高中數(shù)學(xué)概念

高中數(shù)學(xué)概念總結(jié)

一、函數(shù)

1、若集合A中有n（〃wN）個元素，則集合A的所有不同的子集個數(shù)為2”,所有

非空真子集的個數(shù)是2"—2。

,b

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象的對稱軸方程是苫=——，頂點坐標(biāo)是

2a

（h4ac-h2

---,--------o用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時，解析式的設(shè)法有三種形式,

（2〃4a）

即/（X）=+〃X+C（-“般式），/（X）=。（九一毛）?（工一12）（零點式）和

/（x）=a（x-in）2+n（頂點式）。

m

2、轅函數(shù)y=x",當(dāng)n為正奇數(shù)，m為正偶數(shù)，水n時，其大致圖象是

3、函數(shù)y=|x2-5%+6］的大致圖象是

由圖象知，函數(shù)的值域是［0,+00),單調(diào)遞增區(qū)間是［2,2.5］和［3,+8),單調(diào)遞減區(qū)

間是(—00,2］和［2.5,3］。

二、三角函數(shù)

1、以角a的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角a的終邊

VX

上任取一個異于原點的點P(x,y),點p到原點的距離記為7?，則Sina二土，cos。二一，

rr

yxrr

tga二一,ctga二一,seca二一，esccc=一。

xyxy

2、同角三角函數(shù)的關(guān)系中，平方關(guān)系是：sin?a+cos?a=1,\+tg2a=sec2a,

1+c火2a=esc2a；

倒數(shù)關(guān)系是：tga-ctga=1,sinacsca=1,cosa-seca=1：

?人、，“sinacosa

相除關(guān)系是：tga=-----，etga=------。

cosasina

3萬

3、誘導(dǎo)公式可用十個字概括為：奇變偶不變，符號看象限<>如sin（j--。）=-cosof,

/15萬、-、

ctg（-^--a）=tgaf吆（3乃—a）=一吆a。

4、函數(shù)y=Asin（@;+e）4-B（其中A>0,69>0）的最大值是A+8,

最小值是B-A>周期是T=—?頻率是f——,相位是cox+(p,初相是(p:

co2TI----------

71

其圖象的對稱軸是直線①x+(p=k兀+3*0，兒是該圖象與直線y=8的交點

都是該圖象的對稱中心。

5、三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

7171

ysinx的遞增區(qū)間是2k兀-----2k冗T—(&wZ)，遞減區(qū)間是

22

_.7C__3幾

2k7Cd,2k7Td(ZcZ)y=cos1的遞增區(qū)間是

22

\lk7c一4,2攵;r］伏￡Z),遞減區(qū)間是［2攵萬,2%乃+%］伏￡Z),y=吆尤的遞增區(qū)

,71.71

間是K71----,k兀d-----(keZ),y=ctgx的遞減區(qū)間是

22

(攵乃,kTT+兀)(keZ)。

6、sin(a±^)=sinacos[}±cosasin(3

cos(a±J3)=cosacos/干sinasin(3

7、二倍角公式是：sin2a二2sina?cosa

cos2a二cos?a-sin2a二2cos?。一1二l-2sin?a

2tga

tg2a=---------

1一吆a

8、三倍角公式是：sin3a二3sina-4sin3acos3a=4cos'a—3cosa

a1-cosa1+cosa

9、半角公式是：sin-±J--------------cos——二士

2V222

a?1-cosa1-cosasina

tg——士-------------------二---------

2V1+coscifsina1+cosa

..八2a

10、升幕公式是：l+cosa=2cos—1-cosa=2sin2—o

22

.1-cos2a21+cos2a

11、降2塞公式是：sina=--------cosa----------

22

ca12a

2fg萬1一收5，28a2

12、萬能公式：sina=-------cosa二----------tga二-------

i2ai2ai9a

l+g-耳]+%2iTg-

13、sin(a+yff)sin(a-^)=sin2a-sin2,

cos(a+/?)cos(a一夕)=cos?a-sin2夕=cos2夕一sin?a。

14、4sinasin(60°一a)sin(60°+a)=sin3a；

4cos6zcos(60°-6Z)COS(60°+cr)=cos3a；

tgatg(60O-a)tg(600+a)=，g3a。

15、ctga-tga=2ctg2a,

0V5—1

16、sinl8=-----。

4

17、特殊角的三角函數(shù)值:

