第4章 三角形復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)篇）

《三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固（基礎(chǔ)篇）（專項練習(xí)）一、單選題1．如圖，是的外角的平分線，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．已知△ABC中，∠A，∠B、∠C的外角度數(shù)之比為2：3：4，則這個三角形是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形3．李老師在課堂上組織學(xué)生用小棍擺三角形，小棍的長度有6cm，8cm，10cm和14cm四種規(guī)格，小雨同學(xué)已經(jīng)取了6cm和8cm兩根木棍，那么第三根木棍不可能?。?/p>

）A．6cm B．8cm C．10cm D．14cm4．下列各組圖形中，AD是的高的圖形是A． B． C． D．5．如圖，已知BD是△ABC的中線，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周長的差是(

)A．2 B．3 C．6 D．不能確定6．將一副直角三角板按如圖所示的位置放置，使含30°角的三角板的一條直角邊和含45°角的三角板的一條直角邊放在同一條直線上，則∠α的度數(shù)是（

）.A．45° B．60° C．75° D．85°7．如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結(jié)論中不能完全確定正確的是（

）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D8．如圖，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，則對于結(jié)論：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．如圖，點D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點，已知AB=AC，現(xiàn)添加以下的哪個條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD10．如圖，已知△ABC，AB＜BC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P，使得PA+PC＝BC，則下列選項正確的是（

） B． C． D．11．如圖，已知：，，，，則（

）A． B． C．或 D．12．如圖，已知AC平分，于E，，則下列結(jié)論①；②；③；④．其中，正確結(jié)論的個數(shù)（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題13．如圖，已知∠ABD=∠PCE，AB∥CD，∠AEC的角平分線交直線

CD于點H，∠AFD=86°，∠H=22°，∠PCE=______°．14．中，，于，，則______．15．三角形有兩條邊的長度分別是5和7，則最長邊a的取值范圍是_____．16．如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，BE是△ABD中AD邊上的中線，若△ABC的面積是24，則△ABE的面積________．

17．△ABC中，D為BC邊上任意一點，DE、DF分別是△ADB和△ADC的角平分線，連接EF，則△DEF的形狀為_________．18．如圖，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝__________．

19．如圖是由4個相同的小正方形組成的網(wǎng)格圖，其中∠1+∠2=______．

20．如圖所示，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是△ABC的中線，若AD的長為偶數(shù)，則AD＝_____．21．在直線l上依次擺放著七個正方形(如圖所示)．已知斜放置的三個正方形的面積分別是a，b，c，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝_____．三、解答題22．如圖，已知∠A＝20°，∠B＝27°，AC⊥DE，求∠1，∠D的度數(shù)．23．已知，為的三邊，化簡．24．如圖，中，點在邊上，，將線段繞點旋轉(zhuǎn)到的位置，使得，連接，與交于點（1）求證：；(2)若，，求的度數(shù).25．如圖，，，D，E，A在一條直線上，BD⊥DE于點D，CE⊥DE于點E，（1）若BC在DE的同側(cè)（如圖①）求證：DE=BD+CE．（2）若BC在DE的兩側(cè)（如圖②），探究DE，BD，CE三條線段之間的關(guān)系，并說明理由．26．問題：如圖①，在直角三角形中，，于點，可知（不需要證明）；（1）探究：如圖②，，射線在這個角的內(nèi)部，點、在的邊、上，且，于點，于點．證明：；（2）證明：如圖③，點、在的邊、上，點、在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，．求證：；（3）應(yīng)用：如圖④，在中，，．點在邊上，，點、在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為________．

