概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)練習(xí)冊(cè) 習(xí)題答案 張?zhí)斓?練習(xí)冊(cè)1-練習(xí)冊(cè)期末2

第1章隨機(jī)事件與概率

重點(diǎn)：隨機(jī)事件的概念，事件間的關(guān)系及運(yùn)算，概率的性質(zhì)，古典概率，幾

何概率，條件概率，乘法公式，全概率公式，貝葉斯公式，事件的獨(dú)立性.

難點(diǎn)：條件概率，全概率公式，貝葉斯公式.

1.1隨機(jī)事件

1.以4表示事件“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對(duì)立事件[為（C）.

A.“甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”

B.“甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷”

C.“甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”

D.“甲種產(chǎn)品滯銷”

解：設(shè)8='甲種產(chǎn)品暢銷'，C='乙種產(chǎn)品滯銷'，A=BC

A=BC=B\JC="甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”.選C.

2.設(shè)事件N與8互不相容，則下列結(jié)論中肯定正確的是（D）.

A.I與否互不相容B,1與否相容

C./與8對(duì)立D.A-B=A

解：A,B,C顯然不對(duì)，選D.

3.若對(duì)于任意兩事件/和8,與不等價(jià)的是（）.

（A）4uB（B）5（C）AB=0（D）為=0

答案：D

4.設(shè)4民。為三個(gè)事件，則48,。僅有一個(gè)發(fā)生可表示為.

解：48,。僅有一個(gè)發(fā)生可表示為N死UlBeU麗C.

5.設(shè)48為隨機(jī)事件，則（ZU的/=.

答案：A

6.設(shè)/和8是任意兩個(gè)事件，則—方=.

AB+AB+AB+AB=A（B+B）+A+B]=A^l+AQ.=A+A=Q

可知+AB+AB+AB^—AB=C1—AB=AB=AB

7.指出下面式子中事件之間的關(guān)系：

(1)48=4；

(2)ZU8=4；

(3)Z8C=Z；

(4)ZU8UC=4

答案：(l)/uB；(2)8uZ；(3)Zu8C；(4)8UCu/

8.已知事件4與8是對(duì)立事件，求證］與百也是對(duì)立事件.

證由/與6是對(duì)立事件，有48=0,且/U8=Q.貝I」

1m="U8=C-(/U8)=0,，U5=方=C-(/8)=C.

9.設(shè)4,B,。為任意三個(gè)事件，試用Z,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件,

要求每個(gè)事件寫出兩個(gè)表達(dá)式：

(1)沒(méi)有一個(gè)事件發(fā)生；

(2)至多有兩個(gè)事件發(fā)生.

答案：(1)彳一江=(2)ABC=A\JB\JC

1.2概率

1.擲兩枚骰子，則所得的兩個(gè)點(diǎn)中最小點(diǎn)是2的概率為().

1124

(A)-(B)-(C)-(D)-

4657

解基本事件總數(shù)為6X6=36,

兩點(diǎn)皆為2或一個(gè)點(diǎn)為2、另一個(gè)點(diǎn)大于2的情形有1+C；=9

o1

.-.P=—=-,故應(yīng)選(A).

364

2.把10本書(shū)隨意放在書(shū)架上，則其中指定的3本書(shū)放在一起的概率為).

(/I)—(5)—(C)—(Z))-

1515153

解把指定的3本書(shū)視為一組與另外7本書(shū)全排列，得所求的概率

。=叱乏=_!_,故應(yīng)選(A).

10!15

3.當(dāng)事件4與4同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件。必發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是()

(A)P?=P(AB)(B)P(C)=P(ZU8)

(C)P(C)>P(A)+—1(D)P(C)<P(A)+P(B)-1

答案：

事件/與8同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生

nABuC=尸(C)>P(AB).

又由尸(ZU8)=尸(/)+尸(8)-尸(46)

P(C)>P(A)+P(B)~P(A\JB)>尸(/)+P(8)-l

所以應(yīng)選(C).

4.設(shè)隨機(jī)事件4與8互不相容，P(4)=02尸(ZU8)=05則P(8)=.

答案：0.3

5.已知人的血型為0、A,B、AB的概率分別是0.4,0.3,0.2,0.1,現(xiàn)任選4人，

則4人血型全不相同的概率為.

解：所求概率為4x3x2x1=00024

104

6.設(shè)事件4,8都不發(fā)生的概率為03且尸(4)+尸(3)=0.8,則48中至少有一

個(gè)不發(fā)生的概率為.

解：P(而)=P(A\JB)=1一尸(ZU8)=1-P(4)-P(B)+P(AB)

=1-0.8+?(48)=0.3；

所以，尸(48)=01，P(A\JB)=P(AB)=1-P(AB)=\-QA=Q.9.

7.設(shè)事件Z與6互不相容，P(4)=0.4,0(8)=0.3,求尸(N耳)與尸(NU8)。

【答案】尸(15)=0.3,尸(7U8)=P(7)=0.6。

【解析】事件4與8互不相容，即48=0,則P(Z8)=0。

P(AB)=1一P(4U8)=1—0(4)一P(8)=0.3；

由Z與8互不相容，得彳故尸(7U8)=P(7)=0.6。

8.從所有的兩位數(shù)10,11,…,99中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)能被2或3整除的概率.