717171713)

a071

-647~2T

\_

sinCC0也10-1

22V

V2

cosCC1旦0-10

V22

旦

tg。01V3不存在0不存在

V3

Ctgtt不存在V310不存在0

、,一ahc

18、正弦定理是（其中R表小三角形的外接圓半徑）：-----=------=------=2R

sinAsinBsinC

19、由余弦定理第一形式，h2=a2+c2-2accosB

2oi

a-b

由余弦定理第二形式，cosB二-------------

2ac

20、ZXABC的面積用S表示，外接圓半徑用R表示，內(nèi)切圓半徑用r表示，半周長用p表

示則：

①S=La也=???；②S='AcsinA=…；

202

③S=2斤sinAsinBsinC；?S=----；

4R

⑤S=Jp(p-a)(p-h)(p-c)；?S=pr

21、三角學(xué)中的射影定理：在AABC中，0=Q?cosC+c?cosA,…

22、在AABC中，A<B<=>sinA<sinB,…

23、裕ABC中:sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtg(A+B)=-tgC

.A+BCA+8.CA+BC

sin-------=cos—cos--------=sin—tg—^—=ctg—

2222

tgA+tgB+tgC=tgA-tgB?tgC

24、積化和差公式：

①sina?cos0=；[sin(<z+〃)+sin(a-2)],

②cosa?sin夕=g[sin(a+/?)-sin(a-(3)1，

③cosa-cos0=:[cos(a+/?)+cos(a—￡)],

④sina?sin/=一,[cos(a+/)-cos(a-〃)]。

25、和差化積公式:

①sinx+siny=2sin—寸?cos---,

②sinx-siny=2cos-V+-■sin--,

22

…-x+yx-y

③cosx+cosy=2cos—-cos-,

公x+y.x-y

@cosx-cosy--2sin---sin----。

三、反三角函數(shù)

1、y=arcsin無的定義域是[-1,1],值域是[一巳，6],奇函數(shù)，增函數(shù)；

22

y=arccosx的定義域是[-1,1],值域是[0,1],非奇非偶，減函數(shù);

y=arctgx的定義域是R,值域是奇函數(shù)，增函數(shù);

22

y=arccfgx的定義域是R,值域是（0,萬），非奇非偶，減函數(shù)。

2、當(dāng)x￡[-1,1]時,sin(arcsinx)=x,cos(arccosx)=x；

sin(arccosx)=cos(arcsinx)=Jl一-

arcsin(-x)=-arcsinx,arccos(-x)=兀一arccosx

.71

arcsinx+arccosx=—

2

對任意的XEH,有：

tg(arctgx)=x,ctg(arcctgx)=x

arctg{-x)--arctgx,arcctg(-x)=7T-arcctgx

71

arctgx+arcctgx=—

當(dāng)xw0時，有：tg(arcctgx)=—,ctg(arctgx)=—。

xx

3、最簡三角方程的解集:

>1時,sinX=a的解集為。;

的解集為卜卜=〃乃+

同W1時,sinx=a(-1)〃-arcsine,〃￡Z

|4〉1時,cosx=。的解集為。；

同W1時,cosx=a的解集為卜|x=2〃萬士arccosa,〃Ez｝；

a￡R，方程氏x=〃的解集為｛尤卜=ri7tarctga,nGZ）；

a￡R,方程以gx=a的解集為｛x|x=n7i+arcctga,nez｝0

四、不等式

1、若n為正奇數(shù)，由a<b可推出a"<b"嗎？（能）

若n為正偶數(shù)呢？（僅當(dāng)a、b均為非負(fù)數(shù)時才能）

2、同向不等式能相減，相除嗎（不能）

能相加嗎？（能）

能相乘嗎？（能，但有條件）

3、兩個正數(shù)的均值不等式是：空J(rèn)拓

2

a+b+c/-；-

三個正數(shù)的均值不等式是：--------->Uabc

3

n個正數(shù)的均值不等式是：一!——2------二之收如…CI,

4、兩個正數(shù)。、b的調(diào)和平均數(shù)、兒何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是

,12

ab

6、雙向不等式是：|同一同|引〃±/?K同+Ml

左邊在ab<0（>0）時取得等號，右邊在ab>0（<0）時取得等號。

五、數(shù)列

1、等差數(shù)列的通項公式是?！?%+（〃—l）d,前"項和公式是：Sn———

二叫十一〃(〃-l)do

2、等比數(shù)列的通項公式是%=%/1，

%(q=1)