參考答案1．C【解析】【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，計算角的差即可；【詳解】解：CD是∠ACD的角平分線，則∠ACE=2∠ACD=2×55°=110°，∠ACE是三角形ABC的外角，則∠ACE=∠A＋∠B，∴∠A=∠ACE－∠B=110°－40°=70°，故選：C；【點撥】本題考查角平分線的定義——平分所在的角，三角形的外角——三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．C【解析】【分析】根據(jù)三個外角度數(shù)比為2：3：4，求出最大角內(nèi)角的度數(shù)，即可判斷形狀．【詳解】∠A，∠B、∠C的外角度數(shù)之比為2：3：4，最小的外角為，則則這個三角形是鈍角三角形，故選C【點撥】本題考查的是三角形的外角的定義與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的外角和為360°，同時知道只要三角形的最大角的度數(shù)確定了，三角形的形狀也確定了．3．D【解析】【分析】利用三角形三邊關(guān)系判斷即可【詳解】解：第三邊的取值范圍是大于2小于14，觀察各選項可知選擇A、B、C均可以構(gòu)成三角形，選擇D不能構(gòu)成三角形，故選D【點撥】本題考查了三角形三邊關(guān)系，熟練掌握是解題的關(guān)鍵4．D【解析】【分析】根據(jù)過三角形的頂點向?qū)呑鞔咕€，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線解答．【詳解】△ABC的高AD是過頂點A與BC垂直的線段，只有D選項符合．故選D．【點撥】本題考查了三角形的高線，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．5．A【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)三角形的中線得出AD=CD，根據(jù)三角形的周長求出即可．解：∵BD是△ABC的中線，∴AD=CD，∴△ABD和△BCD的周長的差是：（AB+BD+AD）﹣（BC+BD+CD）=AB﹣BC=5﹣3=2．故選A．考點：三角形的角平分線、中線和高．6．C【解析】【詳解】分析：先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．詳解：如圖，∵∠ACD=90°、∠F=45°，∴∠CGF=∠DGB=45°，則∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，故選C．點睛：本題主要考查三角形的外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)．7．D【解析】【分析】利用三角形的外角性質(zhì)，對頂角相等逐一判斷即可．【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選D．【點撥】本題考查了對頂角的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握并運用兩條性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．C【解析】【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，結(jié)合圖象逐個分析即可．【詳解】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①③正確；∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF，∠BAC＝∠FAC＋∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正確；條件不足，無法證明∠FAB＝∠EAB，故②錯誤；綜上所述，結(jié)論正確的是①③④共3個．故選：C．【點撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，準(zhǔn)確確定出對應(yīng)邊和對應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．9．D【解析】【詳解】試題分析：添加A可以利用ASA來進(jìn)行全等判定；添加B可以利用SAS來進(jìn)行判定；添加C選項可以得出AD=AE，然后利用SAS來進(jìn)行全等判定.考點：三角形全等的判定10．B【解析】【詳解】解：∵PB+PC=BC，PA+PC=BC，∴PA=PB，根據(jù)線段垂直平分線定理的逆定理可得，點P在線段AB的垂直平分線上，故可判斷B選項正確．故選B．11．B【解析】【分析】連接，可證≌，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】連接，如圖，在與中，≌，，，，，，，，．故選：B．【點撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，添加正確的輔助線是解題的關(guān)鍵．12．D【解析】【分析】①直線AB上取點F，使EF=BE，①直線AB上取點F，使EF=BE，即可得到△BCE和△FCE全等，再由AB=AD+2BE即可求解；②由①可證明△ACD和△ACF全等，再根據(jù)即可求解；③由②即可得解；④由②即可得解．【詳解】解：①在AE取點F，使．在Rt△BCE與Rt△FCE中，∴，∴△BCE≌△FCE，，，，，，，故①正確；②AB上取點F，使，連接CF．在與中，，，，，．垂直平分BF，，．又，，，故②正確；③由②知，，，又，，故③正確；④易證，，又，，，故④正確．故答案為：D．【點撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．65【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ABD=∠PDB，得到∠PDB=∠PCE，求得BD∥CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠CEG=∠DGH，根據(jù)角平分線的定義得到∠CEH=∠AEH，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠EGF=43°，于是得到結(jié)論．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠ABD=∠PDB，∵∠ABD=∠PCE，∴∠PDB=∠PCE，∴BD∥CE，∴∠CEG=∠DGH，∵EH平分∠AEC，∴∠CEH=∠AEH，∵∠DGH=∠EGF，∴∠EGF=∠GEF，∵∠AFD=∠AEG+∠EGF=2∠EGF=86°，∴∠EGF=43°，∴∠DGH=43°，∴∠PCE=∠PDG=∠H+∠DGH=65°，故答案為：65．