高中數(shù)學(xué)2019衡水名師原創(chuàng)理科數(shù)學(xué)卷：五《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》

考試注意事項(xiàng)

1.進(jìn)入考場(chǎng)時(shí)攜帶的物品。

考生進(jìn)入考場(chǎng)，只準(zhǔn)攜帶準(zhǔn)考證、二代居民身份證以及2B鉛

筆、0.5毫米黑色墨水簽字筆、直尺、圓規(guī)、三角板、無封套橡

皮、小刀、空白墊紙板、透明筆袋等文具。嚴(yán)禁攜帶手機(jī)、無線

發(fā)射和接收設(shè)備、電子存儲(chǔ)記憶錄放設(shè)備、手表、涂改液、修正

帶、助聽器、文具盒和其他非考試用品?？紙?chǎng)內(nèi)不得自行傳遞文

具等物品。

由于標(biāo)準(zhǔn)化考點(diǎn)使用金屬探測(cè)儀等輔助考務(wù)設(shè)備，所以提醒

考生應(yīng)考時(shí)盡量不要佩戴金屬飾品，以免影響入場(chǎng)時(shí)間。

2.準(zhǔn)確填寫、填涂和核對(duì)個(gè)人信息。

考生在領(lǐng)到答題卡和試卷后，在規(guī)定時(shí)間內(nèi)、規(guī)定位置處填

寫姓名、準(zhǔn)考證號(hào)。填寫錯(cuò)誤責(zé)任自負(fù)；漏填、錯(cuò)填或字跡不清

的答題卡為無效卡；故意錯(cuò)填涉嫌違規(guī)的，查實(shí)后按照有關(guān)規(guī)定

嚴(yán)肅處理。監(jiān)考員貼好條形碼后，考生必須核對(duì)所貼條形碼與自

己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)是否一致，如發(fā)現(xiàn)不一致，立即報(bào)告監(jiān)考員

要求更正。

3.考場(chǎng)面向考生正前方的墻壁上方懸掛時(shí)鐘，為考生提供時(shí)間

參考。

考場(chǎng)時(shí)鐘的時(shí)間指示不作為考試時(shí)間信號(hào)，考試時(shí)間一律以

考點(diǎn)統(tǒng)一發(fā)出的鈴聲信號(hào)為準(zhǔn)。

2019屆高三一輪復(fù)習(xí)理科數(shù)學(xué)專題卷

專題五導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

考點(diǎn)13：導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算（1,2題）

考點(diǎn)14：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（3-11題,13-15題,17-22題）

考點(diǎn)15：定積分的計(jì)算（12題,16題）

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分

說明：請(qǐng)將選擇題正確答案填寫在答題卡上,主觀題寫在答題紙上

第I卷（選擇題）

一、選擇題（本題共12小題,每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是最符合題目要求的。）

1.【來源】2017-2018年河北武邑中學(xué)高二理周考考點(diǎn)13易

函數(shù)/（x）=sir?》的導(dǎo)數(shù)是（）

A.2sinxB.2sin2xC.2cosxD.sin2x

2.【來源】2017-2018年河北武邑中學(xué)高二理周考考點(diǎn)13易

已知/（X）=」x2+cosx,f（X）為/（X）的導(dǎo)函數(shù)，則f（X）的圖像是（）

*+**D

A8c

3.12017課標(biāo)II,理11】考點(diǎn)14易

若x=-2是函數(shù),⑴=（/+axT）/T的極值點(diǎn),則/W的極小值為（）

A.-1B.-2e'c.5f-3D,1

4.【來源】2017屆湖北孝感市高三理上學(xué)期第一次統(tǒng)考考點(diǎn)14中難

若曲線y=ln（x+a）的一條切線為y=ex+A,其中為正實(shí)數(shù)，則a+號(hào)的取值范圍

是（）

A.（—F,+oojB.[e,+co）C.[2,+8）D.[2,e）

5.【來源】2017屆福建閩侯縣三中高三上期中考點(diǎn)14難

已知函數(shù)y=/的圖象在點(diǎn)（Xo，x；）處的切線為/,若/也與函數(shù)y=lnx,xe（o,l）的圖象

相切，則X。必滿足()

