯示。都是虛的，不是實(shí)的，所以稱為“虛擬型號(hào)研制”（VirtualPrototyping）。最后就是實(shí)物生產(chǎn)了?！?虛擬科學(xué)與工程

1Simulation-basedEngineeringandScience-SBES2005年6月，美國(guó)總統(tǒng)信息技術(shù)咨詢委員會(huì)的報(bào)告中指出“計(jì)算科學(xué)已成為科學(xué)領(lǐng)導(dǎo)地位、經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力和國(guó)家安全的關(guān)鍵”，并發(fā)出“美國(guó)政府還沒(méi)有充分認(rèn)識(shí)到計(jì)算科學(xué)的潛力”的警告。

2006年2月，美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)（NSF）發(fā)表報(bào)告“基于仿真的工程與科學(xué)”(Simulation-basedEngineeringandScience，SBES)，指出“SBES采用模擬和計(jì)算機(jī)仿真的原理和方法以獲取和應(yīng)用知識(shí)并造福人類，應(yīng)成為工程與科學(xué)領(lǐng)域國(guó)家優(yōu)先發(fā)展項(xiàng)目”。1Simulation-basedEngineeringandScience-SBESThepromise:Advancesinmathematicalmodeling,incomputationalalgorithms,inthespeedofcomputers,andinthescienceandtechnologyofdataintensivecomputinghavebroughtthefieldofcomputersimulationtothethresholdofanewera,anerainwhichunprecedentedimprovementsinthehealth,security,productivity,andcompetitivenessofournationmaybepossible.Ahostofcriticaltechnologiesareonthehorizonthatcannotbeunderstood,developed,orutilizedwithoutsimulationmethods.--TheNSFBRPanelReportonSBES-J.T.Oden,20071Simulation-basedEngineeringandScience-SBESScience-CambridgeInternationalDictionaryofEnglish:Knowledgeobtainedfromthesystematicstudyofthestructureandbehaviorofthephysicaluniverse,involvingexperimentationandmeasurementandthedevelopmentofthetheoriestodescribetheresultsoftheseactivities.Knowledgeobtainedintwoways:Observationandtheory.1Simulation-basedEngineeringandScience-SBESEngineering-istheapplicationofsciencetotheneedsofhumanity.Thisisaccomplishedthroughtheapplicationofscientificandmathematicalprinciples,andpracticalexperiencetothedesignofusefulobjectsorprocesses.EngineeringScience-isthesystematicacquisitionofknowledgeforthepurposeofapplyingittothesolutionofproblemseffectingtheneedsandwell-beingofhumankind.SBES-engineeringscienceandsciencethatemploystheprinciplesandmethodsofmodelingandcomputersimulationtoacquireandapplyknowledgeforthebenefitofhumankind.

2有限元的發(fā)展和相關(guān)著作2有限元的發(fā)展和相關(guān)著作

涉及非線性有限元分析的著作包括:

Zienkiewicz和Taylor(1967),(1991),(2000),

莊茁、岑松譯，有限元方法(第5版)－第2卷，固體力學(xué)，清華大學(xué)出版社，2006

Oden(1972),是固體和結(jié)構(gòu)非線性有限元分析的開(kāi)拓Kleiber(1989),Crisfield(1991),ZhongZH(1993)。

Belytschko和Hughes(1983)，Hughes（1987）

Cook、Malkus和Plesha(1989)

Bathe(1996),Bonet和Wood(1997),

Simo和Hughes(1998)。2.1著作

徐芝綸，彈性力學(xué)問(wèn)題的有限單元法，水利電力出版社，1972

謝貽權(quán)，何福保編著，彈性和塑性力學(xué)中的有限單元法，機(jī)械工業(yè)出版社，1981

徐次達(dá)，華伯浩，固體力學(xué)有限元理論、方法及程序，水利電力出版社，1983

王勖成，邵敏，有限單元法基本原理和數(shù)值方法，清華大學(xué)出版社，1987，1995

王勖成，有限單元法，清華大學(xué)出版社，2003

郭乙木，陶偉明，莊茁，線性與非線性有限元及應(yīng)用，

機(jī)械工業(yè)出版社，2003NonlinearFiniteElementsforContinuaandStructures,

T.Belytschko,W.K.Liu,B.Moran,JohnWiley&Sons,Ltd,2000

莊茁等譯，連續(xù)體和結(jié)構(gòu)的非線性有限元，清華大學(xué)出版社，20022有限元的發(fā)展和相關(guān)著作有限元的創(chuàng)立與科學(xué)的發(fā)展和工業(yè)界需求相關(guān)

RayW.Clough，畢業(yè)于MIT

1949，Berkeley土木工程學(xué)院任教

1952，Boeing暑期研究，detal三角形機(jī)翼振動(dòng)分析，應(yīng)用傳統(tǒng)梁理論和數(shù)學(xué)計(jì)算，基于一維梁模型的機(jī)翼結(jié)構(gòu)撓度計(jì)算結(jié)果與小比例機(jī)翼模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)相差甚遠(yuǎn)，工作失敗。1953，計(jì)算小三角形板的剛度性能，將一片片匯合成機(jī)翼，

directstiffnessmethod–直接剛度法，有限元的雛形。機(jī)翼結(jié)構(gòu)撓度計(jì)算結(jié)果與小比例模型試驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合。1955，JohnH.Argyris,矩形單元1956，第一篇有限元文章發(fā)表。

2有限元的發(fā)展和相關(guān)著作2.2發(fā)展歷史

通過(guò)波音研究組的工作和Turner、Clough、Martin和Topp（1956）的著名文章，使線性有限元分析得以聞名，不久后，在許多大學(xué)和研究所里，工程師們開(kāi)始將方法擴(kuò)展至非線性、小位移的靜態(tài)問(wèn)題。他們非常清楚有限元方法的前途，它提供了處理復(fù)雜形狀真實(shí)問(wèn)題的可能性。2有限元的發(fā)展和相關(guān)著作

我們不僅關(guān)注發(fā)表的文章，而是更關(guān)注軟件的發(fā)展。在這個(gè)信息－計(jì)算機(jī)時(shí)代，象許多其它方面的進(jìn)步一樣，在有限元分析中，軟件常常比文獻(xiàn)更好地代表了最新的進(jìn)展。有限元程序兩條脈絡(luò)：隱式-ABAQUS/Standard，Nastran，ANSYS，MARC顯式-ABAQUS/Explicit，Dytran，Dyna3D2有限元的發(fā)展和相關(guān)著作3有限元軟件的發(fā)展在20世紀(jì)60年代，由于EdWilson發(fā)布了他的第一個(gè)程序，這種激情終于被點(diǎn)燃了。這些程序的第一代沒(méi)有名字。在遍布世界的許多實(shí)驗(yàn)室里，通過(guò)改進(jìn)和擴(kuò)展這些早期在Berkeley開(kāi)發(fā)的軟件，工程師們擴(kuò)展了新的用途，帶來(lái)了對(duì)工程分析的巨大沖擊和有限元軟件的隨之發(fā)展。SAP：在Berkeley開(kāi)發(fā)的第二代線性程序稱之為SAP（StructuralAnalysisProgram），之后發(fā)展的第一個(gè)非線性程序是NONSAP，它具有隱式積分進(jìn)行平衡求解和瞬時(shí)問(wèn)題求解的功能。3有限元軟件的發(fā)展隱式有限元程序-ImplicitMARC：1969年，在Brown大學(xué)任教的PedroMarcal，為了第一個(gè)非線性商業(yè)有限元程序進(jìn)入市場(chǎng)，于建立了一個(gè)公司；程序命名為MARC，目前它仍然是主要軟件，1999年被MSC公司兼并，MSC/MARC。ANSYS：大約在同期，JohnSwanson為了核能應(yīng)用在Westinghouse發(fā)展了一個(gè)非線性有限元程序。為了使ANSYS程序進(jìn)入市場(chǎng)，他于1969年離開(kāi)Westinghouse。ANSYS盡管主要是關(guān)注非線性材料而非求解完全的非線性問(wèn)題，它多年來(lái)仍壟斷了商業(yè)非線性有限元軟件的舞臺(tái)。3有限元軟件的發(fā)展ABAQUS：DavidHibbitt，他與PedroMarcal合作到了1972年，1978年創(chuàng)立了HKS公司，使ABAQUS商用軟件進(jìn)入市場(chǎng)。因?yàn)樵摮绦蚴悄軌蛞龑?dǎo)研究人員增加用戶單元和材料模型，對(duì)軟件行業(yè)帶來(lái)了實(shí)質(zhì)性的沖擊。2005年被法國(guó)達(dá)索公司(DassaultSystemes)收購(gòu)，該公司的主要產(chǎn)品有CATIA。2007年更名為Simulia。NASTRAN