解設(shè)4=｛該數(shù)能被2整除｝,B=｛該數(shù)能被3整除｝

則ZE8=｛該數(shù)同時(shí)被2或被3整除｝,AB=｛該數(shù)同時(shí)被2和被3整除｝

P(Z)=—,P(B)=—,P(AB)=—

909090

2

故PUEB)=PCA)+HB)-P(AB)=—+—-—

9090903

45+30-15_2

或者古典「二

903

9.袋子里裝有10個(gè)號(hào)碼球，標(biāo)號(hào)分別為1?10號(hào)，從中任取3個(gè)，求:

⑴最小號(hào)碼為5的概率；

(2)最大號(hào)碼為5的概率；

(3)中間號(hào)碼為5的概率.

G=j_ci1c'c'1

答案：G%12,CJQ20Cl-7

解：設(shè)事件4表示“最小的號(hào)碼為5"，B表示“最大的號(hào)碼為5"，C表示“中間

號(hào)碼為5”，由概率的古典定義得

C21

⑴p(/)=W下;

C21

⑵3才..

/

⑶P(C)=掙=3

doO

10.在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)的乘積小于;的概率.

解：以X/表示區(qū)間(0,1)內(nèi)任取的兩個(gè)數(shù)，則樣本空間為

s={(x,y)[0<x<l,0<y<l},

記/="兩個(gè)數(shù)的乘積小于；"，則有/={(x,刈(x))eSN<3，

1-f'fl--Itir??

由幾何概率公式P(4)=^ll=—~^—=l+lln2=0.5966.

〃(S)142

11.從一副撲克牌的13張黑桃中，有放回抽三次，求取出的三張牌中:

⑴沒(méi)有同號(hào)的概率；

(2)有同號(hào)的概率.

13-12-11132

解：⑴P(A)

12.設(shè)有k個(gè)不同的球，每個(gè)球等可能地落入N個(gè)盒子中（左4N）,設(shè)每個(gè)盒子

容球數(shù)無(wú)限，求下列事件的概率：

（1）某指定的k個(gè)盒子中各有一球；

（2）某指定的一個(gè)盒子恰有m個(gè)球（機(jī)W左）；

（3）恰有k個(gè)盒子中各有一球（每個(gè)盒子至多一球）.

解：設(shè)4,4,4分別表示給出的三個(gè)事件，由概率的古典定義得：

⑴尸（4）=不；

⑵生產(chǎn)

其中N（N—1）…（N—左+1）=4

13.已知P（Z）=P（B）=P（C）=1/4,P（/8）=P（8C）=O,0（ZC）=l/8,求:

（1）則Z,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率；

（2）A,B,C全不發(fā)生的概率.

解：（1）由于ZBCuZB,而P（45）=0,所以P（N8C）=0,

再由加法公式得，45c至少有一個(gè)發(fā)生的概率

產(chǎn)（/U8Uc）=P（/）+P⑻+P（C）-P（4B）-P（ZC）—P（5C）+P（ABC）

------------3

(2)P(Z6C)=尸(ZU3UC)=1—尸(4U5UC)=二.

8

14.已知PQ)=p,P(B)=q,P(A\JB)=p+q,求P(7U5).

解由題設(shè)知尸(43)=0,

則P(AU8)=P(A)+P(B)~P(AB)=P(A)+P(B)-(P(8)-P(AB))=P(A)=l-p.

15.某城市有4伉。三種報(bào)紙?jiān)诰用裰?，訂月?bào)的占45%,訂8報(bào)的占35%,

訂艮的占30%,同時(shí)訂4與8報(bào)的占10%,同時(shí)訂Z與仃及的占8%,同時(shí)訂

8與C?艮的占5%,同時(shí)訂48與C?艮的占3%,求下列概率：

⑴只訂Z報(bào)的；

(2)只訂/與8報(bào)的；

(3)只訂一種報(bào)的；

(4)恰好訂兩種報(bào)的；

⑸至少訂一種報(bào)的；

⑹不定任何報(bào)的.

解：(1)P(ABC)=P(A)-P(AB)-P(AC)+P(ABC)=0.3；

(2)P(ABC)=P(AB)-P(ABC)=0.07；

(3)P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.73；

(4)P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.14；

(5)P(Ju5uQ=P(A)+P(B)+P?-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=0.9；

(6)P(ABQ=l-P(A^BuC)^0A.

16.從5雙不同的鞋子中任取4只，需要求這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”

(事件/)的概率，某同學(xué)計(jì)算得：

l2

尸⑷c甘c

問(wèn)該解法是否正確？如不正確，寫出正確解法.

答案：不正確.

算法錯(cuò)在哪里？“從5雙中取1雙，從剩下的8只中取2只”，錯(cuò)在同樣的“4

只配成兩雙”算了兩次.