172I-

A.0<x0<1

B.—<x0<1C.2<X。<D.V2<XQ<5/3

6.【來源】2017屆河北磁縣一中高三11月月考考點(diǎn)14易

已知函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)為了'(X),且(X+1)/(X)+才(另>0對(duì)xGR恒成立，則下列函數(shù)

在實(shí)數(shù)集內(nèi)一定是增函數(shù)的為()

A./(X)B.xf(x)C.e'/(x)

D.xe,"(x)

7?【來源】2017屆江西撫州市七校高三上學(xué)期聯(lián)考考點(diǎn)14易

已知函數(shù)”X)與尸(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)g(x)=#^的遞減區(qū)間為()

A.(0,4)B.(-co』),件4)A(0,g)D.(0,1),(4,+00)

8.【來源】2017屆山東省青州市高三10月段測(cè)考點(diǎn)14中難

定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：f\x)>l-f(x),/(0)=6,尸(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則不

等式//(x)>/+5(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為()

A.(0,+oo)B.(―℃,0)U(3,+oo)

C.(-oo,0)(J(l,4w)D.(3,+00)

9.12017課標(biāo)3,理11】考點(diǎn)14難

己知函數(shù)"X)=/-2尤+a(尸+e'，」)有唯一零點(diǎn),則()

」J.1

A.2B.3c.2D.1

10.【來源】2017屆河南中原名校高三理上質(zhì)檢三考點(diǎn)14難

已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,/‘(X)為函數(shù)/(X)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)XG[(),+OO)

時(shí)，2sinxcosx-/(x)>0且VxeR,/(-x)+/(x)+cos2x=l.則下列說法一定正確

的是()

11.【來源】2017屆遼寧沈陽二中高三理上學(xué)期期中考點(diǎn)14中難

已知函數(shù)/(x)=x2-ax-a\nx^ae=-x3+-^x2+2x-6,g(x)在［1,4］上的

最大值為力，當(dāng)xw［l,+oo)時(shí)，〃x)打恒成立，則a的取值范圍是()

K.a<2B.￡Z<1

C.a<-\D.a<0

12?【來源】2017屆遼寧盤錦高級(jí)中學(xué)高三11月月考考點(diǎn)15中難

已知。>0,b>Q,/'(X)為/(x)的導(dǎo)函數(shù)，若/(x)=ln'，且必:=2/⑷+

則的最小值為()

A.472B.272C.-D.-+272

22

第n卷(非選擇題)

二.填空題(每題5分，共20分)

13?【來源】2017屆廣東省仲元中學(xué)高三9月月考考點(diǎn)14易

1nx+4

已知函數(shù)f(x)=--------，求曲線/(%)在點(diǎn)(1,/(1))處的切線方程

X

14?【來源】2017屆廣西陸川縣中學(xué)高三8月月考考點(diǎn)14中難

若函數(shù)/(幻=/一產(chǎn)-火在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

15?【來源】2017屆湖北襄陽四中高三七月周考二考點(diǎn)14中難

若函數(shù)〃x)=x2-；inx+l在其定義域內(nèi)的一個(gè)子區(qū)間(a-La+1)內(nèi)存在極值,則實(shí)數(shù)。的

取值范圍.

16.【來源】2015-2016新疆哈密地區(qū)二中高二下期末考試考點(diǎn)15易

如圖，陰影部分的面積是

三.解答題（共70分）

17.（本題滿分10分）

【來源】2017屆四川遂寧等四市高三一診聯(lián)考考點(diǎn)14易

已知函數(shù)f\x）=aex-x（aeR）,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，<?=2.71828….