：大型通用有限元軟件。TheMacHeal-SchwendlerCorporation(MSC)，1963年創(chuàng)立，主要得到美國(guó)航空界贊助，如NASA和FAA，為飛行器驗(yàn)證軟件。前處理為PATRAN。3有限元軟件的發(fā)展按照美國(guó)反壟斷法，于2003年將NASTRAN源代碼一式二份，分別屬于：

MSC/NASTRAN

：MSC公司產(chǎn)品；

NX.NASTRAN

：UGS公司產(chǎn)品。2007年，SIEMENS收購(gòu)UGS。ADINA

：JürgenBathe是在EdWilson的指導(dǎo)下在Berkeley獲得博士學(xué)位的，不久之后開(kāi)始在MIT任教，這期間他便發(fā)布了他的程序。這是NONSAP軟件的派生產(chǎn)品，稱為ADINA。據(jù)說(shuō)UGS目前正準(zhǔn)備收購(gòu)ADINA。3有限元軟件的發(fā)展DOE實(shí)驗(yàn)室的工作強(qiáng)烈地影響了早期的顯式有限元方法，特別是命名為hydro-codes的軟件，Wilkins(1964)。顯式有限元程序-Explicit3有限元軟件的發(fā)展

在1964年，Costantino在芝加哥的IIT研究院發(fā)展了可能是第一個(gè)顯式有限元程序。它局限于線性材料和小變形，由帶狀剛度矩陣乘以節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)力。它首先在一臺(tái)IBM7040系列計(jì)算機(jī)上運(yùn)行，花費(fèi)了數(shù)百萬(wàn)美元，其速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于一個(gè)megaflop和32000字節(jié)RAM。

剛度矩陣存儲(chǔ)在磁帶上，通過(guò)觀察磁帶驅(qū)動(dòng)能夠監(jiān)測(cè)計(jì)算的過(guò)程；當(dāng)每一步驟完成時(shí)，磁帶驅(qū)動(dòng)將逆轉(zhuǎn)以便允許閱讀剛度矩陣。這些和以后的ControlData機(jī)器有類似的性能，如CDC6400和6600。一臺(tái)CDC6400價(jià)值為一千萬(wàn)美元，32k內(nèi)存和大約一個(gè)megaflop的真實(shí)速度。3有限元軟件的發(fā)展一臺(tái)CDC6400價(jià)值為一千萬(wàn)美元，32k內(nèi)存和大約一個(gè)megaflop的真實(shí)速度。3有限元軟件的發(fā)展每芯片的晶體管數(shù)每過(guò)18個(gè)月加倍為什么要發(fā)展納米技術(shù)奔騰Ⅳ最小元件～130納米保持計(jì)算機(jī)技術(shù)的持續(xù)高速發(fā)展！在1969年，開(kāi)發(fā)了著名的從單元到單元的技術(shù)；節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算不必應(yīng)用剛度矩陣。因此，發(fā)展了名為SAMSON的二維有限元程序，它被美國(guó)的武器實(shí)驗(yàn)室應(yīng)用了十年。在1972年，該程序功能擴(kuò)展至結(jié)構(gòu)的完全非線性三維瞬態(tài)分析，稱為WRECKER。3有限元軟件的發(fā)展這一工作得到美國(guó)運(yùn)輸部敢于幻想的計(jì)劃經(jīng)理

LeeOvenshire的基金資助，他在七十年代初期就預(yù)言汽車的碰撞試驗(yàn)可能被仿真所代替。然而，比他所預(yù)言的時(shí)間稍微提前了一點(diǎn)，在當(dāng)時(shí)進(jìn)行一個(gè)300個(gè)單元模型的仿真，對(duì)于兩千萬(wàn)次模擬需要約30小時(shí)機(jī)時(shí)，花費(fèi)約3萬(wàn)美元，相當(dāng)于助理教授三年的工資。

LeeOvenshire的計(jì)劃資助了若干個(gè)開(kāi)拓性的工作：Hughes的接觸－沖擊，IvorMcIvor的碰撞工作，以及由TedShugar和CarlyWard在PortHueneme的關(guān)于人頭的模擬研究。3有限元軟件的發(fā)展WHAMS：但是，大約在1975年，運(yùn)輸部認(rèn)為仿真太昂貴，決定所有的基金轉(zhuǎn)向試驗(yàn)方面，使這些研究努力令人痛心的停止下來(lái)。

在Ford，WRECKER勉強(qiáng)維持生存了下一個(gè)十年，在Argonne，由Belytschko發(fā)展的顯式程序被移植應(yīng)用在核安全工業(yè)上，其程序命名為SADCAT和WHAMS。WHAMS-PFRAC

Tsinghua-MPFRAC

3有限元軟件的發(fā)展DYNA：顯式有限元程序發(fā)展的里程碑來(lái)自于LawrenceLivermore實(shí)驗(yàn)室的JohnHallquist的工作。1975年，John開(kāi)始他的工作，1976年，他首先發(fā)布DYNA程序。他慧眼吸取了前面許多人的成果，并且與Berkeley的研究人員緊密交流合作，包括JerryGoudreau，BobTaylor，TomHughes和JuanSimo。他之所以成功的部分關(guān)鍵因素是與DaveBenson合作發(fā)展了接觸－沖擊相互作用，和他的令人敬畏的編程效率，以及計(jì)算程序DYNA-2D和DYNA-3D的廣泛傳播。3有限元軟件的發(fā)展

目前，隱式方法比顯式方法的功能增加得更加迅速。對(duì)于處理非線性約束，例如接觸和摩擦，隱式方法已經(jīng)有了明顯的改進(jìn)。稀疏迭代求解器也已經(jīng)成為更加有效的工具?？茖W(xué)與工程分析功能的強(qiáng)健需要兩種方法的有效性。

因此，在工業(yè)和研究中，精通非線性軟件的應(yīng)用要求分析者重視對(duì)于非線性有限元方法的理解，能夠清楚在分析中許多有興趣的挑戰(zhàn)和機(jī)遇。這將是本課程的宗旨。3有限元軟件的發(fā)展中國(guó)建研院：PKPM－建筑結(jié)構(gòu)分析程序

胡平(北)KMAX和鐘志華(南)：分別開(kāi)發(fā)了研制汽車

覆蓋件模具的有限元軟件

梁國(guó)平：飛箭軟件大連理工大學(xué)：有限元程序

鄭州機(jī)械所：紫瑞軟件

清華大學(xué)：東方(DYFRAC)－斷裂與強(qiáng)度分析程序

…3有限元軟件的發(fā)展CAE的發(fā)展概況與前景國(guó)內(nèi)外高性能計(jì)算對(duì)比分析目前我國(guó)與美國(guó)研究領(lǐng)域先進(jìn)的數(shù)值仿真相比，在計(jì)算機(jī)硬件設(shè)備和軟件開(kāi)發(fā)能力，以及基礎(chǔ)研究等方面存在的主要差距有以下幾點(diǎn)：（1）硬件與軟件環(huán)境在硬件方面，美國(guó)國(guó)家實(shí)驗(yàn)室裝備了峰值速度為136.8萬(wàn)億次計(jì)算機(jī)，用于結(jié)構(gòu)分析的計(jì)算機(jī)浮點(diǎn)運(yùn)算速度，我國(guó)與美國(guó)相差2～3個(gè)數(shù)量級(jí)。在軟件方面，美國(guó)可以同時(shí)利用數(shù)千個(gè)CPU開(kāi)展并行計(jì)算，而我國(guó)在結(jié)構(gòu)分析方面有效使用的CPU并行應(yīng)用數(shù)量比美國(guó)低1～2個(gè)數(shù)量級(jí)，在并行計(jì)算效率方面嚴(yán)重依賴于國(guó)外商用軟件。2005年，LLNL裝備的藍(lán)色基因計(jì)算機(jī)的并行計(jì)算峰值速度達(dá)到136.8萬(wàn)億次。美國(guó)完成了武器系統(tǒng)在敵方輻射與爆炸沖擊波環(huán)境下的仿真，以及武器系統(tǒng)從庫(kù)存到靶目標(biāo)的多物理場(chǎng)動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真，計(jì)算規(guī)模達(dá)數(shù)千萬(wàn)乃至上億自由度。