正確的解法是:

解法1：尸(4)=警f

do

解法2：

基本事件總數(shù)為G3沒(méi)有一雙成對(duì)的事件個(gè)數(shù)為:《Nt

44

則至少有一雙成對(duì)的僻為：1C--=7U13

品21

1.3條件概率

1.設(shè)48為隨機(jī)事件，且P(8)>0,P(川6)=1,則必有()

(A)P(/u8)〉P(N).(B)尸(4u8)>P(8).

(C)P(AuB)=P(A).(D)P(Nu8)=尸(8).

解由題設(shè)，知P(/|8)='*)=l,即尸(Z8)=P(6).

又P[AuS)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A).故應(yīng)選(C).

2.設(shè)48是兩個(gè)事件，且Zu8,P(8)>0,則下列選項(xiàng)必然成立的是(B).

A.P(A)<P(A\B)；B.P(A)<P(A|B)；

C.P(A)>P{A|B)；D.P(A)>P(A\B).

解：尸(川8)=四絲="*2P(N).因此選B.

P(B)P(B)

3.設(shè)P(8)>0,4,4互不相容，則下列各式中不一定正確的是(C).

A.P(4J2I5)=0；B.P(4u15)=P(4|5)+P(A2IB)；

c.p(44|8)=i；D.p(4UA15)=1.

解：?.?44=?,.“(44)=0.

p(44|8)=禺券1=0.

尸(4U4⑶=P(4⑶+p(418)—p(4416)=P(4|B)+P(A2\B).

p(44\B)=P(AiU4|8)=1-P(4U4|8)=1-P(4⑶-P(4|8)/1.

p(4UZ|8)=P(4418)=1-尸(44|8)=i—o=i.

/.選C.

4.設(shè)隨機(jī)事件5是/的子事件，已知尸。)4P⑻4則

P(8|/)=

解因?yàn)锽u/,所以P(8)=P(/8),因此

尸⑻個(gè)制二第H-

5.設(shè)45為2個(gè)事件，且尸(4)=035(3)=0.4,5(川8)=0.5,則

P（B\A）=.

解：p⑻小誦=皿生出==吐”二.

P（A）P（A）0.33

6.假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%、30%,10%,今從中隨機(jī)取一件

產(chǎn)品，結(jié)果不是三等品，則它是二等品的概率為.

解：4=取到，等品，則4=4U4n4，

nni所以，尸（4以

尸⑷尸（4）+尸⑷0.6+0.33

7.有20套試題，其中7套在考試中已經(jīng)用過(guò).現(xiàn)從這20套試題中不放回地依次

抽取2套.問(wèn)：在第一次抽取的是不曾用過(guò)的試題的情況下，第二次抽取的也是

未曾用過(guò)的概率為多少？

解：記4=''第，?次抽取的是未曾用過(guò)的試題”，21,2.

方法1：縮小樣本空間法.

由題意知，4發(fā)生后原樣本空間樣本點(diǎn)數(shù)由原來(lái)的20減少為19,而外包

含的樣本點(diǎn)數(shù)是12,所以尸（4]4）=看.

方法2：定義法.

C2

在原樣本空間中，P（4）=U13,尸（44）=—蘭39，因此

20C2095

p⑷6生也絲巴

jP（4）13/2019

8.已知產(chǎn)（彳）=0.3,尸（8）=0.4,P（Z百）=0.5,求產(chǎn)（83U耳）.

月3(4Up)]P(AB)

解:尸（即U耳）=

尸(4U與)P(A)+P(B)-P(AB)

9.設(shè)事件48滿足：P(B\A)=P(B\A)=~,P(A)=1,求P(3).

解：P(AB)=P(A)P(B|/)=；?g,

訴以“小才尸(1?尸(而)1一尸(4)一尸(8)+尸(46)

所以，r(DA)=---=-------=—=----------------------

P(A)P(4)1-P(/)

7^-3

1------

3

解得，P(B)=：.

10.一批零件共有100個(gè)，其中有10個(gè)次品.從中一個(gè)一個(gè)取出，求第三次才取

得次品的概率.

解令4="第i次取出的是次品”(Z=1,2,3)

則第三次才取得次品的概率為

P(4Z4)=P(&P闖4)尸⑷彳&=瑞端.=0.0826.

11.設(shè)甲袋中裝有〃個(gè)白球，加個(gè)雌；乙袋中裝有N個(gè)白球，M個(gè)紅球今從甲袋中

任取乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫焕?，?wèn)取到白球的概率是多少？

解：設(shè)4為從甲袋中取白球放入乙袋，8為從乙袋中取到白球，則

P(B)=P(A)P(B|Z)+P0P(B\A).

nN+1mN

=-----------1-----------

m+nN+A/+1m+nN+M+1

_mN+Nn+n

(m+n)-(N+M+\)

12.某地區(qū)居民的肝病發(fā)病率為0.0004,先用甲胎蛋白法進(jìn)行普查.醫(yī)學(xué)研究表明,

化驗(yàn)結(jié)果是存有錯(cuò)誤的.已知患有肝病的人其化驗(yàn)結(jié)果99%呈陽(yáng)性(有病)，而沒(méi)

患肝病的人其化驗(yàn)結(jié)果99.9%呈陰性(無(wú)病).現(xiàn)某人的檢查結(jié)果呈陽(yáng)性，問(wèn)他真

的患肝病的概率是多少？

解：記8為事件“被檢查者患有肝病”，/為事件“檢查結(jié)果呈陽(yáng)性”.由題設(shè)知

P(B)=0.0004,P(B)=0.9996,

P(*8)=0.99,|5)=0.001.