（I）判斷函數(shù)的單調(diào)性,并說明理由；

（II）若xe[l,2],不等式恒成立，求a的取值范圍.

18.（本題滿分12分）

【來源】2017屆河南百校聯(lián)盟高三文11月質(zhì)監(jiān)考點(diǎn)14中難

已知函數(shù)/'（》）="一依，（a>0）.

（I）記〃尤）的極小值為g（a）,求g（a）的最大值;

（II）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有20,求/（a）的取值范圍.

19.（本題滿分12分）

【來源】2017屆河北唐山市高三理上學(xué)期期末考點(diǎn)14中難

已知函數(shù)==xflnx-^-lY

（1）求y=/（x）的最大值;

(2)當(dāng)ae0,-時(shí)，函數(shù)y=g(x),(xe(O,e])有最小值.記g(x)的最小值為可。)，求

函數(shù)〃(。)的值域.

20.(本題滿分12分)

【來源】2017-2018學(xué)年江蘇南通海安縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二上學(xué)期期中考點(diǎn)14中難

已知函數(shù)/(%)=爐_x+ce-2x{c6/?).

(1)若/(x)是在定義域內(nèi)的增函數(shù)，求c的取值范圍；

(2)若函數(shù)/(x)=/(x)+/(x)—T(其中尸(x)為/(x)的導(dǎo)函數(shù))存在三個(gè)零點(diǎn)，求c,的

取值范圍.

21.(本題滿分12分)

【來源】2017屆四川自貢市高三一診考試考點(diǎn)14中難

已知函數(shù)/(x)=/3ei-〃())x+；x2(/，(x))是/(x)的導(dǎo)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底

數(shù))，g(x)=^x2+ax+h^a&R,bwR).

(I)求〃x)的解析式及極值：

(II)若〃x"g(x),求當(dāng)D的最大值.

22.(本題滿分12分)

【2017課標(biāo)1,理21】已知函數(shù)/(X)=4/*+("_2)e*_X

(1)討論了(X)的單調(diào)性;

(2)若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

參考答案

1.D

【解析】由題意得，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

/,(x)=(sin2x)f=2sinx-(sinx\=2sinxcosx=sin2x.

2.A

【解析】由題意得，/'(x)=gx-sinx,

所以r(—X)=g(r)-sin(-x)=T；x-sin幻=-f'(x)，所以函數(shù)/'(x)為奇函數(shù)，即函

數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)x=T時(shí)，/(m=；萬—1<0,當(dāng)x〉2時(shí)，/'(x)>0恒成立，

故選A.

3.【答案】A

【解析】

試題分析：由題可得f'(x)=(2x+a)/"+(x2+ax-iy1=[^+(a+2)x+a-ly1

因?yàn)?(—2)=0,所以a=-l,/(x)=(x2-x-iy1,Sj?/,(x)=(x2+x-2>1-1

令/3>0,解得x<-2或x>1,所以/(x)在(^O-2),(1,-HB)單調(diào)遞增，在(-2,1)單調(diào)遞減

所以/(X)極小值為==T,故選A”

4.C

【解析】設(shè)切點(diǎn)為(玉)，孔)，則有

:1

-----=e2e1

<%+e=>力=ae-2,丁Z?>0,。,QH-----=a+—N2,故選C.

1/、，e8+2a

ln(x0+a)=ex。+。

5.D

【解析】函數(shù)y=f的導(dǎo)數(shù)y，=2x,y=Y在點(diǎn)(%,x：)處的切線斜率為k=2x0,切線方程

為y-x：=2毛(%-%0),設(shè)切線與y=lnx相交的切點(diǎn)為(〃2,ln〃z),(0</"<1),由

丁=山》的導(dǎo)數(shù)為歹=,可得2/=」*，切線方程為、—111m=,(工一，〃)，令l=0,可得

xmm

11

y=lnm-l=-x9,由0<加<1可得%>-,且不9>1,解得小>1由m=——,可得

022%

2

,片-ln（2x0）-l=0,令/（x）=x-In（2x）-1,

x>l,/!(x)=2x——在I遞增，

且/(夜)=2-如2血一l<0,/(百)=3-In26-1>0,則有片一ln(2』)—l=0的根

4故選D.