1992年法國(guó)在進(jìn)行了210次核試驗(yàn)之后，宣布其核武器更新將依靠數(shù)值仿真計(jì)劃來(lái)實(shí)現(xiàn)，該項(xiàng)目15年總投資210億歐元，這標(biāo)志著發(fā)達(dá)國(guó)家在復(fù)雜武器工程分析方面已經(jīng)進(jìn)入了大規(guī)模并行計(jì)算時(shí)代。參考文獻(xiàn)[1]ASCprogramplanFY05,NNSA,USA,2002-2003[2]法國(guó)原子能委員會(huì)《挑戰(zhàn)》，2003年6～8月刊CAE的發(fā)展概況與前景美國(guó)戰(zhàn)略武器儲(chǔ)存和管理的挑戰(zhàn)是確保突發(fā)事件時(shí)的攻擊力量CAE的發(fā)展概況與前景（2）求解規(guī)模美國(guó)在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的求解規(guī)模已達(dá)到數(shù)千萬(wàn)自由度，而我國(guó)在結(jié)構(gòu)非線性問(wèn)題分析中的求解規(guī)模一般限制在百萬(wàn)自由度量級(jí)。與美國(guó)相比，自由度數(shù)目相差1～2個(gè)數(shù)量級(jí)，這樣使得三維數(shù)值仿真非線性分析模型的規(guī)模較小，對(duì)結(jié)構(gòu)的物理內(nèi)涵和幾何細(xì)節(jié)考慮不夠充分。再是大量的仿真分析基于通用商用程序完成，數(shù)值仿真方法研究和軟件開(kāi)發(fā)的能力不足，沒(méi)有形成較強(qiáng)的創(chuàng)新能力。CAE的發(fā)展概況與前景基于網(wǎng)絡(luò)架構(gòu)的NEST系統(tǒng)平臺(tái)CAE的發(fā)展概況與前景硬件技術(shù)：上海超級(jí)計(jì)算中心－曙光4000A系統(tǒng)峰值10.2Tflops（10萬(wàn)億次/秒）512節(jié)點(diǎn)×4＝2048CPU內(nèi)存4256GB，容量95TBCAE的發(fā)展概況與前景清華航院的并行計(jì)算機(jī)群－－985-I期系統(tǒng)峰值0.3萬(wàn)億次/秒，16節(jié)點(diǎn)×2＝32CPU－985-II期系統(tǒng)峰值1.0萬(wàn)億次/秒，64節(jié)點(diǎn)×2＝128CPU4非線性有限元的分類線性分析：外加載荷與系統(tǒng)的響應(yīng)之間為線性關(guān)系。例如線性彈簧，結(jié)構(gòu)的柔度陣（將剛度陣集成并求逆）只需計(jì)算一次。通過(guò)將新的載荷向量乘以剛度陣的逆，可得到結(jié)構(gòu)對(duì)其它載荷情況的線性響應(yīng)。此外，結(jié)構(gòu)對(duì)各種載荷情況的響應(yīng)，可以用常數(shù)放大和/或相互疊加，以確定它對(duì)一種全新載荷情況的響應(yīng)，所提供的新載荷情況是前面各種載荷的疊加（或相乘）。這種載荷的疊加原理假定所有的載荷情況采用了相同的邊界條件。4非線性有限元的分類非線性分析：非線性結(jié)構(gòu)問(wèn)題是指結(jié)構(gòu)的剛度隨其變形而改變。所有的物理結(jié)果均是非線性的。線性分析只是一種近似，它對(duì)設(shè)計(jì)來(lái)說(shuō)通常已經(jīng)足夠了。但是，對(duì)于許多結(jié)構(gòu)包括加工過(guò)程的模擬（諸如鍛造或者沖壓）、碰撞分析以及橡膠部件的分析（諸如輪胎或者發(fā)動(dòng)機(jī)支座），線性分析是不夠的。一個(gè)簡(jiǎn)單例子就是具有非線性剛度響應(yīng)的彈簧。4非線性有限元的分類4非線性有限元的分類由于剛度依賴于位移，所以不能再用初始柔度乘以外加載荷的方法來(lái)計(jì)算任意載荷時(shí)彈簧的位移。在非線性隱式分析中，結(jié)構(gòu)的剛度陣在整個(gè)分析過(guò)程中必須進(jìn)行許多次的生成和求逆，分析求解的成本比線性隱式分析昂貴得多。在顯式分析中，非線性分析增加的成本是由于穩(wěn)定時(shí)間增量減小而造成的。非線性系統(tǒng)的響應(yīng)不是所施加載荷的線性函數(shù)，因此不能通過(guò)疊加來(lái)獲得不同載荷情況的解答。每種載荷情況都必須作為獨(dú)立的分析進(jìn)行定義和求解。4非線性有限元的分類非線性的來(lái)源：在結(jié)構(gòu)的力學(xué)模擬中有三種：材料非線性邊界非線性（接觸）幾何非線性4非線性有限元的分類材料非線性大多數(shù)金屬在低應(yīng)變值時(shí)都具有良好的線性應(yīng)力/應(yīng)變關(guān)系；但是在高應(yīng)變時(shí)材料發(fā)生屈服，此時(shí)材料的響應(yīng)成為了非線性和不可恢復(fù)的。

橡膠材料是一種非線性、可恢復(fù)（彈性）響應(yīng)的材料。材料的非線性也可能與應(yīng)變以外的其它因素有關(guān)。應(yīng)變率相關(guān)材料數(shù)據(jù)和材料失效都是材料非線性的形式。材料性質(zhì)也可以是溫度和其它預(yù)先定義的場(chǎng)變量的函數(shù)。4非線性有限元的分類邊界非線性如果邊界條件在分析過(guò)程中發(fā)生變化，就會(huì)產(chǎn)生邊界非線性問(wèn)題。懸臂梁隨著施加的載荷產(chǎn)生撓曲。

梁端點(diǎn)在接觸到障礙物以前，其豎向撓度與載荷成線性關(guān)系（如果撓度是小量）。當(dāng)碰到障礙物時(shí)梁端點(diǎn)的邊界條件發(fā)生了突然的變化，阻止了任何進(jìn)一步的豎向撓度，因此梁的響應(yīng)將不再是線性的。邊界非線性是極度的不連續(xù)；當(dāng)在模擬中發(fā)生接觸時(shí)，結(jié)構(gòu)中的響應(yīng)在瞬時(shí)會(huì)發(fā)生很大的變化。另一個(gè)邊界非線性的例子是將板材材料沖壓入模具的過(guò)程。在與模具接觸前，板材在壓力下比較容易發(fā)生伸展變形。在與模具接觸后，由于邊界條件的改變，必須增加壓力才能使板材繼續(xù)成型。4非線性有限元的分類幾何非線性幾何非線性發(fā)生在位移大小影響到結(jié)構(gòu)響應(yīng)的情況。由于：大撓度或大轉(zhuǎn)動(dòng)；“突然翻轉(zhuǎn)”（Snapthrough）；初應(yīng)力或載荷剛性化。

如果端部的撓度較小，可以認(rèn)為是近似的線性分析。然而，如果端部的撓度較大，結(jié)構(gòu)的形狀乃至其剛度都會(huì)發(fā)生改變。另外，如果載荷不能保持與梁軸垂直，載荷對(duì)結(jié)構(gòu)的作用也將發(fā)生明顯的改變。當(dāng)懸臂梁撓曲時(shí)，載荷的作用可以分解為一個(gè)垂直于梁的分量和一個(gè)沿梁長(zhǎng)度方向的分量。這兩種效應(yīng)都會(huì)對(duì)懸臂梁的非線性響應(yīng)產(chǎn)生貢獻(xiàn)（即，隨著梁承受載荷的增加，梁的剛度發(fā)生變化）。4非線性有限元的分類

不難理解大撓度和大轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)承載的方式會(huì)產(chǎn)生顯著的影響。然而，并不一定位移相對(duì)于結(jié)構(gòu)尺寸很大時(shí)，幾何非線性才顯得重要?？紤]一塊很大的具有小曲率的板在所受壓力下的“突然翻轉(zhuǎn)”。

板的剛度在變形時(shí)會(huì)產(chǎn)生劇烈的變化。當(dāng)板突然翻轉(zhuǎn)時(shí)，剛度變負(fù)；盡管位移的量值相對(duì)于板的尺寸很小，但是有明顯的幾何非線性，必須在模擬中加以考慮。4非線性有限元的分類幾何非線性剛性懸臂梁值域平衡條件

約束剛度K

非線性關(guān)系

線性關(guān)系4非線性有限元的分類幾何非線性剛性懸臂柱平衡條件

約束剛度K

線性關(guān)系

非線性關(guān)系

3個(gè)解答有限元分析：Buckling特征值(eigenvalues)－彈性臨界(屈曲)載荷特征向量(eigenvectors)－屈曲模態(tài)非線性分析包含下列步驟：建立模型－Pre-process基本方程的公式離散方程求解方法表述結(jié)果－Post-process4非線性有限元的分類4非線性有限元的分類非線性有限元基本解決方案：材料非線性－Newton-Raphson迭代(隱式)，中心差分，R-K（顯式）邊界非線性－接觸(約束，連接，摩擦，滑移）