前n項和公式是：S=<?|(1-q')/八

—：------("1)

I1-q

3、當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛4“｝的公比q滿足@〈1時，limS“=s=—幺一。一般地，如果無窮數(shù)列

I001-q

｛a,J的前n項和的極限limS“存在，就把這個極限稱為這個數(shù)列的各項和(或所有項的

〃f8

和)，用s表示，即s=limS“。

n->co

4、若m、n、p、qGN,且〃2+n=p+q,那么：當(dāng)數(shù)列｛氏｝是等差數(shù)列時，有

am+an=ap+aq；當(dāng)數(shù)列｛a“｝是等比數(shù)列時，有am-an-ap-aq.

5、等差數(shù)列｛a“｝中，若S.=10,SM=30,則SM=K；

6、等比數(shù)列｛?！埃?，若S.=10,Sz“=30,則&n=迎；

六、復(fù)數(shù)

1、i”怎樣計算？(先求n被4除所得的余數(shù)，i4k+r=zr)

]-x/31

2、a>.=——+——i、<y,=------------i是1的兩個虛立方根，并且:

122222

3、復(fù)數(shù)集內(nèi)的三角形不等式是：卜卜卜2||<|&±Z2|〈|zJ+|z2|，其中左邊

在復(fù)數(shù)八、Z2對應(yīng)的向量共線且反向(同向)時取等號，右邊在復(fù)數(shù)Z'、Z2對應(yīng)的向量共

線且同向（反向）時取等號。

4,棣莫佛定理是：［r（cosO+isin。）］"=r"（cosn8+isinne）（〃wZ）

5、若非零復(fù)數(shù)z=r（cose+isina）,則z的n次方根有里個，即：

"廠/2k7r+a..2k;r+a

z=Vr（cos-------+zsin-------）（k=0,l,2,…，?-1）

knn

它們在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在分布上有什么特殊關(guān)系？

都位于圓心在原點，半徑為我的圓上，并且把這個圓n等分。

6、若%|=2,Z23（cos—+isin—）■Z\?復(fù)數(shù)z、、z?對應(yīng)的點分別是A、B,

則AAOB（0為坐標(biāo)原點）的面積是工x2x6xsin工=3百。

23

7、Z-Z=|z|2o

8、復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的幾個基本軌跡：

①argz=6（防實常數(shù)）一軌跡為一條射線。

②arg（z-Zo）=6（Zo是復(fù)常數(shù)，，是實常數(shù)）c軌跡為?條射線。

③|z-z0|=r（r是正的常數(shù)）一■軌跡是一個圓。

④卜―zj=卜―口|（2］、"是復(fù)常數(shù)）—軌跡是一條直線。

⑤|z—zJ+|z—Z2|=2a（Z］、Z2是復(fù)常數(shù)，a是正的常數(shù)）3軌跡有三種

可能情形：a）當(dāng)2a＞匕一Zzl時，軌跡為橢圓：b）當(dāng)2。=|哥一馬|時，軌跡為一條線

段；c）當(dāng)2a＜憶一力時，軌跡不存在。

⑥以一石|一|z-Z2||=2a（a是正的常數(shù)）一軌跡有三種可能情形：a）當(dāng)

2a＜憶一0|時，軌跡為雙曲線；b）當(dāng)2a=卜一Z2|時，軌跡為兩條射線：c）當(dāng)

2a>卜1一72|時，軌跡不存在。

七、排列組合、二項式定理

1、加法原理、乘法原理各適用于什么情形？有什么特點？

加法分類，類類獨立；乘法分步，步步相關(guān)。

〃!

、排列數(shù)公式是：l：

2Pf"=n（n-1）???（?-m+1）=---------

排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：P：=m!?C：

組合數(shù)公式是：C：：二——--------二--------------；

1x2x???xmm!?（幾一加）!

組合數(shù)性質(zhì)：c：=c：fc;+c：i=c;\

EQ：=2"C=〃C：1

r=0

C;+C；M+C>+…+c：y：

3、二項式定理：

（a+b）"=C^a"+C\an-'b+C^an-2b2+…〃+…+C,?"二項展

開式的通項公式：乙|（r=°，1，2…，n）

八、解析幾何

1、沙爾公式：

、數(shù)軸上兩點間距離公式：

2|A8|=\xB-xj

3、直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點間距離公式：山刃=-=2）2+（）1-乃）2

-----PP

4、若點P分有向線段4乙成定比入，則人二」~

尸尸2

5、若點尸（1修，%），P2（x2,y2）,尸（尤,y）,點P分有向線段尸］鳥成定比人，

x-xy-y.