6.D

【解析】

設(shè)F(x)=xe'/(x),則=(x+l)e*〃x)+xe"'(x)=e*[(x+l),f+.

-.?(x+l)/(x)+V/(x)>OMxeR恒成立,且e'>0..,.尸(x)>O,AF(x)在R上遞增.

7.D

[解析】g'(x)=)(四飛/處=/'(x)-/(x),令g[x)<0即/'(x)-/(X)<0,由圖可

kre

得xe(0,l)U(4,+oo),故函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為(0,1),(4,+?),故選1).

8.A

【解析】設(shè)g(t)=</(l)-/,(L￡析)，

g'(x)=e"/(x)+e"/'(x)—e"=ex[f(x)+/'(x)-1],f'Cx)>l-/(x),

fCx)+frCx)—1>O,g'(x)>0,y=g(x)在定義域上單調(diào)遞增，

?.?exf(x)>ex+5,g(x)>5,

又；g(0)=e°/(0)—e°=6—1=5,r.g(x)>g(0),x>0,不等式的解集為(0,+8).

9.【答案】C

[解析】函數(shù)的零點(diǎn)滿足X2-2X=-a[ex-'+e^'),

設(shè)g(x)=e'T+e-e，則g，(x)=一=e—十=,

當(dāng)g'(x)=0時(shí),x=l,當(dāng)x<l時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)%>1時(shí),g'(x)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最小值g。)=2,

設(shè)〃（同二X2-2x，當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)取得最小值—1,

若一。>0,函數(shù)方(X)與函數(shù)Og(x)沒有交點(diǎn)，

當(dāng)一。<0時(shí),-四。)=%。)時(shí),此時(shí)函數(shù)M%)和。g(x)有一個(gè)交點(diǎn),

即一0x2=—1,解得°=1.故選C.

2

10.B

【解析】令F(x)=sin2x-/(x),則尸(x)=sin2x-/(尢).因?yàn)楫?dāng)XG[0,+OO)

時(shí)，2sinxcosx—/(x)>0,即sin2x>/(x),所以F(x)=sin2x—f(x)>0,所以

F(x)=sin2%-/(%)在％?O,+oo)上單調(diào)遞增.又VxcR,/(—%)+/(%)+cos2x=1,

所以/(-x)+/(x)=2sin2x,

所以，=slr^x-2siT^x+f(x)=[slr^x-f(x)],故

尸(x)=sin2x—為奇函數(shù)，所以/(x)=sin2x—/(x)在R上單調(diào)遞增，所以

?即”卜用/故選民

11.B

【解析】g'(x)=-3x2+5x+2=—(x—2)(3x+1),所以g(x)在[1,2]上是增函數(shù)，[2,4]上

是減函數(shù)g(x)=g(2)-0,/(%)>0在xe[l,+oo)上恒成立，由xe[l,+oo)

Y"~7

知，x+lnx>0,所以/(x)20恒成立等價(jià)于。<-------在xe[1,+8),時(shí)恒成立，令

x+lnx

2

h{x}=--——,xe[L+X),有/(x)=—~1)+2?”>o,所以h(x)在[1,+8)上是增函

x+lnx(x+Inx)

數(shù)，有〃(x)2/?(l)=l,所以aWl.