【點撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．14．或【解析】【分析】分兩種情況討論，當(dāng)是銳角三角形或鈍角三角形時，分別畫出合適的圖形，再由角的和差解題．【詳解】解：分兩種情況討論：當(dāng)是銳角三角形時，如圖，于，，；當(dāng)是鈍角三角形時，如圖，于，，；綜上所述，或，故答案為：或．【點撥】本題考查三角形的分類，是基礎(chǔ)考點，正確畫出圖形，分類討論解題是關(guān)鍵．15．7＜a＜12【解析】【分析】已知三角形兩邊的長，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理知：第三邊的取值范圍應(yīng)該是大于已知兩邊的差而小于已知兩邊的和．【詳解】解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理知：最長邊a的取值范圍是：7＜a＜（7+5），即7＜a＜12．故答案為7＜a＜12．【點撥】此題主要考查的是三角形的三邊關(guān)系，即：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．16．6【解析】【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩部分，即可解答．【詳解】解：∵AD是BC上的中線，△ABC的面積是24，∴S△ABD=S△ACD=S△ABC=12，∵BE是△ABD中AD邊上的中線，∴S△ABE=S△BED=S△ABD=6，故答案為：6．【點撥】本題主要考查了三角形面積的求法，掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，是解答本題的關(guān)鍵．17．直角三角形【解析】【分析】根據(jù)三角形角平分線的定義，可以得到2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC；根據(jù)平角的定義可知，∠ADB+∠ADC=180°；接下來，求出∠ADE+∠ADF的度數(shù)，不難判斷三角形的形狀.【詳解】∵DE，DF分別是△ADB和△ADC的角平分線，∴2∠ADE=∠ADB，2∠ADF=∠ADC.∵∠ADB+∠ADC=180°，∴2∠ADE+2∠ADF=180°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是直角三角形.故答案為直角三角形.【點撥】本題考查了直角三角形的定義，角平分線的定義，平角的定義，根據(jù)角平分線的定義及平角的定義求出∠ADE+∠ADF=90°是解答本題的關(guān)鍵.18．360°【解析】【分析】利用三角形外角性質(zhì)可得，，，三式相加易得，而、、是三角形的三個不同的外角，從而可求．【詳解】解：如圖所示，，，，，又、、是三角形的三個不同的外角，，．故答案為：．【點撥】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：掌握三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．19．180°【解析】【詳解】分析：由全等三角形性質(zhì)和鄰補角定義可求得.詳解：如圖：由已知可得△ABC≌△AED,所以∠1=∠ACB.又因為∠2+∠ACB=180°，所以，∠2+∠1=180°.故答案為：180°點睛：本題考核知識點:全等三角形性質(zhì)和鄰補角定義.20．2或4【解析】【分析】延長AD至E，使DE＝AD，連接CE，由“SAS”可證△ABD≌△ECD，可得CE＝AB＝6，由三角形的三邊關(guān)系可得1＜AD＜5，即可求解．【詳解】解：延長AD至E，使DE＝AD，連接CE，在△ABD與△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE＝AB＝6，在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC，即2＜2AD＜10，∴1＜AD＜5，∵AD為偶數(shù)，∴AD＝2或4，故答案為2或4．【點撥】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是根據(jù)倍長中線這個輔助線作法得到三角形全等，進(jìn)而求解即可．21．a(chǎn)+c【解析】【分析】運用勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答．【詳解】解：∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠BAC，∵AC=CE，∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE，在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，即AB2+DE2=AC2，∵S3=AB2，S4=DE2∴S3+S4=c同理S1+S2=a故可得S1+S2+S3+S4=a+c，故答案是：a+c．【點撥】本題考查正方形面積的計算，正方形各邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定．解題關(guān)鍵是本題中根據(jù)△ABC≌△CDE證明S3+S4=c22．43°【解析】【詳解】試題分析：利用三角形外角性質(zhì)，得∠1=∠A+∠APE，只需求∠APE，由AC⊥DE，得∠APE=90°；由三角形內(nèi)角和定理得出∠D的度數(shù)．解：∵AC⊥DE，∴∠APE=90°．∵∠1是△AEP的外角，∴∠1=∠A+∠APE．∵∠A=20°，∴∠1=20°+90°=110°．在△BDE中，∠1+∠D+∠B=180°，∵∠B=27°，∴∠D=180°﹣110°﹣27°=43°．點睛：考查三角形外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理．內(nèi)容簡單，可直接利用所學(xué)知識解決．23．-2a+4b-2c【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，來判定絕對值里的式子的正負(fù)值，然后去絕對值進(jìn)行計算即可．【詳解】解：|a-b-c|-2|b-c-a|+|a+b-c|=-（a-b-c）+2（b-c-a）+（a+b-c）=-a+b+c+2b-2c-2a+a+b-c=-2a+4b-2c．【點撥】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，整式的加減，以及絕對值的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三邊關(guān)系定理．24．（1）證明見解析；（2）78°【解析】【分析】（1）因為，所以有，又因為，所以有，得到；（2）利用等腰三角形ABE內(nèi)