Lagrange乘子，罰函數(shù)幾何非線性－考慮Jaumann率的大變形算法，弧長(zhǎng)法（Riks）非線性分析包含幾個(gè)重要主題：選擇近似的方法（如Newton-Raphson）選擇合適的網(wǎng)格描述，動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的描述檢驗(yàn)結(jié)果和求解過(guò)程的穩(wěn)定性（物理和數(shù)值）認(rèn)識(shí)模型的平滑響應(yīng)和隱含的求解質(zhì)量和困難判斷假設(shè)的作用和誤差的來(lái)源4非線性有限元的分類5非線性有限元的應(yīng)用

（略）6網(wǎng)格和標(biāo)記

6網(wǎng)格和標(biāo)記

非線性有限元分析關(guān)聯(lián)三個(gè)領(lǐng)域：線性有限元方法，結(jié)構(gòu)分析矩陣方法的擴(kuò)展；非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)；數(shù)學(xué)，包括數(shù)值分析、線性代數(shù)和泛函。標(biāo)記方法：矩陣、張量和指標(biāo)標(biāo)記3種標(biāo)記方法：

1.指標(biāo)標(biāo)記矢量，一階張量，指標(biāo)重復(fù)兩次為求和，

三維問(wèn)題

缺點(diǎn)：公式，程序難以閱讀

2.張量標(biāo)記指標(biāo)不出現(xiàn)，獨(dú)立于坐標(biāo)系統(tǒng)：直角，柱，曲線

小寫(xiě)黑體字母表示一階,v，大寫(xiě)表示高階,E;除外。

內(nèi)部指標(biāo)縮并，

例如線性本構(gòu)方程：

6網(wǎng)格和標(biāo)記

3.矩陣標(biāo)記

二次項(xiàng)：應(yīng)變能：，

6網(wǎng)格和標(biāo)記

Voigt標(biāo)記

在有限元編程中，將對(duì)稱的二階張量寫(xiě)成列矩陣。我們將它和高階張量的任何其它換算稱為列矩陣Voigt標(biāo)記。關(guān)于轉(zhuǎn)換對(duì)稱二階張量到列矩陣的過(guò)程稱為Voigt規(guī)則。動(dòng)力學(xué)Voigt規(guī)則：Voigt規(guī)則取決于是否一個(gè)張量是一個(gè)動(dòng)力學(xué)量，諸如應(yīng)力，或者運(yùn)動(dòng)學(xué)量，諸如應(yīng)變。關(guān)于動(dòng)力學(xué)張量的Voigt規(guī)則，諸如對(duì)稱張量（二維問(wèn)題）ija1112221236網(wǎng)格和標(biāo)記

Voigt標(biāo)記

運(yùn)動(dòng)學(xué)Voigt規(guī)則

對(duì)于二階張量，運(yùn)動(dòng)學(xué)張量，諸如應(yīng)變也可以在表A1.1中給出。但是，剪切應(yīng)變，即用不相同指標(biāo)表示的分量，需要乘以2。因此，關(guān)于應(yīng)變的Voigt規(guī)則為

張量Voigt

(A1.3)矩陣向量化

i是分量指標(biāo)，I是節(jié)點(diǎn)編號(hào)6網(wǎng)格和標(biāo)記

空間坐標(biāo)：x,

Eulerian坐標(biāo)，指一點(diǎn)在空間的位置。

材料坐標(biāo)：X,Lagrangian坐標(biāo),標(biāo)記一個(gè)材料點(diǎn)，每一個(gè)材料點(diǎn)有唯一的材料坐標(biāo)，一般為在物體初始構(gòu)形中的空間坐標(biāo)，當(dāng)t=0,X=x。物體的運(yùn)動(dòng)或變形用函數(shù)

稱其為在初始構(gòu)形與當(dāng)前構(gòu)形之間的變換，如運(yùn)動(dòng)：

逆變換：1.網(wǎng)格描述，

2.動(dòng)力學(xué)描述，應(yīng)力張量和動(dòng)量方程

3.運(yùn)動(dòng)學(xué)描述，應(yīng)變度量6網(wǎng)格和標(biāo)記

6網(wǎng)格和標(biāo)記

Lagrangian網(wǎng)格和Eulerian網(wǎng)格描述6網(wǎng)格和標(biāo)記

一個(gè)Lagrangian網(wǎng)格像在材料上的蝕刻：當(dāng)材料變形時(shí)，蝕刻(和單元)隨著變形。一個(gè)Eulerian網(wǎng)格像放在材料前面一薄片玻璃上的蝕刻：當(dāng)材料變形時(shí)，蝕刻不變形，而材料橫穿過(guò)網(wǎng)格。6網(wǎng)格和標(biāo)記

Lagrangian網(wǎng)格，材料點(diǎn)與網(wǎng)格點(diǎn)保持重合，單元隨材料變形，適合描述固體與結(jié)構(gòu)的變形，但容易嚴(yán)重扭曲。解決方法：ALE網(wǎng)格

(ArbitraryLagrangianEulerian)

節(jié)點(diǎn)能夠有序地任意運(yùn)動(dòng)，在邊界上的節(jié)點(diǎn)保持在邊界上運(yùn)動(dòng)，內(nèi)部的節(jié)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)使網(wǎng)格扭曲最小化。7偏微分方程分類

當(dāng)面對(duì)這樣的力學(xué)問(wèn)題，引起物體開(kāi)裂的原因既要考慮到溫度的影響，又要考慮到振動(dòng)的效應(yīng)，我們會(huì)被問(wèn)到：應(yīng)該選擇哪種類型的偏微分方程?

在有限元軟件中，可以將各種因素作為輸入文件，計(jì)算得到解答。然而，當(dāng)討論這些結(jié)果的合理性時(shí)，我們會(huì)被問(wèn)到：哪些因素控制著解答，什么情況下是溫度控制，或是振動(dòng)控制，他們共同控制解答的條件是什么?

帶著這些問(wèn)題，為了理解各種有限元程序的適用性，我們需要理解偏微分方程的屬性。7偏微分方程分類

雙曲線，典型問(wèn)題是波的傳播，如弦振動(dòng)拋物線，典型問(wèn)題是擴(kuò)散方程，如熱傳導(dǎo)橢圓，典型例子是彈性力學(xué)平衡方程；

Laplace方程，及其非齊次Poisson方程； 斷裂力學(xué)中Griffith解答,應(yīng)用了Inglis無(wú)限大平板含橢圓孔的解。7偏微分方程分類

雙曲線拋物線橢圓為了理解有限元程序的適用性，解答的屬性，影響解的因素，如解答的平順性，信息傳播(如波、力和場(chǎng))、邊界與初始條件的影響，因此需要了解各種類型的偏微分方程。

如果不計(jì)時(shí)間相關(guān)性，三個(gè)方程退化為同一種形式，固體力學(xué)方程從雙曲線變化為橢圓。7偏微分方程分類

PDEs發(fā)展是先降為一階系統(tǒng)，如兩個(gè)未知量的一個(gè)準(zhǔn)線性系統(tǒng)：PDEs分類依據(jù)是線段或者表面是否存在交叉，若存在交叉，導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。式中的Ai,Bi,Ci,Di是獨(dú)立變量x和y，以及兩個(gè)非獨(dú)立變量u和v的函數(shù)。方程中的導(dǎo)數(shù)是線性的。

讓我們檢驗(yàn)u和v在x-y平面內(nèi)是否可能有不連續(xù)的導(dǎo)數(shù)?？紤]參數(shù)為s的一條曲線Г，沿著Г導(dǎo)數(shù)可能連續(xù)，橫向Г導(dǎo)數(shù)可能不連續(xù)。由連鎖法則，非獨(dú)立變量的導(dǎo)數(shù)可以寫(xiě)成：7偏微分方程分類

將上面公式寫(xiě)成一個(gè)矩陣方程，得到如果導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的，上面系統(tǒng)線性代數(shù)方程的解答是非確定的，例如，沒(méi)有唯一解答，它暗示在某些運(yùn)算后，得到一個(gè)條件服從

式中除以，并注意到7偏微分方程分類

得到一元二次方程公式的解答為二次方程的根

有兩族特征函數(shù)，雙曲線，導(dǎo)數(shù)不連續(xù)有一族特征函數(shù)，拋物線，平滑無(wú)實(shí)特征函數(shù)，橢圓，平滑

雙曲線系統(tǒng)的特征－存在交叉，穿過(guò)特征函數(shù)線的導(dǎo)數(shù)可能是不連續(xù)的，如應(yīng)變或速度分量。7偏微分方程分類

雙曲線，典型問(wèn)題是波的傳播，如弦振動(dòng)

在雙曲線系統(tǒng)中，信息以有限的速度傳播，例如一維情況，波速為c＝x/t的直線斜率。一個(gè)力在t＝0時(shí)刻施加在桿的左端，在右側(cè)x處的觀察者直到波傳播到該點(diǎn)時(shí)才有感覺(jué)。例1：一維波動(dòng)方程其解答為兩個(gè)實(shí)根