12.C

【解析】V/(%)=-,：-/(。)=,,V

xa

61d一』上一1+9*g/，(.)+?一】，；?』河+如，二

212b

—+一=1,,?a>Q/?>0,

a2bf(a+b)=(a+ba

213

且三+」-=1,即。=3/二弓時(shí)等號(hào)成立,故選C.

a2b2

133x+y-7=0

【解析】f'[x}=-In*+3，所以4=r(l)=-3,AD=4,切線方程為

X

y-4=-3(x-1),即標(biāo)+y式小)

14.a<21n2—2

【解析】/(x)=x2-e'-ax,^f'M=2x-ex-a,W^f(x)=x2-e'-ax

在R上存在單調(diào)遞增區(qū)間，所以f\x)=2x-ex-a>0,即a<2x—e*有解，令

g(x)=2x-ex,則g'(x)=2-e*,則g'(x)=2-e*=0=x=ln2，所以當(dāng)x<ln2

時(shí),g'(x)=2—e">0；當(dāng)x>ln2時(shí),g'(x)=2—/<0,當(dāng)x=ln2

時(shí)，g(x)=21n2—2,所以。<21n2—2.

°\/max

3

15.[1,-)

14x2-111

【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?0,+oo),令/'(x)=2x—人=絲~^=0,解得尤=上或工=一上

2x2x22

(不在定義域內(nèi)舍)，所以要使函數(shù)在子區(qū)間(a-1,a+1)內(nèi)存在極值等價(jià)于

tz-l>0

133

—￡(Q—l,a+l)u(0,+oo),即〃1,解得—,答案為[1,—).

2\[222

11

。+1〉一

2

“32

16.——

3

【解析】由題意得,直線y=2x與拋物線y=3-Y,解得交點(diǎn)分別為(一3,-6)和(1,2),拋物

線y=3-x2與x軸負(fù)半軸交點(diǎn)(-73,0)，設(shè)陰影部分的面積為S,則

S=￡(3-X2-2x)dx+J}(3-x2)cbc

-J2xdx+J(3-x2)cbc=g+2G+9-2G=,.

11)

17.(I)理由見解析；(H)—+-,+oo

蘆eJ

【解析】(I)由題可知，/(/)=〃/一九，則=,

(i)當(dāng)aWO時(shí)，/(力<0,函數(shù)=為R上的減函數(shù)，

(ii)當(dāng)〃>0時(shí)，令。"一1=0,得x=-lna,

f

②xe(-<x)9-lna)f則/(x)<0,此時(shí)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù);

②若x￡(-ln〃,+oo),則((力>0,此時(shí)函數(shù)“X)為單調(diào)遞增函數(shù).............(4分)

(II)由題意，問題等價(jià)于2],不等式4爐-恒成立,

即xe[l,2],信匕￡恒成立，

ezx

令g(X)=，則問題等價(jià)于a不小于函數(shù)g(x)在[1,2]上的最大值.............(6分)

(I+MJJ"-20+.r/je2'

(l-x)e*-2

由g'(x)=e4x

當(dāng)x€[1,2]時(shí),g'(x)VO,所以函數(shù)g(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,......................(8分)

所以函數(shù)g(x)在xe[l,2]的最大值為g(l)=《+L

ee

「11、

故xe[l,2],不等式恒成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為4+-,+oo.........(10

Le2e)

分)

18.(1)g(a)nux=l(II)/(a)的取值范圍是(l,e0—e2].

【解析】(I)函數(shù)/(x)的定義域是(F,+8),/'(x)="—a.在定義域上單調(diào)遞增。

/''(x)>0,得x>lna,所以/(x)的單調(diào)區(qū)間是(lna,+。。)，函數(shù)/(x)在x=Ina處取極

小值，

爪a)=f(x)極小值=Aina)-e[na-alna-a-alna.

g'(a)=l-(l+lna)=-lna,當(dāng)Oca<1時(shí)，g'(a)>0,g(a)在(0』)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>l時(shí),g'(a)<0,g(a)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

所以a=1是函數(shù)g(a)在(0,+8)上唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以

g(a)max=g6=L

......................?(6分)

(ID當(dāng)xWO時(shí)，。〉0,爐一批20恒成立.