我們現(xiàn)在的目的是求尸(例⑷，由貝葉斯公式得

P(8)P(Z|8)

P(8M)=

P(8)P(*8)+P(耳)P(川方)

0.0004x0.99

=0.284.

-0.0004x0.99+0.9996x0.001

13.三個(gè)箱子，第一個(gè)箱子中有4個(gè)黑球，1個(gè)白球；第二個(gè)箱子中有3個(gè)黑球,

3個(gè)白球；第三個(gè)箱子中有3個(gè)黑球，5個(gè)白球.現(xiàn)隨機(jī)地取一個(gè)箱子，再?gòu)倪@

個(gè)箱子中取出一個(gè)球，問(wèn)這個(gè)球?yàn)榘浊虻母怕蕿槎嗌?？若已知取出的球是白球?/p>

問(wèn)此球?qū)儆诘谝粋€(gè)箱子的概率為多少？

解：設(shè)4=取到第i箱i=l,2,3,8=取出的是一個(gè)白球.

3113553

=；P⑷P(B14)=-(-+-+-)120：

I3

P(A)P(B\A)3-620

尸(4|8)22

P(B)5353

120

14.玻璃杯成箱出售,每箱20只假設(shè)各箱含0,1,2只殘次品的概率應(yīng)為0.8,0.1

和0.1.一顧客欲買下一箱玻璃杯，在購(gòu)買時(shí)，售貨員隨意取出一箱，而顧

客開(kāi)箱隨意查看其中的4只，若無(wú)殘次品，則買下該箱玻璃杯，否則退回.

求:⑴顧客買下該箱的概率;(2)在顧客買下的一箱中確實(shí)沒(méi)有殘次品的概率.

解：設(shè)么=｛顧客買下該箱｝,｛該箱中有i件殘次品｝,i=0,l,2.

則有尸(8。)=0.8,尸(4)=)=0.1,

P(川B°)=1,P(如外=署,P(/1-)=魯

jo。20

故(1)紇)+((川⑷+鳥(niǎo))

P(A)=P(BQ)P(A\PA)PP(P(41B2)

0.8x14-0.lx4-0.lx=0.94

C；。

P(4BJP(綜)P(小8。)0.8x1

(2)P[B\A)==>0.85

0P(A)-P(A)-0.94

1.4事件的獨(dú)立性

1.對(duì)于任意二事件/和3,()

(A)若則48一定獨(dú)立.(B)若AB*@,則48有可能獨(dú)立.

9)若AB=(/),則一定獨(dú)立.(D)若Z6="，則43一定不獨(dú)立.

解推不出P(/B)=尸(N)P(8),因此推不出43一定獨(dú)立，排除(Z);

若48=。，則尸(/8尸0,但P(N)P(8)是否為零不確定，因此(C),(D)也不成立,

故正確選項(xiàng)為(B).

2.設(shè)0<P(N)<1,O<P(8)<1,P(Z|8)+P()?)=1,則().

(/)事件4和8互不相容(8)事件4和8互相對(duì)立

(C)事件，和8互不獨(dú)立(D)事件，和8相互獨(dú)立

解因?yàn)镻(*6)+尸(彳］田=P(川8)+1-尸(川月)=1

所以P(A\B)-P(A\B)=O,P(A\B)=P(A\B)

今需=今符，尸(")=尸(4)尸(8),所以應(yīng)選(。).

3.將一枚硬幣獨(dú)立地?cái)S兩次，引進(jìn)事件：4=｛擲第一次出現(xiàn)正面｝,4=｛擲第二

次出現(xiàn)正面｝,4=｛正、反面各出現(xiàn)一次｝,4,=｛正面出現(xiàn)兩次｝,則事件

(A)4,4相互獨(dú)立.(B)4,4,4相互獨(dú)立.

(C)4,4,4兩兩獨(dú)立.(D)4,出，4兩兩獨(dú)立.

解：因?yàn)閜(4)=；，尸(4)=；，P(4)=；，P(4)=；，

且尸(44)=；，尸(44)=；，尸(44)=：，尸(44)=；，0(44/)=°，

可見(jiàn)有尸(44)=尸(4)尸(4),尸(44)=尸(4)尸(4)，尸(44)=尸(4)尸(4)，

P-)h24)尸⑷尸⑷，尸(44)/尸⑷尸(4).

故4,4,6兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立；出，4,4不兩兩獨(dú)立更不相互獨(dú)立，選(C).