波速為的直線斜率。2.拋物線，典型問(wèn)題是擴(kuò)散方程，如熱傳導(dǎo)7偏微分方程分類

在拋物線系統(tǒng)中，僅存在一族特征函數(shù)值，它們平行于時(shí)間軸，因此信息以無(wú)限速度傳播。施加在桿的左端的熱源，使得沿著整個(gè)桿件的溫度瞬間升高，升溫呈梯度變化，遠(yuǎn)離熱源處，溫度增加的可能非常少，而在雙曲線型模型中，該處在波傳播到達(dá)前沒(méi)有反應(yīng)。例2：一維熱傳導(dǎo)的方程7偏微分方程分類

3.橢圓，典型例子是彈性力學(xué)平衡方程

在橢圓系統(tǒng)中，虛根，無(wú)實(shí)特征函數(shù)，與雙曲線是對(duì)立的，方程與時(shí)間無(wú)關(guān)，在任何邊界點(diǎn)的數(shù)據(jù)趨向于影響全部解答，數(shù)據(jù)的影響域是全部區(qū)域。而在邊界處小量的不規(guī)則數(shù)據(jù)滿足St.Venant’s原理。求解橢圓PDEs的困難在于邊界處尖角所導(dǎo)致的解答奇異性，如斷裂力學(xué)中的裂紋尖端奇異性和赫茲接觸中的邊界奇異性等。例3：平面彈性力學(xué)的Laplace方程學(xué)習(xí)要求

計(jì)算機(jī)仿真的5個(gè)方面訓(xùn)練：理論模型：科學(xué)知識(shí)，經(jīng)驗(yàn)公式，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)模型：推導(dǎo)和描述系統(tǒng)和過(guò)程的數(shù)學(xué)公式計(jì)算模型：建立前處理模型，算法，數(shù)據(jù)處理計(jì)算模型的求解：計(jì)算機(jī)科學(xué)，工程數(shù)學(xué)，概率統(tǒng)計(jì)后處理，預(yù)見(jiàn)、決策：經(jīng)驗(yàn)和準(zhǔn)則，數(shù)據(jù)分析的知識(shí)，科學(xué)原理的理解計(jì)算固體力學(xué)

第2章Lagrangian和Eulerian有限元第2章一維Lagrangian和Eulerian有限元

引言完全的Lagrangian格式的控制方程,弱形式有限元離散，單元和總體矩陣更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，單元方程求解方法Eulerian格式的控制方程，弱形式,有限元方程1引言

1引言

非線性連續(xù)體一維模型（桿）的有限元方程在固體力學(xué)中，Lagrangian網(wǎng)格是最普遍應(yīng)用的，其吸引力在于它們能夠很容易地處理復(fù)雜的邊界條件，并且能夠跟蹤材料點(diǎn)，因此能夠精確地描述依賴于歷史的材料。在Lagrangian有限元的發(fā)展中，一般采用兩種方法：以Lagrangian度量的形式表述應(yīng)力和應(yīng)變的公式，導(dǎo)數(shù)和積分運(yùn)算采用相應(yīng)的Lagrangian（材料）坐標(biāo)X，稱為完全的Lagrangian格式（TL）。2.以Eulerian度量的形式表述應(yīng)力和應(yīng)變的公式，導(dǎo)數(shù)和積分運(yùn)算采用相應(yīng)的Eulerian（空間）坐標(biāo)x，稱為更新的Lagrangian格式（UL）。非線性與線性公式的主要區(qū)別是前者需要定義積分賦值的坐標(biāo)系和確定選擇應(yīng)力和應(yīng)變的度量。兩種格式的主要區(qū)別在于：TL，在初始構(gòu)形上描述變量，UL，在當(dāng)前構(gòu)形上描述變量。不同的應(yīng)力和變形度量分別應(yīng)用在這兩種格式中。TL，習(xí)慣于采用一個(gè)應(yīng)變的完全度量，UL，常常采用應(yīng)變的率度量。這些并不是格式的固有特點(diǎn)，在UL中采用應(yīng)變的完全度量是可能的，并且在TL中可以采用應(yīng)變的率度量。盡管TL和UL表面看來(lái)有很大區(qū)別，兩種格式的力學(xué)本質(zhì)是相同的；因此，TL可以轉(zhuǎn)換為UL，反之亦然。1引言

對(duì)于每一種公式，將建立動(dòng)量方程的弱形式，已知為虛功原理（或虛功）。這種弱形式是通過(guò)對(duì)變分項(xiàng)與動(dòng)量方程的乘積進(jìn)行積分來(lái)建立。在TL格式中，積分在所有材料坐標(biāo)上進(jìn)行；在Eulerian和UL格式中，積分在空間坐標(biāo)上進(jìn)行。也將說(shuō)明如何處理力邊界條件，因此近似（試）解不需要滿足力邊界條件。這個(gè)過(guò)程與在線性有限元分析中的過(guò)程是一致的，在非線性公式中的主要區(qū)別是需要定義積分賦值的坐標(biāo)系和確定選擇應(yīng)力和應(yīng)變的度量。1引言

推導(dǎo)有限元近似計(jì)算的離散方程。對(duì)于考慮加速度（動(dòng)力學(xué)）或那些包含率相關(guān)材料的問(wèn)題，推導(dǎo)離散有限元方程為普通微分方程（ODEs）。這個(gè)空間的離散過(guò)程稱為半離散化，因?yàn)橛邢拊獌H將空間微分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為離散形式，而沒(méi)有對(duì)時(shí)間導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散。對(duì)于靜力學(xué)與率無(wú)關(guān)材料問(wèn)題，離散方程獨(dú)立于時(shí)間，有限元離散將導(dǎo)致一組非線性代數(shù)方程。2完全的Lagrangian格式2.2TL的控制方程初始構(gòu)形參考構(gòu)形當(dāng)前構(gòu)形變形構(gòu)形2完全的Lagrangian格式物體的運(yùn)動(dòng)由Lagrangian坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)描述是在初始域與當(dāng)前域之間的映射

當(dāng)材料坐標(biāo)在初始位置

2完全的Lagrangian格式位移差

或者

變形梯度

偏微分的意義？

2完全的Lagrangian格式定義Jacobian：作為變形物體的無(wú)限小體積相對(duì)于變形前物體微段體積的比值

應(yīng)變的度量

在變形前構(gòu)形中上式為零，它等效于工程應(yīng)變

應(yīng)力的度量

Cauchy應(yīng)力

名義應(yīng)力

在多維上沒(méi)有工程應(yīng)力的定義。

工程應(yīng)力

物理應(yīng)力

初始值，J0＝12完全的Lagrangian格式推導(dǎo)方程應(yīng)用下面方程推導(dǎo)非線性桿：

1.質(zhì)量守恒

2.動(dòng)量守恒

3.能量守恒

4.變形度量，也常稱為應(yīng)變-位移方程

5.本構(gòu)方程，描述材料應(yīng)力與變形度量的關(guān)系

另外，要求變形保持連續(xù)性，稱為協(xié)調(diào)性要求。質(zhì)量守恒

2完全的Lagrangian格式對(duì)于Lagrangian格式，質(zhì)量守恒方程為對(duì)于一維桿動(dòng)量守恒

由名義應(yīng)力P和Lagrangian坐標(biāo)給出(單位長(zhǎng)度的力)

如果初始橫截面面積在空間保持常數(shù)，則動(dòng)量方程成為應(yīng)力在坐標(biāo)方向的分量

b－單位質(zhì)量的力－體力

平衡方程

2完全的Lagrangian格式平衡意味著物體處于靜止或者以勻速運(yùn)動(dòng)

能量守恒

內(nèi)部功率由變形率的梯度和名義應(yīng)力P的乘積給出

本構(gòu)方程

不計(jì)慣性力，則動(dòng)量方程成為平衡方程etc.

表示影響應(yīng)力的其他變量，如溫度，夾雜等。

是變形歷史的函數(shù)。

完全形式

率形式

2完全的Lagrangian格式本構(gòu)方程的例子

1)線彈性材料

完全形式

率形式

2)線性粘彈性材料

etc.