貝ij：入=-----Lx=Z_<L

々一元力—y

x,+Ax

x=------?-

1+2

1+4

若4(陽，必)，B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的重心G的坐標(biāo)是

%]+%2+3%+力+y3。

33

6、求直線斜率的定義式為1;=次],兩點式為k=乃二M

々一/

7、直線方程的幾種形式：

點斜式：y-yQ=k(x-xQ),斜截式：y=kx+b

的占才了一月元一項蚌蛆t1

兩點式：-------=-------，截距式：一+—=1

y2f》2一占ab

一般式：Ax+By+C=0

經(jīng)過兩條直線乙：A]X+Bp，+G=°和/2：AzX+Bzy+C?=。的交點

的直線系方程是：A/+B]y+C]+丸(A2]+8?)，+。2)=0

8、直線(：y=k}x+be/2：y=七/+%,則從直線/]到直線，2的角。滿

八k)—k[

足：火。=」——

1+左扃

k—k

直線I.與L的夾角。滿足：tgO=”——L

12

l+ktk2

直線/]：Ax+.y+C]=0,Z2：A2x+B2y+C2=0,則從直線乙到直線"的

4&一A2B|

直線6與4的夾角。滿足：tg?

A[A,+B[B)

9、點尸（飛，打）到直線/：Ax+8y+C=0的距離:

|Ax0+By。+c|

10、兩條平行直線/|：Ax+By+C,=0,/2：Ax+By+C2=0距離是

A1+B

11、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：(x—a)2+(y-b)2=/

圓的一般方程是：x2+y2+Dx+Ey+F0(￡>2+E2-4F>0)

VD2+￡2-4F(DE\

其中，半徑是r=--------------,圓心坐標(biāo)是一一，一一

2(22)

思考：方程x2+y2+Dx+Ey+F^0在D2+E2-4F=0和

D2+E2-4/<0時各表示怎樣的圖形？

12、若4>1,必)，B(x2,y2),則以線段AB為直徑的圓的方程是

(x-X])(x-X2)+(J-%)(y—%)=。

經(jīng)過兩個圓

2222

x+y+D{x+Ely+F[=0,x+y+D^x+E2y+F.,=0

的交點的圓系方程是:

x~++D\x+E]y+K+A（x~+y~+D^x+y+F2）=0

經(jīng)過直線/：4￥+8>+。=0與圓天2+y2+。工+與，+/=0的交點的圓系

方程是：x24-y2+￡>x+Ey+F+A（Ax+By+C）=0

13、圓/+>2=/的以。（/，打）為切點的切線方程是

2

xox+yoy=r

?般地，曲線Ar+02-Ox+￡），+尸=。的以點尸（與,打）為切點的切線方

程是：。例如，拋物線2

Axttx+Cy（）y-D-“+E-）；）。+F=0y=4x

X+]

的以點P（l,2）為切點的切線方程是：2y=4x-y-,即：y=x+l.

注意：這個結(jié)論只能用來做選擇題或者填空題，若是做解答題，只能按照求切線方程的常

規(guī)過程去做。

14、研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法有兩種，即：

①判別式法：A>0,=0,<0,等價于直線與圓相交、相切、相離；

②考查圓心到宜線的距離與半徑的大小關(guān)系：距離大于半徑、等于半徑、小于半徑，

等價于直線與圓相離、相切、相交。

15、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式是：y2=2px,y2=-2px,

22

x=2py,x--2pyo

16、拋物線y2=2px的焦點坐標(biāo)是：d，0）,準(zhǔn)線方程是：x=-yo

若點尸。0，孔）是拋物線V=2px上一點，則該點到拋物線的焦點的距離（稱為

焦半徑）是：Xo+]，過該拋物線的焦點且垂直于拋物線對稱軸的弦（稱為通徑）的長

是：2P。

JQyyX"