4.設(shè)4民。三個(gè)事件兩兩獨(dú)立，則4民C相互獨(dú)立的充分必要條件是(A).

A.4與8c獨(dú)立；B.48與4UC獨(dú)立；

C.Z8與/C獨(dú)立；D.ZU3與/UC獨(dú)立.

解：；48,。兩兩獨(dú)立，若48,C相互獨(dú)立則必有

P(4BC)=P(4)P(B)P(C)=P(4)P(BC)4與8c獨(dú)立.

反之，如力與8c獨(dú)立則P(ABC)=P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(C).

：.選A.

5.設(shè)隨機(jī)事件〃與3相互獨(dú)立，且P(8)=0.5,尸(/-8)=0.3,則尸(8-4)=

解：P(A—B)=0.3=P(A)~P(AB)=P(N)-P(A)P(B)=P(A)-0.5P(4)=0.5P(A)

所以尸(4)=0.6,P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.5-0.5P(Z)=0.2.

6.設(shè)人群中感冒的比例為p,則在有10人的聚會(huì)中存在感冒患者的概率為

解：記4,”1,2,…,10表示第i個(gè)人感冒，則所求為

產(chǎn)(4U4U…U4o)=i—P(4UA2U…U4O)

=I-P(4A2…40)=I一尸(4)P(H)…尸(40)=1一(1一夕「.

7.一種零件的加工由兩道工序組成.第一道工序的廢品率為P1,第二道工序的

廢品率為0,則該零件加工的成品率為.

解：設(shè)工=成品零件，4=第1道工序?yàn)槌善穒=l,2.

由題意，尸(4)=1—P1,尸⑷=1一「2,

所以，P(/)=尸但&)=尸(4)P(4)=(1-/>,)(i-p2)

=1"-Pi+P\Pz-

8.設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為以0<P<1),現(xiàn)進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則直到第10

次試驗(yàn)才取得第4次成功的概率為.

解：由題意，前9次取得了3次成功，第10次成功，

二第10次才取得第4次成功的概率為C；p3(l-p)6p=C；p4(l-p)6.

9.甲、乙兩射手擊中目標(biāo)的概率分別為0.8與0.9,

如果同時(shí)獨(dú)立地射擊一次,求下列概率：

(1)兩人都命中；

(2)恰有一人命中；

(3)至少一人命中；

(4)兩人都不中。

解：設(shè)甲、乙兩射手擊中目標(biāo)的事件分別為N、B,則

(1)兩人都命中：尸(力8)=P(Z)P(8)=0.72;

(2)恰有一人命中:P(疝+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=0.26;

(3)至少一人命中:P(/UB)=人P(AB)=1-[1-P(J)][1-P(5)]=0.98;

(4)兩人都不中:P(AB)=P(A)P(B)=[1-P(^)][l-P(5)]=0.02.

10.設(shè)事件48相互獨(dú)立.若48都不發(fā)生的概率為，且4發(fā)生8不發(fā)生的

概率與5發(fā)生/不發(fā)生的概率相等，求PQ).

解：由題設(shè)條件得P(畫=L,P(A)-P(AB)=P(A町=P(AB)=P(B)—P(AB)

9

=>P(A)=P(B)nP(A)=P(B)9再由4和3獨(dú)立知工和萬(wàn)也獨(dú)立，

故尸(1耳)=P(1)P(A)=[尸(團(tuán)丁=：n尸(才=；=P(')=g

11.甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7。

飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三

人都擊中，飛機(jī)必定被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率.

解：設(shè)”?表示飛機(jī)被i人擊中，i=l,2,3。B\,&,82分別表示甲、乙、丙擊

中飛機(jī)，且Bi,Bi,8獨(dú)立。

-=4瓦瓦11衣瓦瓦11瓦瓦反，三種情況互斥，

H2=B瑪及U434u5,B253三種情況互斥，

%=B252B3.

P(%)=尸(一)P(B2)尸(瓦)+P(瓦)P(B2)P(瓦)

+P(瓦)P(瓦)P(當(dāng))=0.4x0,5x0.3+0.6

x0.5x0.3+0.6x0,5x0.7=0,36

P(“2)=P(B\)P(B?)P(瓦)+P(B,)P(52)P(B3)

+P(瓦)P(BQP(B3)=0.4X0.5X0.3

+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41

P("3尸P(5i)尸(B2)P(S3)=0.4X0.5X0.7=0.14

故由全概率公式，有

P(A)=P(Hi)P(A\Hi)+P(H2)P(A\H2)+P(Hi)P(A\Hi)

=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458.

12.設(shè)45,C相互獨(dú)立，試證ZU8與。相互獨(dú)立.

證因?yàn)?8,C相互獨(dú)立

所以「[(/U8)C]=P(4CUBC)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)

=P(/C)+P(BC)-P(/)P(8)P(C)

=P(4)P(C)+P(B)P(C)-P(AB)P(C)

=[P(A)+P(B)-P(AB)]P(C)

=P(A(JB)P(C)

13.甲，乙兩人輪流射擊，先命中目標(biāo)者為勝，已知他們命中率分別為P1和0,

每一輪甲先射，求每個(gè)人獲勝的概率.