當(dāng)X>0時(shí)，/(%)>(),即，一〃￥之0,即

e

令〃(x)=JXG(0,+OO),h'(x)=e[=e(:

XXX

當(dāng)0〈尤<1時(shí)，〃。)<0,當(dāng)〃'(x)>0,故〃(x)的最小值為人⑴=e,

所以a<e,故實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,e].

/(a)=e"-a2,a?0,e],1(a)=e"—2a,由上面可知e"-2aNO恒成立，

故/(a)在(0,e]上單調(diào)遞增,所以/(O)=1</(e)=,

即/(a)的取值范圍是

(LeT]...................................................(12分)

1

19.(1)一；(2)[一e一,-1].

e2

1—1nY

【解析】(l)f'(x)=-L(x>0),

X

當(dāng)X￡(0,e)時(shí),f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x￡(e,+8)時(shí),f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=e時(shí),f(x)取得最大值f(e)="!-................................(3分)

e

Inx

(2)g'(x)=lnx—ax=x(----a),由(1)及x￡(0,e]得：

①當(dāng)a=!時(shí),一a<0,g'(x)WO,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x=e時(shí),g(x)取得最小值g(e)=h(a)=―|~......................(5分)

②當(dāng)aeiO,—),f(1)=0Wa,f(e)=—>a,

ee

所以存在te[1,e),gz(t)=0且Int=at,

當(dāng)x@(0,t)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)xW(3e]時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)的最小值為g(t)=h(a)..........................................(7分)

人,/、c/、tInt

令h(a)=G(t)=2-t，

因?yàn)镚'所以G(t)在[l,e)單調(diào)遞減，此時(shí)G⑴日一方,一1]....(11

分)

Q

綜上,h(a)C[---,—1].................................................................................(12分)

20.(1)(-00,-1](2)(。，|/)

[解析](D因?yàn)閒(x)=x2_x+ce-2'(ceR),

所以函數(shù)/(x)的定義域?yàn)榇饲?'(尤)=2x-i-2ce2^

1,

由/(x)NO得2x—l-2c?e~NO即2對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立.

再令g(x)=5(21)e：則g“)=，令g，⑺=o得％=0

而當(dāng)龍<0時(shí)g'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)g'(x)>0,

所以當(dāng)X=0時(shí)g(x)取得極小值也是最小值,即g")min-g⑼一&

(-00)--J

所以C的取值范圍是2.....................................................(6分)

⑵由⑴知/'(幻=2%-1-20?6",所以由/;'0)=0得

57

X2-x+ce~2x+(2x-l-2ce~2x)=-c=(x2+x——)e2x

2,整理得2.

令7i(x)=(廠+x--)e2x則力,(幻=2,+=2(x+3)(x-l)e2x

令"(x)=0,解得x=_3或x=l

列表得：

X(-?,-3)-3(-3.DI(1,+X)

%'⑺4-

/?(r)增用

5”

—e

由表可知當(dāng)％=-3時(shí)，力(x)取得極大值2.

32

——e

當(dāng)x=l時(shí)，力(幻取得極小值2.

27

X+X--->0,

又當(dāng)了<-3時(shí)，2,61>0,所以此時(shí)。(%)>0.

/z(x)e(05,-^)〃(乃€(-9a2s,9巧

因此當(dāng)x<-3時(shí)，2.當(dāng)-3c<1時(shí)，22.

3S

h(x)e(—―e2,4-oo)(0,—6)

當(dāng)時(shí)，2；因此滿足條件,的取值范圍是2.……(12分)

1P

21.(I)f(x)=e'-x+-x2；/(x)的極大值為/'(0)=1,無極小值；(H)

24

【解析】(I)由已知得/(x)=7'(I)e，T—/(0)+x,

令x=l,得尸(1)=/⑴-40)+1,

即"0)=1

又/⑼