表示影響應(yīng)力的其他變量，如溫度，夾雜等。

是變形歷史的函數(shù)。

完全形式

率形式

2完全的Lagrangian格式邊界條件

位移邊界

力邊界n0單位法線（＋,－）

一端固定一端自由桿

邊界條件滿足

初始條件

動(dòng)量方程是關(guān)于X二階的（偏微分方程）。因此在每一端，必須描述u或者作為邊界條件。2完全的Lagrangian格式內(nèi)部連續(xù)條件

跳躍條件函數(shù)的連續(xù)性

如果函數(shù)的第n階導(dǎo)數(shù)是連續(xù)函數(shù)，該函數(shù)為連續(xù)函數(shù)是連續(xù)可導(dǎo)的（它的一階導(dǎo)數(shù)存在并且處處連續(xù)）

在函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)只是分段可導(dǎo)，一維函數(shù)不連續(xù)發(fā)生在點(diǎn)上，二維函數(shù)不連續(xù)發(fā)生在線段上，三維函數(shù)不連續(xù)發(fā)生在面上。

函數(shù)本身不連續(xù)，xi是不連續(xù)點(diǎn)。動(dòng)量平衡要求關(guān)于泛函和變分的概念變

量函數(shù)函數(shù)泛函

泛函－函數(shù)的函數(shù)（functional,functionoffunction)當(dāng)虛位移是真實(shí)位移的增量時(shí)，虛位移原理

We＝V

中的

V

就是泛函V

的變分。微分是函數(shù)的增量，變分是泛函的增量。w(x)是x函數(shù)V

(w(x))是w(x)的泛函

自然變分原理是對(duì)物理問(wèn)題的微分方程和邊界條件建立對(duì)應(yīng)的泛函，使泛函取駐值得到問(wèn)題的解答，但是其未知場(chǎng)函數(shù)需要滿足一定的附加條件。

廣義變分原理（或稱約束變分方程）不需要事先滿足附加條件，采用Lagrange乘子法和罰函數(shù)法將附加條件引入泛函，重新構(gòu)造一個(gè)修正泛函，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求修正泛函的駐值。稱為無(wú)附加條件的變分原理。對(duì)于罰函數(shù)方法，將罰參數(shù)取正值，對(duì)修正泛函得到的近似解只是近似地滿足附加條件，罰參數(shù)值越大，附加條件的滿足程度就越好。而在實(shí)際計(jì)算中，罰函數(shù)只能取有限值，所以利用罰函數(shù)求解只能得到近似解。2完全的Lagrangian格式

有限元方法不能直接離散動(dòng)量方程。為了離散這個(gè)方程，需要一種弱形式，稱為變分形式，即虛功原理或者虛功率，通過(guò)對(duì)變分項(xiàng)與動(dòng)量方程的乘積進(jìn)行積分來(lái)建立的。虛功原理或者弱形式是等價(jià)于動(dòng)量方程和力邊界條件的。后者稱為經(jīng)典強(qiáng)形式。2完全的Lagrangian格式2.3TL的弱形式強(qiáng)形式到弱形式弱形式到強(qiáng)形式

對(duì)于動(dòng)量方程和力邊界條件,現(xiàn)在建立弱形式，要求：滿足所有位移邊界條件并足夠平滑，因此確切定義了動(dòng)量方程中的所有導(dǎo)數(shù)。也假設(shè)足夠光滑，這樣確切定義了所有的后續(xù)步驟，并在指定的位移邊界條件上為零。這是標(biāo)準(zhǔn)和經(jīng)典的建立弱形式的方法。盡管它所導(dǎo)致的連續(xù)性要求比在有限元近似中更加嚴(yán)格，在我們看到以較少的強(qiáng)制連續(xù)性要求所得到的結(jié)論之前，我們?nèi)岳^續(xù)采用這種方法。2完全的Lagrangian格式試函數(shù)變分項(xiàng)強(qiáng)形式到弱形式取動(dòng)量方程與變分項(xiàng)的乘積并在全域內(nèi)積分得到弱形式，給出

2完全的Lagrangian格式強(qiáng)形式到弱形式名義應(yīng)力P是一個(gè)試位移函數(shù)。展開(kāi)第一項(xiàng)乘積的導(dǎo)數(shù)，整理得到分布積分在指定位移邊界處變分項(xiàng)消失，第二行服從邊界互補(bǔ)條件和力邊界條件。給出完全的Lagrangian格式的動(dòng)量方程和力邊界條件的弱形式

弱形式到強(qiáng)形式2完全的Lagrangian格式弱形式給出

由虛位移的任意性，試證明得到強(qiáng)形式

(參考4.3.2節(jié))：動(dòng)量方程力邊界條件內(nèi)部連續(xù)條件

可以看出，如果允許較低平滑的變分項(xiàng)和試函數(shù)，在強(qiáng)形式中將附加一個(gè)方程－－內(nèi)部連續(xù)條件。如果選取的變分項(xiàng)和試函數(shù)滿足經(jīng)典的平滑條件，在強(qiáng)形式中則沒(méi)有內(nèi)部連續(xù)條件。對(duì)于平滑的變分項(xiàng)和試函數(shù)，弱形式僅采用動(dòng)量方程和力邊界條件。

較低平滑性要求的變分項(xiàng)和試函數(shù)僅是連續(xù)，需要處理在橫截面上和材料參數(shù)中的不連續(xù)點(diǎn)。在材料界面，經(jīng)典強(qiáng)形式是不適用的，因?yàn)樗僭O(shè)任何點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)是唯一定義的。然而，在材料界面處，應(yīng)變，即位移場(chǎng)的導(dǎo)數(shù)是不連續(xù)的。采用粗糙的變分項(xiàng)和試函數(shù)，在這些界面上自然出現(xiàn)附加條件－內(nèi)部連續(xù)條件。在TL弱形式中，所有的積分都是在材料域上進(jìn)行，比如參考構(gòu)形。由于求導(dǎo)是對(duì)材料坐標(biāo)X進(jìn)行，所以在材料域上應(yīng)用分部積分是最方便的。2完全的Lagrangian格式2完全的Lagrangian格式虛功項(xiàng)的物理名稱

外力虛功內(nèi)力虛功慣性虛功虛功原理

方程是動(dòng)量方程、力邊界條件和應(yīng)力跳躍條件的弱形式。

弱形式中包含強(qiáng)形式，并且強(qiáng)形式中包含弱形式，所以弱和強(qiáng)形式是等價(jià)的。對(duì)于動(dòng)量方程，強(qiáng)和弱形式的這種等價(jià)稱為虛功原理。2完全的Lagrangian格式

以弱形式作為虛功表達(dá)式的觀點(diǎn)提供了統(tǒng)一性，對(duì)于在不同坐標(biāo)系上和不同類型問(wèn)題中建立弱形式是很有用途的：為了獲得弱形式，只需要寫(xiě)出虛能量方程。因此，可以避免前面所做的由變分項(xiàng)與方程相乘并進(jìn)行各種處理的過(guò)程。

從數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，沒(méi)有必要考慮變分函數(shù)作為虛位移：它們是簡(jiǎn)單的變分函數(shù)，滿足連續(xù)條件和在位移邊界上為零。對(duì)于有限元方程的離散，方程與變分函數(shù)的乘積沒(méi)有物理意義。

建立弱形式中的關(guān)鍵步驟是分部積分，從而消除了關(guān)于應(yīng)力P的導(dǎo)數(shù)。如果沒(méi)有這一步，力邊界條件就不得不強(qiáng)加在試函數(shù)上。作為弱形式，由分部積分和降低對(duì)應(yīng)力和試位移平滑性的要求是更方便的。2完全的Lagrangian格式3有限元離散，單元和總體矩陣3.1TL的有限元離散有限元近似

通過(guò)對(duì)變分項(xiàng)和試函數(shù)應(yīng)用有限元插值，由虛功原理得到有限元模型的離散方程。

有限元試函數(shù)

是連續(xù)插值函數(shù)，稱為形函數(shù)。形函數(shù)滿足條件：是Kroneckerdelta或單位矩陣：當(dāng)I=J時(shí)；當(dāng)IJ時(shí)；運(yùn)動(dòng)學(xué)條件，試函數(shù)u要滿足連續(xù)性和基本邊界條件。方程表示變量分離：解的空間相關(guān)性由形函數(shù)表示，而時(shí)間相關(guān)性歸屬于節(jié)點(diǎn)變量。3有限元離散，單元和總體矩陣節(jié)點(diǎn)力

3有限元離散，單元和總體矩陣為了建立有限元方程，要為每一個(gè)虛功項(xiàng)定義節(jié)點(diǎn)力

外力虛功內(nèi)力虛功慣性虛功

這些名稱給節(jié)點(diǎn)力賦予了物理意義：內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力對(duì)應(yīng)于在材料內(nèi)部的應(yīng)力，外部節(jié)點(diǎn)力對(duì)應(yīng)于外部施加的荷載，而動(dòng)態(tài)或慣性節(jié)點(diǎn)力對(duì)應(yīng)于慣性。節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移是功共軛的，一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移的增量與節(jié)點(diǎn)力的標(biāo)量積給出功的增量，一旦違背，質(zhì)量和剛度矩陣的對(duì)稱性將被破壞。節(jié)點(diǎn)力

內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力是由固體對(duì)變形的阻力而引起的節(jié)點(diǎn)力；

外部節(jié)點(diǎn)力

慣性節(jié)點(diǎn)力

3有限元離散，單元和總體矩陣每一個(gè)虛功項(xiàng)節(jié)點(diǎn)力表達(dá)式代入虛功原理給出由于的任意性，在所有節(jié)點(diǎn)除了位移邊界外，即節(jié)點(diǎn)1，它服從

