5.2平面向量基本定理及坐標表示-高考復習

§5.2平面向量基本定理及坐標表示1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標．②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0.概念方法微思考1．若兩個向量存在夾角，則向量的夾角與直線的夾角一樣嗎？為什么？提示不一樣．因為向量有方向，而直線不考慮方向．當向量的夾角為直角或銳角時，與直線的夾角相同．當向量的夾角為鈍角或平角時，與直線的夾角不一樣．2．平面內的任一向量可以用任意兩個非零向量表示嗎？提示不一定．當兩個向量共線時，這兩個向量就不能表示，即兩向量只有不共線時，才能作為一組基底表示平面內的任一向量．題組一思考辨析1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內的任意兩個向量都可以作為一組基底．(×)(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)在等邊三角形ABC中，向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))的夾角為60°.(×)(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).(×)(5)平面向量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后其坐標不變．(√)(6)當向量的起點在坐標原點時，向量的坐標就是向量終點的坐標．(√)題組二教材改編2．[P97例5]已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點D的坐標為________．答案(1,5)解析設D(x，y)，則由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5.))3．[P119A組T9]已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則eq\f(m,n)＝________.答案－eq\f(1,2)解析由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb與a－2b共線，得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).題組三易錯自糾4．設e1，e2是平面內一組基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＋λ2＝________.答案05．已知點A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，則向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案(－7，－4)解析根據(jù)題意得eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．6．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________.答案－6解析因為a∥b，所以(－2)×m－4×3＝0，解得m＝－6.題型一平面向量基本定理的應用例1如圖，已知△OCB中，A是CB的中點，D是將eq\o(OB,\s\up6(→))分成2∶1的一個內分點，DC和OA交于點E，設eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b.(1)用a和b表示向量eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))；(2)若eq\o(OE,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))，求實數(shù)λ的值．解(1)由題意知，A是BC的中點，且eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，由平行四邊形法則，得eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OD,\s\up6(→))＝(2a－b)－eq\f(2,3)b＝2a－eq\f(5,3)b.(2)由題意知，eq\o(EC,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，故設eq\o(EC,\s\up6(→))＝xeq\o(DC,\s\up6(→)).因為eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，eq\o(DC,\s\up6(→))＝2a－eq\f(5,3)b.所以(2－λ)a－b＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a－\f(5,3)b)).因為a與b不共線，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－λ＝2x，,－1＝－\f(5,3)x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,5)，,λ＝\f(4,5).))故λ＝eq\f(4,5).思維升華應用平面向量基本定理的注意事項(1)選定基底后，通過向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關向量用這一組基底表示出來．(2)強調幾何性質在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質，如平行、相似等．(3)強化共線向量定理的應用．跟蹤訓練1在△ABC中，點P是AB上一點，且eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，則t的值為________．答案eq\f(3,4)解析∵eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))，∴3eq\o(CP,\s\up6(→))＝2eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，即2eq\o(CP,\s\up6(→))－2eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CP,\s\up6(→))，∴2eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，即P為AB的一個三等分點，如圖所示．∵A，M，Q三點共線，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝xeq\o(CQ,\s\up6(→))＋(1－x)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(CB,\s\up6(→))＋(x－1)eq\o(AC,\s\up6(→))，而eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1))eq\o(AC,\s\up6(→)).又eq\o(CP,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，由已知eq\o(CM,\s\up6(→))＝teq\o(CP,\s\up6(→))，可得eq\f(x,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－1))eq\o(AC,\s\up6(→))＝teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))，又eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝\f(t,3)，,\f(x,2)－1＝－t，))解得t＝eq\f(3,4).題型二平面向量的坐標運算例2(1)已知點M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若eq\o(MN,\s\up6(→))＝－3a，則點N的坐標為()A．(2,0) B．(－3,6)C．(6,2) D．(－2,0)答案A解析設N(x，y)，則(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CA,\s\up6(→))＝c，a＝mb＋nc(m，n∈R)，則m＋n＝________.答案－2解析由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－6m＋n＝5，,－3m＋8n＝－5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－1，,n＝－1.))∴m＋n＝－2.思維升華平面向量坐標運算的技巧(1)利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標．(2)解題過程中，常利用“向量相等，則坐標相同”這一結論，由此可列方程(組)進行求解．