17、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：——4了二1和——4-=I

a2b2a2b2

(a>h>0)o

18、橢圓一-+=1（tz>/?>0）的焦點坐標(biāo)是（±c,0）,準(zhǔn)線方程是x=±—,

ab--------c

離心率是6=一C，通徑的長是2——b。其中o=〃o2-?6?2。

aa

v

19、若點「（公,〉0）是橢圓x一彳+彳=1（〃>匕>0）上一點，耳、尸2是其左、右焦

ab

點，則點P的焦半徑的長是歸用=a+e龍o和|尸身=a—%。

20、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：=1和與----7=1

a2b2a2b2

(a>0,/?>0)o

21、雙曲線-----=1的焦點坐標(biāo)是（士C,0）,準(zhǔn)線方程是X=±------,離心率是

crh--------c

Q2bJQ"y

e=一，通徑的長是——，漸近線方程是一彳一二=0。其中c?=a2+b\

aaab

22、與雙曲線---2y—1共漸近線的雙曲線系方程是一-—上了—A（/IW0）o與雙

〃2h2a2b2

曲線一3----Z-=1共焦點的雙曲線系方程是一5--------7-----=1。

a2b2a2+kb2-k

23、若直線y=H+6與圓錐曲線交于兩點A（x,,y）,B（X2,yj,則弦長為

2；

\AB\^yl(l+k)(Xl-x2y

若直線Xt與圓錐曲線交于兩點A（x,,y.）,B（X2,y2）,則弦長為

*1+/232

|A6|=7（?）（＞,1-y2）-

24、圓錐曲線的焦參數(shù)P的幾何意義是焦點到準(zhǔn)線的距離,對于橢圓和雙曲線都有：

b2

P=—。

c

25、平移坐標(biāo)軸，使新坐標(biāo)系的原點。'在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是（h,k）,幫P在原坐標(biāo)

系下的坐標(biāo)是（x,y）,在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是（x',y'）,則x'=x-/z,y'=y-k.

九、極坐標(biāo)、參數(shù)方程

1、經(jīng)過點P0（x0,y0）的直線參數(shù)方程的一般形式是：

x-x+at0公皿

\°n,“是參數(shù)）。

2、若直線/經(jīng)過點息（公,%），傾斜角為a，則直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是：

\”是參數(shù)）。其中點P對應(yīng)的參數(shù)t的兒何意義是:有向線段與P

y=M）+，sina

的數(shù)量。

若點Pl、P2、P是直線/上的點，它們在上述參數(shù)方程中對應(yīng)的參數(shù)分別是4、七不則：

;

\P]P2=|^1^||當(dāng)點P分有向線段尸]尸2成定比4時，t=[+：2;當(dāng)點P是線

t+

段PR的中點時，t=-y_

2

x=a-\-rcosa口人

（a是參數(shù)）。

{y=b+rsina

3、若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，點P的極坐標(biāo)

為（夕超），直角坐標(biāo)為（x,y），則x=夕cos。，y=psinO,

0="%2+/,tge=上。

X

4、經(jīng)過極點，傾斜角為。的直線的極坐標(biāo)方程是：。=&或。=%+&,

經(jīng)過點（a,0）,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是：pcos0=a,

經(jīng)過點（”,］）且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是：0sin6?=a,

經(jīng)過點（夕0，30）且傾斜角為a的直線的極坐標(biāo)方程是：

「sin（6-a）=p0sin（4-a）?

5、圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是Q=r；

圓心在點（。,0）,半徑為。的圓的極坐標(biāo)方程是p=2acos0；

圓心在點（。，|9，半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程是°=2asin6；

圓心在點（自），%）,半徑為r的圓的極坐標(biāo)方程是

夕2+4-2/y>0cos（6>-6>0）=

6、若點M（p,,4）、N（0，％）,則

\MN\=Jp；+居一20夕2cos（仇一％）.

十、立體幾何

S'

1、求二面角的射影公式是cos6=—,其中各個符號的含義是：S是二面角的一個面

￡

內(nèi)圖形F的面積，S'是圖形F在二面角的另一個面內(nèi)的射影，。是二面角的大小。

2、若直線/在平面a內(nèi)的射影是直線直線m是平面a內(nèi)經(jīng)過/的斜足的一條直線，/

與/'所成的角為仇，/'與m所成的角為。2，/與m所成的角為9,則這三個角之間的關(guān)

系是cos6=cos-cos02o

3、體積公式:

柱體：V=S-ht圓柱體：V=加產(chǎn)?h°

斜棱柱體積：V=S'?/（其中,S'是直截面面積，/是側(cè)棱長）；

11）

錐體：V=—5?/?,圓錐體：V=—7tr~?ho

33

臺體：v=L^s+y/s-s'+s'）,

圓臺