解:

力-甲勝，4-甲第z?次擊中，片-乙第，次擊中.

P(A)=尸(4)+P(AlB}A2)+P(A]A2BiB2A3)+...

22

=〃|+(1-P)(1-P2>P|+(l-/?!)-(l-p2)-A+

=Pl

1-(1-

8-乙勝

P(8)=l—P(Z)=。2(1一0)

1一。一。1)(1一22)

第1章測(cè)驗(yàn)題

一'選擇題

1.設(shè)事件N與事件8互不相容，則()

(A)P(AB)=O.(B)P(AB)=P(A)P(B).

(C)P(A)=\-P(B).(D)P(A\JB)=1.

【解析】因?yàn)?8互不相容,所以尸(46)=0.

(A)P(AB)=P(A\jB)=1-P(JUB),因?yàn)槭?4U8)不一定等于1,所以(A)不正確;

(B)當(dāng)P(A),P(B)不為0時(shí)，(6)不成立,故排除；

(C)只有當(dāng)48互為對(duì)立事件的時(shí)候才成立,故排除；

(D)P(AU豆)=P(AB)=1-P(N8)=1,故(。)正確.

2.設(shè)隨機(jī)事件A,B及其并事件AUB的概率分別是0.4,0.3和0.6.若豆表示8的

對(duì)立事件,則事件N豆的概率P(/歷=().

⑷0.2(5)0.4(Q0.1(00.3

答案：D

3.設(shè)43是兩個(gè)隨機(jī)事件，且0<P(⑷<1,尸(8)>0,尸(5|4)=尸(5|7)則必有

()

(A)P(A|5)=P(A|5)(B)P{A|B)P(A\5)

(C)P(AB)=P(A)P(B)(D)P(AB)wP(A)P(B)

【解析】由條件概率公式及條件P(B\A)=P(B|A),知

P(AB)P(7g)—

P(⑷=尸⑷=I-P(，)'

于是有P(/8)[1-P(/)]=P(/)?[P(8)-P(/8)],

可見(jiàn)P(AB)=P(A)P(B).

應(yīng)選(C).

4.設(shè)48,C是三個(gè)事件，與事件N互斥的事件是()

(A)AB\JAC(B)/(8UC)(C)ABC(D)A^B^C

【解析】(A)：A(AB+AC｝^AAB+AAC=0+AC=AC,所以N與初+4e不一定

互斥。

(B)：N(8+C)=/+LJ,而=N彳+=Z底｝,所以/與/(8+C)也

不一定互斥。

(C)：劉個(gè)=，+5+心，而4(1+后+=所以/與存心

也不一定互斥。

(D)：A+B+C^JBC,而e=05e=0,所以4與Z+8+C一定互斥。本題

選(D)。

5.在區(qū)間［0,1］上隨機(jī)地取一個(gè)點(diǎn)，記為X,設(shè)事件Z=,

S=j1<%<||,則()

(A)48互不相容(B)4,8相互獨(dú)立

(C)/包含于8(D)/與6對(duì)立

【答案】(B)o

【解析】43=［*弓｝。

有尸(N)=P(8)=；,P(4B)=g,故尸(Z8)=P(Z)P(6),故48相互獨(dú)立，選(B)。

二'填空題

1.袋中共有10只乒乓球，其中8只白球，2只黃球，從中任意取3只，則取出

的3只中恰有一只黃球的概率為.

【答案】V

2.已知隨機(jī)事件/的概率為尸(4)=0.5,隨機(jī)事件8的概率為P(B)=0.6及條件

概率為P(B|N)=0.8,則尸(/U8)=.

【答案】0.7

3.袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球，連續(xù)不放回地從袋中取兩次球，每次取一個(gè)，則

第二次取球取到白球的概率是.

【答案】0.625

4.從數(shù)1,2,3,4中任取一個(gè)數(shù)，記為X,再?gòu)?,…,X中任取一個(gè)數(shù)，記為匕則

P{Y=2}=__________

解用全概率公式P{Y=2}=P{X=l}P{r=2|X=\}+P{X=2}P{Y=2\X=2}

+P{X=3}P{Y=2|X=3}+P{X=4}P{Y=21X=4}

111l13

=—x(0+-+-+-x)=——.

423448

5.設(shè)工廠4和工廠3的產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由4和3的產(chǎn)品

分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品

屬4生產(chǎn)的概率是

P(/)P(C1A)3

【答案】貝葉斯公式P(Z|C)=

P(A)P(C\A)+P(B)P(C\5)7

三'解答題

1.五卷文集任意擺放在書(shū)架上，求下列概率:

⑴第一卷出現(xiàn)在兩邊；

(2)第一卷及第五卷出現(xiàn)在兩邊；

⑶第一卷或第五卷出現(xiàn)在兩邊；

(4)第一卷或第五卷不出現(xiàn)在兩邊。

解：⑴尸⑷=：;

21

(2)P(J5)=—=—;

5.410

2-4+2-4-2_7

⑶P(4D8)=

5.4-W

7

或「(ZuB)=P(A)+P(B)~P(AB)=—.