運(yùn)動(dòng)方程－－半離散方程

3有限元離散，單元和總體矩陣

在模型中，節(jié)點(diǎn)1的加速度并不是未知的，它是一個(gè)給定位移的節(jié)點(diǎn)?？梢酝ㄟ^(guò)給定節(jié)點(diǎn)位移對(duì)時(shí)間求二次導(dǎo)數(shù)，得到給定位移節(jié)點(diǎn)的加速度。這個(gè)給定的位移必須足夠光滑，可求導(dǎo)二次；這要求它是時(shí)間的C1函數(shù)(細(xì)長(zhǎng)梁模型）。

當(dāng)質(zhì)量矩陣不是對(duì)角陣時(shí)，給定位移對(duì)沒(méi)有在邊界的節(jié)點(diǎn)也作出貢獻(xiàn)。對(duì)于對(duì)角質(zhì)量陣的情況，不出現(xiàn)下式右端項(xiàng)。

MIJ－J處位移對(duì)I處慣性力貢獻(xiàn)的質(zhì)量。

在矩陣形式中，不能簡(jiǎn)單地表示給定位移邊界條件，所以必須考慮指標(biāo)形式(上式)以補(bǔ)充。

運(yùn)動(dòng)方程－半離散方程(矩陣形式)

運(yùn)動(dòng)方程在空間是離散的，在時(shí)間上是連續(xù)的，有時(shí)簡(jiǎn)稱離散方程。在有限元離散中，質(zhì)量矩陣常常為非對(duì)角陣(一致質(zhì)量矩陣)，運(yùn)動(dòng)方程區(qū)別于牛頓第二定律，當(dāng)MIJ≠0時(shí)，節(jié)點(diǎn)I處的力可以在節(jié)點(diǎn)J處產(chǎn)生加速度。而集中質(zhì)量矩陣的運(yùn)動(dòng)方程等價(jià)于牛頓第二定律。3有限元離散，單元和總體矩陣為在質(zhì)點(diǎn)I上的凈力。由牛頓第三定律，作用在節(jié)點(diǎn)上的力大小相等，而方向相反，因此內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力需要一個(gè)負(fù)號(hào)。

單元和總體矩陣

在有限元程序中，通常以一個(gè)單元水平計(jì)算節(jié)點(diǎn)力和質(zhì)量矩陣，將單元節(jié)點(diǎn)力結(jié)合入總體矩陣，稱為離散或矢量組合。

組合單元的質(zhì)量矩陣和其它方陣到總體矩陣，稱為矩陣裝配。

通過(guò)計(jì)算可以從總體矩陣中提取單元節(jié)點(diǎn)位移，稱為集合。3有限元離散，單元和總體矩陣2節(jié)點(diǎn)單元一維網(wǎng)格的集合和離散運(yùn)算的描述，兩組單元節(jié)點(diǎn)位移的集合：位移根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)集合；計(jì)算節(jié)點(diǎn)力的離散：節(jié)點(diǎn)力根據(jù)節(jié)點(diǎn)編號(hào)返回總體力矩陣。3有限元離散，單元和總體矩陣2節(jié)點(diǎn)單元一維網(wǎng)格的單元形函數(shù)Ne(X)和總體形函數(shù)N(X)3有限元離散，單元和總體矩陣單元節(jié)點(diǎn)位移與總體節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為

Le為連接矩陣。類似的獲得單元節(jié)點(diǎn)力。

應(yīng)用連接矩陣還可以建立單元形函數(shù)和總體形函數(shù)之間的關(guān)系，總體位移場(chǎng)可以由所有單元的位移求和得到：對(duì)單元形函數(shù)求和得到總體形函數(shù)

3有限元離散，單元和總體矩陣?yán)}

3有限元離散，單元和總體矩陣3有限元離散，單元和總體矩陣3有限元離散，單元和總體矩陣3有限元離散，單元和總體矩陣4更新的Lagrangian格式4.1UL的控制方程初始構(gòu)形參考構(gòu)形當(dāng)前構(gòu)形變形構(gòu)形4更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，單元方程4更新的Lagrangian格式的控制方程,弱形式，單元方程UL格式是TL格式的一個(gè)簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)換。在數(shù)值上，離散方程是相同的，而實(shí)際在同一程序中，對(duì)某些節(jié)點(diǎn)力我們可以應(yīng)用TL格式，而對(duì)其它的節(jié)點(diǎn)力應(yīng)用UL格式。為什么采用兩種方法，而它們基本上是一致的。4.1UL的控制方程

主要原因是它們都在被廣泛地應(yīng)用，因此，為了理解程序和文獻(xiàn)，有必要熟悉兩種格式。

應(yīng)變的度量由變形率給出

應(yīng)力的度量

Cauchy應(yīng)力

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.1UL的控制方程以Eulerian坐標(biāo)表述相關(guān)變量，空間坐標(biāo)速度應(yīng)變

UL格式的兩個(gè)相關(guān)變量－速度和Cauchy應(yīng)力

質(zhì)量守恒

對(duì)于桿

動(dòng)量守恒

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程能量守恒

－熱流量－熱源本構(gòu)方程

變形度量

4.1UL的控制方程邊界條件

速度邊界等價(jià)位移邊界

力邊界n

單位法線（＋,－）

一端固定一端自由桿

邊界條件滿足

初始條件

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.1UL的控制方程4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.2UL的弱形式由動(dòng)量方程乘以變分函數(shù)

弱形式－虛功率原理

強(qiáng)形式－虛功率原理的逆過(guò)程：動(dòng)量方程， 力邊界條件 內(nèi)部連續(xù)條件

積分在當(dāng)前域上完成

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.2UL的弱形式內(nèi)部虛功率

外力虛功率

慣性力虛功率

弱形式

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程

在一個(gè)單元的水平上建立方程，通過(guò)裝配獲得總體方程。相關(guān)變量為速度和應(yīng)力。建立本構(gòu)方程、質(zhì)量守恒方程，動(dòng)量方程。由于質(zhì)量守恒是一個(gè)代數(shù)方程，可以容易地計(jì)算任意一點(diǎn)的密度。建立半離散方程。單元的速度場(chǎng)為單元的加速度場(chǎng)為

將形函數(shù)表示成為材料坐標(biāo)的函數(shù)是非常關(guān)鍵的，它與時(shí)間無(wú)關(guān)。如果將形函數(shù)由Eulerian坐標(biāo)表示為形函數(shù)的材料時(shí)間導(dǎo)數(shù)不為零（注意與TL區(qū)別），并且不能將加速度表示為同樣形函數(shù)與節(jié)點(diǎn)加速度乘積的形式。

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程Eulerian坐標(biāo)與單元坐標(biāo)之間的映射為

位移可以由相同的形函數(shù)進(jìn)行插值

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程

形函數(shù)與時(shí)間無(wú)關(guān)，通過(guò)位移的導(dǎo)數(shù)得到速度和加速度，變分函數(shù)由同一形函數(shù)給出變形率可以表示為形函數(shù)的形式為4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程通過(guò)一個(gè)B矩陣，將變形率表示為節(jié)點(diǎn)速度的形式變形率可以表示為形函數(shù)的形式為形函數(shù)的空間導(dǎo)數(shù)由鏈規(guī)則得到

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程4.3UL的單元方程

與TL格式相同，在UL格式中，質(zhì)量矩陣不隨時(shí)間變化，在程序中僅計(jì)算一次即可。4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元以單元坐標(biāo)的形式寫(xiě)出位移和速度場(chǎng)

以單元坐標(biāo)的形式寫(xiě)出位移和速度場(chǎng)

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元其中:

B矩陣給出為

變形率給出為

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元如果是常數(shù)，單元中的變形率是線性地變化，這是節(jié)點(diǎn)2位于其它兩節(jié)點(diǎn)中間時(shí)的一種情況。然而，當(dāng)由于單元的畸變，節(jié)點(diǎn)2偏離中間位置時(shí)，變成為的線性函數(shù)，而變形率變成為一個(gè)有理函數(shù)。而當(dāng)節(jié)點(diǎn)2從中間移開(kāi)時(shí)，有可能成為負(fù)數(shù)，或?yàn)榱?，在這種情況下，當(dāng)前空間坐標(biāo)和單元坐標(biāo)的映射將不再一一對(duì)應(yīng)。變形率

4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力

其中

這個(gè)表達(dá)式與TL格式的內(nèi)力表達(dá)式是相同的。4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元-檢查網(wǎng)格畸變當(dāng)單元的節(jié)點(diǎn)2是位于離節(jié)點(diǎn)1的1/4單元長(zhǎng)度時(shí)

