模煳數(shù)學(xué)教案t課件市公開(kāi)課一等獎(jiǎng)百校聯(lián)賽特等獎(jiǎng)?wù)n件

第1章含糊集基本概念第1頁(yè)含糊數(shù)學(xué)是研究和處理含糊性現(xiàn)象數(shù)學(xué)方法.眾所周知，經(jīng)典數(shù)學(xué)是以準(zhǔn)確性為特征.然而，與準(zhǔn)確形相悖含糊性并不完全是消極、沒(méi)有價(jià)值.甚至能夠這么說(shuō)，有時(shí)含糊性比準(zhǔn)確性還要好.比如,要你某時(shí)到某地去迎接一個(gè)“大胡子高個(gè)子長(zhǎng)頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡中年男人”.盡管這里只提供了一個(gè)準(zhǔn)確信息――男人，而其它信息――大胡子、高個(gè)子、長(zhǎng)頭發(fā)、寬邊黑色眼鏡、中年等都是含糊概念，不過(guò)你只要將這些含糊概念經(jīng)過(guò)頭腦綜合分析判斷，就能夠接到這個(gè)人.含糊數(shù)學(xué)在實(shí)際中應(yīng)用幾乎包括到國(guó)民經(jīng)濟(jì)各個(gè)領(lǐng)域及部門(mén)，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)管理等方面都有含糊數(shù)學(xué)廣泛而又成功應(yīng)用.第2頁(yè)§1.2含糊理論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)經(jīng)典集合經(jīng)典集合含有兩條基本屬性：元素彼此相異，即無(wú)重復(fù)性；范圍邊界分明,即一個(gè)元素x要么屬于集合A(記作x

A),要么不屬于集合(記作x

A)，二者必居其一.集合表示法：(1)枚舉法，A={x1,x2,…,xn}；(2)描述法，A={x|P(x)}.

A

B若x

A，則x

B；

A

B若x

B，則x

A；

A=B

A

B且A

B.第3頁(yè)

集合A全部子集所組成集合稱(chēng)為A冪集，記為

(A).并集A∪B={x|x

A或x

B}；交集A∩B={x|x

A且x

B}；余集Ac

={x|x

A}.集合運(yùn)算規(guī)律冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；

吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；第4頁(yè)分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A；對(duì)偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；

排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=

；U為全集，

為空集.集合直積：

X

Y={(x,y)|x

X,y

Y

}.第5頁(yè)映射與擴(kuò)張映射f：X

Y集合A特征函數(shù)：特征函數(shù)滿(mǎn)足：取大運(yùn)算,如2∨3=3取大運(yùn)算,如2∧3=2擴(kuò)張：點(diǎn)集映射集合變換第6頁(yè)二元關(guān)系XY子集R稱(chēng)為從X到Y(jié)二元關(guān)系，尤其地，當(dāng)X=Y時(shí)，稱(chēng)之為X上二元關(guān)系.二元關(guān)系簡(jiǎn)稱(chēng)為關(guān)系.若(x,y)R，則稱(chēng)x與y相關(guān)系，記為R(x,y)=1；若(x,y)R，則稱(chēng)x與y沒(méi)相關(guān)系，記為R(x,y)=0.映射R:XY{0,1}實(shí)際上是XY子集R上特征函數(shù).第7頁(yè)關(guān)系三大特征：

設(shè)R為X上關(guān)系

(1)自反性：若X上任何元素都與自己有關(guān)系R，即R(x,x)=1，則稱(chēng)關(guān)系R含有自反性；

(2)對(duì)稱(chēng)性：對(duì)于X上任意兩個(gè)元素x,y，若x與y相關(guān)系R時(shí)，則y與x也相關(guān)系R，即若R(x,y)=1，則R(y,x)=1，那么稱(chēng)關(guān)系R含有對(duì)稱(chēng)性；

(3)傳遞性：對(duì)于X上任意三個(gè)元素x,y,z，若x與y相關(guān)系R，y與z也相關(guān)系R時(shí)，則x與z也相關(guān)系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，則R(x,z)=1，那么稱(chēng)關(guān)系R含有傳遞性.

第8頁(yè)關(guān)系矩陣表示法

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，R為從X到Y(jié)二元關(guān)系，記rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，則R為布爾矩陣(Boole)，稱(chēng)為R關(guān)系矩陣.