--9

(4)與第二問(wèn)互為逆事件P(4U8)=1—尸(48)=；；；.

2.有一根長(zhǎng)為/的木棒，任意折成三段，求恰好能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。

解：

設(shè)折得的三段長(zhǎng)度為x,歹和/-x-y,

Q={(x,y)|o<%</,o<^</,o<%+^</,},

而隨機(jī)事件N-三段構(gòu)成三角形

相應(yīng)的區(qū)域G應(yīng)滿足"兩邊之和大于第三邊"的原則：

l-x-y<x+y

y<(l-x-y)+x

即G={(x,y)\0<x<^-,0<y<^-,-^<x+y<l}.

相應(yīng)的幾何概率：p(m=i/4

3.設(shè)尸(/)=a,P(B)=0.3,P(A\JB)=0.7.

⑴若事件4與3互不相容，求a;

(2)若事件/與3相互獨(dú)立，求a.

解：

P(AU8)=尸(彳)+P(B)-P(AB)

=P(A)+P(B)P(AB)]=1-P(A)+P(AB)

:.Q.7=l-a+P(AB)

⑴若事件Z與8互不相容，則/5=么。(/8)=0,

代入上式得。=0.3;

(2)若事件/與3相互獨(dú)立，則有尸(力8)=P(A)P(B)

3

可得0.7=1—。+0.3。解得〃=—,

7

4.已知P(/)=L,(1)若43互斥，求尸(4目);(2)若P(/8)=L求尸(〃豆).

28

解P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)

一1

(l)P(AB)=P(A)-P(AB)=P(A)=-

一3

(2)P(AB)=P(A)-P(AB)=-

o

5.已知事件僅發(fā)生一個(gè)的概率為0.3,尸(4)+P(8)=0.7,求至少有一個(gè)

發(fā)生的概率.

【解析】由題意得尸(疝)+P(M)=0.3,即P(/)-P(Z6)+P⑻-P(N8)=0.3,再

利用尸(4)+尸(8)=0.7,可得P(/團(tuán)=0.2。48至少有一個(gè)發(fā)生可表示為Z+8,

故/(2+8)=尸(4)+P(B)_P(AB)=0.7-0.2=0.5o

6.甲、乙、丙三位同學(xué)同時(shí)獨(dú)立參加某種證書(shū)考試，不及格的概率分別為

0.4,0.3,0.5,

(1)求恰有兩位同學(xué)不及格的概率；

(2)求至少有一位不及格的概率.

解：設(shè)4,4,4分別表示“甲不及格乙不及格”、“丙不及格”三事件，

由題意知4,4,4相互獨(dú)立，令力表示“恰有2位不及格”，則

(1)P(A)=P(AtA2A3)+P(A,A2A3)+P(A,A2A3)

=0.4x0.3x0.5+0.4x0.7x0.5+0.6x0.3x0.5

=0.29

(2)尸(4U4U4)=1-P(444)=l-0.6x0.7x0.5=0.79

7.將信息48傳遞出去，48傳送頻繁程度2：1,接收機(jī)收到時(shí)，/被誤認(rèn)為

8的概率為0.02,8被誤認(rèn)為〃的概率為0.01,若已經(jīng)收到4問(wèn)原發(fā)信息為/

的概率.

解：

設(shè)/-傳信息A,B-傳信息B,。-收到信息A

則p(mC)=______?=世

P(A}P(C\A)+P(B)P(C\B)197

8.某加油站的顧客中，40%使用90號(hào)汽油，35%使用92號(hào)汽油，25%使用95號(hào)汽油.用

90號(hào)汽油的人有30%加滿，用92號(hào)汽油的人有60%加滿，用95號(hào)汽油的人有50%加滿，

求：⑴隨便挑一人，油箱加滿的概率；(2)已知某人油箱加滿，他使用92號(hào)汽油概率.

解：設(shè)司,劣,4分別表示加油92,95,98,8表示“加滿”，

(1)全概率公式P(8)=P(4)P(B[4)+尸(4)尸(8⑷+P(4)P(B⑷=0.455

⑵貝葉斯公式4)

P(A2|B)=PM。；：；?0.462.