在

有

Jacobian

在該點(diǎn)處的當(dāng)前密度為無(wú)窮大。若節(jié)點(diǎn)2移動(dòng)并接近節(jié)點(diǎn)1，在部分單元上Jacobian成為負(fù)數(shù)，這意味著是負(fù)密度值,違背了質(zhì)量守恒。這些情況經(jīng)常隱藏在數(shù)值積分中，因?yàn)樵诟咚狗e分點(diǎn)，當(dāng)Jacobian成為負(fù)數(shù)時(shí),畸變是非常嚴(yán)重的。由

不能滿足一一對(duì)應(yīng)條件也可能導(dǎo)致變形率出現(xiàn)奇異。當(dāng)分母為零或成為負(fù)數(shù)，我們難以得到勢(shì)能。

例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元-檢查網(wǎng)格畸變4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程

在節(jié)點(diǎn)1處變形率為無(wú)窮大。在斷裂力學(xué)中，利用這種二次位移單元的性質(zhì)建立包含裂紋尖端奇異應(yīng)力的單元，稱為四分之一點(diǎn)單元。但是在大位移分析中，這種行為會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。在一維單元中，網(wǎng)格畸變的影響不像在多維問(wèn)題中那么嚴(yán)重。事實(shí)上，應(yīng)用變形梯度F作為這種單元的變形度量多少可以減輕網(wǎng)格畸變的影響。在3節(jié)點(diǎn)單元中，如果X2的初始位置位于中點(diǎn)，那么變形梯度F絕不會(huì)成為奇異。例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元-檢查網(wǎng)格畸變4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元-檢查網(wǎng)格畸變4UL格式的控制方程，弱形式，單元方程3節(jié)點(diǎn)1/4點(diǎn)二次位移單元例2.53節(jié)點(diǎn)二次位移單元-檢查網(wǎng)格畸變5求解方法5求解方法

為了求解非線性問(wèn)題，最簡(jiǎn)單的方法，即時(shí)間顯式積分。最廣泛應(yīng)用的顯式方法是中心差分方法，采用對(duì)角或集中質(zhì)量矩陣。速度

加速度

在時(shí)間間隔中點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值由在間隔端點(diǎn)處函數(shù)值的差得到，顧名思義為中心差分公式。

從t＝0出發(fā)，取時(shí)間步長(zhǎng)Δt

5求解方法5求解方法

對(duì)于位移的更新不需要代數(shù)方程的任何解答，因此，在某種意義上，顯式積分比靜態(tài)線性應(yīng)力分析更加簡(jiǎn)單,不需要矩陣求逆解剛度方程。如在流程圖中看到，對(duì)于控制方程和時(shí)間積分公式，大多數(shù)的顯式程序是直接向前賦值。程序從施加初始條件開(kāi)始,第一個(gè)時(shí)間步多少與其它時(shí)間步的不同在于它僅取半步，這使程序能正確地解釋關(guān)于應(yīng)力和速度的初始條件。大部分程序運(yùn)算時(shí)間是在計(jì)算單元節(jié)點(diǎn)力，尤其是內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力。節(jié)點(diǎn)力是逐個(gè)單元進(jìn)行計(jì)算的。在開(kāi)始計(jì)算前，從總體的列矩陣中集合出單元節(jié)點(diǎn)速度和位移。如流程圖所示，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算包括應(yīng)變方程和本構(gòu)方程的應(yīng)用。通過(guò)應(yīng)力為內(nèi)部節(jié)點(diǎn)力賦值。當(dāng)完成了單元節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算，根據(jù)它們的節(jié)點(diǎn)編號(hào)將其離散到總體列矩陣。5求解方法穩(wěn)定性準(zhǔn)則顯式積分的缺陷在于時(shí)間步長(zhǎng)必須低于一個(gè)臨界值，否則由于數(shù)值不穩(wěn)定將使解答‘隆起’。對(duì)于采用對(duì)角質(zhì)量的2節(jié)點(diǎn)單元的臨界時(shí)間步長(zhǎng)為是單元的初始長(zhǎng)度

是波速

穩(wěn)定性準(zhǔn)則能量守恒(斷裂力學(xué)中為能量平衡)增加時(shí)間步長(zhǎng)：放大質(zhì)量，調(diào)整單元尺寸。6Eulerian格式的控制方程6Eulerian格式的控制方程，弱形式，有限元方程

在Eulerian格式中，節(jié)點(diǎn)在空間固定，相關(guān)變量為Eulerian空間坐標(biāo)x和時(shí)間t的函數(shù)，應(yīng)力度量為Cauchy（物理的）應(yīng)力，變形度量為變形率，運(yùn)動(dòng)由速度描述。在Eulerian格式中，因?yàn)椴荒芙⑽醋冃?、初始的?gòu)形，所以不能將運(yùn)動(dòng)表示為參考坐標(biāo)的函數(shù)。

TL格式比UL格式需要更多的存儲(chǔ)空間，以存儲(chǔ)形函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)值；而UL則需要在每一個(gè)時(shí)間步重復(fù)搜索和計(jì)算形函數(shù)，也會(huì)影響計(jì)算效率。因此，在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)有所選擇，例如對(duì)于大變形的瞬態(tài)問(wèn)題，或者路徑無(wú)關(guān)材料，可采用TL，而與變形歷史有關(guān)的路徑相關(guān)材料，如彈塑性和粘彈塑性材料，則可采用UL。非線性有限元

第3章連續(xù)介質(zhì)力學(xué)

計(jì)算固體力學(xué)第2講連續(xù)介質(zhì)力學(xué)

引言變形和運(yùn)動(dòng)應(yīng)變度量應(yīng)力度量守恒方程Lagrangian守恒方程極分解和框架不變性1引言

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)是非線性有限元分析的基石。從描述變形和運(yùn)動(dòng)開(kāi)始。在剛體的運(yùn)動(dòng)中著重于轉(zhuǎn)動(dòng)的描述。轉(zhuǎn)動(dòng)在非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中扮演了中心的角色，許多更加困難和復(fù)雜的非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問(wèn)題都是源于轉(zhuǎn)動(dòng)。

1引言

非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的應(yīng)力和應(yīng)變，有多種方式定義。在非線性有限元程序中應(yīng)用最頻繁的是：

應(yīng)變度量：Green應(yīng)變張量和變形率。應(yīng)力度量：Cauchy應(yīng)力、名義應(yīng)力和第二Piola－Kirchhoff應(yīng)力，簡(jiǎn)稱為PK2應(yīng)力。還有許多其它的度量，過(guò)多的應(yīng)力和應(yīng)變度量是理解非線性連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的障礙之一。一旦理解了這一領(lǐng)域，就會(huì)意識(shí)到這么多的度量沒(méi)有增加基礎(chǔ)的東西，也許只是學(xué)術(shù)過(guò)量的一種顯示。我們只用一種應(yīng)力和應(yīng)變度量的方式進(jìn)行講授，也涉及到其它的方式，以便能夠理解文獻(xiàn)和軟件。1引言

守恒方程，通常也稱為平衡方程，包括質(zhì)量、動(dòng)量和能量守恒方程。平衡方程是在動(dòng)量方程中當(dāng)加速度為零時(shí)的特殊情況。守恒方程既從空間域也從材料域中推導(dǎo)出來(lái)。推導(dǎo)并解釋極分解原理，檢驗(yàn)Cauchy應(yīng)力張量的客觀率，也稱作框架不變率。解釋了率型本構(gòu)方程要求客觀率的原因，然后表述了幾種非線性有限元中常用的客觀率。2變形和運(yùn)動(dòng)

它們的屬性和響應(yīng)可以用空間變量的平滑函數(shù)來(lái)表征，至多具有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)。它忽略了非均勻性，諸如分子、顆粒或者晶體結(jié)構(gòu)。晶體結(jié)構(gòu)的特性有時(shí)也通過(guò)本構(gòu)方程出現(xiàn)在連續(xù)介質(zhì)模型中，但是假定其響應(yīng)和屬性是平滑的，只具有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)。

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的目的就是提供有關(guān)流體、固體和組織結(jié)構(gòu)的宏觀行為的模型。

Kinematicdescription:應(yīng)變是如何度量的？Kineticdescription:應(yīng)力是如何度量的？Meshdescription:網(wǎng)格移動(dòng)如何聯(lián)系連續(xù)體的運(yùn)動(dòng)？2變形和運(yùn)動(dòng)

在初始域和當(dāng)前域域之間的映射

初始構(gòu)形

當(dāng)前構(gòu)形

材料點(diǎn)的位置矢量

ei:直角坐標(biāo)系的單位基矢量，xi:位置矢量的分量。

2變形和運(yùn)動(dòng)

運(yùn)動(dòng)描述空間坐標(biāo)當(dāng)參考構(gòu)形與初始構(gòu)形一致時(shí)，在t＝0時(shí)刻任意點(diǎn)處的位置矢量x與其材料坐標(biāo)一致一致映射