跟蹤訓練2線段AB的端點為A(x,5)，B(－2，y)，直線AB上的點C(1,1)，使|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則x＋y＝________.答案－2或6解析由已知得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1－x，－4)，2eq\o(BC,\s\up6(→))＝2(3,1－y)．由|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝±2eq\o(BC,\s\up6(→))，則當eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝6，,－4＝2－2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝3，))此時x＋y＝－2；當eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝－6，,－4＝－2＋2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－1，))此時x＋y＝6.綜上可知，x＋y＝－2或6.題型三向量共線的坐標表示命題點1利用向量共線求向量或點的坐標例3已知O為坐標原點，點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點P的坐標為________．答案(3,3)解析方法一由O，P，B三點共線，可設eq\o(OP,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＝(4λ，4λ)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4λ－4,4λ)．又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,6)，由eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，所以eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up6(→))＝(3,3)，所以點P的坐標為(3,3)．方法二設點P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝(x，y)，因為eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,4)，且eq\o(OP,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))共線，所以eq\f(x,4)＝eq\f(y,4)，即x＝y(tǒng).又eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－4，y)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－2,6)，且eq\o(AP,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點P的坐標為(3,3)．命題點2利用向量共線求參數(shù)例4(2018·洛陽模擬)已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，則實數(shù)k的值為()A．－eq\f(11,4)B.eq\f(1,2)C．2D.eq\f(11,4)答案B解析因為a＝(2，－1)，b＝(1,1)，所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，又c＝(－5,1)，由(a＋kb)∥c得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝eq\f(1,2)，故選B.思維升華平面向量共線的坐標表示問題的解題策略(1)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”．(2)在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)．跟蹤訓練3(1)已知a＝(2，m)，b＝(1，－2)，若a∥(a＋2b)，則m的值是()A．－4B．1C．0D．－2答案A解析a＋2b＝(4，m－4)，由a∥(a＋2b)，得2(m－4)＝4m，m＝－4，故選A.(2)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k,12)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,5)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－k,10)，且A，B，C三點共線，則實數(shù)k的值是________．答案－eq\f(2,3)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))共線，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq\f(2,3).1．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，則P點的坐標為()A．(－8,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)答案B解析設P(x，y)，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)．而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2)，))∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2))).故選B.2．(2019·山西榆社中學診斷)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2,0)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(1,1)，則eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．(3,1)B．(4,2)C．(5,3)D．(4,3)答案B解析eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3,1)，又eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,1)，則eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,1)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,2)．故選B.3．(2018·三明質檢)已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，t)，且a∥b，則|a＋b|等于()A.eq\r(2)B.eq\r(5)C.eq\r(10)D．5答案B解析根據(jù)題意可得1×t＝2×(－2)，可得t＝－4，所以a＋b＝(－1，－2)，從而可求得|a＋b|＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5)，故選B.4．已知平面直角坐標系內的兩個向量a＝(1,2)，b＝(m，3m－2)，且平面內的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ，μ為實數(shù))，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，2) B．(2，＋∞)C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)答案D解析由題意知向量a，b不共線，故2m≠3m－2，即m≠2.5．在平面直角坐標系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標平面內第一象限內一點，∠AOC＝eq\f(π,4)，且|OC|＝2，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C．2D．4eq\r(2)答案A解析因為|OC|＝2，∠AOC＝eq\f(π,4)，所以C(eq\r(2)，eq\r(2))，又eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以(eq\r(2)，eq\r(2))＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝eq\r(2)，λ＋μ＝2eq\r(2).6．向量a，b滿足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，則b＝________.