布爾矩陣(Boole)是元素只取0或1矩陣.關(guān)系合成

設(shè)R1是X到Y(jié)關(guān)系,R2是Y到Z關(guān)系,則R1與R2合成R1°

R2是X到Z上一個(gè)關(guān)系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}第9頁(yè)關(guān)系合成矩陣表示法

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y(jié)關(guān)系R1=(aik)m×s，Y到Z關(guān)系R2=(bkj)s×n，則X到Z關(guān)系可表示為矩陣合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.

定義：若R為n階方陣，定義R2

=R°

R，R3

=R2

°

R…第10頁(yè)

例設(shè)X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y(jié)關(guān)系,R2是Y到Z關(guān)系,R1={(x,y)|x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(x,y)|y–

z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},則R1與R2合成R1°

R2={(x,y)|x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.第11頁(yè)合成(°

)運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性質(zhì)2：Ak

°Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質(zhì)3：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質(zhì)5：A≤B，C≤D

A°C≤B°D.O為零矩陣，I為n階單位方陣.A≤B

aij≤bij

.第12頁(yè)關(guān)系三大特征矩陣表示法：

設(shè)R為X={x1,x2,…,xn}

上關(guān)系，則其關(guān)系矩陣R=(rij)n×n為n階方陣.(1)R含有自反性

I≤R；(2)R含有對(duì)稱(chēng)性

RT

=R；(3)R含有傳遞性

R2≤R

.

若R含有自反性，則

I≤R≤R2≤R3≤…第13頁(yè)下面證實(shí)：R含有傳遞性

R2≤R.R=(rij)n×n

設(shè)R含有傳遞性,即對(duì)任意i,j,k，若有rij=1，rjk=1，則有rik=1.

對(duì)任意i,j，若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=0，則∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij.

若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=1，則存在1≤s≤n，使得(ris∧rsj)=1，第14頁(yè)即ris=1,rsj=1.

因?yàn)镽含有傳遞性，則rij=1，所以∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=rij.總而言之

R2≤R.

設(shè)R2≤R，則對(duì)任意i,j,k，若有

rij=1，rjk=1，即(rij∧rjk)=1，所以∨{(ris∧rsk)|1≤s≤n}=1，

由R2≤R，得rik=1，所以R含有傳遞性.第15頁(yè)集合上等價(jià)關(guān)系

設(shè)

X上關(guān)系R含有自反性、對(duì)稱(chēng)性、傳遞性，則稱(chēng)R為X上等價(jià)關(guān)系.若x與y有等價(jià)關(guān)系R，則記為x

y.集合上等價(jià)類(lèi)

設(shè)

R是X上等價(jià)關(guān)系，x

X.定義x等價(jià)類(lèi)：[x]R={y|y

X，y

x}.集合分類(lèi)

設(shè)

X是非空集，Xi

是X非空子集，若∪Xi=X，且Xi∩Xj

=

(i

j)，則稱(chēng)集合族{Xi

}是集合X一個(gè)分類(lèi).第16頁(yè)

定理：集合X上任一個(gè)等價(jià)關(guān)系R能夠確定X一個(gè)分類(lèi).即

(1)任意x

X，[x]R非空；

(2)任意x,y

X，若x與y沒(méi)相關(guān)系R，則[x]R∩[y]R=

；

(3)X=∪[x]R.

證:(1)因?yàn)镽含有自反性，所以x∈[x]R，即[x]R非空.

(2)假設(shè)[x]R∩[y]R

,取z∈[x]R∩[y]R，則z與x相關(guān)系R，與y也相關(guān)系R.因?yàn)镽含有對(duì)稱(chēng)性，所以x與z相關(guān)系R，z與y也相關(guān)系R.又因?yàn)镽含有傳遞性，x與y也相關(guān)系R.這與題設(shè)矛盾.

(3)略.第17頁(yè)例設(shè)X={1,2,3,4},定義關(guān)系R1：xi＜xj；R2

：xi+xj為偶數(shù)；R3

：xi+xj=5.