9.設(shè)三事件4用C兩兩獨(dú)立，且滿足條件：

19

ABC=P(A)=P(B)=P(C)<-,P(AuBuC)=—,

216

求P(/),

【解析】根據(jù)加法公式有

產(chǎn)(4U8UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AC)_P(AB)-P(BC)+P(ABC)

因?yàn)镻(N)=P(8)=P(C),設(shè)尸(4)=尸(B)=P(C)=p

由于48,。兩兩相互獨(dú)立，所以有

P(AB)=P(A)P(B)=pxp=p2,p(4C)=P(A)P(C)=pxp=p?,

P(BC)=尸(8)P(C)=pxp=p2,

又由于Z8C=0,因此有P(48C)=P(0)=O,

所以P(A{JB{JC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AC)-P(AB)_P(BC)+P(ABC)

-p+p+p-p2-p2-p2+0-3p-3p2

QQ

又尸(/U8UC)=—，從而尸(ZU8UC)=3p—3P2=—,則有

1616

a771

3p—3p2----=0,整理得P2_pn=0,解得p=—=—

161644

因P(/)=P(8)=P(C)=p<；,故p=；,即p(/)=；。

第2章隨機(jī)變量及其分布

重點(diǎn)：隨機(jī)變量及其分布函數(shù)的概念，離散型隨機(jī)變量及其概率分布，連續(xù)

型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)，常見(jiàn)分布，隨機(jī)變量函數(shù)的分布.

難點(diǎn)：隨機(jī)變量函數(shù)的分布.

2.1隨機(jī)變量與分布函數(shù)

1.設(shè)B(x)與BQ)分別是某兩個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)，為使F(x)=aF\(x)—bFi(x)

成為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取().

3,22,2

A.a=產(chǎn)-B.a=一,b=

533

31,3

C.a=--,hD.Q二一，b二

222一一5

答案：A

2.下列各函數(shù)中，可作為某隨機(jī)變量分布函數(shù)的是().

,x>0,

A.F(x)=-------oo<x<+001+x

11+x2

0,x<0

31

C.F(x)=e~\-oo<x<+ooD.F(X)=—+——arctanx,-oo<x<+oo

34424

答案：B

3.設(shè)FOOuZ+'arctanx(-8cx<+oo)為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則常數(shù)

71

A=.

答案：L

2

0,x<0

4.已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為=0<x<l,則P{X=1}=

l-e-r,x>l

答案：

2

1—P~Xx>0

5.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸(x)=',求

0,x<0

⑴P{XW3};

⑵P{X>1};

(3)P{2<X<4}.

解：

⑴P{XK3}=尸(3)=1—0—3；

⑵尸{X>1}=1—尸⑴=e-\

⑶P{2<X<4}=尸(4)一尸⑵=e-2-「

6.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為尸（8）=?/sinx,—<x<—,求:

⑴4

71、，冗

⑵尸—<x<—

123

(3)尸?

【解】（I）由于分布函數(shù)的性質(zhì)可知，Rx）在x=5處應(yīng)該是右連續(xù)的，可知

limF（X）=FW,也即4=1.

2.2離散型隨機(jī)變量

1.下列各表中可作為某隨機(jī)變量分布律的是（）.

A.

X02

B.

X02

c.

X012

P0.30.50.1

D.X012

答案：C.P}_2]_

2.已知離散型隨機(jī)變量X的概率分234布如下表所示:

X-10124

P0.10.20.10.20.4

則下列概率計(jì)算結(jié)果正確的是().

A.P{X=3}=0

B.P{X=0}=0

C.尸{X>-1}=1

D.P{X<4}=\

答案：A.

3.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為尸{X=%}=b儲(chǔ)，伏=1,2,3「-)且6>0,則().

A.2為任意實(shí)數(shù)

B.4=H1

C.2=—

1+b

D.2=—

b-\

答案：C.

4.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為彳的泊松分布，且P(X=O)=；,則P(X>1)=().

A1LC

A.—I—In2

22

B.l--ln2

2

C.1(l-ln2)

D.

2

答案：C.

5.若隨機(jī)變量X?6(4,；),則P{XN1}=().

人

A.—65

81

B.3

81

C.—

D.—

答案：A.

6.已知離散型隨機(jī)變量X的分布7律的是

X012

P0.3p0,1

則p=.

答案：0.6.

7.已知隨機(jī)變量X的分布律為

X-2012

P0.10.30.40.2

且丫=丫2-1,記隨機(jī)變量y的分布函數(shù)為KOO，則耳(2)=

答案：07

8.設(shè)X服從泊松分布，且已知P{X=1}=P{X=2},則尸{X=4}

答案：0.0902

9.設(shè)X?6(2,p),Y-B(3,p),若尸{X21}=：,則尸?N1}=

,io

答案：—

27

解析：由于X~5（2,p）,可知一{X=2}=Cp*（l_p）2-*B=0,l,2

從而尸{萬(wàn)21}=1-0{萬(wàn)=0}=1-（1一夕）2,代入尸{X21}=/可得?=]。

又由于丫?8（3,p）,可知P{Y=k}=C^pk（1-p）3~k,k=0,1,2,3,從而

p{r>i}=i-p{r=o}=i-（i-p）3=^|=

10.同時(shí)擲兩枚骰子，直到一枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)為止，則拋擲次數(shù)X服從參數(shù)為

的幾何分布.

解析：設(shè)4={第i枚骰子出現(xiàn)6點(diǎn)},i=1,2,尸（4）=L且4與4相互獨(dú)立.

6

再設(shè)C={每次拋擲出現(xiàn)6點(diǎn)}.則

P（C）=p（4Ua）=P（4）+