答案(－3,4)解析由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝eq\f(1,2)(－6,8)＝(－3,4)．7．若三點A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實數(shù)a的值為________．答案－eq\f(5,4)解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(a－1,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,4)，根據(jù)題意知eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－eq\f(5,4).8．設向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________．答案(－4，－2)解析∵b＝(2,1)，且a與b的方向相反，∴設a＝(2λ，λ)(λ<0)．∵|a|＝2eq\r(5)，∴4λ2＋λ2＝20，λ2＝4，λ＝－2.∴a＝(－4，－2)．9．(2018·全國Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________.答案eq\f(1,2)解析由題意得2a＋b＝(4,2)，因為c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝eq\f(1,2).10．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點能構成三角形，則實數(shù)k應滿足的條件是________．答案k≠1解析若點A，B，C能構成三角形，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))不共線．∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.11．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)，(1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb且A，B，C三點共線，求m的值．解(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)，a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)．∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－eq\f(1,2).(2)方法一∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝λ，,3＝mλ，))解得m＝eq\f(3,2).方法二eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)，∵A，B，C三點共線，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0，∴m＝eq\f(3,2).12.如圖，已知平面內有三個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解方法一如圖，作平行四邊形OB1CA1，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB1,\s\up6(→))＋eq\o(OA1,\s\up6(→))，因為eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OB,\s\up6(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up6(→))與eq\o(OC,\s\up6(→))的夾角為30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以|eq\o(OB1,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(B1C,\s\up6(→))|＝4，所以|eq\o(OA1,\s\up6(→))|＝|eq\o(B1C,\s\up6(→))|＝4，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＝4eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.方法二以O為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(1,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(3，eq\r(3))．由eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3＝λ－\f(1,2)μ，,\r(3)＝\f(\r(3),2)μ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝4，,μ＝2.))所以λ＋μ＝6.13.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD至E，使得DE＝CD，若點P為CD的中點，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))，則λ＋μ等于()A．3B.eq\f(5,2)C．2D．1答案B解析由題意，設正方形的邊長為1，建立平面直角坐標系如圖，則B(1,0)，E(－1,1)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0)，eq\o(AE,\s\up6(→))＝(－1,1)，∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AE,\s\up6(→))＝(λ－μ，μ)，又∵P為CD的中點，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－μ＝\f(1,2)，,μ＝1，))∴λ＝eq\f(3,2)，μ＝1，∴λ＋μ＝eq\f(5,2).14．(2017·全國Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))，則λ＋μ的最大值為()A．3B．2eq\r(2)C.eq\r(5)D．2答案A解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則C點坐標為(2,1)．設BD與圓C切于點E，連接CE，則CE⊥BD.∵CD＝1，BC＝2，∴BD＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，EC＝eq\f(BC·CD,BD)＝eq\f(2,\r(5))＝eq\f(2\r(5),5)，即圓C的半徑為eq\f(2\r(5),5)，∴P點的軌跡方程為(x－2)2＋(y－1)2＝eq\f(4,5).設P(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2＋\f(2\r(5),5)cosθ，,y0＝1＋\f(2\r(5),5)sinθ))(θ為參數(shù))，而eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x0，y0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,1)，eq\o(AD,\s\up6(→))＝(2,0)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AD,\s\up6(→))＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，∴μ＝eq\f(1,2)x0＝1＋eq\f(\r(5),5)cosθ，λ＝y(tǒng)0＝1＋eq\f(2\r(5),5)sinθ.兩式相加，得λ＋μ＝1＋eq\f(2\r(5),5)sinθ＋1＋eq\f(\r(5),5)cosθ＝2＋sin(θ＋φ)≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中sinφ＝\f(\r(5),5)，cosφ＝\f(2\r(5),5)))，當且僅當θ＝eq\f(π,2)＋2kπ－φ，k∈Z時，λ＋μ取得最大值3.故選A.15.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD＝DC＝2，AB＝4，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，以A為圓心，AD為半徑的圓弧DE的中點為P(如圖所示)，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(ED,\s\up6(→))＋μeq\o(AF,\s\up6(→))，則2λ－μ的值是________．答案0解析建立如圖所示的平面直角坐標系，則A(0,0)，B(4,0)，C(2,2)，