則關(guān)系R1是傳遞，但不是自反，也不是對(duì)稱(chēng)；輕易驗(yàn)證關(guān)系R2是X上等價(jià)關(guān)系；關(guān)系R3是對(duì)稱(chēng)和傳遞，但不是自反.按關(guān)系R2可將X分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類(lèi)，即X={1,3}∪{2,4}.按關(guān)系R3可將X分為兩類(lèi)，即X={1,4}∪{2,3}.第18頁(yè)格設(shè)在集合L中要求了兩種運(yùn)算∨與∧,并滿(mǎn)足以下運(yùn)算性質(zhì)：冪等律：a∨a=a，a∧a=a；交換律：a∨b=b∨a，a∧b=b∧a；結(jié)合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，

(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

；吸收律：a∨(a∧b)

=a，

a∧(a∨b)

=a.則稱(chēng)L是一個(gè)格，記為(L,∨,∧).第19頁(yè)設(shè)(L,∨,∧)是一個(gè)格，假如它還滿(mǎn)足以下運(yùn)算性質(zhì)：分配律：(a∨b)∧c=(a∧c)∨(b∧c),

(a∧b)∨c=(a∨c)∧(b∨c).則稱(chēng)

(L,∨,∧)為分配格.

若格(L,∨,∧)滿(mǎn)足：

0-1律：在L中存在兩個(gè)元素0與1，且a∨0=a，a∧0=0，a∨1=1，a∧1=a，則稱(chēng)

(L,∨,∧)有最小元0與最大元1，此時(shí)又稱(chēng)

(L,∨,∧)為完全格.第20頁(yè)

若在含有最小元0與最大元1分配格

(L,∨,∧)中要求一個(gè)余運(yùn)算c，滿(mǎn)足：還原律：(ac)c=a；互余律：a∨ac=1，a∧ac=0，則稱(chēng)(L,∨,∧,c)為一個(gè)Boole代數(shù).

若在含有最小元0與最大元1分配格

(L,∨,∧)中要求一個(gè)余運(yùn)算c，滿(mǎn)足：還原律：(ac)c=a；對(duì)偶律：(a∨b)c=ac∧bc，

(a∧b)c

=ac∨bc，則稱(chēng)(L,∨,∧,c)為一個(gè)軟代數(shù).第21頁(yè)

例1任一個(gè)集合A冪集

(A)是一個(gè)完全格.

格中最大元為A(全集)，最小元為

(空集)，而且(J(A),∪,∩,

c)既是一個(gè)Boole代數(shù)，也是一個(gè)軟代數(shù).

例2記[0,1]上全體有理數(shù)集為Q，則(Q,∨,∧)是一個(gè)完全格.

格中最大元為1，最小元為0.

若在Q中定義余運(yùn)算c為ac

=1-

a，則(Q,∨,∧,c)不是一個(gè)Boole代數(shù)，但它是一個(gè)軟代數(shù).第22頁(yè)§1.3含糊子集及其運(yùn)算含糊子集與隸屬函數(shù)

設(shè)U是論域，稱(chēng)映射A(x)：U→[0,1]確定了一個(gè)U上含糊子集A，映射A(x)稱(chēng)為A隸屬函數(shù)，它表示x對(duì)A隸屬程度.

使A(x)=0.5點(diǎn)x稱(chēng)為A過(guò)渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具含糊性.

當(dāng)映射A(x)只取0或1時(shí)，含糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它特征函數(shù).可見(jiàn)經(jīng)典子集就是含糊子集特殊情形.第23頁(yè)

例設(shè)論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人身高，那么U上一個(gè)含糊集“高個(gè)子”(A)隸屬函數(shù)A(x)可定義為也可用Zadeh表示法：第24頁(yè)含糊集運(yùn)算相等：A=B

A(x)=

B(x)；包含：A

B

A(x)≤B(x)；并：A∪B隸屬函數(shù)為(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B隸屬函數(shù)為(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac隸屬函數(shù)為Ac(x)=1-

A(x).第25頁(yè)

例設(shè)論域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定義兩個(gè)含糊集：A=“商品質(zhì)量好”，B=“商品質(zhì)量壞”，并設(shè)A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).則Ac=“商品質(zhì)量不好”,Bc=“商品質(zhì)量不壞”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可見(jiàn)Ac

B,

Bc

A.

又A∪Ac

=(0.8,0.55,1,0.7,1)

U,

A∩Ac

=(0.2,0.45,0,0.3,0)

.第26頁(yè)含糊集并、交、余運(yùn)算性質(zhì)

冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A；第27頁(yè)對(duì)偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，

(A∩B)c=Ac∪Bc；

對(duì)偶律證實(shí)：對(duì)于任意x

U(論域)，(A∪B)c(x)=1-

(A∪B)(x)=1-

(A(x)∨B(x))=(1-

A(x))∧(1-

B(x))=Ac(x)∧Bc(x)